专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近几年各地的考试中出现不少的几何倒角模型，属于几何题型中较难的一类题目，主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·浙江温州·二模）如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和平行线的性质与判定，灵活运用三角形内角和等于180°和平行线的判定和性质定理是解决问题的关键． （1）根据平分得到，再由等量代换推出，根据“内错角相等，两直线平行．”即可得证； （2）先根据平行线的性质求出∠B的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． （2025·湖北十堰·二模）如图，点在四边形的边的延长线上，连接交于点．已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定及性质，三角形外角的定义及性质， （1）根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得证； （2）根据两直线平行，内错角相等可得，根据三角形外角的定义及性质可得，即可得出结论； 掌握平行线的判定及性质，三角形外角的定义及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，,    (1)求证：； (2)点E在线段的延长线上，点F在线段上，EF交于点M，，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线性质及已知条件易得，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可证得结论； （2）利用平行线性质及已知条件易得，然后利用多边形内角和公式求得五边形的内角和，从而求得的度数，根据对顶角相等即可求得答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查多边形内角和及平行线的性质与判定，它们均为几何图形中重要知识点，必须熟练掌握． 例2（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，．    (1)求证：； (2)点在线段的延长线上，点在线段上，交于点，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，得，根据，等量代换，得，即可； （2）根据平行线的性质，三角形的外角和，即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线，三角形的外角和的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，三角形的外角和． 例3（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D． (1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °． (2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数． 【答案】(1)110 (2)27° 【分析】（1）由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°，进而得到∠1+∠3=60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案． 【详解】（1）解：由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D， 在△AOB中，∠A+∠B=180°∠AOB=180°70°=110°， ∴∠C+∠D=110°； （2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 又∵∠C=60°， ∴∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°， ∴2∠1+2∠3=120°， ∴∠1+∠3=60°， 由图知△ABF与△DEF为对顶三角形， ∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①， 又∵∠ADE比∠BED大6°， ∴∠ADE∠BED=6°②， 联立①②得， 解得：， ∴∠BED=27°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键． 例4（2025·湖北武汉·二模）如图，∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D＝62°，∠E＝48°． (1)求∠A的大小； (2)求∠CME的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行得到：，即可得，即∠A可求； （2）结合可得，则在△CME中即可求解答案． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ 又∵ ∴； （2）由（1）知，，则 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行的判定与性质、三角形内角和定理等知识，根据“同旁内角互补，两直线平行”证得是解答本题的关键． 例5（2025·江苏无锡·一模）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：________________； (2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； ②若，试求的度数； ③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若和∠为任意角，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①6②③存在（理由见解析）④存在， 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论． （2）①分别找到以交点M、O、N为顶点的能构成“8字形”的三角形，避免漏数． ②利用“8字形”的数量关系并结合角平分线的定义，可求出的度数． ③和②同理 ④利用“8字形”的数量关系并结合“，”即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 在中， （对顶角相等） （2）①解：以M为交点的有1个，即为和 以O为交点的有4个，即为和，和，和，和 ②解：AP平分，CP平分 由（1）中的结论得： 整理得： ③解：理由如下： AP平分，CP平分 由（1）中的结论得： 整理得： ④解：理由如下： 由（1）中的结论得： 整理得： 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练利用“8字形”模型是解决本题的关键． 模型2.“A”字模型 例1（2024·湖南邵阳·一模）如图，已知是的外角的平分线，且交于点F，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．由得出，再由角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质得到，代入数据即可求得的度数． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 例2（2025·吉林长春·二模）如图，在四边形中，已知平分，，的延长线交的延长线于F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）根据角平分线的定义，结合已知证明，然后根据平行线的判定可得结论； （2）先根据平行线的性质求得，进而求得，然后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 例3（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图所示，已知、分别是与的平分线，过点且与平行． (1)若，，求的大小； (2)若，求的大小； (3)直接写出与的关系是______用表示出来) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和公式，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和公式，角平分线定义是解题关键． （1）根据角平分线定义求出，，然后利用三角形内角和公式求解即可； （2）根据，结合三角形内角和得出，然后根据角平分线得出，，再利用三角形内角和得出即可； （3）先根据平分线定义得出，，然后根据三角形内角和公式得出，再利用表示即可． 【详解】（1）解：∵、分别是与的平分线， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵、分别是与的平分线， ∴，， ∴ ； （3）解：∵、分别是与的平分线， ∴，， ∴． 故答案为：． 例4（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，，，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和公式，三角形外角性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）由，得到，推出，进而得到，从而证得； （2）利用垂直及三角形外角求出的度数，根据等边对等角及平行求出，得到的度数，再根据三角形内角和公式求出的度数． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例5（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，于点D，于点G．    (1)求证； (2)若，若平分，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质、角平分线定义、直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：， ． 又，， ， ． ． ． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 模型3.三角板模型 例1（24-25七年级下·福建漳州·期中）把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若，试说明． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了了平行线的判定，三角形内角和定理，三角板的性质，由题意可知，，，根据三角形内角和定理得到，从而得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：如图： 由题意可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 例2（24-25八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板的两块直角三角尺的直角顶点C重合，其中，，． (1)如图1，与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图2，三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当平行时，求的度数； (3)三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当与三角尺的一边平行时，请直接写出的所有可能的度数． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，图形的旋转等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）由得出，，进一步得出结果即可； （2）当点和在点C异侧时，延长，交于F，可得出，从而得出，当和在点C同侧时，设交于G，可得出，从而得出∠； （3）分为，同理（2）可得是两种情形；当与时，也是分别两种情形，同理（2）得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图， 延长，交于F， ， ， ， 如图2-2， 设交于G， ， ， ， 综上所述：当时，或； （3）当时， 如图3-1， ， ， 如图3-2， ， ， 当时， 如图3-3， ， ， 如图3-4， ， 由（2）知， 当时，或， 综上所述：或或或或或． 例3（24-25七年级下·河北石家庄·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点与点重合，求的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线性质、三角形内角和定理，准确找到各个角度是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）延长交于点．根据三角尺得到角度，根据两直线平行，同旁内角互补可得到，再根据三角形内角和可求得结果； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， 即DE平分． （3）延长交于点． 由题可得：，，， ， ， ， ． 例4（24-25七年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，勤思小组的同学们利用两条直线（点M始终位于点N的左侧，点P始终位于点Q的左侧）和含30°角的直角三角板进行了如下探究活动：将三角板中60°角的顶点B放在直线上，过30°角的顶点．作直线的平行线，直线始终位于直线的上方． 探究发现： （1）如图1，若，则的度数为________°． （2）若直角三角板的直角顶点C位于直线与之间． ①如图1，若的角度未知，试猜想和之间存在的数量关系，并说明理由； ②如图2，将三角板沿直线向右平移，使直角顶点恰好落在上，得到三角形（点的对应点分别为），连接．若，请求的度数． 深入探究： （3）若直角三角板的直角顶点不在直线与之间，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）30；（2）①与互余，理由见解析；②；（3）． 【分析】本题考查了直线平行的性质、图形平移的性质及三角形外角的性质，解题关键是： （1）利用即可求解； （2）①延长交于R，利用即可求解；②利用图形平移的性质及三角形外角的性质即可求解：； （3）作出图象，利用直线平行的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：30； （2）①猜想：与互余，理由如下： 如图， 延长交于R， ， ， ， ∴， ， 即与互余； ②由平移的性质可知，，， ， ； （3）（i）如图， ∵， ， 即； （ii）如图， 设与交于T， 同理，， 即； 综上，． 例5（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）45，75（2）或（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）当时，有则， 当时，，即可解答； （2）分类讨论： ①当时，②当时，③当时， 逐一分析，即可解答； （3）令与的交点为M， 与的交点为N，推导出，，继而推导出，即可解答． 【详解】解：（1）当时，如图，有 ∴． 当时，如图，有 ∴． 故答案为：45，75． （2）①当时，如图，有 ， ∵，， ∴， 解得， ∴． ②当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 即， 解得． ③当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． （3）不变化，理由如下： 令与的交点为M， 与的交点为N，如图 ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 1．（24-25八年级上·湖北黄石·开学考试）一个六角星，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得，，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得：，， ∴； 由三角形外角性质可得：，， ∴； ∴． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为边，上两点，且是的角平分线．若，，则 ． 【答案】48 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，牢记“三角形内角和是”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ．， 是的角平分线， ． 在中，，， ， 故答案为：48． 3．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，分别是延长线上的点，连接与交于点．下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质定理，解题的关键是熟练掌握以上性质定理． 利用平行线的判定和性质定理，及三角形外角的性质定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，该选项正确，符合题意； ②根据已知条件无法得出，该选项错误，不符合题意； ③∵， ∴， 又∵， ∴，该选项正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； 故答案为：①③④． 4．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，与是一副叠放在一起的三角板，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与三角板有关的角度计算，三角形外角性质，正确计算是解题的关键． 由外角性质求出，即可再根据外角性质得到． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，平分交的延长线于点，交于点，，过点作交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据角平分线的定义可得，运用三角形外角的性质可得，最后利用角的和差以及垂直的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．（24-25九年级下·广东阳江·阶段练习）如图，直线，将一个含角的直角三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，根据，可得，再利用平行线的性质得到，即得到，再利用三角形外角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）阅读并填空，将三角尺（，）放置在上（点在内），如图所示，三角尺的两边、恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系． （1）特例探索：若，则 度； 度； （2）类比探索：、、的关系是 ； （3）变式探索：如图所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，则、、的关系是 ． 【答案】 90 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形内角和定理和外角性质是解题的关键． （1）先在中利用三角形内角和定理求出，再在中求出，最后通过两者相减得到． （2）通过三角形内角和定理，将和用和表示，进而推导出与的关系． （3）利用三角形外角性质，将和用、和表示，再结合推导出与的关系． 【详解】解：（1）在中，， ． 在中，， ． ． 故答案为：；． （2）在中， 三角形内角和为， ． 在中，， 三角形内角和为， ． ． 故答案为：． （3），， ，， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，直线被直线所截，连接平分，平分，点C是线段上异于点B的点，连接交于点N，且，连接交于点M，已知以下结论：①；②；③；④其中所有正确结论的序号有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 由角平分线的定义，结合可判断①正确；由，可判断②正确；由平行线的判定与性质和角平分线的定义得，从而可判断③正确；是的外角，从而可判断④错误． 【详解】解：平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ， ∴， 又∵， ∴， ，故②正确； ， ∴， 平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵是的外角， ∴，故④错误． 故答案为：①②③． 9．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，平分交于点，过点作交于点，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答． 根据三角形内角和得出，利用角平分线得出，再利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：，， ， 平分交于点， ， ， ． 10．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知，如图，是的角平分线，且交于E点，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质及角平分线的定义和平行线的性质，根据三角形的外角的性质可得，．再根据角平分线的定义可得，，根据两直线平行，内错角相等得的度数． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 11．（2025七年级下·河南洛阳·竞赛）如图，在中，是的角平分线交于点D，，交于点E，，，求各内角的度数． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 由角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，易得；再根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和可得即可解答． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，，． 12．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在上，连接，于点，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由垂直的定义得，即得，进而得到，即可求解； （）利用余角性质可得，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，平行线的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（）知：， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）已知如图：，E、F分别在、延长线上．，，． (1)猜想：与的位置关系，并说明理由． (2)求的大小． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）由，得到，而，因此，即可证明； （2）由，得到，由直角三角形的性质得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质与判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）（1）如图1，在中，、的平分线，相交于点F，，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若， ①求的度数； ②求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．本题也考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理求出即可； （2）①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，根据角平分线的定义可得，，然后整理得到再代入数据计算即可得解； ②作于E，于F，于G，根据角平分线的性质与判定可得平分，再根据角平分线的定义可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵、的平分线相交于点F， ∴，， ∴； （2）①在中，， 在中，， ∵、分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． ②作于E，于F，于G，如图： ， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴平分， ∴． 16．（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）如图，已知，，． (1)若，求； (2)思考：与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由三角形内角和定理求出，再由平行线的性质可得，最后再由并结合三角形内角和定理计算即可得解； （2）先由三角形内角和定理求出，再由平行线的性质可得，最后再由并结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据同角的补角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用平行线的判定即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 18．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理的综合，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据，等量代换可得，再根据平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”即可求解； （2）先证明，得出，结合，求出，根据，得出，即可求出，再根据三角形内角和定理进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据平行线的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得； （2）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已得：， ∴． 20．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知：直线，三角板中，． (1)如图，三角板的顶点落在直线上，并使与直线相交于点，若，则的度数 ； (2)如图，当三角板的顶点落在直线上，且顶点仍在直线上时，与直线相交于点，试确定、、的数量关系； (3)如图，当三角板的顶点落在直线上，顶点在之间，而顶点恰好落在直线上时得，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且． 探求：与的数量关系，并说明理由； 求证：． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析；证明见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用两直线平行，同位角相等和平角的意义解答即可； （）利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论解答即可； （）设，利用平行线的性质和角平分线的定义即可求证； 在中，通过计算得，利用同位角相等，两直线平行判定即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（24-25七年级下·浙江金华·期末）一副三角板按如图方式摆放，在边上，． (1)求的度数． (2)如图2，点G，P分别在线段，上，连结，，． ①当，平分时，请说明的理由． ②记，，．若，求，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）过点D作，得到，由平行线的性质得到，，进而求解即可； （2）①如图所示，延长交于点H，首先求出，然后利用三角形外角得到，推出，然后得到即可证明； ②首先得到由三角形外角的性质，然后得到，结合等量代换求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作 ∵ ∴ ∴， ∴； （2）解：①如图所示，延长交于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴； ②∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，三角形外角的性质角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）小宁与小波两位同学在学习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图2所示摆放，其中，，，点A，B在直线上，点D，E在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小宁将三角板向右平移． (1)如图1，当点F落在线段上时，求的度数． (2)如图2，在三角板向右平移过程中，连结（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记． ①当点F在右侧时，试探究与的数量关系． ②小宁发现，当点F在左侧时，与的数量关系将发生改变，那么此时与的数量关系是______． (3)思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点D以每秒的速度逆时针旋转，设时间为t秒，，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)30或40或50 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． （1）延长交直线于点，由平行线的性质得，再根据三角形外角性质可得结论； （2）①延长交于点G，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论； ②延长交于点，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论； （3）分、和三种情况，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可． 【详解】（1）解：延长交直线于点，如图， ， ∵，且， ∴， 又， ∴， （2）解：①延长交于点G，如图， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长交于点，如图， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：①当时，延长交于点，交于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时，延长交于，交于点，如图， 则， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：； ③当时，作直线分别交于点，如图， ， 则， ∴， 又， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， 综上，的值为30或40或50． 23．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图1，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．      【特例初探】 （1）在图1中，______，______． 【技能提升】 （2）把三角板如图2放置，线段与相交于点H，当时，求的值． 【综合运用】 （3）将三角板如图3放置，使点恰好落在边上，现将射线绕点B以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交于点P．当时，求的度数． ②在旋转过程中，当时，求出此时的值．    【答案】（1），；（2）；（3）①；②存在，9或45 【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的定义、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握平行线的性质定理并能熟练应用是解题的关键． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质以及三角形的外角性质求解即可； （2）先求得，同（1）的方法求解即可； （3）①设，得到，，由角的和差和三角形的外角性质可得答案；②分两种情况，根据平行线的性质列方程可解得答案． 【详解】解：（1）∵且， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； （2）三角板是一块含的直角三角板   ， ， ， ∵， ， ， ， 是的外角， ， ； （3）①如图，根据题意得：，， 设，   ，， ∵， ，， ， ； ②存在，理由如下： 依题意得，， 情况一：如图   ，， ， ， ， 解得， 情况二：如图   ， ， ， 解得， 综上所述，的值为9或45． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近几年各地的考试中出现不少的几何倒角模型，属于几何题型中较难的一类题目，主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·浙江温州·二模）如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． （2025·湖北十堰·二模）如图，点在四边形的边的延长线上，连接交于点．已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，,    (1)求证：； (2)点E在线段的延长线上，点F在线段上，EF交于点M，，，直接写出的度数． 例2（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，．    (1)求证：； (2)点在线段的延长线上，点在线段上，交于点，若，，直接写出的度数． 例3（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D． (1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °． (2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数． 例4（2025·湖北武汉·二模）如图，∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D＝62°，∠E＝48°． (1)求∠A的大小； (2)求∠CME的大小． 例5（2025·江苏无锡·一模）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：________________； (2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； ②若，试求的度数； ③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若和∠为任意角，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 模型2.“A”字模型 例1（2024·湖南邵阳·一模）如图，已知是的外角的平分线，且交于点F，，，求的度数． 例2（2025·吉林长春·二模）如图，在四边形中，已知平分，，的延长线交的延长线于F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 例3（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图所示，已知、分别是与的平分线，过点且与平行． (1)若，，求的大小； (2)若，求的大小； (3)直接写出与的关系是______用表示出来) 例4（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，，，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 例5（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，于点D，于点G．    (1)求证； (2)若，若平分，直接写出的度数． 模型3.三角板模型 例1（24-25七年级下·福建漳州·期中）把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若，试说明． 例2（24-25八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板的两块直角三角尺的直角顶点C重合，其中，，． (1)如图1，与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图2，三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当平行时，求的度数； (3)三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当与三角尺的一边平行时，请直接写出的所有可能的度数． 例3（24-25七年级下·河北石家庄·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点与点重合，求的度数． 例4（24-25七年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，勤思小组的同学们利用两条直线（点M始终位于点N的左侧，点P始终位于点Q的左侧）和含30°角的直角三角板进行了如下探究活动：将三角板中60°角的顶点B放在直线上，过30°角的顶点．作直线的平行线，直线始终位于直线的上方． 探究发现： （1）如图1，若，则的度数为________°． （2）若直角三角板的直角顶点C位于直线与之间． ①如图1，若的角度未知，试猜想和之间存在的数量关系，并说明理由； ②如图2，将三角板沿直线向右平移，使直角顶点恰好落在上，得到三角形（点的对应点分别为），连接．若，请求的度数． 深入探究： （3）若直角三角板的直角顶点不在直线与之间，请直接写出和之间的数量关系． 例5（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 1．（24-25八年级上·湖北黄石·开学考试）一个六角星，其中，则 ． 2．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为边，上两点，且是的角平分线．若，，则 ． 3．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，分别是延长线上的点，连接与交于点．下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中所有正确结论的序号为 ． 4．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，与是一副叠放在一起的三角板，则 ． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，平分交的延长线于点，交于点，，过点作交于点，则的度数为 ． 6．（24-25九年级下·广东阳江·阶段练习）如图，直线，将一个含角的直角三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为 ． 7．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）阅读并填空，将三角尺（，）放置在上（点在内），如图所示，三角尺的两边、恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系． （1）特例探索：若，则 度； 度； （2）类比探索：、、的关系是 ； （3）变式探索：如图所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，则、、的关系是 ． 8．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，直线被直线所截，连接平分，平分，点C是线段上异于点B的点，连接交于点N，且，连接交于点M，已知以下结论：①；②；③；④其中所有正确结论的序号有 ． 9．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，平分交于点，过点作交于点，，，求的度数． 10．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知，如图，是的角平分线，且交于E点，，，求的度数． 11．（2025七年级下·河南洛阳·竞赛）如图，在中，是的角平分线交于点D，，交于点E，，，求各内角的度数． 12．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在上，连接，于点，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 13．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）已知如图：，E、F分别在、延长线上．，，． (1)猜想：与的位置关系，并说明理由． (2)求的大小． 14．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求的度数． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）（1）如图1，在中，、的平分线，相交于点F，，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若， ①求的度数； ②求的度数． 16．（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）如图，已知，，． (1)若，求； (2)思考：与有怎样的数量关系，并说明理由． 17．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 18．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 19．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 20．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知：直线，三角板中，． (1)如图，三角板的顶点落在直线上，并使与直线相交于点，若，则的度数 ； (2)如图，当三角板的顶点落在直线上，且顶点仍在直线上时，与直线相交于点，试确定、、的数量关系； (3)如图，当三角板的顶点落在直线上，顶点在之间，而顶点恰好落在直线上时得，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且． 探求：与的数量关系，并说明理由； 求证：． 21．（24-25七年级下·浙江金华·期末）一副三角板按如图方式摆放，在边上，． (1)求的度数． (2)如图2，点G，P分别在线段，上，连结，，． ①当，平分时，请说明的理由． ②记，，．若，求，，之间的数量关系． 22．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）小宁与小波两位同学在学习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图2所示摆放，其中，，，点A，B在直线上，点D，E在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小宁将三角板向右平移． (1)如图1，当点F落在线段上时，求的度数． (2)如图2，在三角板向右平移过程中，连结（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记． ①当点F在右侧时，试探究与的数量关系． ②小宁发现，当点F在左侧时，与的数量关系将发生改变，那么此时与的数量关系是______． (3)思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点D以每秒的速度逆时针旋转，设时间为t秒，，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 23．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图1，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．      【特例初探】 （1）在图1中，______，______． 【技能提升】 （2）把三角板如图2放置，线段与相交于点H，当时，求的值． 【综合运用】 （3）将三角板如图3放置，使点恰好落在边上，现将射线绕点B以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交于点P．当时，求的度数． ②在旋转过程中，当时，求出此时的值．    16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $