精品解析：山东省烟台栖霞市（五四制）2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

栖霞市2025-2026学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共8页，共三道大题，24道小题．本试卷满分120分；考试时间为120分钟． 2．学生在答卷过程中不允许使用计算器． 3．使用答题卡时请注意： ①答题前，务必认真核对条形码上的姓名、准考证号和座号，将学校、姓名、考号、座号完整的填写在相应位置； ②答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净； ③答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求字体工整、笔迹清晰，务必在题号所指示的答题区域内作答； ④保证答题卡清洁、完整，严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带； ⑤若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列各式中，分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的方法，因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），掌握相关知识是解决问题的关键．分别对每个选项按照因式分解的方法和定义进行分析，判断其是否正确． 【详解】解：A、，该选项因式分解不彻底，错误； B、，因式分解正确； C、，该选项因式分解后漏项，错误； D、该选项原式右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，错误． 故选：B． 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键； 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，对各选项逐一分析，判断是否存在可约分的公因式． 【详解】A．，分子分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意； B．，分子分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意； C．，分子分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意； D．分子与分母没有公因式，是最简分式，故本选项符合题意； 故选：D． 3. “阅读，遇见更美好的自己”．为了解同学们课外阅读情况，王老师对某学习小组10名同学5月份的读书量进行了统计，结果如下（单位：本）：5，5，3，6，3，6，6，5，4，5，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 3和 B. 4和5 C. 5和5 D. 6和4．5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数和众数，掌握中位数的确定方法是解题的关键． 根据中位数和众数的定义解答即可． 【详解】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5； 而将这组数据从小到大的顺序排列为3，3，4，5，5，5，5，6，6，6， 处于中间位置的那两个数都是5，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是5． 故选：C． 4. 将多项式分解因式的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算每个选项的分式运算，判断其正确性． 【详解】解：A：∵ ，∴错误． B：∵ ，∴错误． C：∵ ，∴错误． D：∵ ，∴正确． 故选：D． 6. 在某公司的面试中，李明的得分情况为：个人形象89分，工作能力93分，交际能力83分．已知个人形象、工作能力和交际能力的权重为，则李明的最终成绩为（　　） A. 265分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数计算，关键在于理解权重的概念并正确应用加权公式，即先将每个评分乘以其对应的权重，然后求和，最后除以总权重，从而得到最终成绩．根据三个项目的得分及权重比，将各分乘以对应权重后求和，再除以总权重得到最终成绩． 【详解】解：李明的最终成绩为： （分）， 故选：D． 7. 若的结果为整数，则整数的值不可能是（ ） A. 44 B. 55 C. 66 D. 77 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律探索，用平方差公式分解因式，将分子进行因式分解，确定其质因数组成，再对各选项分解质因数，判断是否均为分子的因数． 【详解】解：∵ ， A．，所有质因数均在分子中存在，符合条件，故A不符合题意； B．，所有质因数均存在分子中存在，符合条件，故B不符合题意； C．，所有质因数均存在分子中存在，符合条件，故C不符合题意； D．，分子中无质因数7，因此无法整除，故D符合题意． 故选：D． 8. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 无解 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 即原方程无解， 故选：D． 9. 想要获得高超的技术，不付出一番努力是绝对做不到的．在射击训练过程中，新手的表现一般不太稳定，会有较大的波动．下图是小逸和小亮在射击训练中进行10次射击之后的成绩统计图，根据图中信息推测，可能是新手的是（ ） A. 小亮 B. 小逸 C. 都是新手 D. 无法判定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据图中的信息找出波动性大的即可． 【详解】解：根据图中的信息可知，小亮的成绩波动性大， 则这两人中的新手是小亮； 故选：A． 10. 在体育课上，甲，乙两名同学进行跳绳比赛．在相同时间内，甲跳360下，乙比甲少跳40下．已知甲每分钟比乙多跳20下，设甲每分钟跳下，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，设甲每分钟跳下，则乙每分钟跳下，甲跳360下与乙跳320下所用时间相等，利用时间相等建立方程即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：设甲每分钟跳下，则乙每分钟跳下， 故甲跳360下所需时间为，乙跳下所需时间为， 根据时间相等，列方程， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果．） 11. 利用乘法公式的知识简便计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握相关知识是解决问题的关键．将所求式子变形，然后应用平方差公式进行简便计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．把代入得到，解分式方程即可． 【详解】解：把代入得：， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 故答案为：． 13. 当k＝_____时，100－kxy+49是一个完全平方式． 【答案】±140 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵100－kxy+49＝是一个完全平方式， ∴k＝±140， 故答案为：±140． 【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式中和的平方等于平方和加乘积的二倍，差的平方等于平方和减乘积的二倍． 14. 已知一组数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的方差是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平均数，方差，熟练掌握平均数和方差的计算方法是解题的关键，根据平均数确定出后，再根据方差的公式进行计算即可． 【详解】解：由平均数的公式得：， 解得； 则方差． 故答案为：2． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，解分式方程.去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 则， 解得：， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：， 故答案为：2． 16. 某篮球队10名队员的年龄情况如下： 年龄/岁 19 20 21 22 24 26 人数 1 1 x y 2 1 已知该队队员年龄的中位数为岁，则众数是______岁． 【答案】21 【解析】 【分析】根据题意，第5个数据21，第6个数据22的平均数为中位数岁，故，继而确定众数，解答即可． 本题考查了中位数，众数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第5个数据21，第6个数据22的平均数为中位数岁， 故， 故众数为21岁， 故答案为：21． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求解答下列问题： （1）（因式分解） （2）（分式计算） （3）（解分式方程） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，分式的加减，以及解分式方程． （1）用完全平方公式分解即可； （2）先把分母变形，再通分，然后按同分母分式的加减法法则计算； （3）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验． 【小问1详解】 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 18. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则，原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：； （2）求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】（1） （2） 证明： ， 设， 原式． ∵为正整数， ∴也为正整数， ∴式子的值一定是某一个整数的平方． 【解析】 【分析】（1）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解； （2）将原式转化为，进一步整理为，根据n为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【小问1详解】 解：设， 则原式， 所以； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 19. 先化简代数式，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 先通分，再按同分母分式计算加减，最后或代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ，，且，a为整数， ，1 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 20. 小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下： 小聪：，，，，小明：，，，， （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 8 小明 9 3.2 （2）根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？ （3）如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差______．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】（1）8，0.4，8，9 （2）选择小聪，理由为：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定； （3）变小 【解析】 【分析】本题考查求一组数据的众数、方差、中位数、平均数，利用平均数、方差作决策： （1）根据众数、方差、中位数、平均数的定义求解； （2）利用平均数、方差作决策； （3）根据方差公式计算出新方差，与原方差比较大小即可． 【小问1详解】 解：小聪5次成绩为，，，，， 众数为：8， 方差为：； 小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10， 中位数为：9 平均数为：， 故答案为：8，0.4，8，9； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分， 方差变为：， 故答案为：变小． 21. 若且，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．用分组分解法对等式的左边进行因式分解，将第一、二、四项分成一组，用完全平方公式因式分解，再用平方差公式进行因式分解，结合，通过整体代入求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 22. 已知分式(a，b为常数)满足表格中的信息： x的取值 1 c 分式的值 无意义 0 1 （1）则b的值是 ； （2）求出c的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值、分式有意义和无意义的条件，解题的关键是根据分式的值求出字母的值及分式有意义的条件． （1）根据分式无意义的条件求解即可； （2）先根据时分式的值为0求出a的值，再根据分式的值为1求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵时分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：1． 【小问2详解】 解：当时，分式， 则， 解得， 所以分式为， 当时，则，解得， 经检验，当时，原方程有解， 即． 23. 某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，，在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． 甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致填“甲”、“乙”或“丙”，并说明理由； （3）按笔试成绩占，面试成绩占，选出综合成绩最高的同学． 【答案】（1）9，8，83 （2）乙 （3）综合成绩最高的是乙 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数和众数的定义可得m、n的值；把十位评委的打分相加可得p的值； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数， 由扇形图可知丙的得分8分的最多，故众数； ， 故答案为：9，8，83； 【小问2详解】 解：由题意可知，甲的方差比丙的小，由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致； 故答案为：乙； 【小问3详解】 解：甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分）， 因为， 所以综合成绩最高的是乙． 24. 今年，我国国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球，某商家看准商机，决定购进、两型与此电影有关的网红创意桌面摆件—“我命由我不由天”进行销售．已知件型摆件的进价比件型摆件的进价多元，用元购进型摆件的数量与用元购进型摆件的数量相等． （1）求、两型摆件的进货单价； （2）该商家准备购进、两型摆件共件，且购进型摆件的数量不少于型摆件数量的倍．怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）款摆件每个的进价为元，款摆件每个的进价为元 （2）商家购买件型摆件，件型摆件总费用最少，最少费用为元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应分分式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 设款摆件每个的进价为元，款摆件每个的进价为元，根据“用元购进型摆件的数量与用元购进型摆件的数量相等”，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意要检验； 设购买款摆件件，则购买款摆件件，根据题意，先求出的取值范围，再商家购买两款摆件的总费用为元，根据总费用购买两款摆件的费用之和列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：设款摆件每个的进价为元，款摆件每个的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验， 是原分式方程的解，且符合实际意义， ， 答：款摆件每个的进价为元，款摆件每个的进价为元； 【小问2详解】 解：设购买款摆件件，则购买款摆件件， 根据题意得：， 解得：， 的取值范围为， 设商家购买两款摆件的总费用为元， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，最小，最小值为， 此时， 答：商家购买件型摆件，件型摆件总费用最少，最少费用为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 栖霞市2025-2026学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共8页，共三道大题，24道小题．本试卷满分120分；考试时间为120分钟． 2．学生在答卷过程中不允许使用计算器． 3．使用答题卡时请注意： ①答题前，务必认真核对条形码上的姓名、准考证号和座号，将学校、姓名、考号、座号完整的填写在相应位置； ②答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净； ③答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求字体工整、笔迹清晰，务必在题号所指示的答题区域内作答； ④保证答题卡清洁、完整，严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带； ⑤若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列各式中，分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. “阅读，遇见更美好的自己”．为了解同学们课外阅读情况，王老师对某学习小组10名同学5月份的读书量进行了统计，结果如下（单位：本）：5，5，3，6，3，6，6，5，4，5，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 3和 B. 4和5 C. 5和5 D. 6和4．5 4. 将多项式分解因式的结果是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在某公司的面试中，李明的得分情况为：个人形象89分，工作能力93分，交际能力83分．已知个人形象、工作能力和交际能力的权重为，则李明的最终成绩为（　　） A. 265分 B. 分 C. 分 D. 分 7. 若的结果为整数，则整数的值不可能是（ ） A. 44 B. 55 C. 66 D. 77 8. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 无解 9. 想要获得高超的技术，不付出一番努力是绝对做不到的．在射击训练过程中，新手的表现一般不太稳定，会有较大的波动．下图是小逸和小亮在射击训练中进行10次射击之后的成绩统计图，根据图中信息推测，可能是新手的是（ ） A. 小亮 B. 小逸 C. 都是新手 D. 无法判定 10. 在体育课上，甲，乙两名同学进行跳绳比赛．在相同时间内，甲跳360下，乙比甲少跳40下．已知甲每分钟比乙多跳20下，设甲每分钟跳下，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果．） 11. 利用乘法公式的知识简便计算：___________． 12. 一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距 _______． 13. 当k＝_____时，100－kxy+49是一个完全平方式． 14. 已知一组数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的方差是______． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值是___________． 16. 某篮球队10名队员的年龄情况如下： 年龄/岁 19 20 21 22 24 26 人数 1 1 x y 2 1 已知该队队员年龄的中位数为岁，则众数是______岁． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求解答下列问题： （1）（因式分解） （2）（分式计算） （3）（解分式方程） 18. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则，原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：； （2）求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 19. 先化简代数式，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 20. 小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下： 小聪：，，，，小明：，，，， （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 8 小明 9 3.2 （2）根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？ （3）如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差______．（填“变大”、“变小”或“不变”） 21. 若且，求的值． 22. 已知分式(a，b为常数)满足表格中的信息： x的取值 1 c 分式的值 无意义 0 1 （1）则b的值是 ； （2）求出c的值． 23. 某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，，在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． 甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致填“甲”、“乙”或“丙”，并说明理由； （3）按笔试成绩占，面试成绩占，选出综合成绩最高的同学． 24. 今年，我国国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球，某商家看准商机，决定购进、两型与此电影有关的网红创意桌面摆件—“我命由我不由天”进行销售．已知件型摆件的进价比件型摆件的进价多元，用元购进型摆件的数量与用元购进型摆件的数量相等． （1）求、两型摆件的进货单价； （2）该商家准备购进、两型摆件共件，且购进型摆件的数量不少于型摆件数量的倍．怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $