精品解析：江苏省南京市秦淮区2025-2026学年上学期九年级数学期中试题

2025-2026学年度第一学期第一阶段学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知点在直径为6的上，则的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质：半径等于直径的一半． 点在圆上，是半径；根据直径求半径即可． 【详解】解：∵直径为6， ∴半径． 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 3. 某商品经过连续两次降价，售价从10元降为8元．设平均每次降价的百分率是，下列方程：①；②；③，其中，符合题意的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 商品连续两次降价，每次降价率相同为x，根据降价公式，原价乘以等于现价． 【详解】解：根据题意得：， ∴符合题意的是①． 故选：A． 4. 小明统计了本班40名学生暑假的阅读量，绘制了一幅条形统计图（如图）． 则该班学生阅读量的中位数是（ ） A. 12本 B. 10本 C. 5本 D. 4本 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数以及条形统计图，解题的关键是掌握中位数的定义． 根据中位数的定义分析解答即可． 【详解】解：∵该班学生阅读量按由小到大的顺序排序后，第 20 和 21 个数据为 4，4 ， ∴该班学生阅读量的中位数是：（本）． 故选：D． 5. 如图，在地球上，两地经度相同，纬度分别为（即）和（即）．已知地球的半径约为，则地球表面两地的距离（即的长）约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴地球表面两地的距离（即的长）约为（）． 故选：B． 6. 如图，在中，将沿着弦所在直线折叠，交弦于点，连接．若 ，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点的延长线交于点，连接，由折叠性质得点的对应点为点，则，证明得，在中，根据得，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，据此即可得出的长． 【详解】解：过点作于点的延长线交于点，连接，如图所示： ， 由折叠性质得：点的对应点为点， ， ∴四边形内接于， ， 又 ∵， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的长度是． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，圆周角定理，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，灵活运用含有角的直角三角形性质及勾股定理进行计算时解决问题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握提取公因式进行因式分解是解题的关键． 通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式，然后运用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解得 ， 解得． 故答案为：． 8. 若是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零． 【详解】解：因为方程是关于的一元二次方程， 所以二次项系数， 故答案为：． 9. 关于的方程的两个实数根分别是，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，再代入已知条件求解． 【详解】解：对于方程 ，由根与系数的关系，得 代入已知条件 ，得 解得 此时判别式 ，方程有两个实数根，符合题意， 故答案为：． 10. 某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和环境．以下是两个商家四项得分的情况： 商家 口味 服务 性价比 环境 A 4.5 4.7 4.2 4.8 B 4.6 4.8 4.5 4.1 如果某顾客将以上四项得分按计算，那么他会选择商家_______（填“A”或“B”） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的概念，按照给定的权重比例计算商家A和B的综合得分，并比较大小． 【详解】解：商家A的加权总分：； 商家B的加权总分：； 比较加权和，，因此顾客会选择商家B， 故答案为：． 11. 如图，四边形内接于，延长交于点．若，则________°． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ， 故答案为：110． 12. 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径是5，则其母线长是________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的侧面积等于扇形的面积，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用弧长公式建立方程求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为，则扇形的弧长为 ． 圆锥的底面周长为． 根据弧长相等，得， 解得． 故答案为：12． 13. 如图，是正五边形的边上的动点（与点不重合），连接，则的度数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正五边形以及圆周角定理，解题的关键是掌握正五边形的性质以及圆周角定理． 正五边形的中心角为，进而可以求出，得出的度数的取值范围即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形的中心角为， ， 点P与点A，E不重合， ∴的度数的取值范围是． 故答案为：． 14. 点在边长为1的正方形的边上，以为边在正方形的右侧作正方形，延长交于点．若正方形和四边形的面积相等，则的长度是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定，一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的性质，矩形的判定，解一元二次方程是解决问题的关键． 设正方形的边长为，则，面积为，其中，根据正方形的边长为 1 得，证明四边形是矩形得面积为，由此得，解此方程求出即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴，正方形的面积为，其中， ∵正方形的边长为 1 ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为：， ∵正方形和四边形的面积相等， ， ， 解得：（不合题意，舍去）， ， 故答案为：． 15. 如图，与相切，为切点，的延长线交于点，连接．若，则_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，进而求出，再根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 在中，，是中线，是的中点，则长度的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据固定边和固定角，确定点C的轨迹是以为弦、圆周角为的圆，取中点N，连接，由于是中线，D是中点，M是中点，因此点M的轨迹是点C轨迹圆的相似缩小圆,最后，求点B到点M轨迹圆的最小距离，即点B到轨迹圆圆心的距离减去轨迹圆的半径即可求解． 【详解】解：， 点C在以为弦的圆上， 如图所示，取中点N，连接， 则， ， ． 点D为中点， ，， 则， 则， ， 点M始终在点N的下方处， 则点M的轨迹为以中点Q为圆心，为半径的圆上． 如图，连接， 则当点M在与圆Q的交点处时，取得最小值， 在中， ， 则， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形特征，圆周角定理，垂线段最短，解直角三角形的相关计算，点的轨迹、圆的性质，勾股定理等知识，能根据题意得出点M的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握相应的运算法则，将一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先计算，再利用公式法解方程即可； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴， ． 19. 国庆期间，某景区推出新的文艺表演节目，经试运行发现，票价为元时，可售出门票张；票价每提高1元，售出的门票将减少8张．要使得门票收入为元，则票价应定为多少元？ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设票价应定为元，根据门票收入为元列出一元二次方程求解． 【详解】解：设票价应定为元， 则提高的金额为元，销量减少张， 所以销量为张， 可列方程， 解得：，， 答：票价应定为元或元． 20. 将一个常数项不为0的一元二次方程的二次项系数与常数项对调，得到的新的一元二次方程称为原方程的“逆方程”． （1）写出方程的逆方程； （2）已知某一元二次方程（常数项不为0）没有实数根，求证：其逆方程也没有实数根． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了“逆方程”的定义，以及一元二次方程根的判别式等知识． （1）根据“逆方程”的定义求解即可． （2）根据根的判别式证明即可． 【小问1详解】 解∶ 原方程的二次项系数为2，常数项为1， 对调后得逆方程为． 【小问2详解】 证明：设原方程为 ，， 其判别式． ∵原方程没有实数根， ∴， 逆方程为，其判别式， ∵， ∴ ∴逆方程也没有实数根． 21. 如图，内接于，．连接并延长，交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了外心，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键． （1）如图，连接、，由内接于，可知，再证明，进而可知垂直平分； （2）由（1）知，，，由垂径定理可得，，由勾股定理得，，则，然后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接、， ∵内接于， ∴， ∵， ∴， ∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上， ∴垂直平分； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 由垂径定理可得，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 22. 某校为了普及环保知识，从九年级1，2班中各选出5名学生参加环保知识竞赛，成绩如下（满分100分）： 班级 竞赛成绩/分 九年级1班 100 94 91 85 80 九年级2班 98 97 93 80 77 （1）填写表格并对两个班级参赛学生的成绩进行评价； 班级 平均分/分 方差/分2 九年级1班 90 ___________ 九年级2班 ___________ （2）如果从这两个班参赛学生中各选出成绩最好的3名学生参加决赛，你认为哪个班级的选手实力更强一些？说说你的理由． 【答案】（1）九年级1班方差为，九年级2班平均分为89分； 评价：九年级1班平均分较高且方差较小，成绩更稳定，九年级2班平均分较低且方差较大，成绩波动较大． （2）九年级2班的选手实力更强，因为其前三名成绩的平均分更高． 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平均数，方差的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将5名同学成绩相加再除以5就得到平均分，将每一位同学的成绩都减去平均分后平方，再相加，最后除以5就得到方差，而方差越小越稳定，越大越不稳定． （2）通过前三名平均分来分析，即可求解． 【小问1详解】 解：九年级1班的方差为， 九年级2班的平均分为分， 评价：九年级1班平均分90分高于九年级2班89分，但九年级1班方差小于九年级2班，故九年级1班平均分更高且成绩更稳定，九年级2班成绩波动较大． 【小问2详解】 九年级1班前三名平均分为分， 九年级2班前三名平均分为分， ， 九年级2班前三名平均分更高，故实力更强． 23. 已知关于的方程（其中为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根是2，则另一个根是 ． 【答案】（1）见解析 （2）3或1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）把代入方程求得m，设方程另外一个根为t,利用根与系数的关系列出关于t的方程，解之即可得到答案． 【小问1详解】 证明：方程整理得， ， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：该方程一个根是2， ， 解得或， 方程为或， 设方程的另外一个根为t, 则或， 或， 故方程的另一个根为3或1． 故答案为：3或1． 24. 如图，是的边上一点，以为直径作．已知，，． （1）求证：与相切； （2）若与也相切，则的周长为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、切线的判定、切线长定理、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理逆定理可得为直角三角形，即，再根据即可得证； （2）记与切点为M，由切线长定理可得，，设，建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， 在中，， ∴， ∵为直径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：如图，记与切点为M， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 25. 数学课上，老师布置了一个实践活动——将一个长为，宽为的矩形硬纸板折叠成一个长方体盒子． （1）如图（1），小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形，将其折成一个底面积为的无盖长方体盒子，求这个盒子的体积． （2）如图（2）①，小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形，将其折成一个底面积为的有盖的长方体盒子（如图（2）②）．设裁去的矩形的宽为，根据题意可得方程： ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设小明在硬纸板的四个角各裁去一个边长为的正方形，则折成的无盖长方体盒子的底面为长，宽为的长方形，根据题意列出方程求解即可； （2）根据矩形纸片的长为，宽为，且折成的有盖长方体盒子的高为，即可列出方程． 【小问1详解】 解：设小明在硬纸板的四个角各裁去一个边长为的正方形，则折成的无盖长方体盒子的底面为长，宽为的长方形， 根据题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴盒子的体积； 【小问2详解】 解：∵矩形纸片的长为，宽为，且折成的有盖长方体盒子的高为， ∴折成的有盖长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形． 根据题意得：． 故答案为：． 26. 已知是的一条弦，是内一点，在下列情形时，分别经过点作一条弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图（1），点在上； （2）如图（2），点不在上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，垂径定理． （1）如图①，如图①，过点O作，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求； （2）连接，过点O作于点E，以O为圆心，为半径作弧交于点J，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求． 【小问1详解】 如图（1），线段即为所求； 由作法可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图②，线段即为所求． 由作法可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 一般地，经过三角形的两个顶点且与该三角形的一条边相切的圆叫作这个三角形的“准接圆”．特别地，当“准接圆”还与该三角形的另一条边相切时，该圆叫作该三角形的“强准接圆”． 【概念理解】 （1）以下四个图中，是的准接圆的是（ ） A． B． C． D． 【深入思考】 （2）以下命题：①任意三角形都存在准接圆；②三角形准接圆的圆心一定在该三角形的外部；③三角形准接圆的直径大于或等于以其经过的两个顶点为端点的边．其中，是真命题的是 （填序号） （3）如果一个三角形存在强准接圆，那么它应满足什么条件？说明理由． 【计算求解】 （4）已知在中，． ①若存在强准接圆，则强准接圆的半径长随着的变化而变化，关于的函数表达式是 ； ②当时，直接写出的准接圆的半径长． 【答案】（1）C；（2）①③；（3）等腰三角形，理由见解析；（4）①；②半径长为或2或或或或． 【解析】 【分析】此题考查“准接圆”的定义，全等三角形的判定和性质，切线的性质，勾股定理等， （1）根据“准接圆”的定义直接判断即可； （2）根据“准接圆”的定义判断各选项； （3）结合题意画出图形，证明，推出，由此得到如果一个三角形存在强准接圆，那么为等腰三角形； （4）①如图，由（3）结论可知，由此得到四边形是正方形，即可得到； ②根据“准接圆”的定义，分六种情况，理由勾股定理分别求解． 【详解】解：（1）选项A经过三个顶点，不与边相切，不符合题意； 选项B与三边相切，但不经过定点，不符合题意； 选项C经过两个顶点，且与边相切，符合题意； 选项D与两边相切，但只经过定点C，不符合题意； 故答案为: C; （2）①根据定义可知任意三角形都存在准接圆，故①为真命题; ②如图，当“准接圆”与边的切点恰好为顶点时，此时圆心在三角形的边上，故②为假命题; 当“准接圆”与边的切点恰好为顶点时，此时圆心在三角形的边上，其直径等于以其经过的两个顶点为端点的边， 如图，此时为直径，， ， 此时满足三角形准接圆的直径大于以其经过的两个顶点为端点的边，故③正确； 故答案为：①③； （3）如果一个三角形存在强准接圆，则这个三角形为等腰三角形，理由如下： 如图，为的“强准接圆”， 连接， 根据题意可知， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （4）①如图，由（3）结论可知， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； ②第一种情况：圆经过顶点B，C，且与边相切，此时； 第二种情况：圆经过顶点A，C，且与边相切，此时； 第三种情况，圆经过顶点B，C，且与边相切， 过点O作，交于点M，交于点N， 则，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 第四种情况，圆经过顶点A，C，且与边相切， 过点O作，交于点M，交于点N， 则，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 第五种情况，圆经过顶点A，B，且与边相切， 过点O作，交于点M， 则， ∴ 在中，， ∴， 解得； 第六种情况，圆经过顶点A，B，且与边相切， 过点O作，交于点M， 此时， ∴ 在中，， ∴， 解得； 综上，半径长为或2或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第一阶段学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知点在直径为6上，则的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 某商品经过连续两次降价，售价从10元降为8元．设平均每次降价百分率是，下列方程：①；②；③，其中，符合题意的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 4. 小明统计了本班40名学生暑假的阅读量，绘制了一幅条形统计图（如图）． 则该班学生阅读量的中位数是（ ） A. 12本 B. 10本 C. 5本 D. 4本 5. 如图，在地球上，两地经度相同，纬度分别为（即）和（即）．已知地球的半径约为，则地球表面两地的距离（即的长）约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，将沿着弦所在直线折叠，交弦于点，连接．若 ，则的长度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的解是_______． 8. 若是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 9. 关于的方程的两个实数根分别是，若，则_______． 10. 某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和环境．以下是两个商家四项得分的情况： 商家 口味 服务 性价比 环境 A 4.5 4.7 4.2 4.8 B 4.6 4.8 4.5 4.1 如果某顾客将以上四项得分按计算，那么他会选择商家_______（填“A”或“B”） 11. 如图，四边形内接于，延长交于点．若，则________°． 12. 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径是5，则其母线长是________． 13. 如图，是正五边形的边上的动点（与点不重合），连接，则的度数的取值范围是_______． 14. 点在边长为1正方形的边上，以为边在正方形的右侧作正方形，延长交于点．若正方形和四边形的面积相等，则的长度是_______． 15. 如图，与相切，为切点，的延长线交于点，连接．若，则_______（用含的代数式表示）． 16. 在中，，是中线，是的中点，则长度的最小值是_______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 解方程：． 18. 解方程：． 19. 国庆期间，某景区推出新的文艺表演节目，经试运行发现，票价为元时，可售出门票张；票价每提高1元，售出的门票将减少8张．要使得门票收入为元，则票价应定为多少元？ 20. 将一个常数项不为0的一元二次方程的二次项系数与常数项对调，得到的新的一元二次方程称为原方程的“逆方程”． （1）写出方程的逆方程； （2）已知某一元二次方程（常数项不为0）没有实数根，求证：其逆方程也没有实数根． 21. 如图，内接于，．连接并延长，交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若的半径为5，，求的长． 22. 某校为了普及环保知识，从九年级1，2班中各选出5名学生参加环保知识竞赛，成绩如下（满分100分）： 班级 竞赛成绩/分 九年级1班 100 94 91 85 80 九年级2班 98 97 93 80 77 （1）填写表格并对两个班级参赛学生的成绩进行评价； 班级 平均分/分 方差/分2 九年级1班 90 ___________ 九年级2班 ___________ （2）如果从这两个班参赛学生中各选出成绩最好的3名学生参加决赛，你认为哪个班级的选手实力更强一些？说说你的理由． 23. 已知关于的方程（其中为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根是2，则另一个根是 ． 24. 如图，是的边上一点，以为直径作．已知，，． （1）求证：与相切； （2）若与也相切，则的周长为 ． 25. 数学课上，老师布置了一个实践活动——将一个长为，宽为的矩形硬纸板折叠成一个长方体盒子． （1）如图（1），小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形，将其折成一个底面积为的无盖长方体盒子，求这个盒子的体积． （2）如图（2）①，小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形，将其折成一个底面积为的有盖的长方体盒子（如图（2）②）．设裁去的矩形的宽为，根据题意可得方程： ． 26. 已知是的一条弦，是内一点，在下列情形时，分别经过点作一条弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图（1），点在上； （2）如图（2），点不在上． 27. 一般地，经过三角形的两个顶点且与该三角形的一条边相切的圆叫作这个三角形的“准接圆”．特别地，当“准接圆”还与该三角形的另一条边相切时，该圆叫作该三角形的“强准接圆”． 概念理解】 （1）以下四个图中，是的准接圆的是（ ） A． B． C． D． 【深入思考】 （2）以下命题：①任意三角形都存在准接圆；②三角形准接圆的圆心一定在该三角形的外部；③三角形准接圆的直径大于或等于以其经过的两个顶点为端点的边．其中，是真命题的是 （填序号） （3）如果一个三角形存在强准接圆，那么它应满足什么条件？说明理由． 【计算求解】 （4）已知在中，． ①若存在强准接圆，则强准接圆的半径长随着的变化而变化，关于的函数表达式是 ； ②当时，直接写出的准接圆的半径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $