第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元测试·提升卷）高一数学苏教版2019必修第一册

第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出函数解析式，代入可得答案. 【解析】设，因为幂函数的图象过点，所以， 解得，所以. 故选：D. 2.“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断. 【解析】若，可得，即，即充分性成立； 若，例如，则，不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3.函数的图象在图中的序号依次为（ ） A. ①②③④ B. ②①③④ C. ①②④③ D. ②①④③ 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的图象即可得解. 【解析】，两函数的定义域为， 因为，所以①为，②为， 两函数的定义域为， 因为，所以③为，④为. 故选：D. 4.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性得到，又，即可求出结果. 【解析】因为在R上单调递减，所以， 又在区间上单调递增，所以，得到， 又，所以，即. 故选：C. 5.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在上函数值符号，即可确定图象. 【解析】由解析式，知的定义域为， ， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，BD不合题意， 当时，，， 则， 所以在上， 结合各项函数图象知，A选项不合题意，C选项满足要求. 故选：C 6.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 【答案】B 【分析】根据奇函数定义结合指数运算判断奇偶性，应用指数函数及复合函数的单调性判断单调性即可判断. 【解析】由，其定义域为R，关于原点对称， ，所以是奇函数. 又， 因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且， 所以在R上单调递减，则在R上单调递增， 那么在R上单调递增. 故单调递增且是奇函数. 故选： 7.已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数，利用函数单调性求最值或值域． 【解析】由已知，得或．当时，，当时，． 又在单调递增，， 在上的值域为在上的值域为， 因为函数时，总存在使得， 是的子集， ，即． 故选：B． 8.若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】分析出时，不成立，当时，画出，图象，数形结合得到实数a的取值范围. 【解析】若，此时，，而，故无解； 若，此时，，而， 令，， 画出两函数图象，如下： 故要想在内恒成立， 则要，解得： 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【分析】根据奇偶性的定义及复合函数的单调性一一判断即可. 【解析】对于A：函数定义域为， 且，所以为奇函数， 又与均在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，故A正确； 对于B：函数定义域为，且为奇函数， 但是函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C：函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又， 因为与均在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，故C正确； 对于D：函数的定义域为， 且， 所以为奇函数， 又与均在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，故D正确； 故选：ACD 10.若物体原来的温度为（单位:），环境温度为（单位:），物体的温度冷却到，单位:）与需用时间（单位:分钟）满足为正常数.现有一杯开水放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（，则（ ） A. 当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为 B. 当时，这杯开水冷却到大约需要14分钟 C. 若，则 D. 这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短 【答案】BCD 【分析】根据解析式中各量的意义，代入求解即可. 【解析】为正常数. 对于A，， 由，得， 所以，解得，故错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，由，得，即， 则，故正确； 对于D，设这杯水从冷却到所需时间为分钟， 则， 设这杯水从冷却到所需时间为分钟， 则， 因为， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11.设函数，下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 D. 对于任意的，都有 【答案】AD 【分析】根据真数大于0求得定义域，可判断A；利用奇偶性定义判断奇偶性，可判断B；取特殊值计算可判断C；根据对数运算化简即可判断D. 【解析】对于A，由，解得，故函数的定义域为，故A正确； 对于B，由A可知定义域关于原点对称，又， 所以是奇函数，故B错误； 对于C；当时，，故C错误； 对于D，对于，，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知函数，则________. 【答案】2025 【分析】根据分段函数的解析式，可求函数值. 【解析】因为，所以； 因为，所以. 所以. 故答案为：2025 13.设且，若函数在上单调递减，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】由题意确定函数在每一段上单调递减需要满足的条件，以及函数在处函数值的关系，得到关于的不等式组，求解可得的取值范围. 【解析】因为函数在上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为__________ 【答案】16 【分析】作出函数的大致图象，可知，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解. 【解析】作出函数的大致图象，如图所示： 当时，对称轴为，所以， 若关于的方程有四个实根，，，，则， 由，得或，则， 又，所以， 所以，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：16 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 【答案】（1），或； （2），取最小值时，取最大值时. 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式. （2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解. 【解析】（1）函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. （2）由（1）知，， 令，由，得，， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时. 16.已知某超市的新鲜鸡蛋存储温度x（单位：摄氏度）与保鲜时间t（单位：小时）之间的函数关系式为该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时. （1）求该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； （2）若该超市想要保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于1024小时，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度? 【答案】（1）768小时 （2）2摄氏度 【分析】（1）由题意有，则，代入，计算即可得； （2）令，结合指数函数的性质计算即可得. 【解析】（1）依题意得，则， 当时，， 即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为768小时； （2）令，得，即， 则， 因为函数是单调递减函数，所以， 解得， 故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2摄氏度. 17.已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 【答案】(1);(2);(3)答案见解析 【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解； （2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解； （3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值. 【解析】（1）因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； （2）当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； （3）由题， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，； 当时，； 当时，. 18.对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求证：为定值； （3）若函数具有性质，求的最小值. 【答案】（1）不具有解析 （2）证明见解析 （3）4 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义计算即可得； （3）结合所给定义计算，然后利用基本不等式求出最值即可 【解析】（1）假设函数具有性质， 且的定义域为， 又满足存在，对任意，都有， 所以， 又，所以满足，此方程无解， 所以数不具有性质 （2）若函数具有性质，且函数定义域为， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以，故为定值， （3）因为函数具有性质， 定义域为，所以， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以， 即， 所以， 令，所以或， 又，所以，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 19.设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【解析】（1）当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； （2）由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 取值范围； （3）由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数取值范围为. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 2.“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.函数的图象在图中的序号依次为（ ） A. ①②③④ B. ②①③④ C. ①②④③ D. ②①④③ 4.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 7.已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 10.若物体原来的温度为（单位:），环境温度为（单位:），物体的温度冷却到，单位:）与需用时间（单位:分钟）满足为正常数.现有一杯开水放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（，则（ ） A. 当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为 B. 当时，这杯开水冷却到大约需要14分钟 C. 若，则 D. 这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短 11.设函数，下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 D. 对于任意的，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知函数，则________. 13.设且，若函数在上单调递减，则的取值范围是____________ 14. 设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 16.已知某超市的新鲜鸡蛋存储温度x（单位：摄氏度）与保鲜时间t（单位：小时）之间的函数关系式为该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时. （1）求该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； （2）若该超市想要保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于1024小时，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度? 17.已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 18.对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求证：为定值； （3）若函数具有性质，求的最小值. 19.设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $