专题09 勾股定理中的的最短路径模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题09 勾股定理中的最短路径模型 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.圆柱中的最短路径模型 5 模型2.长方体中的最短路径模型 7 模型3.阶梯中的最短路径模型 10 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 13 15 蚂蚁的烦恼 说到蚂蚁，大家对它们的第一印象就是他们每天都是很忙碌的样子，十足的工作狂。想象一下，小蚂蚁今天有任务，它得运送一块糖到它的家。可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，真是难搞。小蚂蚁希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。谁不想走得快点儿呢？ 数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简单的解决方案。无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。通过学习和应用这些理论，咱们不仅能更好地规划日常生活，还能享受到成功的喜悦。 （2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 1.在圆柱表面运动中的最短路径模型 条件：如图1，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 图1 图2 2.在长方体表面运动中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在顶点时讨论方法跟第一类相同。 3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 条件：如图3，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是．   图3 图4 4.将军饮马与空间最短路径模型 条件：如图4，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 模型1.圆柱中的最短路径模型 例1（25-26八年级上·全国·期中）如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 例2（25-26八年级上·重庆·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·重庆·月考）如图，圆柱的底面周长为，AC是底面圆的直径，高，点P 是上的中点．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 例4（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）． 例5（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 模型2.长方体中的最短路径模型 例1（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．米 例2（25-26八年级上·山西运城·期中）如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为，高为．若一只蚂蚁从该棱柱底面的顶点处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ）    A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在边AB上，且，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 cm． 例4（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上，．现在用一根细线按如图所示方式从底面顶点开始经过3个侧面连接到点，那么所用细线最短需要 ． 例5（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 模型3.阶梯中的最短路径模型 例1（24-25八年级下·广东广州·期中）一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（    ） A． B． C． D． 例2（2024八年级上·全国·专题练习）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ． 例3（24-25八年级下·全国·月考）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 例4（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 例5（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 例1（25-26七年级上·山东青岛·期中）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 例3（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______m的路程． 例4（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 例5（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．小诚是一名滑板爱好者，若他从点处滑到点处，他滑行的最短距离是多少米？（边缘部分的厚度忽略不计） 1．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，一圆柱形油罐的底面周长为，高为，要以点A为底端环绕油罐做一圈梯子，正好顶端在点A的正上方点B处，那么梯子最短需（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，圆柱的底面圆的周长为，高为，一只蚂蚁沿外壁从点A爬行到上边缘与之正相对的点B最少要爬行（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点爬到盒顶的点，则蚂蚁要爬行的最短路程是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为（    ）（杯壁厚度不计） A．13 B．14 C．15 D．16 5．（25-26八年级上·河南郑州·月考）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为、和，在罐内点E处有小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管外表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 （    ）厘米． A．10 B．15 C．9 D． 9．（25-26八年级上·山东青岛·期中）我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长 ． 10．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是．将圆柱沿将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 （取3）；经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．当蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等，则 ．（取3） 11．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆形，一只蚂蚁从点A爬过管道到达点C，需要走的最短路程是 分米（结果化为最简二次根式）． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）“春节”是我国传统节日中最重要的一个节日，在春节期间有很多习俗，如贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放鞭炮等．为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长的彩灯，按如图方式缠绕在圆柱体柱子上，且柱子的底面周长为，则柱子高是 ． 13．（24-25八年级下·湖北黄石·月考）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计） 14．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为 m． 15．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，截面中可供滑行部分的半圆弧长为，边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，．一滑板爱好者从点滑到点，请画出形池滑行面的展开图，并求出他滑行的最短距离． 16．（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 17．（24-25八年级下·广西百色·期中）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取） (1)如图，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图．请在图中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是________；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径________（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度．路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________；表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径与圆柱的高度的数量关系． 18．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 19．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． (1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　　厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　　厘米； (2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 20．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 21．（2024九年级上·全国·专题练习）葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 22．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； (2)求该长度最短的金属丝的长； (3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 23．（24-25七年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 24．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 25．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． (1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． (2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 勾股定理中的最短路径模型 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.圆柱中的最短路径模型 5 模型2.长方体中的最短路径模型 7 模型3.阶梯中的最短路径模型 10 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 13 15 蚂蚁的烦恼 说到蚂蚁，大家对它们的第一印象就是他们每天都是很忙碌的样子，十足的工作狂。想象一下，小蚂蚁今天有任务，它得运送一块糖到它的家。可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，真是难搞。小蚂蚁希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。谁不想走得快点儿呢？ 数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简单的解决方案。无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。通过学习和应用这些理论，咱们不仅能更好地规划日常生活，还能享受到成功的喜悦。 （2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，由题意得：，， ∵底面周长为，，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 1.在圆柱表面运动中的最短路径模型 条件：如图1，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 图1 图2 2.在长方体表面运动中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在顶点时讨论方法跟第一类相同。 3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 条件：如图3，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是．      图3 图4 4.将军饮马与空间最短路径模型 条件：如图4，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 模型1.圆柱中的最短路径模型 例1（25-26八年级上·全国·期中）如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理，运用化曲为直的转化思想．解题关键是将圆柱侧面展开为矩形，明确彩带路径在展开图中是直角三角形的斜边，需准确计算水平和竖直方向的直角边长度；易错点是忽略“缠绕2圈”对水平长度的影响，导致水平边长计算错误． 首先把圆柱侧面沿高展开成矩形，确定彩带缠绕2圈后，水平方向长度为底面周长的2倍（米），竖直方向长度为圆柱的高（4米）．其次此时彩带的最短路径为展开图中直角三角形的斜边，根据勾股定理计算斜边长度：米．最后对比选项，得出答案为C． 【详解】解：圆柱高米，彩带缠绕2圈，因此展开后竖直方向的总高度为4米； 底面周长为米，缠绕2圈后，水平方向的总长度为米． 将圆柱侧面展开后，彩带的路径可看作直角三角形的斜边，其中： 水平直角边：3米， 竖直直角边：4米， 根据勾股定理，斜边（彩带长度）为： 米． 故选：C． 例2（25-26八年级上·重庆·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键． 把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：D． 例3（25-26八年级上·重庆·月考）如图，圆柱的底面周长为，AC是底面圆的直径，高，点P 是上的中点．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 【答案】 【分析】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 首先画出圆柱的侧面展开图，根据高，，在中，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：侧面展开图如图所示， 圆柱的底面周长为， ， ， 在中， ， ． 故答案为：． 例4（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开−−−最短路径问题．如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，过作交的延长线于D，则四边形为矩形，连接交于F，则即为最短距离． ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处， ∴，， ∴在直角中，． 故答案为：． 例5（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，如图， 由题意得， ， 故这只蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ，此时蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短，最短路程为的长， ， ∴， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 模型2.长方体中的最短路径模型 例1（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．米 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．昆虫有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的路径． 【详解】解：由题意得， 路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ∵， ∴5为最短路径． 故选：C． 例2（25-26八年级上·山西运城·期中）如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为，高为．若一只蚂蚁从该棱柱底面的顶点处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握将立体路径转化为平面线段并运用勾股定理比较长度是解题的关键． 将四棱柱侧面展开，分两种情况得到平面图形，利用勾股定理分别计算路径长度，再比较得出最短距离． 【详解】如图，展开侧面后， 在中，，，． ∴此时距离．    如图2，展开侧面后，    在中，，，． ∴． ∵， ∴最短距离为． 故选：． 例3（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在边AB上，且，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开一最短路径问题和勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及利用展开图得出结论是解题关键． 利用平面展开图有2种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意得：，， 在展开图1中，连接，过N作，由题意得：，，， 在中，由勾股定理得， 在展开图2中，连接，易得：， 在中，由勾股定理得， 一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为． 故答案为． 例4（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上，．现在用一根细线按如图所示方式从底面顶点开始经过3个侧面连接到点，那么所用细线最短需要 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用；先将长方体的侧面展开，再根据“两点之间线段最短”和勾股定理计算得出结果即可． 【详解】解：将长方体展开，连接，如图， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上， 且， ∴， 根据两点之间线段最短，； 故答案为：． 例5（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 模型3.阶梯中的最短路径模型 例1（24-25八年级下·广东广州·期中）一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：D． 例2（2024八年级上·全国·专题练习）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ． 【答案】130cm 【分析】先画出图形平面展开图，然后根据两点之间线段最短确定最短路径，最后运用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图所示，∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm， ∴ (cm) 即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm． 故答案为：130cm． 【点睛】本题主要考查了平面展开图－最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答本题的关键． 例3（24-25八年级下·全国·月考）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理应用，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故答案为：15． 例4（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 例5（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 例1（25-26七年级上·山东青岛·期中）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题．将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将盒子侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求， 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜， ，，，， ， ， ， ， 故选：D． 例2（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为（米）． 故选：B． 例3（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______m的路程． 【答案】17 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 将半圆柱的凸起部分展平，则线段的长度为半圆周长，根据勾股定理即可解得． 【详解】解：如图，将半圆柱的凸起部分展平，得到线段、，连接． 半圆柱的底面直径为， 半圆周长为． ， ． ， 在中，． 蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：17． 例4（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 【答案】(1) (2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题、勾股定理及圆柱的体积，熟知勾股定理及能根据题意画出示意图是解题的关键． （1）利用勾股定理进行计算即可； （2）①在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可； ②在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为底面直径为，圆柱的高为， 所以容器内能放入木棒的最大长度为：； （2）解：①如图所示， ． 因为， 所以． 故答案为：15； ②如图所示， ， 所以， 所以． 在△中， ， 所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为． 故答案为：20． 例5（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．小诚是一名滑板爱好者，若他从点处滑到点处，他滑行的最短距离是多少米？（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】他滑行的最短距离是米 【分析】本题考查最短路径，勾股定理．根据题意可知，型池的展开图为长方形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，长方形是型池的展开图， 根据题意可得， 连接，则的长为滑行的最短距离， 在中，，，， ∴ ∴他滑行的最短距离是米． 1．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，一圆柱形油罐的底面周长为，高为，要以点A为底端环绕油罐做一圈梯子，正好顶端在点A的正上方点B处，那么梯子最短需（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，本题的解题要点是：将圆柱的侧面展开，结合题意就可将问题转化到中，这样就可利用“勾股定理”求出的长度，从而得到梯子的最短长度．先把圆柱的侧面展开得到一个长方形，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：将圆柱形油罐的侧面展开如图所示， 由题意可知，在中，， ∴由勾股定理可得：， ∴梯子最短需要． 故选：C． 2．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，圆柱的底面圆的周长为，高为，一只蚂蚁沿外壁从点A爬行到上边缘与之正相对的点B最少要爬行（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将圆柱体展开如图： 由题意，，， ∴，即蚂蚁沿外壁从点A爬行到上边缘与之正相对的点B最少要爬行； 故选D． 3．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点爬到盒顶的点，则蚂蚁要爬行的最短路程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立体图形表面最短路径问题，运用转化思想，将长方体侧面展开为平面，利用勾股定理计算路径长度，关键是正确展开侧面并确定直角边长度，易错点是展开方式错误导致直角边长度计算失误；解题思路：将长方体不同侧面展开，分别用勾股定理计算路径长度，比较后得出最短距离即可． 【详解】解：将 “点所在的面” 与 “顶点所在的面” 展开成平面， 情况1：如图， 水平方向的长度为， 垂直方向的高度为， 路径长， 情况2：如图， 水平边长为， 竖直边长为， 路径长， ∵， ∴蚂蚁要爬行的最短路程是， 故选：D． 4．（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为（    ）（杯壁厚度不计） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故选： A． 5．（25-26八年级上·河南郑州·月考）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为、和，在罐内点E处有小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，然后将长方体放到一个平面内，进行分类讨论，利用勾股定理进行求解． 把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：若蚂蚁从平面和平面经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离，如图1， 由题意可得：，， ； 若蚂蚁从平面和平面经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离，如图2， 由题意可得：，，， ； ∵， ∴最短距离为． 故选：C． 6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管外表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、圆柱的侧面展开图，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 根据题意先画出圆柱的侧面展开图，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将圆柱体的侧面展开，过点作于点，连接， 由题意得，， ∵钢管横截面的周长为， ∴， ∴， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是． 故选：B． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故选：C． 8．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 （    ）厘米． A．10 B．15 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最短问题：过C作于Q，作A关于的对称点，连接交于P，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：将圆柱体展开，过C作于Q，作A关于的对称点，连接交于P，连接， 则：，的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 由题意，得：， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 即：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15厘米； 故选B． 9．（25-26八年级上·山东青岛·期中）我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长 ． 【答案】29 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够把实际问题抽象成数学问题是解题的关键； 由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按如图所示的方法，转化为平面图形利用勾股定理来解决． 【详解】解：如图在中，由勾股定理得 ∵ ∴ ∴这根藤条有29尺． 故答案为：29． 10．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是．将圆柱沿将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 （取3）；经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．当蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等，则 ．（取3） 【答案】 15 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意得最短路径“路线二”为线段的长，则有，根据勾股定理可进行求解；由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得最短路径“路线二”为线段的长，底面圆的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为15；． 11．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆形，一只蚂蚁从点A爬过管道到达点C，需要走的最短路程是 分米（结果化为最简二次根式）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用－最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：把圆柱侧面展开，如图， 则分米，分米， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得，分米， ∴需要走的最短路程是分米， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）“春节”是我国传统节日中最重要的一个节日，在春节期间有很多习俗，如贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放鞭炮等．为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长的彩灯，按如图方式缠绕在圆柱体柱子上，且柱子的底面周长为，则柱子高是 ． 【答案】/3米 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握圆柱的平面展开图，根据勾股定理求解．结合已知条件，根据圆柱的平面展开图，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图为该圆柱的平面展开图，则，，， ∴， ∴， 即柱子高为． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·湖北黄石·月考）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图，解题的关键是：该圆柱的侧面展开，作A关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，、和的长度满足勾股定理，据此求解． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作A关于的对称点， 则，， 连接，则即为最短距离， 在直角中， 由勾股定理得： ， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为 m． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据题意可得，，，线段即为滑行的最短路线长．在中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长． 【详解】解：将半圆面展开可得： ， 在中，， 即滑行的最短路线长为， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，截面中可供滑行部分的半圆弧长为，边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，．一滑板爱好者从点滑到点，请画出形池滑行面的展开图，并求出他滑行的最短距离． 【答案】展开图见解析，滑行的最短距离为 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，先将该U形池的侧面展开，要求滑行的最短距离，根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：其侧面展开图如图： 将半圆面展开可得：，， 在中，． 即滑行的最短距离为． 16．（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用，长方体的体积以及侧面展开图． （1）根据长方体体积的计算方法求出长方体的长、宽、高，再根据勾股定理进行计算即可； （2）将4个侧面展开后由勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：能，理由如下 设这个长方体的长为，则宽为，高为，由题意得，， 解得， 即正方体的长为，宽为，高为， 如图1，连接，，此时，是能放进盒中最长长度， 因此一条长的铁丝可以不弯折完全放进去； （2）解：将图2的四个侧面展开后如图所示， 此时， 所需金线的最小长度为 17．（24-25八年级下·广西百色·期中）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取） (1)如图，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图．请在图中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是________；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径________（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度．路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________；表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径与圆柱的高度的数量关系． 【答案】(1)蚂蚁的爬行路径作图见解析，，Ⅱ； (2)，；，； (3)圆柱半径与圆柱的高度的数量关系为． 【分析】本题考查了最短路径，勾股定理，解题的关键是找出两种路径对应路程的表达式． （1）计算展开图中线段的长度，用勾股定理计算路径Ⅱ对应的路程，与路径Ⅰ对应的路程比较即可； （2）计算展开图中线段的长度，用勾股定理计算可得的值，与进行比较即可得表示的大小关系，由圆柱高与底面直径相加可得的值，与进行比较即可得表示的大小关系； （3）用圆柱的半径和高分别表示出两种路径对应路程，列方程，化简整理即可． 【详解】（1）解：如图，线段为蚂蚁爬行的路径Ⅱ， ∵图中，圆柱体的高，底面直径， ∴图中，， ∴， ∵， ∴该蚂蚁爬行的最短路程应是路径Ⅱ， 故答案为：，Ⅱ． （2）解：， ∵， ∴表格中表示的大小关系是， ， ∵， ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，；，． （3）解：∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴蚂蚁在圆柱表面爬行路径Ⅰ的路程为，蚂蚁在圆柱表面爬行路径Ⅱ的路程为， ∵蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等， ∴， ∴， ∴， 答：圆柱半径与圆柱的高度的数量关系为． 18．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； (2)蚂蚁经过的路程最短路程为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可． 【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为， 乙设计的爬行路线长为， 丙设计的爬行路线长为， ∵， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． （2）解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， ∵， ∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为． 19．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． (1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　　厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　　厘米； (2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，解题的关键是将圆柱侧面展开，把立体图形上的最短路径问题转化为平面图形中直角三角形的斜边求解问题． （1）先根据圆柱的相关数据求出侧面展开图长方形的两条直角边的长度， （2）利用勾股定理求出展开图中连接A、B两点线段的长度，即蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】（1）解：已知圆柱的高为4厘米，圆柱侧面展开后长方形的高就等于圆柱的高，所以其中一条直角边为4厘米， 已知圆柱底面半径厘米，取3，根据圆的周长公式，则底面圆周长的一半为厘米，即另一条直角边为6厘米， 故答案为：，； （2）解：（厘米）， 答：蚂蚁从点爬到点的最短路程厘米． 20．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 21．（2024九年级上·全国·专题练习）葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （）由勾股定理即可求解； 本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （2）解：根据题意，得，， ∴ 答：它爬行一周的路程是． 22．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； (2)求该长度最短的金属丝的长； (3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 【答案】(1)A (2)20 (3)2368 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可得：所得的圆柱侧面展开图为A． 故选A． （2）解：∵圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴金属丝的长为． （3）解：根据勾股定理可得：． 23．（24-25七年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 【答案】(1)沿线段爬行；理由见解答过程 (2)D；6 (3)蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由见解答过程 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． （1）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （2）根据图形可得出最短路径为，进而得出答案即可； （3）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 【详解】（1）解：沿线段爬行；理由如下： 如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可； （2）解：如图所示： 最短路径的长度为， ，即， 如图所示： ∴路线有6条， 故选：D；6； （3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下： 如图2.1和图2.2所示作图，分别连接， 图2.1中； 图2.2中； ， 图2.2中的路径最短． 24．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 【答案】(1)，， (2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论； （2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径，，的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：将长方体表面展开， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是，，； （2）解：，即， ， 又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发， 行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达， 即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达． 25．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． (1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． (2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． 【答案】(1)见解析 (2)小虫爬行的最短路线长为． 【分析】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解． （1）作关于的对称点，连接，与交于点，此时最短； （2）为的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 作点关于所在直线的对称点， 连接，与交于点， 则为最短路线； （2）解：因为，， 所以． 在中，，，， 所以． 由对称性可知， 所以：． 所以：小虫爬行的最短路线长为． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $