专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

专题05相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 16 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（24-25九年级下·河南·阶段练习）已知在中，，，，D为边上的一点．过点D作射线，分别交边于点E、F． (1)当D为的中点时：①如图1，若，，与的数量关系是________；与是否相等？________（填“是”或“否”）； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (2)改变点D的位置，当点D是的三等分点时，直接写出的值． 例2（2024·广东·校考一模）综合与实践 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．    猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长； (3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长． 例3（24-25九年级下·江西赣州·期中）【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．    【特例证明】（1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．①填空：______；②求证：． 【类比探究】（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由． 【拓展运用】（3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值． 例4（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 例5（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 例6（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是等边三角形， 点是边上的一点， 以点为顶点的， 射线、分别交、于点、 (1)如图①，当点为中点时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，判断与的数量关系，并证明； (3)若，，时，请直接写出的长． 例7（2024·山东·校考一模）已知：是等边三角形，点是边上任意一点． (1)如图，于点，于点，求证：； (2)如图，点是的中点，，交延长线于点，过点作于点，且，：：求线段的长． 1．（24-25·江苏·九年级期末）如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（    ） A．4 B．6 C． D． 2．（2025·浙江舟山·一模）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在边上，．若，，，则的长为 ． 3．（24-25·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= . 4．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）在中，，D为的中点，分别交直线，于点E，F，且，连接，当时，的长为 ． 5．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，在中，点、分别在、上，且．(1)求证：；(2)连接、，求证：． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试） 四边形的对角线和交于点 E， 且，． (1)如图1， 求证：平分；(2)如图1， 求证：；(3)如图2，在（2）的条件下，点F在上，连接，， ，的面积为6，求线段的长度． 7．（2019·内蒙古·中考真题）（1）【探究发现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）．则之间满足的数量关系是　 　． （2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，，，，平分，，且，点是上一点，，求的长． 8．（2024·贵州铜仁·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明． 【拓展运用】（3）请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 9．（24-25九年级·河南·期中）如图1，点P在正方形ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N． （1）操作发现：如图2，固定点P，使△PEF绕点P旋转，当PM⊥BC时，四边形PMCN是正方形．填空：①当AP=2PC时，四边形PMCN的边长是_________；②当AP=nPC时（n是正实数），四边形PMCN的面积是__________． （2）猜想论证：如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使△PEF绕点P旋转，则=_______． （3）拓展探究：如图4，当四边形ABCD满足条件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD时，点P在AC上，PE、PF分别交BC，CD于M、N点，固定P点，使△PEF绕点P旋转，请探究的值，并说明理由． 10．（23-24九年级下·山东德州·开学考试）【模型建立】（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．①求证：；②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．       11．（24-25·浙江台州·九年级校考阶段练习）【问题情境】如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ． 【探索发现】如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______． 12．（24-25·湖北·九年级专题练习）如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值；(2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值． 13．（2025山东中考模拟预测）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　 　； （2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论． 13．（2025·江苏盐城·校考一模）【定义学习】过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”． 如图1，，，垂足分别为A、B，则为“点足三角形”，为“垂角”．    【性质探究】．(1)两条直线相交，那么下列命题正确的是_________（填序号①、②、③） ①不在这两条直线上的任意一点都可以画这两条直线的“点足三角形”；②如果存在“点足三角形”、那么它一定是钝角三角形；③两条直线所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数一定为或度． (2)如图2，点O为平面内一点，，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，连接．求证：． 【迁移运用】(3)如图3，，点A在射线上，点B是射线上的点，且，．则是否存在一点O．使得“点足三角形”的面积为，若存在，求出此时长；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级下·黑龙江·阶段练习）如图，在中，，点D为边的中点，分别交、边于点E、F，且． (1)当时（如图1），求证：；(2)当时（如图2）．求证：； (3)在（2）问的条件下，作的角平分线，交于点P，交的延长线于点Q（如图3），若，，求线段的长． 15．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点为边的中点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补． (1)如图1，若，且，则线段与有何数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，若，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论． 16．（2024·河南安阳·模拟预测）综合与实践：综合实践课上，同学们以“旋转”为主题开展数学探究活动． 操作一：如图1，将直角三角板的直角顶点P放在四边形的对角线上，直角三角板绕点P旋转，其边分别交于点M，N． （1）当四边形是正方形时，线段的数量关系是_______；若，，则四边形的面积为_______． （2）①如图2，当四边形是矩形，时，判断线段的数量关系并说明理由； ②当四边形是矩形，时，请直接写出的值． 17．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，与相交于点E，与相交于点F，连接，在正方形绕点O旋转的过程中，始终有，请证明这个结论． 【迁移应用】（2）如图2，在中，，，点D是边的中点，E是射线上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，连接． （i）当点E在边上，点F在边上时，试探究线段，，之间的数量关系．并证明你的结论； （ii）若，，设，，请直接写出y与x的关系． 18．（2025·广西河池·校考一模）综合与实践 【问题情境】在中，，，，在直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 【猜想证明】如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【问题解决】如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长．      1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 16 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析；③；(2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，连接BE．①当时，为中点， 是等腰直角三角形，， 又，，， 在和中，，； ②；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ． ③；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ；如图所示，当且，点F在上 ∴是等腰直角三角形∴设，则 ∴ ∴ 由题意得，∴ ∴当时，和没有交点; ∴的取值范围是； （2）解：存在．由【探究一】中（2）知当时，； 设，则，， 当时，与重合时，面积取最小， ，是等腰直角三角形，，，，，， 在等腰中，，当时，；当时，取得最大， ，，， 在中，，，此时面积最大，． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（24-25九年级下·河南·阶段练习）已知在中，，，，D为边上的一点．过点D作射线，分别交边于点E、F． (1)当D为的中点时：①如图1，若，，与的数量关系是________；与是否相等？________（填“是”或“否”）； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (2)改变点D的位置，当点D是的三等分点时，直接写出的值． 【答案】(1)①，是；②，理由见详解(2)的值为1或4 【详解】（1）解：①∵，∴四边形是矩形，∴； ∴，∴， ∵点是的中点，∴，则，故答案为：，是； ②仍然成立．如图，过点作于点，作于点， 则，∴，即， ∵，∴，即，∴， ∴，，由①知，，，即． （2）如图，过点作于点于点，， ∴四边形是矩形，∴，由（1）②可得，， ∵，∴，， ①当时，则，∴，； ②当时，则，∴，； 综上，的值为1或4． 例2（2024·广东·校考一模）综合与实践 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．    猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长； (3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析(2)(3) 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： 点是的中点，点是的中点，，， ，，，四边形是矩形； （2）如图2，过点作于，       ，，，，点是的中点，， ，，，，， 又，，，，； （3）如图③，连接，，过点作于， ，，， ，点，点，点，点四点共圆，， ，，，，， ，，，， ，，，． 例3（24-25九年级下·江西赣州·期中）【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．    【特例证明】（1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．①填空：______；②求证：． 【类比探究】（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由． 【拓展运用】（3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值． 【答案】（1）①1；②见解析；（2），理由见解析；（3）3． 【详解】解：（1）①由正方形的性质可知：， ∵将的直角顶点与点重合，∴，故答案为：1； ②证明：∵四边形是正方形，∴，，， ∴，即，∴，∴． （2），理由如下：过点作交于，∴，，       ∵四边形是正方形，∴，， ∴，， ∴，，即， ∴，∴． （3）过点作交于，作于，作于， 则，∴， 即，∴，由（2）和已知条件可得：，， ∴，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，同理可得：， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 令，则，，，∴，∴． 例4（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【详解】解：（1）连接， ∵，∴菱形、都是正方形， ∴，，，， ∵，∴是中点，∴，，， 又，∴，∴，∴， 又，∴，故答案为：； （2）过作，交于M，，交于N， ∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴，，，， ∴是等边三角形，∴， ∴平行四边形是菱形，∴， ∵，，∴，∴， 又，∴，∵，∴； （3）过作于H， 设，∵，∴，∴，∴， 在中，，在中，， ∴解得或3，∴或3， 又，，∴或． 例5（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3） 【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E， ∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°， 在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB， ∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°， ∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON， 在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON． （2）如图2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E， 由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，∴， 由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON， ∴，∴ON＝k•OM． （3）如图3，设AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k•OA， ∴OB＝•a，OA＝•a，∴OE＝OB＝a， ∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝•a， ∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋•a， 由（2）知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30° ∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°， ∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋•a， 设AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，（＋1）x＝AC＋CM， ∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，∴k＞1 ∴， ∴． 例6（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，是等边三角形， 点是边上的一点， 以点为顶点的， 射线、分别交、于点、 (1)如图①，当点为中点时，判断与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，判断与的数量关系，并证明； (3)若，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）PD=PE，证明见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【详解】（1）PD=PE 证明：过点P作PE∥AC交AB于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°， ∴△BPF为等边三角形，∴FP=BP，∵BP=CP，∴FP=CP ∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF≌△PEC，∴PD=PE． 图① 图② （2） 过点P作PE∥AC交AB于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°，∴△BPF为等边三角形， ∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF∽△PEC， ∴，又∵，∴，∴． （3）在图②中，连接AP，过点A作AO⊥BC于O， ∵∠B=60º，∴∠BAO=30º∵AB=8，∴BO=4， 在Rt△APO中，AP=7，∴BP=3，PC=5， 由（2）知△PDF∽△PEC，BP=BF=PF=3∴，又BD=2，∴，解得：， 同理，如备用图，BP=5，PC=3，由得：，解得：，故CE的长为 图② 例7（2024·山东·校考一模）已知：是等边三角形，点是边上任意一点． (1)如图，于点，于点，求证：； (2)如图，点是的中点，，交延长线于点，过点作于点，且，：：求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ，，， ，，，． （2）解：是等边三角形，， ，，，，， 点是的中点，，，，， ，，， ，∽，， ，：：．，，， 如图，作，，即，，， ，即，，， ，，，． 1．（24-25·江苏·九年级期末）如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R． ∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF， ∴△QPE∽△RPF，∴，∴PQ＝2PR＝2BQ， ∵PQ//BC，∴△AQP∽△ABC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5， 设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝6，∴x＝，∴AP＝5x＝6．故选：B． 2．（2025·浙江舟山·一模）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在边上，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在上取一点F，使，连接， 平分，，，， ，，， ，，即， ，即，，，， ，，， ，，， ，，又，， ．故答案为：． 3．（24-25·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= . 【答案】 【详解】解：过D作DG∥BC交AB于G，如图， ∵D是AC的中点，∴DG为△ABC的中位线， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°， 又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形， ∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE， ∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF， 设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x， ∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案为． 4．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）在中，，D为的中点，分别交直线，于点E，F，且，连接，当时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：过点E作于点G，连接 ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即， ∴，∵点D是的中点，∴， ∴， ∴在中，， ∵，∴点D、E、B、F四点共圆，∴， ∵点D是的中点，，∴，，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，即，∴．故答案为： 5．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，在中，点、分别在、上，且．(1)求证：；(2)连接、，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据，证明，即可判定； （2）由，得到，推出，结合，证得． 【详解】（1）证明：∵，，∴， 又∵，∴； （2）∵，∴，∴，∵，∴． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试） 四边形的对角线和交于点 E， 且，． (1)如图1， 求证：平分；(2)如图1， 求证：；(3)如图2，在（2）的条件下，点F在上，连接，， ，的面积为6，求线段的长度． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：过点作，，则：， ∵，∴四边形为矩形， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，，∴平分； （2）由（1）知：，，四边形为矩形，∴四边形为正方形，， ∴为等腰直角三角形，∴， ∵，∴； （3）过点作，延长交于点，过点作， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∵， ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵平分，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，设，则：， ∵，∴，， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴． 7．（2019·内蒙古·中考真题）（1）【探究发现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）．则之间满足的数量关系是　 　． （2）【类比应用】 如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）【拓展延伸】 如图3，，，，平分，，且，点是上一点，，求的长． 【答案】（1）（2）结论不成立．（3） 【详解】（1）如图1中，结论：．理由如下： ∵四边形是正方形，∴，，， ∵，∴，∴， ∴，∴．故答案为． （2）如图2中，结论不成立．． 理由：连接，在上截取，连接． ∵四边形是菱形，，∴， ∵，∴四点共圆，∴， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，，∴是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴，∴， （3）如图3中，由可知是钝角三角形，，作于，设． 在中，，∵，∴，解得（舍弃）或，∴， ∵，∴四点共圆， ∵平分，∴，∴， ∵，∴是等边三角形，由（2）可知：，∴． 8．（2024·贵州铜仁·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明． 【拓展运用】（3）请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【答案】（1）证明如下（2）（3）当点在射线上时，，当点在延长线上时， 【详解】（1）证明：连接, ,,, ,，, ,, （2），理由如下：过点作于，于， ,, ,和是等腰直角三角形， ,， ,设, ,,, 四边形是矩形，,, 又，， , （3）如图，当点在射线上时，过点作于于， ,, 和是等腰直角三角形， ， ，, 设,,, ，四边形是矩形，， 又,， ,     当点在的延长线上时，如图 ,, 和是等腰直角三角形， ，， ,设, ，， ，四边形是矩形， ， 又，， ，    综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，． 9．（24-25九年级·河南·期中）如图1，点P在正方形ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N． （1）操作发现：如图2，固定点P，使△PEF绕点P旋转，当PM⊥BC时，四边形PMCN是正方形．填空：①当AP=2PC时，四边形PMCN的边长是_________；②当AP=nPC时（n是正实数），四边形PMCN的面积是__________． （2）猜想论证：如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使△PEF绕点P旋转，则=_______． （3）拓展探究：如图4，当四边形ABCD满足条件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD时，点P在AC上，PE、PF分别交BC，CD于M、N点，固定P点，使△PEF绕点P旋转，请探究的值，并说明理由． 【答案】（1）①a；②；（2）；（3）见解析． 【详解】解：（1）①如图2，∵PM⊥BC，AB⊥BC，∴△PMC∽△ABC，∴ ，又∵AP=2PC，∴，即，∴PM=a，即正方形PMCN的边长是a； ②当AP=nPC时（n是正实数），，∴PM=a， ∴四边形PMCN的面积=（a）2=； （2）如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°， ∵Rt△PEF中，∠FPE=90°，∴∠GPM=∠HPN，∴△PGM∽△PHN，∴， 由PG∥AB，PH∥AD可得，， ∵AB=a，BC=b，∴，即，∴； （3）如图4，过P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，则∠HPG=∠DAB，∵∠EPF=∠BAD，∴∠EPF=∠GPH，即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM，∴∠HPN=∠GPM， ∵∠B+∠D=180°，∴∠PGC+∠PHC=180°，又∵∠PHN+∠PHC=180°，∴∠PGC=∠PHN， ∴△PGM∽△PHN，∴①， 由PG∥AB，PH∥AD可得，=，即②， ∴由①②可得，． 10．（23-24九年级下·山东德州·开学考试）【模型建立】（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．①求证：；②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．       【答案】（1）①证明见详解；②（2） 【详解】（1）①解：和都是等边三角形， ，，，， ，， ②；是等边三角形，， 点和点关于的对称，，，， （2），理由如下：如图，过点作于，    点和点关于的对称，，，， ，是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形， ，，， ，，，， 是等腰直角三角形，， ，即： 11．（24-25·浙江台州·九年级校考阶段练习）【问题情境】如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ． 【探索发现】如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______． 【答案】问题情境：；探索发现：成立，见解析；类比迁移：或 【详解】问题情境：，证明如下： ∵在中，，，点为中点， ∴，∴ ∵∴∴ 在和中，∴∴ 探索发现：成立， 理由：∵在中，为中点，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴ ∵，∴，∴，∴， 在和中，∴∴ 类比迁移：当点E在线段AC上时，如图③， ∵是等边三角形，，点是中点， ∴，， 设，则，， ∵是的外角，，∴ 即∴ 又∵∴∴ ∴∴ 解得，（大于4，不符合题意，舍去） 当点E在线段AC的延长线时，如图： 设，则，， 同理可得∴ 解得，（不符合题意，舍去） 综上所述，或．故答案为：或． 12．（24-25·湖北·九年级专题练习）如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值；(2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值． 【答案】(1)4，(2)是，(3)或4 【详解】（1）解：作于交于． 四边形是矩形，，，， ． 在中，，，，， ，，， ，，， ，，故答案为4，． （2）结论：的值为定值．理由：由，可得．，，， ，； （3）连接交于． ，所以只能，， ，，，垂直平分线段， 在中，，，， ，．综上所述，的值为． 13．（2025山东中考模拟预测）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　 　； （2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）变化.证明见解析. 【详解】（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC. ∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC.∴∠APE=∠PCF. ∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB.∴∠PAE=∠CPF. ∵在△APE与△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF， ∴△APE≌△PCF（ASA）.∴PE=CF. 在Rt△PCF中，，∴； （2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN. ∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN. 又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF. ∴.由（1）知，，∴. （3）变化.证明如下： 如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB. ∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN.∴△APM∽△PCN. ∴，得CN=2PM. 在Rt△PCN中，，∴. ∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN. 又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF. ∴.∴的值发生变化. 13．（2025·江苏盐城·校考一模）【定义学习】过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”． 如图1，，，垂足分别为A、B，则为“点足三角形”，为“垂角”．    【性质探究】．(1)两条直线相交，那么下列命题正确的是_________（填序号①、②、③） ①不在这两条直线上的任意一点都可以画这两条直线的“点足三角形”；②如果存在“点足三角形”、那么它一定是钝角三角形；③两条直线所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数一定为或度． (2)如图2，点O为平面内一点，，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，连接．求证：． 【迁移运用】(3)如图3，，点A在射线上，点B是射线上的点，且，．则是否存在一点O．使得“点足三角形”的面积为，若存在，求出此时长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③(2)见解析(3)或 【详解】（1）①根据“点足三角形”的定义可得，当该定点为其中一条直线上的一点时，则不存在该定点与这条直线的垂线，故这个定点与两个垂足构成的三角形不存在，即当定点不在这两条直线上，则都存在这个定点与两个垂足构成的三角形，即①正确； ②当两直线夹角为锐角时，该定点在两直线的同侧，且在直线的下方时，令两直线交点为点，与交于点，如图：则，即为钝角，故存在点足三角形为钝角三角形；同理，当该定点在两直线的同侧，且在直线的上方时，为钝角，故存在点足三角形为钝角三角形；       当该定点在直线的下方，直线的上方时，如图： ∵在四边形中，，，∴， ∵两直线夹角为锐角，即为锐角，故为钝角，存在点足三角形为钝角三角形； 当两直线夹角为直角时，如图：            ∵在四边形中，，，∴， ∵两直线夹角为直角，即为直角，故为直角，存在点足三角形为直角三角形；故②错误； ③当两条直线所夹锐角为度，即， 当该定点在两直线的同侧，且在直线的下方时，令两直线交点为点，与交于点，如图： ∵，，垂足分别为A、B，且，∴， 即点足三角形垂角度数为度； 当该定点在两直线的同侧，且在直线的上方时，如图： ∵，，垂足分别为A、B，且， ∴，即点足三角形垂角度数为度； 当该定点在直线的下方，直线的上方时，如图： ∵在四边形中，，，∴， ∴度，即点足三角形垂角度数为度； 故③正确．故答案为：①③． （2）∵将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，∴， ∵，，∴在中，， 在中，，∴，即， 又∵，∴． （3）当定点在两直线的同侧，且在的下方时，令与交于点，过点作于点，如图：∵，，且，∴，       又∵，，，∴， 在中，，，∴，∴， 在中，， 即， 设，则，且，在中，， 即，解得：，故，， 在中，， 即，设，则， ∵， 即，解得：（舍去），，故，， ∴； 当定点在两直线的同侧，且在的上方时，令与交于点，过点作于点，如图： ∵，，且，∴， 又∵，，，∴， 在中，，即， 在中，， 即， 在中，，即， ， 且，整理得：， 设，则，， ∵， 即，解得：（舍去），，故，∴； 在中，，故设，则， 在中，，即， 解得：（舍去），∴； 当定点在直线的下方，直线的上方时，过点作于点，延长交于点，如图：    ∵在四边形中，，，∴，∴， 在中，，且，∴， 在中，， 在中，，即，设，则，， 在中，，即，在中，， 即，整理得：，故， ∵， 即：，整理得：， ，故无解；综上，的长为或． 14．（24-25九年级下·黑龙江·阶段练习）如图，在中，，点D为边的中点，分别交、边于点E、F，且． (1)当时（如图1），求证：；(2)当时（如图2）．求证：； (3)在（2）问的条件下，作的角平分线，交于点P，交的延长线于点Q（如图3），若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：连接，∵在中，，，点D为边的中点， ∴，，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，∴， ∴，∴， ∵，即：，∴； （2）证明：∵在中，，， ∴是等边三角形，∴，，取的中点，连接， ∵点D为边的中点，∴， ∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴； （3）解：如图：∵，，由（2）知：，， ∴，∴为等边三角形，∴， ∵，平分，∴， ∵，∴，∴， 又，∴，∴，∴， ∴，，， ∵，∴，∴，∴（负值已舍去）， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴． 15．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点为边的中点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补． (1)如图1，若，且，则线段与有何数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，若，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，证明见解析 【详解】（1）解：，理由如下：连接，如图1所示:    是等腰三角形，，是斜边的中点， ，，，，， ，，，， 在和中，，，； （2）解：依然成立． 证明如下：过点作于，作于，连接，如图2所示：       ，，点为中点，平分，， 在四边形中，，， 又与互补，，， 在与中，，，； （3）解：．证明如下：过点作于，作于，连接，如图3所示： 同（2）可证，又，，． 点为边的中点，，，， 又，，，． 16．（2024·河南安阳·模拟预测）综合与实践：综合实践课上，同学们以“旋转”为主题开展数学探究活动． 操作一：如图1，将直角三角板的直角顶点P放在四边形的对角线上，直角三角板绕点P旋转，其边分别交于点M，N． （1）当四边形是正方形时，线段的数量关系是_______；若，，则四边形的面积为_______． （2）①如图2，当四边形是矩形，时，判断线段的数量关系并说明理由； ②当四边形是矩形，时，请直接写出的值． 【答案】（1）；4（2）①，理由见解析②（3）或或或 【详解】解：（1）如图，过点P作，垂足分别为G，H，则， ∴四边形是矩形，∵四边形是正方形，∴，， ∴，，∴，四边形是正方形，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，；∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴；故答案为：；4 （2）①，理由如下：如图，过点P作，垂足分别为L，K，则，∴四边形是矩形，∴，， ∴，∴，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴∵，∴； ②同理①得：，∵，∴； 17．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，与相交于点E，与相交于点F，连接，在正方形绕点O旋转的过程中，始终有，请证明这个结论． 【迁移应用】（2）如图2，在中，，，点D是边的中点，E是射线上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，连接． （i）当点E在边上，点F在边上时，试探究线段，，之间的数量关系．并证明你的结论； （ii）若，，设，，请直接写出y与x的关系． 【答案】（1）证明见解析：（2）（i），证明见解析；（ii）． 【详解】解：（1）证明：如图1，四边形、都是正方形， ，，，， ∴，∴，， ，连接，在中，，∴， （2）（i）如图2，结论：， 证明：作矩形，延长交于点G，连接，如图：点D是矩形的中心， 又点D是的中点，， 在矩形中，，，，， ∴，，， 又，∴，在矩形中，， 在中，，， （ii）解：当E，F分别在和上时，如图， 由（2）的结论可得，在中，由勾股定理得， ，设，则，， ∴，∴， ∵，∴ ②如图，点E，F分别在线段和的延长线上时，由（2）的结论可得， 在中，由勾股定理得，， 设，则，，∴，∴， ∵∴∴ 综上所述：y与x的关系为：． 18．（2025·广西河池·校考一模）综合与实践 【问题情境】在中，，，，在直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 【猜想证明】如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【问题解决】如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长．      【答案】[猜想证明]四边形是矩形，理由见解析；[问题解决]． 【详解】[猜想证明]四边形是矩形，理由如下：如图，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，，， ，，， ，四边形是矩形； [问题解决]过点作于，如图：    ，，，， 点是的中点，，， ，，，，， 又，，，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $