精品解析：新疆乌鲁木齐市实验学校2025-2026学年高二上学期11月质量监测数学试卷

2025—2026学年第一学期11月质量监测高二年级数学学科问卷 考试时长：120分钟 卷面分值：150分 一､单选题（本题共计8小题，每题5分，共计40分） 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 4. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的顶点分别为，，以线段为直径的圆与直线相切，且的焦距为4，则的方程为（ ） A B. C. D. 8. 实数满足，则最小值为（ ） A. 3 B. 7 C. D. 二､多选题（本题共计3小题，每题6分，共计18分） 9. 已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（ ） A 若与关于平面对称，则 B. 若，则A，B，C，D共面 C. 若，则A，B，C，D共面 D. 若三点共线，则 10. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大面积为 B. 若直线的斜率为，则 C. 存在点P使得 D. 的最大值为5 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于直线平分 C. 若，则 D. 若，则 三､填空题（本题共计3小题，每题5分，共计15分） 12. 抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是________． 13. 直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程. 14. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 四､解答题（本题共计5小题，共计77分） 15. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，过点，离心率； （2），经过点，焦点在轴上的双曲线； 16. 已知三个点，，，圆为外接圆. （1）求圆的方程； （2）设直线与圆交于两点，且，求的值. 17. 已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，长轴长是，离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在该椭圆上，为它的左、右焦点，且，求△的面积． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，M是棱上的点，且． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知双曲线的离心率为，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期11月质量监测高二年级数学学科问卷 考试时长：120分钟 卷面分值：150分 一､单选题（本题共计8小题，每题5分，共计40分） 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， ， 所以， 故选：D 2. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线方程化为标准方程易得焦参数，从而得焦点到准线的距离． 【详解】抛物线化为标准方程为，焦点坐标为，准线方程为，所求距离为． 故选：B 3. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据得到答案. 【详解】，即，圆心，半径， ，圆心为，， ，故两圆外切. 故选：C. 4. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离求解即可. 【详解】解：因为直线，即为， 原问题转化为求两平行直线与间距离， 由平行直线间的距离公式可得. 故选：D. 5. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出两直线垂直时参数值，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，则，解得或，题中应是充分不必要条件， 故选：B． 6. 已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，焦距为4，结合a,b,c之间的关系以及离心率公式可得答案. 【详解】由题得，即， 由焦距为4得，解得， 可得椭圆方程为，所以，， 所以离心率为. 故选：B. 7. 已知双曲线的顶点分别为，，以线段为直径的圆与直线相切，且的焦距为4，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式列出方程推出关系，然后结合双曲线的焦距，求出双曲线的方程即可. 【详解】双曲线的顶点分别为，， 且以线段为直径的圆的圆心为， 以线段为直径的圆与直线相切， 圆心到直线的距离为，则， 则，又， 双曲线的焦距为，所以，解得，， 所以双曲线方程为：. 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了计算求解能力，属于基础题. 8. 实数满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简可得，表示为圆上点到直线距离的倍，运用几何法求解即可. 【详解】化简可得，即在圆上， 则表示为圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 则的最小值为. 故选：A 二､多选题（本题共计3小题，每题6分，共计18分） 9. 已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（ ） A. 若与关于平面对称，则 B. 若，则A，B，C，D共面 C 若，则A，B，C，D共面 D. 若三点共线，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用“关于谁对称谁不变”即可求出B点坐标即可判断，对于B：利用共面向量定理可得B正确；对于C：利用共面向量定理的推论即可验证；对于D：利用共线向量定理即可求得结果. 【详解】对于A，A与B关于平面对称，则，故A错误； 对于B，由共面向量定理易知得B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，因为A，B，C共线，所以共线， 所以，所以，故D正确． 故选：BD． 10. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大面积为 B. 若直线的斜率为，则 C. 存在点P使得 D. 的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】当P为椭圆短轴顶点时的面积最大，即可判断A；利用两点求斜率公式计算化简即可判断B；当P为椭圆短轴顶点时为最大，利用余弦定理计算即可判断C；根据椭圆的定义可得，求出即可判断D. 【详解】对A，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大， 且最大面积为：，故A错误； 对B，由椭圆，得，设， 则，又，则， 所以，故B正确； 对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时， 即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误； 对D，由椭圆，所以，又， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 三､填空题（本题共计3小题，每题5分，共计15分） 12. 抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为, 设抛物线上一点到焦点的距离为3, 则 所以, 故答案为：2. 13. 直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程. 【答案】2x＋y－6＝0 【解析】 【分析】根据题意可写出直线的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)，求得A，B(0,4－k)，进而得到|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－，再由均值不等式可得到最值. 【详解】依题意，l的斜率存在，且斜率为负， 设直线l的斜率为k， 则直线l方程为y－4＝k(x－1)(k<0). 令y＝0，可得A； 令x＝0，可得， |OA|＋|OB|＝＋＝5－ ＝5＋≥5＋4＝9. 当且仅当＝且k<0， 即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值. 此时l的方程为：2x＋y－6＝0. 14. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故答案为： 四､解答题（本题共计5小题，共计77分） 15. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，过点，离心率； （2），经过点，焦点在轴上的双曲线； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）确定曲线类型，再设出标准方程，借助离心率及所过点列出方程组求解. （2）根据给定条件，设出双曲线方程，代入求出虚半轴长平方即可. 【小问1详解】 依题意，所求方程的曲线是椭圆，设方程为， 由离心率，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以所求曲线的标准方程为. 【小问2详解】 依题意，设双曲线方程为，而， 双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 16. 已知三个点，，，圆为的外接圆. （1）求圆的方程； （2）设直线与圆交于两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，代入点的坐标，求出、、，即可得解； （2）首先确定圆心坐标与半径，由弦长求出圆心到直线的距离，即可得到方程，解得即可. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为点，，在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为，即； 【小问2详解】 由（1）可得圆的圆心为，半径， 又，所以圆的圆心到直线的距离， 所以，解得. 17. 已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，长轴长是，离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在该椭圆上，为它的左、右焦点，且，求△的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆中离心率与的关系求解； （2）根据椭圆的定义和余弦定理求解. 【小问1详解】 由题可得，，解得， 所以椭圆的标准方程是； 【小问2详解】 由（1）知，， 在中，由余弦定理得 即.① 由椭圆定义，得，即② 将②代入①解得， ∴. 因此所求的面积是. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，M是棱上的点，且． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算，利用数量积得，，利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）分别求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解； （3）假设在线段上存在点，设，求出，利用线面角的向量公式可求的值，从而得. 【小问1详解】 由平面，，结合平面, 故， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由有：， 所以， 由题设可得， 所以， 所以，即， ，即， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）有， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设二面角的平面角为，则为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 设与平面所成的角为，则. 设，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 故， 整理得，故或（舍）， 所以当时，存在点满足题意. 19. 已知双曲线的离心率为，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程； （2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点． 【小问1详解】 由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． 【小问2详解】 当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $