4.1.1 n次方根与分数指数幂　　-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦n次方根、根式与分数指数幂的概念及运算性质，从平方根、立方根的已有知识切入，通过问题驱动引入n次方根，结合表格归纳其性质，再定义根式并探究性质，进而实现根式与分数指数幂的互化，构建从具体到抽象的知识支架，包含自主评测、例题变式等环节。 以希伯斯发现无理数的历史情境激发兴趣，提升数学抽象素养。通过问题链引导思考n次方根的个数规律，结合表格清晰呈现性质，例题链接教材并设变式探究（如x范围变化对根式化简的影响），强化数学运算素养。分层练习题覆盖基础与创新，课中助力教师引导知识构建，课后帮助学生巩固运算技能，查漏补缺。

4．1　指数 4．1.1　n次方根与分数指数幂　　　　　　　　► 对应学生用书P89 学习目标　1.理解n次方根、根式的概念，提升数学抽象素养．(重点)　2.理解分数指数幂的含义，能对根式与分数指数幂进行互化，提升数学运算素养．(重点)　3.掌握分数指数幂的运算性质，提升数学运算素养．(重点、难点) 　　　公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯是数学史上第一个发现无理数的．他考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？ 问题1　你能帮希伯斯解决这个问题么？ 提示：根据勾股定理发现对角线的长度的平方为2. 【自主评测】 判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)实数a的偶次方根有两个．(　　 ) (2)0的任何次幂都等于0.(　　 ) 就是个a相乘．(　　 ) 是一个确定的实数．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 　n次方根与根式 问题2　如果x2＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？ 提示：如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个． 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 n是 奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为 a<0 x<0 n是 偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为± a<0 x在实数范围内不存在 温馨提示 　 2．根式 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：(n>1，且n∈N*) ①n＝a． ② 例1　(1)(链接教材：人教A版P105例1)＝________； (2)已知x≤－3，则＝________； (3)若＝(5－x)，则x的取值范围是____________． 解析：(1)原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0. (2)因为x≤－3，所以原式＝＝|x－1|－|x＋3|＝－(x－1)＋(x＋3)＝4. (3)因为＝(5－x)， 所以所以－5≤x≤5. 所以实数x的取值范围是{x|－5≤x≤5}． 答案：(1)0　(2)4　(3){x|－5≤x≤5} 变式探究　本例(2)中，若将条件“x≤－3”变为“－3<x<3”，其结果又是什么？ 解：原式＝＝|x－1|－|x＋3|， ∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. ∴原式＝ 类题通法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 根式化简与求值的思路及注意点, (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简． (2)注意点： ①正确区分()n与两式． ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论． 　分数指数幂 问题3　根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？ ①(a>0)； ②(a>0)； ③(a>0)． 提示：当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数． 1．分数指数幂 正分数 指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数 指数幂 规定：= ＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 角度一　根式与分数指数幂的互化 例2　(链接教材：人教A版P106例3)将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)(a>0)； (2). 解：(1)原式＝. (2)原式＝＝＝＝＝＝x－ 类题通法 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 角度二　化简求值问题 例3　(链接教材：人教A版P106例2)化简求值． -2； . 解：(1)原式＝＝3－24＋2＝－19. (2)原式＝＝4a. 类题通法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号的要先算括号里面的． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数，根式化为分数指数幂． (3)底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数． (4)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同． 　 1．已知x7＝5，则x的值为(　　 ) A． B． C．－ D．± 解析：选B.由根式的定义知x7＝5，则x＝. 2．(2025·青海西宁期末)若a＝，则a＋b等于(　　 ) A．－10 B．10 C．－2 D．2 解析：选D.因为a＝＝|－6|＝6，所以a＋b＝2. -1＝________． 解析：原式＝＝2－1＋2＝3. 答案：3 4．已知＝4，则a＋a-1＝________． 解析：＝4，两边平方得2＝16，即a＋2＋a-1＝16，即a＋a-1＝14. 答案：14 [课后分层练(二十八)]　n次方根与分数指数幂 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知m10＝2，则m等于(　　 ) A． B．－ C． D．± 解析：选D.∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±. 2．化简 的值是(　　 ) A． B．－ C．± D．－ 解析：选B.. 3．若x<，则 等于(　　 ) A．3x－1 B．1－3x C．(1－3x)2 D．非以上答案 解析：选B.∵x<，∴＝|1－3x|＝1－3x. 4．已知a>0，则化为(　　 ) 解析：选. 5．已知10m＝2，10n＝4，则的值为(　　 ) A．2 B． C． D．2 解析：选. 6．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是(　　 ) A．－(x≥0) B．(x≤0) (x>0) (x≠0) 解析：选C.－＝－x(x≥0)，故A错；＝(－x)(x≤0)，故B错；x－＝(x≠0)，故D错． 7．若x<0，则x＋＝________． 解析：∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1. 答案：－1 ．＝________． 解析：＋. 答案： 9．计算下列各式： ＋16-0.75. (a>0，b>0)． 解：(1)原式＝－1＋(－2)-4＋(24)-0.75＝. (2)原式＝. 【综合运用】 10．(多选)若xn＝a(x>0，n>1，n∈N*)，则下列说法中正确的是(　　 ) A．当n为奇数时，x的n次方根为a B．当n为奇数时，a的n次方根为x C．当n为偶数时，x的n次方根为±a D．当n为偶数时，a的n次方根为±x 解析：选BD.当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x； 当n为偶数时，由于(±x)n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x. 11．如果45x＝3，45y＝5，那么2x＋y＝________． 解析：由45x＝3，得(45x)2＝9，又45y＝5，则452x×45y＝9×5＝45＝451，即452x＋y＝451，故2x＋y＝1. 答案：1 12．已知m＝2，n＝3，则(÷)3的值是________． 解析：原式＝3＝3＝m·n-3＝2×3-3＝. 答案： 13．设f(x)＝，若0<a≤1，则f＝________. 解析：f＝＝. 又∵0<a≤1，∴a≤，∴f＝－a. 答案：－a 【创新探索】 14．若a，b，c为正实数，ax＝by＝cz，＝0，求abc. 解：设ax＝by＝cz＝k， 则k>0，a＝， 因此abc＝＝k0＝1. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $