专题6.3 对数函数（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

本讲义聚焦高中数学对数函数核心知识点，系统梳理从定义（含判断依据与定义域）、图象性质（定义域、值域、单调性等）到底数影响、反函数的知识脉络，构建从基础概念到复合函数应用的学习支架，配套即学即练与梯度题型强化理解。 该资料以分层题型设计为特色，涵盖12类题型从概念辨析到实际应用，渗透分类讨论、数形结合思想，如通过声强级、火箭速度等实例培养数学眼光与建模能力。课中助力教师分层教学，课后学生可借变式训练查漏补缺，提升逻辑推理与问题解决素养。

专题6.3 对数函数 教学目标 1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念. 2.能借助计算器或计算机画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的性质及简单应用. 3.了解多个对数函数图像的关系,及简单函数图象的平移变换和对称变换,会进行对数函数图象的变换. 4.进一步理解与对数函数有关的复合函数的性质，会利用对数函数解决简单的应用题；体会分类讨论、数形结合及等价转化思想的应用 教学重难点 1.重点 对数函数的图象与性质的应用； 2.难点 对数函数有关的复合函数的性质. 知识点01 对数函数的定义 1.对数函数的定义：一般地，函数 (a>0,且a≠1)叫做________，其中x是自变量，定义域是________. 2.判断一个函数是对数函数的依据： ①形如； ②底数a满足a>0，且a≠1； ③真数是x； ④定义域为(0,+∞). 【即学即练】 1．下列函数是对数函数的是（  ） A． B． C． D． 2．下列函数中，定义域为的是（  ） A． B． C． D． 知识点02 对数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质： 对数函数 (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 函数值的 变化范围 【即学即练】 1．函数在上的值域为（  ） A． B． C． D． 2．已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 知识点03 底数a对对数函数图象的影响 1.底数a与1的________决定了对数函数图象的“升降”. ①当a>1时，对数函数的图象“________”; ②当0<a<1时,对数函数的图象“________”. 2.底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 注：函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴________ 【即学即练】 1．函数的图象如图所示，则a的值可以是（  ） A． B．2 C．e D． 2．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（  ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 知识点04 反函数的定义及性质 1、反函数的定义： 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有________的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于________对称． （2）若函数图象上有一点________，则________必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 【即学即练】 1．已知函数，若函数是的反函数，则等于（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，则下列不正确的是（  ） A． B． C． D． 题型01 对数函数的概念辨析 【典例1】下列函数中是对数函数的为（  ） A． B． C． D． 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 【变式1】（多选）给出下列函数不是对数函数的有（  ） A. B. C. D. 【变式2】下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 题型02 利用对数函数概念求参 【典例1】函数为对数函数，则（  ） A. B. C.3 D. 【变式1】函数是对数函数，则实数（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】函数是对数函数，则实数a＝ . 【变式3】若对数函数且）的图象经过点，则实数______. 题型03 求对数函数的解析式或求值 【典例1】（1）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（  ） A． B． C． D． （2）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（  ） A．－1 B．1 C． D． 对数恒等式的两点说明 (1)对数恒等式的证明依据：对数的定义． (2)对于对数恒等式＝N要注意格式： ①它们是同底的；②指数中含有对数式；③其值为对数的真数． 【变式1】已知函数，若图象过点，则的值为（  ） A．－2 B．2 C． D． 【变式2】已知函数 ，若 ，则实数（  ） A．－1 B．1 C． D． 【变式3】已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 【变式4】已知函数若，则实数___________. 题型04 对数型函数的定义域、值域问题 【典例1】（1）下列函数中，定义域为的是（  ） A． B． C． D． （2）函数的值域为（  ） A． B． C． D． （3）已知函数． ①若的定义域为R，求实数的取值范围； ②若的值域为R，求实数的取值范围． 型函数的定义域、值域的求法 (1)形如的函数的定义域就是不等式f(x)>0的解集． (2)形如的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合的单调性求出的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． 注:与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． 【变式1】函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的值域为，则实数m的值为（  ） A．2 B．3 C．9 D．27 【变式3】若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ． 【变式4】函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 【变式5】已知，则的值域是 ． 题型05 对数型函数的恒过定点问题 【典例1】已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（  ） A． B． C． D． 对数函数图象过定点问题： 对数函数(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，据此，可解决形如y＝k·＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，令＝1，即可求解． 【变式1】函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（  ） A．8 B．9 C． D． 【变式2】函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 题型06 对数函数图像的识别及应用 【典例1】（1）在同一坐标系中，函数与的大致图象是（  ） A． B． C． D． （2）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． （3）若，则下列不等关系一定不成立的是（  ） A． B． C． D． 对数函数图象的识别及应用： (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【变式1】函数的图像大致为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，是函数的图象上两个不同的点，则（  ） A． B． C． D． 题型07 对数式的大小比较 【典例1】若，，，则（  ） A． B． C． D． 比较对数的大小的方法： 比较对数的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性来判断； (2)底数不同，真数相同：利用换底公式化为底数相同的对数函数再利用对数函数的单调性来判断； (3)底数不同，真数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“0或1”. 【变式1】已知，，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【变式2】函数，若，则（  ） A． B． C． D． 题型08 求对数型函数的单调区间 【典例1】函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则． 【变式1】“”是“函数在区间上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2】函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 题型09 对数型函数的单调性的应用 【典例1】（1）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． （2）已知函数 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【变式1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集为 ． 【变式3】已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【变式4】已知函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求实数x的取值范围． 题型10 对数型函数的单调性与奇偶性结合的应用 【典例1】已知函数且. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求满足的的取值集合. 【变式1】下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 . 【变式3】已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 题型11 对数型函数的恒成立和存在问题 【典例1】当时，，则a的取值范围是（  ） A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 【变式1】已知且，当时，，则的取值范围为 . 【变式2】已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【变式3】已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 题型12 对数函数的实际应用问题 【典例1】大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式1】如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（  ） A． B． C． D． 【变式2】声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 2．函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．如图所对应的函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 5．函数的部分图象大致为（  ） A． B． C． D． 6．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，若包含于的值域，则满足条件的实数m可以是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（  ） A． B．1 C． D．2 9．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数是奇函数 C．函数是增函数 D．若，则 10．已知函数，则_______. 11．已知函数的值域为R，则实数的取值范围是_____________ 12．已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则 . 13．记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是______________ 14．设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 15．已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围 (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 对数函数 教学目标 1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念. 2.能借助计算器或计算机画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的性质及简单应用. 3.了解多个对数函数图像的关系,及简单函数图象的平移变换和对称变换,会进行对数函数图象的变换. 4.进一步理解与对数函数有关的复合函数的性质，会利用对数函数解决简单的应用题；体会分类讨论、数形结合及等价转化思想的应用 教学重难点 1.重点 对数函数的图象与性质的应用； 2.难点 对数函数有关的复合函数的性质. 知识点01 对数函数的定义 1.对数函数的定义：一般地，函数 (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞). 2.判断一个函数是对数函数的依据： ①形如； ②底数a满足a>0，且a≠1； ③真数是x； ④定义域为(0,+∞). 【即学即练】 1．下列函数是对数函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义可得. 【解析】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 2．下列函数中，定义域为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的定义可得. 【解析】选项A，函数的定义为，故A错误； 选项B，由得，故的定义域为，故B错误； 选项C，由得，故的定义域为，故C错误； 选项D，由得，故的定义域为，故D正确， 故选：D 知识点02 对数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质： 对数函数 (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 【即学即练】 1．函数在上的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出在上单调递增即可求解． 【解析】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 2．已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断出在上单调递减结合分段函数的单调性即可求解． 【解析】因为当时，为减函数，且时，. 又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数， 所以解得， 故选:D. 知识点03 底数a对对数函数图象的影响 1.底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. ①当a>1时，对数函数的图象“上升”; ②当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. 2.底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 注：函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. 【即学即练】 1．函数的图象如图所示，则a的值可以是（  ） A． B．2 C．e D． 【答案】A 【分析】由对数函数的图像可确定底数的大小. 【解析】因为函数的图象是单调递减的，所以， 由选项可知A正确. 故选：A. 2．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（  ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【答案】D 【分析】由对数函数的图像可确定底数的大小. 【解析】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b. 故选：D． 知识点04 反函数的定义及性质 1、反函数的定义： 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 【即学即练】 1．已知函数，若函数是的反函数，则等于（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由反函数的定义可求解. 【解析】是的反函数，，． 故选：D 2．已知，则下列不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由反函数的性质可求解. 【解析】因为，所以，， 所以a，b分别是，与图象交点的横坐标， 因为，的图象关于直线对称，也关于直线对称， 所以两交点，关于直线对称， 所以，，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 若成立，再结合，可得，与矛盾，故D错误. 故选：D. 题型01 对数函数的概念辨析 【典例1】下列函数中是对数函数的为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数概念可判断. 【解析】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 【变式1】（多选）给出下列函数不是对数函数的有（  ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【解析】A不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； B不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； C不是对数函数，因为对数的底数不是常数； D是对数函数． 故选：BCD 【变式2】下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【解析】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 题型02 利用对数函数概念求参 【典例1】函数为对数函数，则（  ） A. B. C.3 D. 【答案】C 【分析】利用对数函数的定义，列式计算即得. 【解析】函数为对数函数， 则，且，所以. 故选：C 【变式1】函数是对数函数，则实数（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【解析】由解得或，又，且，所以， 故选：B. 【变式2】函数是对数函数，则实数a＝ . 【答案】1 【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可. 【解析】由题意得， 解得或1， 又且， 所以 【变式3】若对数函数且）的图象经过点，则实数______. 【答案】2 【分析】将点代入即可求解. 【解析】将点代入得，解得 故答案为：2. 题型03 求对数函数的解析式或求值 【典例1】（1）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【解析】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. （2）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（  ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【解析】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 对数恒等式的两点说明 (1)对数恒等式的证明依据：对数的定义． (2)对于对数恒等式＝N要注意格式： ①它们是同底的；②指数中含有对数式；③其值为对数的真数． 【变式1】已知函数，若图象过点，则的值为（  ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】首先代入点求函数的解析式，再求函数值. 【解析】由条件可知，，得， 所以. 故选：B 【变式2】已知函数 ，若 ，则实数（  ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】对参数进行分类讨论即可得到答案． 【解析】当时，，所以（舍去）； 当时，，所以（符合题意）. 故选:A． 【变式3】已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】把已知点坐标代入解析式，可求出，即可求解. 【解析】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 【变式4】已知函数若，则实数___________. 【答案】2 【分析】利用复合函数求值由内到外即可求解。 【解析】，所以. 故答案为：2 题型04 对数型函数的定义域、值域问题 【典例1】（1）下列函数中，定义域为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数式有意义的条件即可求出四个选项中函数的定义域，即可得解. 【解析】对于A选项：令，解得或， 则定义域为，故A错误； 对于B选项：令，解得，定义域为，故B正确； 对于C选项：因为，所以，定义域为，故C错误； 对于D选项：令，解得，定义域为，故D错误． 故选：B. （2）函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和对数函数单调性即可求得函数的值域. 【解析】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为 故选：B （3）已知函数． ①若的定义域为R，求实数的取值范围； ②若的值域为R，求实数的取值范围． 【答案】①;② 【分析】①根据题意得到在R上恒成立，再分类讨论求解即可； ②根据题意得到的值域必须包含，再分类讨论求解即可. 【解析】①函数的定义域为R， 则在R上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，有，解得． 所以实数的取值范围为． ②函数的值域为R， 则的值域必须包含， 当时，，不符合题意； 当时，有，解得. 所以实数的取值范围为． 型函数的定义域、值域的求法 (1)形如的函数的定义域就是不等式f(x)>0的解集． (2)形如的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合的单调性求出的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． 注:与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． 【变式1】函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开偶次方根被开方数非负及对数真数大于零确定函数定义域. 【解析】由 得 ，所以函数的定义域为. 故选: B 【变式2】已知函数的值域为，则实数m的值为（  ） A．2 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】利用函数的值域为可转化为的最小值来求解. 【解析】因为函数的值域为，所以的最小值为，所以； 故选：C 【变式3】若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ． 【答案】或． 【分析】根据对数函数的定义域为R，转化为不等式恒成立进行求解即可． 【解析】∵的定义域为R， ∴恒成立， 当，即或， 若，不等式等价为，此时，不恒成立，不满足条件． 若，不等式等价为，恒成立，满足条件． 当时，要使不等式恒成立， 则， 即或， 解得或， 综上可知，实数的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式4】函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 【答案】. 【分析】利用换元法转化函数，结合二次函数的性质及的值域求得的定义域，进而求得的最大值. 【解析】由题意知，， 令，则， 令， 画出的图象如图所示， ，， 由， 要使得的值域为，则t的范围为，且， 则，解得：，， 所以当的定义域为，其中时，值域为. 所以，，， 所以，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 【变式5】已知，则的值域是 ． 【答案】 【分析】先由题意求得的定义域，再利用换元法与二次函数的性质即可得解. 【解析】因为， 所以的定义域满足，解得， 因为在上单调递增，所以令， 又， 则， 易知在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以的值域为. 故答案为: 题型05 对数型函数的恒过定点问题 【典例1】已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据幂函数定义及性质求出；进而可求解. 【解析】因为是幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 故，此时， 当时，，即的图象过定点. 故选：B 对数函数图象过定点问题： 对数函数(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，据此，可解决形如y＝k·＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，令＝1，即可求解． 【变式1】函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（  ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】先根据对数型函数过定点求出，；再根据基本不等式即可求解. 【解析】对于对数函数，当时，（且）. 对于指数函数，当时，（且）. 所以当时，. 即函数的图象恒过定点，所以，. 已知，把，代入可得. 将进行变形，. 展开式子得. 因为，，根据均值不等式，有. 则.当且仅当时等号成立. 故选：C 【变式2】函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指对数型函数过定点即可求解. 【解析】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得， 所以， 故选：B. 【变式3】已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据对数型函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解. 【解析】因为函数的图象恒过定点， 所以. 则不等式为，等价于， 解得：. 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型06 对数函数图像的识别及应用 【典例1】（1）在同一坐标系中，函数与的大致图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数单调性分析即得。 【解析】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足. 故选：B. （2）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数性质分析即得。 【解析】对于A选项，函数的定义域为，不满足条件； 对于B选项，函数的定义域为，不满足条件； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，则，不满足条件； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，则，满足条件. 故选：D. （3）若，则下列不等关系一定不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，作出函数的图象，作出，变换的值即可得出答案. 【解析】因为， 则， 由，得，， 作函数的图象，同时作出， 如上图，变换的值可以发现，，均能够成立，不可能成立. 故选：B. 对数函数图象的识别及应用： (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【变式1】函数的图像大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数性质以及代入特殊值分析即得。 【解析】的定义域为， ，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以AD选项错误. ，所以B选项错误. 故选：C 【变式2】已知，是函数的图象上两个不同的点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，即可得解. 【解析】如图所示，设，，的中点为， 点在的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即， 故选：B 题型07 对数式的大小比较 【典例1】若，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别得到的范围从而判断得到结果. 【解析】，，， 故，，，所以. 故选：D. 比较对数的大小的方法： 比较对数的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性来判断； (2)底数不同，真数相同：利用换底公式化为底数相同的对数函数再利用对数函数的单调性来判断； (3)底数不同，真数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“0或1”. 【变式1】已知，，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质比较大小. 【解析】依题意，， 则，而，则， 所以的大小关系是. 故选：C. 【变式2】函数，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质比较大小. 【解析】因为，所以， 又当时，在上单调递增，所以 所以. 故选：D 题型08 求对数型函数的单调区间 【典例1】函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【解析】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则． 【变式1】“”是“函数在区间上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求函数在区间上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A 【变式2】函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【解析】函数，因为，解得． 所以函数的定义域为，且，． 因为函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减，函数单调递增， 所以由复合函数的单调性知函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减, 故选：A 题型09 对数型函数的单调性的应用 【典例1】（1）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数定义可知对任意的恒成立，解得且；再根据复合函数单调性结合对数函数以及二次函数单调性分析求解. 【解析】因为在上单调递减， 则对任意的恒成立，可得且； 且开口向下，对称轴， 当时，则对称轴，可知在内单调递减， 且在定义域内单调递减，所以在上单调递增，不合题意； 当时，因为在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：C. （2）已知函数 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解析】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以 ，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 【变式1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且，再根据二次函数的性质即可求解. 【解析】设， 由题意可知，函数在上单调递减，且， 函数的对称轴为， 所以，解得. 故选：D. 【变式2】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】结合函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集. 【解析】由于函数在上递减， 所以解得， 所以原不等式的解集为， 故答案为： . 【变式3】已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【解析】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式4】已知函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求实数x的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析;(2) 【分析】（1）由单调性的定义说明即可； （2）首先说明是奇函数，再结合函数的单调性解不等式即可. 【解析】（1）在上单调递增． 证明如下：令，解得，所以的定义域为．设， 得． 因为，所以， 得，所以在上单调递增． （2），定义域为，，所以是奇函数． 所以原不等式可化为，即， 又在上单调递增，所以，解得， 所以x的取值范围为． 题型10 对数型函数的单调性与奇偶性结合的应用 【典例1】已知函数且. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求满足的的取值集合. 【答案】(1);(2)偶函数，理由见解析;(3). 【分析】（1）根据对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义可得出结论； （3）由求出的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，结合可得出关于的不等式，解之即可. 【解析】（1）对于函数且， 由解得，故函数的定义域为. （2）函数为偶函数.理由如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数. （3）依题意， 若，则，解得. 设，， 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又在其定义域内单调递增， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为，所以，解得， 所以的取值集合为. 【变式1】下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项进行分析其单调性即可求解. 【解析】选项A：是偶函数，不符合题目要求； 选项B：是非奇非偶函数函数，不符合题目要求； 选项C：是奇函数，且在区间上单调递增，符合题目要求； 选项D：是奇函数，在单调递减，不符合题目要求. 故选：C 【变式2】已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据偶函数定义得是偶函数，再根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，从而利用单调性将不等式转化为，根据和分别求解a的范围，最后求交集即可. 【解析】对于函数，因为， 所以恒成立，其定义域为R， 又， 且， 所以为R上的偶函数. 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以等价于，即，即. 当时，恒成立，所以； 当时，恒成立，所以. 综上，. 故答案为：. 【变式3】已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析;(2)在上单调递减，证明见解析;(3)或 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【解析】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 题型11 对数型函数的恒成立和存在问题 【典例1】当时，，则a的取值范围是（  ） A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 【答案】 【分析】借助图像分析即可求解. 【解析】当时，显然不成立. 若时 当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图 故选:B. 【变式1】已知且，当时，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】按和分类讨论可得． 【解析】当时，. 当时，成立. 当时，若成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 【变式2】已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解； （2）分离参数后，求的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性求对数函数值域，即可得解. 【解析】（1）由题意可知，即. 令，则有，解得，所以，即. 所以不等式的解集为. （2）由题意可知，即， 即. 又 令， 易知在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以. 故实数的取值范围为. 【变式3】已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1);(2);(3) 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【解析】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 题型12 对数函数的实际应用问题 【典例1】大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【解析】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 【变式1】如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到方程，得到. 【解析】由题意得，即， . 故选：B. 【变式2】声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 【答案】(1);(2)司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 【分析】（1）由题意建立方程组，解之即可求解； （2）由（1），将代入即可下结论. 【解析】（1）由题意知，解得， 所以. （2）因为，将代入， 得， 所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域以及函数有意义可确定函数定义域. 【解析】函数的定义域是[1，3]， ∴，解得． 又，且，∴． 故函数的定义域是． 故选：C. 2．函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【解析】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 3．已知函数的定义域是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数式有意义转化为对任意恒成立即可求解。 【解析】由题意可知：对任意恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 4．如图所对应的函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明A错误，利用奇偶性并综合排除法判断BCD即可得解. 【解析】对于A，当趋于0时，趋于，对比题图可知，A不符合题意； 对于B，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，B不符合题意； 对于D，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，D不符合题意； 对于C，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于原点对称，与题图相符，经检验，C符合题意. 故选：C. 5．函数的部分图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为偶函数，排除A；当时，，当时， ，排除BC，可得正确选项D. 【解析】的定义域为且，且，所以为偶函数，排除A； 当时，，，， 当时，，，，排除BC. 故选：D. 6．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性结合给定区间上的函数解析式，确定函数的单调性，借助于特殊值替代，利用单调性即可求解抽象不等式. 【解析】因为当时，，则，且函数在上单调递增， 则由可得，利用函数的单调性可得； 又是定义在R上的奇函数，故； 当时，，则，因，则， 函数在上单调递增且， 则由可得，利用单调性可得. 综上可得，不等式的解集是. 故选：A. 7．（多选）已知函数，若包含于的值域，则满足条件的实数m可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合对数函数的单调性以及分段函数的性质即可求解。 【解析】当时，单调递增，所以； 当时，单调递增， 所以， 因为包含于的值域， 所以或，解得或. 所以满足条件的实数m可以是或. 故选：AC 8．（多选）设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】AB 【分析】利用分段函数作出图像分析即可求解。 【解析】作出函数图像如下： 又有三个不同的实数根， 所以函数与直线有三个交点， 由图像可得：. 故选：AB 9．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数是奇函数 C．函数是增函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】结合对数函数的性质即可求解。 【解析】对于A：由，所以的定义域为，故A正确； 对于B：由A得的定义域为，又，所以是奇函数，故B正确； 对于C：令，所以，由在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数单调性得在是减函数，故C错误； 对于D：由是奇函数且在是减函数，由得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10．已知函数，则_______. 【答案】 【分析】利用复合函数求值由内到外即可求解。 【解析】由，得： . 故答案为：. 11．已知函数的值域为R，则实数的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】结合对数函数的单调性以及分段函数的性质即可求解。 【解析】当， ∴当时，， ∵的值域为R，∴当时，值域需包含， ∴，解得， 故答案为：. 12．已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则 . 【答案】 【分析】首先由对数函数性质确定点A的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解的值即可. 【详解】因为函数(，且 )的图像过定点A， 所以. 因为点A在函数的图像上， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13．记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是______________ 【答案】 【分析】根据函数的单调性求出的值域，数形结合，由题意确定在上的值域为值域的子集，从而列出不等式组，即可求得答案. 【解析】由于在R上单调递减，在单调递增， 当时，，故， 则在上单调递减，在单调递增， 故在上的最小值为，即； 由， 令，则，则或， 作出函数的图象如图： 由于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 故，解得，即， 故答案为： 14．设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可； （2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围. 【解析】（1）当时，，不等式， 即，所以，即，等价于， 解得或； 所以不等式的解集为； （2）因为，，所以当时，函数为减函数， 所以函数在区间上单调递减， 又函数在区间上最大值和最小值的差不超过1， 所以， 即，即 所以， 即存在使成立，只需即可， 考虑函数，，令， ， 设，其中， 任取，且，则， 因为，所以，因为，所以， 所以，所以函数在上单调递减， 所以在单调递减，所以， ，所以， 所以的取值范围为. 15．已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围 (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可； （2）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可； （3）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围. 【解析】（1）函数为偶函数， ，即. 又函数是增函数， ，即得对于函数定义域内任意的都成立， . （2）令，则. 函数是上的增函数，在上单调递增， 根据复合函数单调性的判断方法可得：函数在上单调递增, 且在上恒成立， ，解得：. 故的取值范围为. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， . 令，， ， ，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数有最小值， 故当时，. 对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， ， 故的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $