4.2.1 指数函数的概念课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的概念及指数增长、衰减模型，通过A、B景区游客人次的实际数据对比导入，先观察线性与非线性增长差异，再计算年增长率发现指数增长规律，结合冰川融化案例引出指数衰减，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点是以真实情境引导学生用数学眼光观察现实问题，如通过景区游客增长率探究抽象出指数增长本质。通过辨析指数函数底数限制的推理过程，培养数学思维中的逻辑推理能力。例题与变式练习结合待定系数法，强化用数学语言表达函数关系，帮助学生理解概念本质，也为教师提供情境化、探究式的教学路径，提升教学效果。

第 4章 指数函数与对数函数 4.2.1 指数函数的概念 学习目标：通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。 教学重点：指数函数的概念； 教学难点：指数增长（衰减）规律的发现. 教学目标 【指数增长】随着中国经济的高速增长，旅游人数不断增加，A、B两个景区自 2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格，B地则取消了门票.下 表给了A、B两个景区2001~2015年的游客人次及逐年增加量. 比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？ A地区经营地比较平衡，B地区发展比较快. 一.指数的增长和指数的衰减 为了便于观察，我们把表格中的数据画成图像： 观察图像和表格，可以发现：A景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万人次)；B景区的游客人次是非线性增长，年增加量越来越大，难从图像和年增加量都难看出变化规律. 一.指数的增长和指数的衰减 A景区人次/万次 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 B景区人次/万次 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 903 1005 1118 1244 【探究】我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.那么能否通过 对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？ 增加量=变后量-变前量 【尝试】从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 2002年游客人次 2001年游客人次 =   2003年游客人次 2002年游客人次 =   2015年游客人次 2014年游客人次 =   增长率= 增加量 变前量 【结论】结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数. 一.指数的增长和指数的衰减 【总结】像这样，增长率为常数的变化方式，称为指数增长.因此，B景区的游客 人数近似于指数增长.即从2011年起，每一年的游客人次都是上一年的 1.1倍左右，增长量越来越多. t年后，B景区游客人次是2011年的1.11t倍.即t年后B景区的游客人次:   容易看出这是一个函数，其中指数t是自变量. 【指数衰减】南极冬季的冰架面积大约为1880万平方千米，假设冰川每年融化0.1%， 那么n年后南极的冰川的剩余量W为：   一.指数的增长和指数的衰减 【定义】如果用字母 a 代替上述两个问题中的底数1.11和0.999，那么函数   一般地，函数 y = ax ( a>0且a≠1）叫做指数函数. 其中 x 是自变量，定义域是R.   和 就都可以表示为 的形式，   其中， 是自变量，底数 是一个大于0且不等于1的常量.         所以它是指数函数. 二.指数函数的概念 【1】 解析式中 ax 的系数为1 【2】 底数 a 是常数，满足a>0且a≠1 【3】 自变量x是指数，且   因此，指数函数的定义只是一个形式定义.判断一个函数是不是指数函数关键是看这个函数的解析式变形整理之后是不是具备以上三个特征. 例如， 等都是指数函数，这是因为       其中， 称为指数型函数，     称为正整数指数函数. 二.指数函数的概念 指数函数 y = ax ( a>0且a≠1）的结构特征. 【问题】 指数函数 中为什么规定 ？ 【答】 ①若 ，则当 时， ；当 时， 无意义.               ②若 ，则对于 的某些数值，可以 无意义.如 ，这 时对于 等情况在实数范围内函数值不存在.           ③若 ，则对于任意 ， 是一个常量，没有研究 的必要.为了避免上述情况的发生，所以规定 ，这样 规定之后，对于任意的实数 ， 都有意义且 .               二.指数函数的概念 指数函数 y = ax ( a>0且a≠1）的结构特征. 【例1】(1)下列函数中是指数函数的是 A.y=2·3x B.y=C.y=3x D.y=(-2)x A中，3x的系数是2，故A不是指数函数； B中，y=的指数是x+1，不是自变量x，故B不是指数函数； C中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数； D中，底数-2<0，故D不是指数函数. 解析 C 二.指数函数的概念 10 (2)若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是 A.(0，1)∪(1，+∞) B.[0，1)∪(1，+∞) C.∪(1，+∞) D. 依题意得2a-1>0，且2a-1≠1， 解得a>且a≠1， 即a的取值范围是∪(1，+∞). 解析 C 二.指数函数的概念 11 若函数y=(a2-3a+3)·ax为指数函数，则a的值为　　. 由指数函数的定义知 由①得a=1或a=2，结合②得a=2. 解析 2 二.指数函数的概念 12 （1）; (2) (3) ; (4) (5) ✔ ✘,底数 ✘,底数为自变量,指数为常数4，它是幂函数 【变式】判断下列函数是否为指数函数： ✘,不形如“”形式 ✘, 的系数为3，不为1 二.指数函数的概念 【例2】已知指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值. 因为f(x)=ax，且f(3)=π，则a3=π， 解得a=，于是f(x)=. 所以，f(0)=π0=1，f(1)=，f(-3)=π-1=. 解 三.求指数函数的解析式或求值 课本——114页【例1】 14 【变式1】已知指数函数f(x)的图象过点则f(x)=　　　， [f(2)]2的值为　　　. 三.求指数函数的解析式或求值 【变式2】指数函数y=f(x)满足f(-2)=那么f(2)·f(1)等于 A.-3 B.9 C.27 D.81 √ 15 【变式1】已知指数函数f(x)的图象过点则f(x)=　　　， [f(2)]2的值为　　　. 设指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)， 把点代入可得解得a=. 所以f(x)=所以[f(2)]2=. 解析 三.求指数函数的解析式或求值 16 三.求指数函数的解析式或求值 【变式2】指数函数y=f(x)满足f(-2)=那么f(2)·f(1)等于 A.-3 B.9 C.27 D.81 √ 设指数函数y=f(x)=ax(a>0，且a≠1)， 则a-2=解得a=3， 则指数函数的解析式为y=f(x)=3x， 故f(2)·f(1)=32×31=27. 解析 17 提示　第x次折叠后对应的层数y=3×2x(x∈N*)， 对折后的面积S=0.06×(x∈N*). 如果我们将3张A4复印纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间有什么关系？对折后的面积S(A4纸的面积近似为0.06平方米)与折叠的次数又有怎样的关系呢？ 四.指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 1.y=kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数增长型函数模型. 2.y=kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数衰减型函数模型. a>1 0<a<1 四.指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 19 【例4】 (1)某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子.则第n代得到的种子数y与n的函数关系式为　　 　　　　，第5代得到的种子数为　　　　　　. 根据题意，假设第n代得到的种子数为y， 由于第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则y=120n-1(n∈N*)， 当n=5时，y=1204=2.073 6×108(粒). 解析 y=120n-1(n∈N*) 2.073 6×108 四.指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 20 (2)某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式. 设该物质最初的质量是1，经过x年剩留量是y. 经过1年，剩留量是y=1×0.84=0.841； 经过2年，剩留量是y=0.84×0.84=0.842； …… 一般地，经过x年，剩留量是y=0.84x(x∈N*). 解 四.指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 21 【变式】某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y=10ekt，其中e，k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，则10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为 A.640 B.1 280 C.2 560 D.5 120 √ 设原来的细菌数为a，由题意可得，在函数y=10ekt中，当t=1时，y=2a，∴2a=10ek，即ek=∴y=10当a=10，t=7时，y=10×27=1 280，∴10个细菌经7小时培养能达到的个数为1 280. 解析 四.指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 22 课堂小结 $