精品解析： 江苏省南京市秦淮区2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷

2024/2025学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判断求解，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程中含有个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 下列解方程的步骤中，依据是“平方根的意义”的是（ ） A. 第一步：两边都除以2，得 B. 第二步：配方，得，即 C. 第三步：开平方，得 D. 第四步：移项，得，即， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是掌握配方法解方程的步骤．根据平方根的意义判断即可． 【详解】解：根据“平方根的意义”的步骤是选项C． 故选：C． 3. 已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差和算术平均数，熟练掌握方差和算术平均数计算公式是解题关键．分别计算出平均数和方差即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ，． 故选：B． 4. 已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再根据，，即可得出答案． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，， ，， ，， ∴方程两个根分别是，． 故选：D． 5. 如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（ ） A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形面积以及切线的性质，正确将四边形分割成三角形是解题关键．利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出的半径． 【详解】解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，， 连接，，，，，，，，的半径为，如图： ，， 四边形面积 ， 解得：． 故的半径为3． 故选：B． 6. 如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】设正八边形的中心为点，连接、、、、、、，过点作于点，过点作于点，设正八边形的边长为，，根据正八边形的性质得，，点、、共线，且点是的中点，证明得，证明得，推出，可判断①；推出点与点重合，得，可得的度数，可判断③；在中，，得，根据等积法得，继而得到，，得，求解后可判断②；分别求出正八边形和四边形的面积，可判断④． 【详解】解：设正八边形的中心为点，连接、、、、、、，过点作于点，过点作于点，设正八边形的边长为，， ∵八边形是正八边形， ∴， 每个内角的度数是：，中心角的度数是：， ∴， ， ∴， ∴点、、共线，且点是的中点， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在四边形中，， 按同样的方法得， ∴， 在中，， ∴，故结论①正确； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴点是、的中点， ∴点与点重合， ∴， ∴，故结论③正确； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∴正确结论的序号是①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形的性质，正多边形的内角、中心角，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，多边形的面积和梯形的面积等知识点．解题的关键是掌握正多边形的性质． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ∴， ∴，， 故答案为：，． 8. 数据3，0，，4的极差是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是极差的计算，熟记极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差是解题的关键．根据极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差计算． 【详解】解：这组数据的最大值是4，最小值是， 则极差为：， 故答案为：6． 9. 的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P在_______．（填“内”“外”或“上”） 【答案】外 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外⇔；②点P在圆上⇔； ①点P在圆内⇔．根据的半径为r和点P到圆心的距离的大小关系判断即可． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为，， ∴点P在外， 故答案为：外． 10. 超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 72 70 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是______分． 【答案】75 【解析】 【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得． 【详解】（分） 故答案为：75． 【点睛】此题考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的计算方法． 11. 如图，A，B，C是上的三个点，若为，，则的度数为_______． 【答案】40 【解析】 【分析】连接，，利用圆周角定理将用表示出来，再根据平行线的性质将用表示出来，从而根据等腰三角形的性质将用表示出来，进而根据三角形内角和定理将用表示出来，最后根据列方程并求出的值即可． 【详解】解：如图，连接． 设，则， ， ， ， ， ， 为， ， ， ， ． 故答案为：40． 【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 12. 如图，、是的切线，切点分别是、，在上，过的切线分别交、于点、．若，则的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理的应用．根据切线长定理求出，，，代入求出的周长为，代入即可． 【详解】解：、、是圆的切线，切点分别是、、， ，，， 的周长是： ． 答：的周长是20． 故答案为：20． 13. 如图，是一个圆锥主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______． 【答案】216 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧展开图的圆心角的计算，熟知圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长是解题的关键．根据主视图得到圆锥的母线长和底面圆的直径，可得底面周长，再由扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得可知：圆锥的母线长为5， 圆锥的底面直径为6，则圆锥的底面周长为， 由圆锥的侧面展开图的弧长可得：． ∴ 故答案为：216． 14. 如图，以正方形的顶点C为圆心，长为半径画，再以边为直径画，则的长_______的长．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，弧长公式，熟练掌握正方形的性质及弧长公式是解题的关键．根据正方形的性质得出，，再根据弧长公式计算弧的长、弧的长，比较即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设， ， 为直径， ， 弧的长弧的长， 故答案为：． 15. 如图，矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，P是线段上一点，若为直角三角形，则满足条件的点P的个数是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查判断直角三角形的个数，分和两种情况，画出图形即可得出结论 【详解】解：以为直径画圆，与有两个交点，可得两个直角三角形；以点Ａ为直角顶点可作一个直角三角形，如图， 所以，若为直角三角形，则满足条件的点P的个数是， 故答案为：3． 16. 已知代数式（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表： 0.0142 00832 根据表中数据，可知关于x的方程的一个根约为_______，另一个根约为_______．（都精确到0.1） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，关键是观察表格，确定代数式值由负到正时，对应的的取值范围．由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正，故可判断时，对应的的值在之间，然后利用根与系数的关系即可求得另一个根． 【详解】解：设方程的两个根、， ， 由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正， 关于的方程的一个根约为， 则， 则另一个根约为， 故答案为：，0.7． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：. 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，先在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，再进行开方即可得出答案． 【详解】解：配方得：， 即， 开方得：， 则，． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程的左边进行因式分解，然后将方程化为两个一元一次方程求解即可．解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法：直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法，并根据情况灵活选用适当的方法求解． 【详解】解：， ， ∴或， 解得：，． 19. 已知，．求当为何值时，与互为相反数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元二次方程，由相反数的定义可得，利用因式分解法解方程即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：当与互为相反数时，， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20. 下图是南京市2023年、2024年8月上旬日最高气温的折线统计图．阅读统计图并回答以下问题． （1） 根据统计图中的信息，填写下表： 南京市2023年、2024年8月上旬日最高气温的统计表 年份 平均数/ 中位数/ 众数/ 方差/ 2023 33.6 34 1.44 2024 39.1 39 1.09 （2）结合统计图、统计表中的信息，从两个不同的角度比较南京市2023年、2024年8月上旬的日最高气温． 【答案】（1）众数：32或34或35，中位数：39 （2）南京市2023年、2024年8月上旬日最高气温的平均数分别为，可见南京市2024年8月上旬比2023年8月上旬更热；南京市2023年、2024年8月上旬日最高气温的方差分别为，可见南京市2024年8月上旬日最高气温比2023年8月上旬日最高气温更稳定．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数、众数的定义解答即可； （2）根据平均数、方差等统计量解答即可． 【小问1详解】 解：2023年8月上旬日最高气温出现次数最多的是32，34，35，都是3次，故众数为32或34或35； 2024年8月上旬日最高气温从小到大排列，排在中间的两个数分别是39和39，故中位数为； 故答案为：32或34或35，39； 【小问2详解】 解：南京市2023年、2024年8月上旬日最高气温的平均数分别为，可见南京市2024年8月上旬比2023年8月上旬更热；南京市2023年、2024年8月上旬日最高气温的方差分别为，可见南京市2024年8月上旬日最高气温比2023年8月上旬日最高气温更稳定．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了折线统计图、众数、中位数、方差和平均数，解题的关键是读懂图象信息，利用数形结合的方法解答． 21. 如图，在中，，过点作，垂足为．已知，．设长为． （1）根据勾股定理，得 ， ．（都用含的代数式表示） （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，列代数式， （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论； 解题的关键是掌握：直角三角形的两条直角边的长度的平方和等于斜边长的平方． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：；； 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）． ∴的值为． 22. 如图，内接于，过点作射线，使．求证：与相切． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，三角形内角和定理．掌握切线的判定是解题的关键．作直径，连接，延长至点，根据圆周角定理求出，，进而求出，根据三角形内角和定理、平角的定义求出，则，根据切线的判定定理即可得证． 【详解】证明：作直径，连接，延长至点， ∴， ∴， ∵和所对的弧是， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴与相切． 23. 如图，，是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点P，且． （1）用直尺和圆规作出该圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证．． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—作垂线、圆周角定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． （2）由圆周角定理可得，则．根据全等三角形的判定证明，可得． 【小问1详解】 解：如图，连接，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． 【小问2详解】 证明：如上图，连接， 则， ． ，， ， ． 24. 某商店销售一批数学实验用具，零售价每件240元．如果一次购买超过10件，那么每多购1件，购买的所有实验用具的单价均降低6元，但单价不能低于150元．小明和几位同学购买这种实验用具支付了3600元，他们共买了多少件？ 【答案】20件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设小明和几位同学共买了件，根据小明和几位同学购买这种实验用具支付了3600元，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小明和几位同学共买了件， （元，， ， ∵，当时，单价为150元时，， ∴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：他们共买了20件． 25. 某同学在证明命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”时，画出了下图，并写出了如下证明过程： 已知：如图，，是的两条弦，． 求证． 证明：如图，连接，，，，过点O作，交于点E，F． ∵，∴．∴，． ∵，∴． 同理，． ∵，∴． 同理，． （该同学画的图） ∴．∴． （1）数学老师认为该证法有问题，请指出问题； （2）完善该命题的证明． 【答案】（1）这道题应分两种情况证明 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，平行线的性质等知识 （1）根据题意分两种情况画出图形； （2）根据题意分两种情况画出图形，写出已知、求证及证明过程即可； ，熟练运用圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：这道题应分两种情况证明； 【小问2详解】 已知：如图，，是的两条弦，． 求证：． 证明：分两种情况： ①如图1，当、在圆心的同一侧时， 过点作于点，交于点，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当、在圆心的两侧时， 过点作于点，交于点，交于点、， ∴是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 26. 一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“”型的方程（M，N都是只含x的整式）的根的情况． （1）当，时，该类型方程的根的情况是（ ） A．有三个实数根，它们各不相等 B．有三个实数根，有且只有两个根相等 C．有三个实数根，它们都相等 D．没有实数根 （2）下列“”型的方程： ①； ②； ③； ④； ⑤． 至少有两个相等的实数根的方程是 （填序号）． （3）当，（c是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的c的取值范围． 【答案】（1）B （2）①②③⑤ （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义，涉及因式分解法解一元二次方程，根的判别式判断根的情况，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到，则或，解方程即可； （2）分别判断每个方程化为两个一元二次方程后的根的判别式值即可； （3）先得到，然后利用根的判别式进行讨论． 【小问1详解】 解： ∴或 解得：， 故选：B． 【小问2详解】 解：①中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴①符合题意； ②中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴②符合题意； ③， 或， 分别解得， ∴③符合题意； ④，则或，分别解得， ∴④不符合题意； ⑤中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴⑤符合题意， 故答案为：①②③⑤； 【小问3详解】 解：由题意得， ①当，即时，没有实数根； ②当，即时，有四个实数根， 则或， 分别解得， 当且时，该方程有四个实数根互不相等（即互不相等）； 当时，该方程的四个实数根有且只有两个根相等（即互不相等，） 当时，该方程的四个实数根中有两个根相等，另外两个根也相等，但它们不全相等（即） 27. 图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，． 算一算 将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆半径r． （1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，则 ． （2）如图（4），该尺的边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为，点D在圆上，则 ． （3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为，求r的值． 想一想 （4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径r吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的r的最小值和最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径，半径的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）连接，由题意可知，可知为直径，再由勾股定理即可求解； （2）连接圆心与切点，交于，连接，，则，由题意可知，，四边形为矩形，可得，，在中，，列出关于的方程求解即可； （3）如图，过点作于，延长交于，连接，，得，可知四边形为矩形，由题意可知，，，，，则，，则，设，则，再由勾股定理得方程，求解即可； （4）结合图形，可知要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，找到临界位置，当与、均相切时，直径等于的长度，求得半径的最小值为，假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点，令与相切于点，与交于边界点，如图，由题意可知，，结合勾股定理，求得半径的最大值为． 【详解】解：（1）连接，由题意可知，，，， 则， ∴为直径， 由勾股定理可知：， ∴半径， 故答案为：； （2）连接圆心与切点，交于，连接，，则， 由题意可知，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 则，， 在中，，即， 解得：， 故答案为：； （3）如图，过点作于，延长交于，连接，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形，则，，， 由题意可知，，，， ∴，则， ∴，则， 设，则， 在中，， 在中，， 则，解得：， ∴； （4）如图，当圆的直径小于的长度时，此时没有任何读数，则无法测量并计算出圆的半径， 如图，当圆与和其中一边相交时，也相当于只测得一条弦的长度，也无法得到圆的半径， ∴若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径， 要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点， 如图，当与、均相切时，直径等于的长度， 即：半径的最小值为， 假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点， 令与相切于点，与交于边界点，如图， 由题意可知，，类比（2）可知，，则， 由勾股定理可得：， ∴，整理得， ∴， 则的半径的最大值为； 综上，半径的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查垂径定理，圆的切线的性质，勾股定理等知识点，理解题意，明白要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，找到临界位置是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024/2025学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列解方程的步骤中，依据是“平方根的意义”的是（ ） A. 第一步：两边都除以2，得 B. 第二步：配方，得，即 C. 第三步：开平方，得 D 第四步：移项，得，即， 3. 已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是四边形内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（ ） A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 6 6. 如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的根是______． 8. 数据3，0，，4的极差是_______． 9. 的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P在_______．（填“内”“外”或“上”） 10. 超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 72 70 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是______分． 11. 如图，A，B，C是上的三个点，若为，，则的度数为_______． 12. 如图，、是的切线，切点分别是、，在上，过的切线分别交、于点、．若，则的周长为______． 13. 如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______． 14. 如图，以正方形的顶点C为圆心，长为半径画，再以边为直径画，则的长_______的长．（填“”“”或“”） 15. 如图，矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，P是线段上一点，若为直角三角形，则满足条件的点P的个数是_______． 16. 已知代数式（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表： 0.0142 0.0832 根据表中数据，可知关于x方程的一个根约为_______，另一个根约为_______．（都精确到0.1） 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：. 18. 解方程：． 19. 已知，．求当何值时，与互为相反数． 20. 下图是南京市2023年、2024年8月上旬日最高气温的折线统计图．阅读统计图并回答以下问题． （1） 根据统计图中的信息，填写下表： 南京市2023年、2024年8月上旬日最高气温的统计表 年份 平均数/ 中位数/ 众数/ 方差/ 2023 33.6 34 1.44 2024 39.1 39 1.09 （2）结合统计图、统计表中的信息，从两个不同的角度比较南京市2023年、2024年8月上旬的日最高气温． 21. 如图，在中，，过点作，垂足为．已知，．设长为． （1）根据勾股定理，得 ， ．（都用含的代数式表示） （2）求的值． 22. 如图，内接于，过点作射线，使．求证：与相切． 23. 如图，，是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点P，且． （1）用直尺和圆规作出该圆圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证．． 24. 某商店销售一批数学实验用具，零售价每件240元．如果一次购买超过10件，那么每多购1件，购买的所有实验用具的单价均降低6元，但单价不能低于150元．小明和几位同学购买这种实验用具支付了3600元，他们共买了多少件？ 25. 某同学在证明命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”时，画出了下图，并写出了如下证明过程： 已知：如图，，是的两条弦，． 求证． 证明：如图，连接，，，，过点O作，交于点E，F． ∵，∴．∴，． ∵，∴． 同理，． ∵，∴． 同理，． （该同学画的图） ∴．∴． （1）数学老师认为该证法有问题，请指出问题； （2）完善该命题的证明． 26. 一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“”型的方程（M，N都是只含x的整式）的根的情况． （1）当，时，该类型方程的根的情况是（ ） A．有三个实数根，它们各不相等 B．有三个实数根，有且只有两个根相等 C．有三个实数根，它们都相等 D．没有实数根 （2）下列“”型的方程： ①； ②； ③； ④； ⑤． 至少有两个相等的实数根的方程是 （填序号）． （3）当，（c是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的c的取值范围． 27. 图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，． 算一算 将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径r． （1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，则 ． （2）如图（4），该尺的边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为，点D在圆上，则 ． （3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为，求r的值． 想一想 （4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径r吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的r的最小值和最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $