专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

专题05相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 16 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知在中，，，，为边上的一点．过点D作射线，分别交边、于点、． 问题发现（1）如图1，当为的中点，且，时，______； （2）若为的中点，将绕点D旋转到图2位置时，______； 类比探究（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程； 问题解决（4）如图3，连接，当______时，与相似．    例2（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D，．∵点 E 是的中点，． ，．是等边三角形．， ．．又，． ．即若点E是的中点，则点F也是的中点． 反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 例3（2025·内蒙古呼和浩特·二模）问题背景:人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点（又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形绕点怎样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 类比探究：将正方形沿方向平移. 【实验猜想】将点平移到的中点时，如图2，于点，于点，请你猜想并直接写出的值. 【拓展运用】将点平移到线段上的任意点（不与，重合）时，记.（1）如图3，求证：；（2）如图4，点在边上（不与，重合），连接并延长与的延长线交于点，当且时，求的值. 例4（24-25江西九年级期中）如图，两个全等的四边形和，其中四边形的顶点O位于四边形的对角线交点O． (1)如图1，若四边形和都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号） ①；②重叠部分的面积始终等于四边形的；③． (2)应用提升:如图2，若四边形和都是矩形，，写出与之间的数量关系，并证明． (3)类比拓展:如图3，若四边形和都是菱形，，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用表示），并选取你所写结论中的一个说明理由． 例5（24-25成都市·九年级专题练习）已知在中，，，点在上，且．  当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由； 当，①点、分别在线段 、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明．②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明） 例6（24-25九年级下·河南·阶段练习）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F． (1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由； (2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值． 例7（2024·吉林长春·模拟预测）在菱形中，是对角线上一点． 【感知】如图①，过点作交于点，作交于点，易证．（不需要证明） 【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结．（1）判断的形状，并说明理由； （2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______． 【拓展】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结，当，，且时，线段的长为______． 1．（2023·浙江·中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（    ）    A． B． C．2 D．1 2．（2025·浙江舟山·一模）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在边上，．若，，，则的长为 ． 3．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究：（1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    4．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且． 【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 5．（2025·福建厦门·模拟预测）【探究发现】（1）如图①，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），则与之间满足的数量关系是________； 【类比应用】（2）如图②，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，在四边形中，平分，，，过点作，交的延长线于点．若，，求的长．    6．（24-25九年级·重庆·专题练习）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 7．（24-25·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：． 8．（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 9．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究： 【问题发现】数学课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转． （1）在图1中，线段，之间的数量关系是______； 【类比迁移】（2）如图2，矩形对角线相交于点O，点O又是矩形的一个顶点，且这两个矩形全等，矩形可绕点O旋转．边与AB相交于点E，边与相交于点F，猜想，，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，直角的顶点O在边的中点处，可绕绕点O旋转．它的两条边，分别交，于点E，F，若，求OE的长． 10．（24-25九年级上·江西新余·期末）（1）【探究发现】如图1，正方形的两条对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形 绕点O旋转的过程中，边 交边于点M，边 交边点 N．①线段，，之间满足的数量关系是 ； ②四边形与正方形的面积关系是 ． （2）【类比探究】如图2，若将（1）中的“正方形 和正方形 ”分别改为“含 角的菱形和菱形”，即 ，且菱形 与菱形的边长相等，当菱形 绕点O旋转时，保持边交边于点M，边 交边于点N． 猜想：①线段，与之间的数量关系是 ；②四边形与菱形的面积关系是 ．请你证明其中的一个猜想．（3）【拓展延伸】如图3，把（2）中的条件“ ”改为“ α”，其他条件不变，求 的值．（用含α的式子表示） 11．（2024·江西·校考一模）问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点． 问题探究：（1）在旋转过程中，①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为_______________（直接写出结论，不必证明） （2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由． 图1               图2                  图3 12．（24-25九年级上·河南开封·期末）探究式学习是数学学习的重要方式，是培养创新性人才的重要途径．数学课上，张老师出示如下题目，请同学们尝试以下探究． 在中，，，D是边上一点，是边上的一动点，作射线，将射线绕点顺时针旋转与边所在的直线交于点． 【初步感知】（1）数学探究小组发现，当点为的中点时，如图①，易得出线段，的数量关系为_____；他们进一步发现线段，，也有一定的数量关系，则，的数量关系为_____． 【深入探究】（2）数学探究小组继续研究，如图②，当点为靠近点A的的三等分点时，线段，，之间也有一定的数量关系，请写出线段，，之间的数量关系，并证明； 【思维拓展】（3）如图③，在（2）的条件下，连接，设的中点为，若，点从点向点方向移动的过程中，直接写出点运动的路程长度． 13．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）已知在中，，，，为边上的一点．过点D作射线，分别交边、于点、． 问题发现（1）如图1，当为的中点，且，时，______； （2）若为的中点，将绕点D旋转到图2位置时，______；    类比探究（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程； 问题解决（4）如图3，连接，当______时，与相似． 14．（2025·湖北孝感·二模）综合与实践 【问题情境】在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N． 【猜想证明】（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 15．（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． (1)如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． (2)如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． (3)在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 16．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，四边形为矩形，，，分别为，边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边（或直角边所在直线）分别与矩形的边交于点，． (1)操作发现：如图1，当三角板的一条直角边交于点，另一条直角边交于点时，求证：． (2)深入探究：如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小贤发现，试说明理由． (3)拓展探究：在（2）的条件下，若，，求的长度． 17．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． 【探究证明】求证：； 【特例分析】若，，为的中点，求的长． 【衍生拓展】（2）如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值． 18．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在中，为边上一点，射线分别交于点．(1)如图1，是等边三角形，点与点重合，若，则_____． (2)如图2，是等边三角形，是的中点，，求证：． (3)如图3，是的中点，，求的值．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 16 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析；③；(2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，连接BE．①当时，为中点， 是等腰直角三角形，， 又，，， 在和中，，； ②；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ． ③；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ；如图所示，当且，点F在上 ∴是等腰直角三角形∴设，则 ∴ ∴ 由题意得，∴ ∴当时，和没有交点; ∴的取值范围是； （2）解：存在．由【探究一】中（2）知当时，； 设，则，， 当时，与重合时，面积取最小， ，是等腰直角三角形，，，，，， 在等腰中，，当时，；当时，取得最大， ，，， 在中，，，此时面积最大，． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知在中，，，，为边上的一点．过点D作射线，分别交边、于点、． 问题发现（1）如图1，当为的中点，且，时，______； （2）若为的中点，将绕点D旋转到图2位置时，______； 类比探究（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程； 问题解决（4）如图3，连接，当______时，与相似．    【答案】（1）2；（2）2；（3）；（4）或 【详解】解：（1），，，，， 点是的中点，，是的中位线， ，，则，故答案为：2； （2）如图2，过点作于点，作于点，          则，，即， ，，即， ，，，由（1）知，，，故答案为：2； （3）如图3，过点作于点，于点， ，，， 四边形是矩形，，，，，， ，，，，，， ，，同（2）的方法知，知，； （4）如图3，连接，在中，由勾股定理得：， ，与相似有如下两种情况： （Ⅰ），则，由（3）可知，，整理，得：，即，， （Ⅱ），则，由（3）可知，，整理，得：，； 综上，当或时，与相似；故答案为： 或． 例2（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D，．∵点 E 是的中点，． ，．是等边三角形．， ．．又，． ．即若点E是的中点，则点F也是的中点． 反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）若点E是 的中点，则点F也是 的中点，理由见解；（2）成立，理由见解；（3）若点E是上任意一点，（2）中的结论仍然成立，理由见解． 【详解】解：（1）于点D，， ∵点E是的中点，，， ，，， 又，， ，，即点F是的中点； （2）旋转过程中，若，那么等式成立． 理由如下：，∴四边形是矩形， ，，，； （3）若点E是上任意一点（如图4），（2）中的结论仍然成立． 理由如下：，， ，，同理证得，则，，同理证得， 则，，即． 例3（2025·内蒙古呼和浩特·二模）问题背景 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点（又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形绕点怎样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 类比探究：将正方形沿方向平移. 【实验猜想】将点平移到的中点时，如图2，于点，于点，请你猜想并直接写出的值. 【拓展运用】将点平移到线段上的任意点（不与，重合）时，记.（1）如图3，求证：；（2）如图4，点在边上（不与，重合），连接并延长与的延长线交于点，当且时，求的值. 【答案】实验猜想：3；拓展应用：（1）见解析；（2） 【详解】解：实验猜想：∵四边形是正方形，∴，， ∵为的中点，∴，∴， ∵于点，于点，∴， ∴，∴,∴； 拓展运用：（1）证明：过点P作，，垂足分别为点M和点N， ∵点P在正方形的对角线上，∴和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴四边形是矩形，∴，∵四边形是正方形，， ∴，∴， ，∴，∴ （2）过点P作交于点E，于点M，于点N， ，，∴， ∴，即，同理：， ∵，∴，∵，∴，∴， 设，则，设，则， ∵，，则， ∵，，解得：，则，． 例4（24-25江西九年级期中）如图，两个全等的四边形和，其中四边形的顶点O位于四边形的对角线交点O． (1)如图1，若四边形和都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号） ①；②重叠部分的面积始终等于四边形的；③． (2)应用提升:如图2，若四边形和都是矩形，，写出与之间的数量关系，并证明． (3)类比拓展:如图3，若四边形和都是菱形，，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用表示），并选取你所写结论中的一个说明理由． 【答案】(1)①②③(2)关系为，证明见解析 (3)①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．证明①的过程见解析 【详解】（1）如图，在图1中，过点O作于点H,于点G ∵于点H, 于点G∴ ∵四边形和都是正方形∴∴ ∵,∴ 在和中∴∴故①正确 ∵∴∴故②正确 ∵四边形是正方形∴ ∴故③正确 （2）关系为，证明如下：如图，在图2中，过点O作于点H,于点G ∵于点H, 于点G∴ ∵四边形和都是矩形∴ ∵,∴ 在和中∴；∴ （3）（1）中结论，①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．现证明①如下： 如图，在图3中，过点O作于点H,于点G ∵于点H, 于点G∴ ∵四边形和都是菱形∴∴ ∵,∴ 在和中∴∴ 例5（24-25成都市·九年级专题练习）已知在中，，，点在上，且．  当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由； 当，①点、分别在线段 、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明．②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明） 【答案】（1），理由见解析；①，理由见解析；②成立． 【详解】（1）， 理由：如图，作，∵，∴， ∴四边形是矩形，∴ ∴的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∵，在中，， ∴，即． ，如图 在中，过点于点 ∴四边形是矩形，∴∴， 又∵中， ∴∴ ∵ ∴，即： ②如图，成立． 例6（24-25九年级下·河南·阶段练习）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F． (1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由； (2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②仍然成立；理由见解析(2)或 【详解】（1）解：①DE=DF； ∵△ABC为等边三角形，∴，∵点D为BC的中点，∴， ∵DE⊥AB，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴DE=DF；故答案为：DE=DF； ②DE=DF仍然成立；将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示： ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，为等边三角形，∴， ∵，，∴， ∴，∴DE=DF； （2）①当点E在A、B两点之间时，将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示： 设等边三角形的边长为a，∵AE:BE=3:2，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，为等边三角形，∴， ∵，，∴，∴， ，∴，∴， ∴，∴； ②点E在B点下方时，将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示： 设等边三角形的边长为a，∵AE:BE=3:2，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴∴，为等边三角形， ∴，即，∴， ∵，，∴， ∴，，∴， ∴，∴，∴； 综上分析可知，的值为或4． 例7（2024·吉林长春·模拟预测）在菱形中，是对角线上一点． 【感知】如图①，过点作交于点，作交于点，易证．（不需要证明） 【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结．（1）判断的形状，并说明理由； （2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______． 【拓展】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结，当，，且时，线段的长为______． 【答案】[应用]（1）是等边三角形，理由见解析；（2）；[拓展] 【详解】解：[应用]（1）是等边三角形，理由如下： ∵四边形是菱形，，∴， ∵，∴， ∴点、、、共圆，∴，，∴是等边三角形； （2）当时，的边长最小，的面积最小，此时， ∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴，故答案为：； [拓展]如图，由（1）可得：是等边三角形，∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， ∴，是等边三角形， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，解得：或（负值不符合题意，舍去）， 作于，∴， ，∴， ∴，故答案为：． 1．（2023·浙江·中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形，，，， ，， ， 点四点共圆，在以为直径的圆上，如图，连接，    由圆周角定理得：，，， ，， 在和中，，， ，，故选：A． 2．（2025·浙江舟山·一模）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在边上，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在上取一点F，使，连接， 平分，，，， ，，， ，，即， ，即，，，， ，，， ，，， ，，又，， ．故答案为：． 3．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究： （1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    【答案】 /度 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵为的中点，∴，∴，∴， ∵，，∴四点在同一个圆上，∴；      （2）如图2，过点分别作于点，作于点 ，则有： ， ∴，∴，∵∴，∴， ∵，，∴又∵，∴，则有 ，即． ∵，∴，即，∵，∴，即． 4．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且． 【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；；（） 【详解】（）证明：连接，∵，，且当时，， ，，，， ，，∴∠EDF，， 在和中，，∴， ， ，即； （），理由如下：过点作于，于， ，，， ，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ，，设，则，，，， ，，，四边形是矩形， ，， 又，，，， ； 如图4，当点在射线上时，过点作于，于， ，，，，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ∴，，设，， ，，，，，， 四边形是矩形，，， 又，，，， ； 当点在的延长线上时，如图5，，，， ，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ∴，， 设，，，，， ，，，四边形是矩形， ，， 又，，，， ； 综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，； （3）解：连接，，，如图（1）， 的中点为，，，∴点在线段的垂直平分线上运动， ∵点D为靠近B的四等分点，∴， 由（2）得，∴ 当点E与点A重合时，过点M作于点H，如图， ∴，∴，∴∴，∴， ∵，代入得，∴； 当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，如图， ∵，代入得，∴， ∴如图，点M的运动轨迹即为的长， ∵在Rt中，∴∴∴点运动的路径长为 5．（2025·福建厦门·模拟预测）【探究发现】（1）如图①，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），则与之间满足的数量关系是________； 【类比应用】（2）如图②，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，在四边形中，平分，，，过点作，交的延长线于点．若，，求的长．    【答案】（1）；（2）上述结论仍然成立；证明见解析；（3）12 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，，， ∵，∴， ∴，∴，∴；故答案为：； （2）上述结论仍然成立；在上截取，连接， ∵四边形是菱形，，∴， ∴是等边三角形，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴；      （3）连接，在上截取，使，连接，如图， ∵，平分，∴， ∵，∴， ∴四点共圆，∴，∴， ∴是等边三角形，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， 在和，，∴， ∴， ∴，∵，∴， 在中，，∴，∴，∴． 6．（24-25九年级·重庆·专题练习）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或 【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高， ∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF； （2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF， ∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4； （3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°， ∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m， ∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C， ∴△EBD∽△DCF，∴，∴，整理得，m2﹣5m+1＝0， 解得m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得， ∴，解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF， ∴，∴解得，m或（舍弃）， 经检验，m是分式方程的解．综上所述，满足条件的AF的值为或或． 7．（24-25·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴，，∴； （2）证明：∵∴，即， ∵，∴； （3）∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴∴， 又∵，∴，∴，∴ 8．（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)28(3) 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点M，于点N， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵于点 M，于点 N，∴平分； （2）由（1）可知：平分，， ∴，； （3）∵ 四边形是奇异四边形，， 又∵， ∵平分，，由（1）知，平分， ，∴，又∵，∴，， ∵，即 ，解得 或（舍去），． 9．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究： 【问题发现】数学课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转． （1）在图1中，线段，之间的数量关系是______； 【类比迁移】（2）如图2，矩形对角线相交于点O，点O又是矩形的一个顶点，且这两个矩形全等，矩形可绕点O旋转．边与AB相交于点E，边与相交于点F，猜想，，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，直角的顶点O在边的中点处，可绕绕点O旋转．它的两条边，分别交，于点E，F，若，求OE的长． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【详解】解：（1）在正方形和正方形中，，，，，，，； （2），理由如下：过点O作，，垂足分别为点H，G，如图所示： ∴，∴四边形是矩形，， ∵O是矩形的中心，∴，∴，， ∵，，∵， ∴，∴，∴，∴，即； （3）作，垂足为点G，如图所示： ∵O为的中点，∴，∵，，∴， ∴，∴，， 又∵，∴，∴， 由（2）可知，∴，∴． 10．（24-25九年级上·江西新余·期末）（1）【探究发现】如图1，正方形的两条对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形 绕点O旋转的过程中，边 交边于点M，边 交边点 N．①线段，，之间满足的数量关系是 ； ②四边形与正方形的面积关系是 ． （2）【类比探究】如图2，若将（1）中的“正方形 和正方形 ”分别改为“含 角的菱形和菱形”，即 ，且菱形 与菱形的边长相等，当菱形 绕点O旋转时，保持边交边于点M，边 交边于点N． 猜想：①线段，与之间的数量关系是 ；②四边形与菱形的面积关系是 ．请你证明其中的一个猜想．（3）【拓展延伸】如图3，把（2）中的条件“ ”改为“ α”，其他条件不变，求 的值．（用含α的式子表示） 【答案】（1）① ；② （2）①，② ，证明见解析（3） 【详解】解：（1）①． ∵四边形是正方形，∴， ， ， ∵，∴， 在和中 ∴，∴， ∵，∴；故答案为：． ②∵，∴．故答案为：． （2）①．②．证明：如图2，连接． ∵四边形和四边形是菱形，∴，∴， ∵，∴O、M、B、N四点共圆，∴， ∵，∴是等边三角形，∴． 将绕点O 顺时针旋转得到，∵，， ∴边刚好落在上，即为，∴． ∵， ，∴是等边三角形，∴， ∵四边形是菱形， ∴，，∴∴； ∴，故答案为：①．②． （3）如图3，在上取一点的H，连接，使得，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴ ∵，∴，∴ ∵四边形是菱形，∴， ， ∴∴，∴，∴ 11．（2024·江西·校考一模）问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点． 问题探究：（1）在旋转过程中，①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为_______________（直接写出结论，不必证明） （2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由． 图1              图2                 图3 【答案】（1）① DP=DQ，理由见解析； ②DP=2DQ，理由见解析； ③DP=nDQ；（2）S有最小值为25； S有最大值为10，理由见解析. 【详解】解：（1）①DP＝DQ      理由：连接CD，∵AD=BD，△ABC是等腰直角三角形， ∴AD=CD，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°， ∴∠ADP＝∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ. ② DP=" 2DQ" ． 理由：如图，过点D作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足分别为M、N， ∴∠DMP＝∠DNQ＝90°，∠MDP＝∠NDQ，∴△DPM∽△DQN，∴DM:DN="DP:DQ" ． ∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，∴△AMD∽△BND，∴AD:BD=DM:DN． ∴DP:DQ=AD:BD=2BD:BD=2:1，∴DP=2DQ．                  ③DP=NQ．                  （2）存在，设DQ=x，由（1）①知DP=x，∴S= ， 当DP⊥AC时，x最小，最小值是，此时，S有最小值， 当点P与点A重合时，x最大，最大值是10，此时，S有最大值， 12．（24-25九年级上·河南开封·期末）探究式学习是数学学习的重要方式，是培养创新性人才的重要途径．数学课上，张老师出示如下题目，请同学们尝试以下探究． 在中，，，D是边上一点，是边上的一动点，作射线，将射线绕点顺时针旋转与边所在的直线交于点． 【初步感知】（1）数学探究小组发现，当点为的中点时，如图①，易得出线段，的数量关系为_____；他们进一步发现线段，，也有一定的数量关系，则，的数量关系为_____． 【深入探究】（2）数学探究小组继续研究，如图②，当点为靠近点A的的三等分点时，线段，，之间也有一定的数量关系，请写出线段，，之间的数量关系，并证明； 【思维拓展】（3）如图③，在（2）的条件下，连接，设的中点为，若，点从点向点方向移动的过程中，直接写出点运动的路程长度． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）连接，在中，，，点为的中点， 平分，， ，，，， ，在中，， ，； （2），理由如下：取中点H，过点H作交于点G，交于点P， 在中，，，，， 是等腰直角三角形，， 点为靠近点A的的三等分点，，由（1）知，， ，， ，H是中点，，点为中点， 是中位线，，； （3）如下图，作交延长线于点，作交延长线于点，取中点，连接， 则为点M运动路径，连接， ，，， 在中，，，， ，，，， 是中点，分别是和对应中线， ，，， ，，①， 在中，设，则，， ，，代入①得：， ，则点运动的路程长． 13．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）已知在中，，，，为边上的一点．过点D作射线，分别交边、于点、． 问题发现（1）如图1，当为的中点，且，时，______； （2）若为的中点，将绕点D旋转到图2位置时，______；    类比探究（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程； 问题解决（4）如图3，连接，当______时，与相似． 【答案】（1）2；（2）2；（3）；（4）或 【详解】解：（1），，，，， 点是的中点，，是的中位线， ，，则，故答案为：2； （2）如图2，过点作于点，作于点，    则，，即， ，，即， ，，， 由（1）知，，，故答案为：2； （3）如图3，过点作于点，于点，   ，，， 四边形是矩形，，， ，，，，，， ，，，，， 同（2）的方法知，知，； （4）如图3，连接，    在中，由勾股定理得：， ，与相似有如下两种情况： （Ⅰ），则，由（3）可知，， 整理，得：，即，， （Ⅱ），则，由（3）可知，， 整理，得：，； 综上，当或时，与相似；故答案为： 或． 14．（2025·湖北孝感·二模）综合与实践 【问题情境】在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N． 【猜想证明】（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形为矩形，理由见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）四边形为矩形． 理由如下：点M为中点，点D为中点， 是的中位线，，. ，． ，，∴四边形为矩形； （2）在中，，，，． 点D是的中点，．，． ，，．． 过点N作于点G． ，． ，，∴． ，即，； （3）．延长至H，使，连接，，， ，，是中点，， 又，，，． ，，，， 设，则，，， 在中，，，解得，． 15．（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． (1)如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． (2)如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． (3)在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，分别为边上的中点， ∴四边形为矩形， ∵，分别为边上的中点，∴ ∴四边形为正方形，∴， ∵∴， ∵， ∴，∴，∴∴ （2）证明：∵∴， ∵， ∴∴ ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴ （3）解：∵，， ∴，∴， 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴，∴，∴； 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴，∴，∴； 综上所述：或 16．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，四边形为矩形，，，分别为，边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边（或直角边所在直线）分别与矩形的边交于点，． (1)操作发现：如图1，当三角板的一条直角边交于点，另一条直角边交于点时，求证：． (2)深入探究：如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小贤发现，试说明理由． (3)拓展探究：在（2）的条件下，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：在矩形中，，，分别为，边上的中点， ，， 四边形和四边形都是正方形．，， ，，， 在和中，，，， ，； （2）解：同（1）可得． ，，，，， 又，，，． ，． ，，，； （3）解：如图，连接， ，，，，， ， ，， ． 17．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． 【探究证明】求证：； 【特例分析】若，，为的中点，求的长． 【衍生拓展】（2）如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值． 【答案】（）见解析；；（）． 【详解】（）证明：∵四边形是矩形，， ∴，∴， ∴，∴； 解：∵，∴， ∵为的中点，∴，∴，∴； （）解：如图，过点分别作于点，于点， 在中，，，∴， ∵是的中点，∴，∵，，， ∴四边形为矩形，，， ∵是的中点，∴是的中位线，是的中位线，∴，， ∵四边形为矩形，∴，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，∴． 18．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在中，为边上一点，射线分别交于点．(1)如图1，是等边三角形，点与点重合，若，则_____． (2)如图2，是等边三角形，是的中点，，求证：． (3)如图3，是的中点，，求的值．    【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）是等边三角形，，． ，又， ，，，即．，故答案为： （2）如图1，过点分别作于点于点，连接．       是等边三角形，．是的中点，， ． ，． 在和中，，． （3）如图2，过点分别作于点于点．在中，． 是的中点，． 是的中点，是的中位线，． ， ，∴，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $