专题03 相似三角形的判定与性质（高效培优专项训练）数学苏科版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似三角形的判定与性质 题型归纳 题型一：选择或者补充条件使两个三角形相似 题型二：证明两三角形相似 题型三：尺规作图使两个三角形相似 题型四：重心的有关性质 题型五：利用相似三角形的性质求解 题型六：证明三角形的对应线段成比例 题型七：利用相似求坐标 题型八：运用相似三角形的性质解决折叠问题 题型九：运用相似三角形的性质解决三角板问题 题型十：运用相似三角形的性质解决裁剪问题 题型十一：运用相似三角形的性质解决最值问题 题型十二：运用相似三角形的性质解决多结论问题 题型专练 题型一：选择或者补充条件使两个三角形相似 1.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是() B E A. AB AC AB BC B. C.∠B=∠D D.∠C=∠AED AD AE AD DE 【答案】B 【详解】解：“∠1=∠2， :∠BAC=LDAE, A、添加ABAC AD AE 可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意； B、添加AB=BC AD DE ,无法判定△ABC∽△ADE,故本选项符合题意； C、添加∠B=∠D,可用两角法判定△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意； 1/58 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D、添加∠C=∠AED,可用两角法判定△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意： 故选：B. 2.如图，ABC中，D、E分别在AB、AC边上，添加以下条件不能证明ADE与ABC相似的是() A D B A.DE∥BC B.ZADE=ZC C.AEAD DE AD AB AC D. BC AC 【答案】D 【分析】 【详解】解：A、:DE II BC, ∴.△ADE~△ABC,故该选项不合题意： B、:∠DAE=LBAC,LADE=LC, .△ADE一△ACB,故该选项不合题意； C、ZDAE=LBAC,4E=4D, :△ADE一△ACB,故该选项不合题意； n 云，而∠ADE与∠C不一定相等，不能证明相似，故该选项符合题意. 故选：D· 3.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是() D A.∠B=∠ADEB. AC_BC C.AB_AC D.∠C=∠E AE DE AD AE 【答案】B 【分析】 【详解】解：：∠1=∠2， ∴.∠1+LDAC=∠2+∠DAC, .∠BAC=∠DAE, A、,∠B=∠ADE,∠BAC=∠DAE, :△ABC∽△ADE,故此选项不符合题意； 2/58 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B、添加AC=BC 无法判断△ABC∽△ADE,故此选项符合题意； AE DE C、 AB AC AD AE LBAC=∠DAE, :△ABC∽△ADE,故此选项不符合题意； D、:LC=LE,LBAC=LDAE, △ABC∽△ADE,故此选项不符合题意； 故选：B 4.如图，在ABC和△DEC中，∠1=∠2，再添加条件可以使△ABC∽△DEC. D B 【答案】∠A=∠D(答案不唯一) 【详解】解：：∠1=∠2， ∴.∠1+LACE=∠2+LACE,即∠ACB=∠DCE, 添加：∠A=∠D,则△ABC∽△DEC, 添加：∠B=∠E,则△ABC∽△DEC, AC BC 添加： DCEC,则△ABC△DEC, 故答案为：∠A=∠D(答案不唯一) 5.如图， ADE、ABC和3张都标注一个条件的卡片.从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2 张的条件，能判断△ADE∽△ABC的概率为 D ① ② ③ AD AE ∠1=∠2 ∠B=∠D AB AC 【答案】 3 【详解】解：若∠1=∠2，∠D=∠B,则△ADE∽△ABC; 若∠1=∠2， AB=AC,则△ADE∽△ABC, AD AE 若∠D=∠B,R=C,则无法证明△ADE∽△ABC； :从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断△ADE∽△ABC的有两种， 3/58 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 能判断△ADE∽△ABC的概率为子 故答案为： 题型二：证明两三角形相似 6.如图，己知D,E,F分别是ABC三边的中点，则图中与ABC相似的三角形有() E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】 【详解】解：：D,E,F分别是ABC三边的中点， .DF BC,DE AC,EF AB, △ADFn△ABC,△DBEn△ABC,△FEC∽△ABC, 四边形ADEF是平行四边形， △AFD≌△EDF, .△EFD∽△ABC, 故有4个， 故选：D. 7.如图，平行四边形ABCD,AE⊥BC交BC于点E,连接DE,F为DE上一点，且LAFE=∠B=60°.求 证：△ADF∽△DEC. 4 D E 【答案】详见解析 【分析】 【详解】证明：：四边形ABCD为平行四边形， AB∥CD,AD∥BC, ∠B+∠C=180°，∠ADE=∠CED, .∠B=60°， 4/58 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠C=120°； ∠AFE=60°， ∠AFD=120°， .∠AFD=∠C, :△ADF∽△DEC. 8.如图，点O是ABC的边BC上一点，连接AO,点D,E,F分别是OA,OB,OC的中点，连接DE, DF.求证：△ABC∽△DEF B 【答案】见解析 【详解】证明：：点D,E,F分别是OA,OB,OC的中点， DE=TAB.EF-IBC,DF-TAC, 2 2 能 =2, △ABC∽△DEF. 9.如图，在ABC和△DEF中，∠C=∠F,AC=4cm,BC=7cm,DF=8cm,EF=14cm,那么ABC与 △DEF相似吗？请说明理由. B 【答案】相似，理由见解析 【详解】解：ABC与△DEF相似.理由如下： AC =4 cm BC=7 cm,DF=8cm,EF=14 cm, AC 4 1 BC 7 1 DF82'EF142' AC BC DF EF :∠C=∠F, △ABC与△DEF相似， 10.如图，己知∠B=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25. 5/58 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B F C (I)求CE的长： (2)求证：△ABCn△DEF. 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】 【详解】(1)解：：DE=15,DF=25,∠E=90°， EF=DF2-DE2=20, .CE=EF-CF=15; (2)证明：：BF=3,CF=5, .BC=BF+CF=8, :4B=6-2.BC.8.2 DE155'EF205' AB BC DE EF :∠B=∠E=90°， △ABC∽△DEF. 11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB>CD,点E,F分别在AC,BC上，且∠FAC=∠EDA, ∠ACD=∠ADC,AF2=BF.CE,求证：△ABF∽△CDE. A B 【答案】见解析 【分析】 【详解】证明：：LACD=LADC, .AC=AD, :AD∥BC, .∠DAE=∠ACF, 又：LFAC=LEDA, .△ADE≌△CAF(ASA, .DE=AF,∠AED=∠CFA, 6/58 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :ZCED ZBFA. AF2=BF.CE, AF CE BF AF' :DE=AF, DE CE BF AF' 又：∠BFA=∠CED, △ABF∽aCDE 12.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. B (I)填空：∠ABC= BC= (②)判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论， 【答案】(1)135°；2√2 (2)△ABC∽△DEF.见解析 【分析】 【详解】(1)解：∠ABC=90°+45°=135°， BC=V22+22=V8=2V2; 故答案为：135°，2√2. (2)解：△ABCn△DEF. 证明：：在4×4的正方形方格中， ∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， .∠ABC=LDEF. :AB=2,BC=22,FE=2,DE=√2， :B2 =5,BC=25-2. DE2 FE 2 AB BC DE FE ∴.△ABC∽△DEF. 题型三：尺规作图使两个三角形相似 7158 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 I3.如图，点D为ABC的边BC上一点，CD=2BD,请用尺规作图法在边AB上求作一点E,连接ED, 使得△ABC∽△EBD.(保留作图痕迹，不写作法) D 【答案】见详解 【分析】 【详解】解：如图，点E即为所求. B >0 D ∠EDB=∠C, AC∥ED, △ABC∽aEBD 14.如图，已知正方形ABCD,E为BC延长线上一点，连接DE,请用尺规作图法，在DE上求作一点F, 使△BFE∽△DCE.(保留作图痕迹，不写作法) D B C 【答案】见详解 【详解】解：依题意，过点B作∠FBE=∠CDE,交DE于F点，如图所示： A D :∠FBE=∠CDE,∠E=∠E, △BFE∽aDCE. 15.在学习图形的相似过程中，有这样一个问题：如图，DEIBC,AD=AE= 8/58 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A (①)用直尺和圆规，作∠EAC的平分线交EC于点F,(只保留作图痕迹) (2)在(1)所作的图中，试说明FC=2EF.请根据以下思路完成填空： 证明：：AD=AE, :① ∠EAC=∠D+∠DEA=2∠DEA :AF平分∠EAC, ∠EAC=2∠EAF :② .DE AF DE BC :③ AG三B EF =(④ 'FC 2 【答案】（①）图见解析 20∠D=∠AED:②∠DEA=∠EAF:©AF∥BC;④4 AB 【分析】 【详解】(1)解：如图所示，AF即为所作的角平分线， D (2)证明：：AD=AE, ·∠D=∠AED .∠EAC=∠D+∠DEA=2∠DEA 9/58 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AF平分∠EAC, .∠EAC=2∠EAF ·∠DEA=LEAF .DE‖AF .DE BC :AF∥BC AE-48 EF AE1 FC AB 2 故答案为：①LD=∠AED;②∠DEA=∠EAF;③AF∥BC; AB 16.如图，在等腰ABC中，AB=AC,D为BC边上一点，连接AD,请你用尺规作图法在AC上作一点 E,连接BE，,使得△BEC∽△ADB,.(保留作图痕迹，不写作法) B D 【答案】见解析 【分析】 【详解】解：如图所示，点E即为所求。 B AB=AC, :LC=∠ABC. :∠CBE=∠BAD, △BEC∽aADB. 题型四：重心的有关性质 17.如图，点G是ABC的重心，D是AB边上一点，=4，连接CD,连接AG并延长分别交BC、CD 于点E、F,则C的值为() EF 10/58 专题03 相似三角形的判定与性质 题型一：选择或者补充条件使两个三角形相似 题型二：证明两三角形相似 题型三：尺规作图使两个三角形相似 题型四：重心的有关性质 题型五：利用相似三角形的性质求解 题型六：证明三角形的对应线段成比例 题型七：利用相似求坐标 题型八：运用相似三角形的性质解决折叠问题 题型九：运用相似三角形的性质解决三角板问题 题型十：运用相似三角形的性质解决裁剪问题 题型十一：运用相似三角形的性质解决最值问题 题型十二：运用相似三角形的性质解决多结论问题 题型一：选择或者补充条件使两个三角形相似 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，D、E分别在AB、AC边上，添加以下条件不能证明与相似的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在和中，，再添加条件 可以使． 5．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为 ． 题型二：证明两三角形相似 6．如图，已知D，E，F分别是三边的中点，则图中与相似的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，平行四边形，交于点E，连接，F为上一点，且．求证：． 8．如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 9．如图，在和中，,,,,，那么与相似吗？请说明理由． 10．如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 11．如图，在四边形中，，，点E，F分别在上，且，，求证：． 12．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 题型三：尺规作图使两个三角形相似 13．如图，点D为的边上一点，，请用尺规作图法在边上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 14．如图，已知正方形，为延长线上一点，连接．请用尺规作图法，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 15．在学习图形的相似过程中，有这样一个问题：如图，，． (1)用直尺和圆规，作的平分线交于点．（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，试说明．请根据以下思路完成填空： 证明：， ①_____ 平分， ②_____ ③_____ ④_____ 16．如图，在等腰中，，为边上一点，连接，请你用尺规作图法在上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型四：重心的有关性质 17．如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则的值为（    ） A． B． C． D．2 18．点是的重心，过点作，交于点，，交于点，则 ． 19．已知在中，点、分别在边、上，，且经过的重心，那么 ． 20．在中，点是重心，过点作，交于点，那么 ． 21．如图，在中，点D、E分别在边上，，连接交于点G，连接． (1)当时，求的值； (2)当时，取边中点F，连接交于点H．已知，求的长． 题型五：利用相似三角形的性质求解 22．如图，已知，以下结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 23．如图，在中，点D，E分别在边，上，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 24．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为4，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．9 D．25 25．在某一时刻，测得一根高为的竹竿在阳光下的影长为，同时测得一幢高楼在阳光下的影长为，则这幢高楼的高度是 ． 26．如图，在中，，点D是边上的一点，，点E是边上的一点．若与相似，则边的长为 ． 27．如图，E是上的一点，，且，，． (1)求与的度数， (2)写出与的对应边成比例的比例式，并求出相似比． 28．如图，已知，，，，，． (1)求和的大小． (2)求的长． 题型六：证明三角形的对应线段成比例 29．如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 30．如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 31．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 32．如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 33．如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 题型七：利用相似求坐标 34．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 35．如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 37．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 38．图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． (1)求，，的值． (2)是轴上一点，若，求点的坐标． 题型八：运用相似三角形的性质解决折叠问题 39．如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（ ） A．16 B．20 C．24 D．48 40．如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是（ ）． A．8 B． C． D． 41．如图，已知M，N分别为锐角的边上的点，，把沿折叠，点O落在点C处，与交于点P，若，则 ． 42．如图，点在矩形的边上，沿折叠，顶点恰好落在边上．再将对折，点的对应点为点，折痕为．若，，则 ．    43．如图，在矩形中，，，把这个矩形纸片折叠一次，使点B和点D重合． (1)请用直尺和圆规作出这条折痕（不写作法，保留作图痕迹）； (2)这条折痕交于点，交于点，直接写出的长． 44．如图矩形中，对角线，E为边上一点，，将矩形沿所在的直线折叠，B点恰好落在对角线上的处，求长． 题型九：运用相似三角形的性质解决三角板问题 45．将一副三角板如图叠放，则与的面积比是（　　） A． B． C． D． 46．如图，边长为10的等边，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（   ） A．2 B．1 C． D．3 47．一块含角的直角三角板（如图），它的斜边，里面空心的各边与的对应边平行，且各对应边的距离都是，那么的周长是 ． 48．将含角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接、，则 49．如图，等腰中，，，为的中点，将一块三角板的角顶点放在点处，让三角板的两边分别交两腰、于点、. (1)求证：； (2)连接，当时，求的面积. 题型十：运用相似三角形的性质解决裁剪问题 50．如图，在直角三角形纸片中裁剪出一个正方形纸片，其中D，E两点在边上，F，G两点分别在和边上，已知，则正方形纸片的面积为（   ） A． B． C． D． 51．在学校选修课上，王强和同学一起准备利用面积为的正方形纸板，按照如图所示裁剪方法制作一个正方体纸盒，则这个正方体纸盒的体积是 ． 52．如图，一块四边形铁片中，，，在此四边形中裁剪出一个面积最大的圆形铁片，则该圆形铁片的半径为 ． 53．劳动课上，聂老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为．圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条． (1)直接写出剪下的第一张矩形纸片长为___________； (2)从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由． 题型十一：运用相似三角形的性质解决最值问题 54．如图，在矩形中，，，点E是边上一动点，连结，将沿折叠得，连结，点M是线段的中点，连结，则的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 55．如图，在中，，，以为边，在的下方作矩形，且使，连接，则的最大值为 ． 56．如图，在等边中，，点在中线上运动，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ． 57．在矩形中，，，点为边上一动点（点与点、不重合），连接，过点作，垂足，交或的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)设，求关于的函数解析式．当取何值时，有最大值，并求出的最大值． 58．如图，在中，，，，在其内部作一个矩形，其中点D在边上，点B在边上，点C在边上，设矩形的一边． (1)请用含x的代数式表示边的长度； (2)设矩形的面积为，求当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 59．如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求线段的最小值． 题型十二：运用相似三角形的性质解决多结论问题 60．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 61．如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（   ）个． ①； ②； ③垂直平分； ④； ⑤的面积为． A．2 B．3 C．4 D．5 62．如图，在中，E、F分别是、边上的点，连接、，它们相交于点G，延长交的延长线于点H，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 63．如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 64．如图，在四边形中，，点在上，，连接并延长交的延长线于点，连接，，给出下面三个结论：①是等腰直角三角形；②；③，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 65．如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $