精品解析：河南省南阳市新野县2025-2026学年九年级上学期11月数学期中考试

新野县2025年秋期期中质量调研九年级试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，另两条直线分别交、、于点A、B、C及点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） ①若二次根式有意义，则x的取值范围是， ②菱形都相似， ③若关于x的一元二次方程的一个根是0，则， ④若关于x的方程中，若a，b，c满足，则方程必有一根为， A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ③④ 7. “一题多解”是培养数学思维重要方式，有三位同学对下面的问题给出了三种不同解法．如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．这三位同学都用了方程来解决．设小路的宽度为，得出方程：①；②；③．其中正确的是（ ） A ① B. ② C. ①② D. ①②③ 8. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个与是同类二次根式的最简二次根式________．（不与原数相等） 12. 若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为___________ ． 13. 已知（x，y，z均不为零），则______． 14. 如图，已知，和相交于，若，则______． 15. 如图，在矩形中，为的中点，点在下方矩形的边上．当为直角三角形，且为直角顶点时，的长为______． 三、解答题（共75分） 16. （）计算：； （）解方程：． 17. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 18. 为测量校园内某一棵树的高度，数学应用实践小组决定采用如下方案进行测量：如图，选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记B，观测者看着镜子来回移动，直至在B点处刚好能看到树的顶部． 根据测量方案回答下列问题： （1）________（填“>”、“<”或“=”）； （2）求证：； （3）测得数据，，，求树的高度． 19. 如图，这是明明同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容．其中一次项系数被墨迹污染了． 已知关于x的一元二次方程． （1）若这个方程的一个根为，请求出一次项系数； （2）明明发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由． 20. 年4月日是第八个“中国航天日”，主题是“格物致知，叩问苍穹”．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个． （1）若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出________个模型； （2）在每个模型的利润不少于元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为元，每个模型的售价应降低多少元？ （3）该模型平均每天的销售利润能达到元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由． 21. 如图，在锐角三角形中，．以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点D，连结．点E是延长线上一点，连结，若平分． （1）求证：； （2）当，求的值． 22. 【项目学习】 配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题． 例1．把代数式进行配方． 解：原式； 例2．求代数式的最大值． 解：原式， ∵，∴，∴，∴的最大值为． 【问题解决】 （1）若m，k，h满足，求的值． 【迁移应用】 （2）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含x代数式表示矩形工件的面积S； ②运用“配方法”求S的最大值． 23. 【基础巩固】 (1)如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】 (2)如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】 (3)如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新野县2025年秋期期中质量调研九年级试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、平方、相反数和绝对值概念，需逐项计算并判断符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、根据绝对值的非负性可得，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加法，根据运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，不符合题意； B、，故原选项计算正确，不符合题意； C、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，符合题意； D、，故原选项计算正确，不符合题意； 故选：C． 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义，最高次数为2且二次项系数不为零，由此计算即可得解，解题的关键是需同时满足次数和系数条件． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 故选：D． 4. 如图，，另两条直线分别交、、于点A、B、C及点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键，利用平行线分线段成比例定理得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；通过计算每个一元二次方程的判别式，判断实数根的情况，若判别式大于零，则有两个不相等的实数根，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、中，，，则，故无实数根，不符合题意； B、中，，，则，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，则，无实数根，不符合题意； D、中，，，则，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 6. 下列说法正确的是（ ） ①若二次根式有意义，则x的取值范围是， ②菱形都相似， ③若关于x的一元二次方程的一个根是0，则， ④若关于x的方程中，若a，b，c满足，则方程必有一根为， A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，菱形的性质，一元二次方程的解，熟练掌握二次根式的定义，一元二次方程的解是解题的关键，根据二次根式的定义，一元二次方程的解，菱形的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：二次根式有意义条件是，则，故①错误； 菱形的对应边成比例，但是对应角不一定相等，故菱形不一定相似，故②错误； 将代入中， 得到， 解得：， ∵， ∴， ∴，故③正确； 将代入中，得到：，故④正确； 故选：D． 7. “一题多解”是培养数学思维的重要方式，有三位同学对下面的问题给出了三种不同解法．如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．这三位同学都用了方程来解决．设小路的宽度为，得出方程：①；②；③．其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形面积的实际应用（小路面积问题），涉及的知识点是矩形面积公式、平移法简化图形．解题中用到的思想是转化思想（平移小路将不规则区域转化为规则矩形）、拆分思想（拆分小路面积并扣除重叠部分）．解题关键是准确处理小路的重叠部分，避免面积重复计算．易错点是计算小路面积时忽略重叠部分，或平移后错误确定种植区域的长和宽． 【详解】设小路的宽度为m，分别分析三个方程： 方程①： 将“种植花草的区域”通过平移小路，转化为一个新的矩形（长为，宽为），其面积等于矩形空地总面积减去小路面积．因此方程①等价于“种植面积=总面积-小路面积”，正确． 方程②： 直接计算小路面积，将小路分为“两条与宽平行的小路”和“一条与长平行的小路”方程②等价于“小路面积=218”，正确． 方程③： 一条与长平行的小路面积：，但此处未扣除两条小路的重叠部分（），正确的扣除应为，但方程③只扣除了，因此错误． 故选C． 8. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 9. 如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由题意可得为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由，是边的中点，即可判断C． 【详解】解：点、、分别是边、、的中点 ∴为的中位线， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵，是边的中点， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 10. 如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案． 【详解】解：、，， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 点是的中点， ，， ， 同理：， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个与是同类二次根式的最简二次根式________．（不与原数相等） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式，先将化简，得到，其被开方数为6，因此与它同类的最简二次根式应为被开方数为6的二次根式，如，由此即可得解，熟练掌握同类二次根式的定义是解此题的关键． 详解】解：∵， ∴与是同类二次根式的最简二次根式为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为___________ ． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理的应用，先求出方程的解，然后再看看是否符合三角形的三边关系定理，进而确定三角形的第三条边，从而可求三角形的周长． 【详解】解：， ， 或， ， ①三角形的三边是5，7，2， ∵， ∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去； ②三角形的三边是5，7，8，此时符合三角形三边关系定理， ∴三角形周长是， 故答案为：20． 13. 已知（x，y，z均不为零），则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据已知条件可设,则,将其代入所求分式，计算即可得解，熟练掌握根据分式的基本性质先用未知数表示出,再代入计算是解决此题的关键． 【详解】解：（x，y，z均不为零）, 设,则, ， 故答案为： 14. 如图，已知，和相交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，为的中点，点在下方矩形的边上．当为直角三角形，且为直角顶点时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．若是直角三角形，有三种情况：①当点在上时，②当点在上时，分别求解即可． 【详解】如图， 当点在上时，为的中点， ． 当点在上时， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 设，则， 由，得， 解得． 或． 综上，的长为或． 三、解答题（共75分） 16. （）计算：； （）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （）先进行乘方和乘除运算，再进行加减运算即可； （）先把一次项移到左边，再二次项系数化为，然后利用配方法解答即可； 【详解】解：（）原式 ； （）原式移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得， 即， 直接开平方，得， ∴，． 17. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，点为所作； 【小问2详解】 解：如图所示，为所作； 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 18. 为测量校园内某一棵树的高度，数学应用实践小组决定采用如下方案进行测量：如图，选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记B，观测者看着镜子来回移动，直至在B点处刚好能看到树的顶部． 根据测量方案回答下列问题： （1）________（填“>”、“<”或“=”）； （2）求证：； （3）测得数据，，，求树的高度． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了角的度数大小比较，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据反射角等于入射角求解； （2）通过证明两个三角形有两对角分别相等来证明相似； （3）根据相似三角形的性质，列出比例式求解即可． 【小问1详解】 解：∵在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记B， ∴根据反射角等于入射角可知， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为． 19. 如图，这是明明同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容．其中一次项系数被墨迹污染了． 已知关于x的一元二次方程． （1）若这个方程的一个根为，请求出一次项系数； （2）明明发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由． 【答案】（1）5 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、根的判别式，解题中用到的思想是代数代入思想（将根代入方程求系数）、判别式分析思想（通过判别式判断根的情况）；方法技巧是利用 “根代入方程等式成立” 求未知系数，利用 “判别式与0的大小关系” 判断根的个数．解题关键是熟练掌握根的定义和判别式的计算，避免代入根时的计算错误或判别式化简错误．易错点是混淆判别式的公式（如误算的符号），导致判别式的取值分析错误． （1）将已知根代入方程，建立关于一次项系数的方程并求解； （2）利用一元二次方程根的判别式，分析判别式的取值范围，证明其始终大于0，从而说明方程总有两个不相等的实数根． 【小问1详解】 解：设一次项系数为b，则方程为， 把代入方程得，， 解得：， 所以一次项系数为5； 【小问2详解】 解：方程为， ∵， ∴不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 20. 年4月日是第八个“中国航天日”，主题是“格物致知，叩问苍穹”．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个． （1）若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出________个模型； （2）在每个模型的利润不少于元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为元，每个模型的售价应降低多少元？ （3）该模型平均每天销售利润能达到元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）降低元 （3）不能达到元，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据“每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个”求解； （2）设每个模型的售价应降低x元，根据题意列出一元二次方程求解； （3）假设该模型平均每天的销售利润能达到元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售利润为元，平均每天可售出个模型，根据题意列出一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：∵每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个， ∴每个模型的售价降低4元，平均每天可售出个， 故答案为：； 【小问2详解】 设每个模型的售价应降低x元， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每个模型的售价应降低元； 【小问3详解】 该模型平均每天的销售利润不能达到元，理由如下： 假设该模型平均每天的销售利润能达到元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售利润为元，平均每天可售出个模型， 根据题意得： 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该模型平均每天的销售利润不能达到元． 21. 如图，在锐角三角形中，．以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点D，连结．点E是延长线上的一点，连结，若平分． （1）求证：； （2）当，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，利用两角对应相等判定相似，利用相似三角形的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）通过证明两个三角形有两对角分别相等来证明相似； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式求解． 【小问1详解】 证明：∵以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点D， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 【项目学习】 配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题． 例1．把代数式进行配方． 解：原式； 例2．求代数式的最大值． 解：原式， ∵，∴，∴，∴的最大值为． 【问题解决】 （1）若m，k，h满足，求的值． 【迁移应用】 （2）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S； ②运用“配方法”求S的最大值． 【答案】（1）；（2）①；②当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）将所给式子配方求出，的值，即可求解； （2）①设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形的性质可证明，根据相似三角形的性质求出与之间的函数关系式为，最后根据矩形的面积公式求解即可； ②将配方，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）由题意，∵， 又∵， ∴，， ∴； （2）①设的长度是x厘米，的长度是y厘米时， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为， ∴矩形面积； ② ， 故当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米． 23. 【基础巩固】 (1)如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】 (2)如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】 (3)如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，，进而证明，得出，即可求解； （3）过点作交的延长线于点，证明，得出，继而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：， ； （3）过点作交的延长线于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $