专题04 相似三角形常见模型（高效培优专项训练）数学苏科版九年级下册

专题04 相似三角形常见模型 题型一：A字型相似 题型二：8字型相似 题型三：母子型相似 题型四：双垂直型相似 题型五：一线三等角型相似 题型六：手拉手型相似 题型七：三角形内接矩形型相似 题型一：A字型相似 1．如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 3．如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 5．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 题型二：8字型相似 6．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的对角线、相交于点O，E是的中点，交于点F，若，则等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 8．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 9．如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的长的最小值为 ． 10．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为 ． 11．综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 题型三：母子型相似 12．如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则 ；若，，则 ． 14．如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，分别连接、交于点F．若，则 ． 15．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 16．如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 17．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 题型四：双垂直型相似 18．如图，在矩形中，是上一点，，垂足为，，的面积为，的面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，用直尺和圆规在上确定点，具体操作过程是：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 20．如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为 ． 21．如图，在中，，平分，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 22．如图，中，，，点是的中点，点在线段上，，交于点，过点作的垂线交的延长线于点，给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 23．如图，在中，，过点作交的延长线于点，过点作交于点，那么 ． 题型五：一线三等角型相似 24．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 25．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 26．已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ． 27．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 28．如图所示，在中，，，E，D分别是，上的点，且．求证：． 29．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：； (2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 题型六：手拉手型相似 30．【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 31．如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)【证明与推断】：①求证：四边形是正方形； ②推断：的值为 ； (2)【探究与证明】：将正方形绕点C顺时针方向旋转α度，如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当A，G，F三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点H．若，求的长． 32．【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    33．如图，，均为等腰直角三角形，，将绕点旋转（，，三点不在同一条直线上），平移线段，使得点与点重合，点的对应点为点，连接，，． (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)连接，当时，若，，用含的代数式表示，并写出的取值范围． 34．如图，四边形和四边形都是矩形，三点在一直线上，连接并延长交边于点，． (1)求证：①：②若，求的值． (2)若，，请直接写出长 题型七：三角形内接矩形型相似 35．如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点、分别在，上，若满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 36．如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在上，那么矩形的周长为 ． 37．如图，矩形内接于，且边落在上，如果，，，，那么的长为 38．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 39．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似三角形常见模型 题型归纳 题型一：A字型相似 题型二：8字型相似 题型三：母子型相似 题型四：双垂直型相似 题型五：一线三等角型相似 题型六：手拉手型相似 题型七：三角形内接矩形型相似 题型专练 题型一：A字型相似 1.如图，在△ABC中，D,E是边AB的三等分点，F,G是边AC的三等分点，若△ADF的面积为m,则 四边形EBCG与△AEG的面积差是() B A.4m B.3m C.2m D.m 【答案】D 【详解】解：：点D、E、F、G分别是边AB、AC的三等分点， .DF∥EG∥BC,AD:AE:AB=1:2:3, .∴AADF∽△AEGAABC, .S。ADF:S。BG:SHBc=1:4:9, △ADF的面积是m, ∴.四边形EBCG与△AEG的面积是5m和4m, ∴.四边形EBCG与△AEG的面积差是5m-4m=m, 故选：D 2.如图，AB∥CD,AE∥FD,AE,FD分别交BC于点G,H,则下列结论中错误的是() 1/47 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D DH CH AF HG FH BF A. GECG FH BH B. DE CB C.CECG D. AG FA 【答案】D 【详解】解：，AB∥CD, DH CH ·FHBH' A选项正确，不符合题目要求； ,AE∥DF, ∴.∠CGE=∠CHD,∠CEG=∠D, .ACEG∽aCDH, a丽 GE CG EG DH CGCH' :AB∥CD, CH DH CB DF' DH DF ∴CHCB' GE DF ·CGCB' 架兴 ∴B选项正确，不符合题目要求； AB∥CD,AE∥DF, ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AF=DE, AE∥DF, DE GH ·CEGC' 2147 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :职G CE CG ∴C选项正确，不符合题目要求： :AE∥DF, ∴.△BFH∽△BAG, .FH BF 六AGAB' .AB>FA, .FH BF ∴AGFA D选项不正确，符合题目要求 故选：D SAEc=（) 3.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,4C上的三等分点，若EF/AR'则SAC B B c. 【答案】B 【详解】解：D,E分别为AB,AC上的三等分点， CE 2 AC 3' EFI AB, ∴.△EFC∽△ABC, SEC→ SABC 故选：B 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6,D是AB上一点，点E在BC上，连接CD,AE 交于点F,若∠CFE=45°，BD=2AD,则CE=一· 3/47 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2 【详解】解：如图：过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点， SB 在DG∥AE中，AC=BC=6, :AB=AC2+BC2 =62, 又：BD=2AD, .AD=2N2, 在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2, .CH=6-2=4, 在RtACHD中，CD=VCH2+DH2=2√5， .·DG∥AE, ∴.∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°， .∠CDG=∠B, 又：∠DCG=∠BCD, .CDG△CBD, CD CG .CB CD' .CD2=CG.CB, 即20=6CG, co-9, BG=BC-CG=6-10-8 33 又DG∥AE, .ABDGABAE 又BD=2AD, 4/47 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD BG 2 .BA BE 3' 又c- BE-BGx3_ 4, ∴.CE=6-4=2, 故答案为：2. 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是正方形，AC=I5,BC=10,AF交DE于点G. (I)求正方形CDEF的边长： (2)求EG的长. 【答案】(1)6 12 2)5 【分析】 【详解】(1)解：由题意得：∠EFB=∠ACB=90°， ∴.EF∥AC, ∴.△EFB∽△ACB, ∴.EF:FB=AC:BC=15:10=3:2, 设EF=3x,FB=2x,则CF=EF=3x, .BC=BF+CF=5x=10, .x=2, ∴.EF=3x=6, 即正方形CDEF的边长为6： (2)解：由(1)得：CD=CF=EF=DE=6, ∴.AD=AC-CD=9: ,∠ADE=∠ACB=90° .DG∥CF, .△ADG AACF, ∴.DG:CF=AD:AC=9:15=3:5, 5/47 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DG=18 12 ∴.GE=AE-DG= 题型二：8字型相似 6.如图，AD、BC相交于点O,由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是() A、 OA AB A.AB∥CD B.ODCD C. OA OB OD OC D.∠A=LD 【答案】B 【详解】解：由图可知：∠AOB=∠COD, 若AB∥CD,则∠B=∠C,根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定△AOB 与△DOC相似，故A不符合题意； 若0伦，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形 似”可判定△AOB与△DOC相似，故C不符合题意： 若∠A=∠D,根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定△AOB与△DOC相 似，故D不符合题意： OA AB 若ODCD,不能判定△4OB与△DOC相似，故B符合题意： 故选：B 7.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是BC的中点，DE交AC于点F,若DE=I2, 则DF等于( D E A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【详解】解：，四边形ABCD是正方形，E是BC中点，则AD=BC, 6/47 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD∥BC, ∴.∠ADF=∠DEC,∠AFD=∠EFC, ∴.△CEF∽△ADF, 器器时 2 解得DF=8, 故选：D. 8.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED,连接BE交AC于点G,延长BE交CD BG 的延长线于点F,则GF的值为(） A D G A.3 B. c. D.4 【答案】A 【分析】 【详解】解：，四边形ABCD为平行四边形， .AB∥CD, ∴△ABGn△CFG, …架治 :△ABE∽△DFE, 是架。 .AE=2ED, ∴AB=2DF, 0 7/47 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG 2 GF3· 故选：A. 9.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点P为BC上任意一点，连接PA,以PA、PC为 邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ的长的最小值为一 B A 【答案】5 【分析】 【详解】解：如图，设PO,AC交于点D,过点D作DE⊥BC于点E,连接BD, E 四边形 是平行四边形， P y PAOC :.PQ=2PD AD=CD-14C=2, :点D是AC的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当PD⊥BC时，PD取得最小值，即PO最小， 即当P,E重合时，PD最小， ∴.PDuin=DE, :∠BAC=90°，AB=3,AC=4, .'BC=AB2+AC2=5, :Sar-Sam+Sasm即3B-AC-BAD+8C-DE, 2 3x4=3x2+5D 2 8/47 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE= ÷PDn=DE= 5 12 ∴.Pgn=2 PDin= 5· 12 故答案为：5· 10.如图①，一张正三角形纸片ABC,AB=32cm,点D在边AB上，AD=10cm,点E是边BC上的一 点.如图②，将△BDE沿DE翻折得△△B'DE,△B'DE与△ABC的边AC相交于点M和点N.若AM=16cm, B'M=8cm,则CW的长度为_cm. D B E B 图① 图② 【答案】9 【详解】解：：△ABC是等边三角形， .AB=AC=32cm,∠A=∠B=60°， AD =10cm, .BD=AB-AD=22(cm), 由折叠得：BD=B'D=22cm,∠B=∠B'=60°， ∠A=∠B', ·B'M=8cm, ∴.DM=B'D-B'M=22-8=14(cm), ∠AMD=∠B'MN, aAMD∽aB'MN, AM DM .B'MMN 1614 .8MN' MW=7, .CN=AC-AM-MN=32-16-7=9, 故答案为：9. 11.综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图(，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条 9/47 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【数学思维】(I)针孔相机的成像原理：如图(b),由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成 A'C AC 像分别在A,B处，线段AB的像是线段A'B,AB上点c的像是点C·若4B∥AB'求证： B'C BC 【数学语言】(2)如图C),小美站立在A处，摄影师给小美仰拍.小美的身高AB的像为B,腿部AC 的像为A'C'.试说明能拍出大长腿效果的理由 (a) (c) 【答案】(1)见解析：(2)见解析. 【分析】 【详解】(1)证明：如图， B B AB∥AB ∴.△A'C'O∽△ACO,△B'CO∽△BCO, CO A'C'CO B'C' CO AC'CO BC A'C B'C' ACBC· A'C B'C' .AC BC (2)解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即 C>4S),则能拍出大长腿的效果. CB'BC 理由：过点B作BE∥AB交A'O于点E,连接CC交BE于点F, :摄影师仰拍， ,∠A'EB是△EOF的外角 ∴，∠A'EB'>∠EFO .过点E作CC的平行线交线段AB于点G. 10/47