第二单元等差数列一周一测能力提升专项训练-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第二册

第二单元　等差数列 【一周一测能力提升专项训练】 单项选择题 1.已知在各项均为正数的等差数列中,有连续四项依次为a,2m,b,4m,则=(　　) A. B. C. D.3 2.等差数列{an}中,若a2+a3=4,a3+a4=5,则a9+a10等于(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 3.已知数列{an}是等差数列,且其前n项和为Sn.若S3=3,S6=24,则a5=(　　) A.7 B.8 C.9 D.11 4.已知等差数列{an}的首项为,若{an}从第11项起比1大,则其公差d的取值范围是(　　) A.(,+∞) B.(-∞,) C.(,] D.(,] 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则“{an}是递减数列”是“Sn有最大值”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知等差数列{an}中,前2m+1项的和为77,这2m+1项中的偶数项之和为33,且a2m+1=2,则下列是数列{an}中的项的是(　　) A.19 B.17 C.15 D.10 7.【情境创新】鬼工球,又称同心球,要求制作者使用一块完整的材料,将其雕成每层均同球心的数层空心球(如图).最内层的空心球上有2个雕孔,向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3,6,m的鬼工球,其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多30个雕孔,3个鬼工球的雕孔数相差最多为36,则m=(　　) A.7 B.5 C.4 D.2 8.已知在数列{an}中,a1=2,an+1=,bn=(-1)n(2n+1)anan+1,数列{bn}的前n项和为Sn,则S200=(　　) A.- B. C. D.- 多项选择题 9.记数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n(n∈N*),则(　　) A.数列{an}是等差数列 B.an=2n C.数列{}是公差为1的等差数列 D.数列{}的前n项和为 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8<S6<S7,则下列说法正确的是(　　) A.当n=7时,Sn最大 B.使得Sn<0成立的最小自然数n=13 C.|a6+a7|<|a8+a9| D.数列{}中的最小项为 11.已知数列{an}和{bn}都是等差数列,a1=b1=2,a4=b3,a5=b2+a3,设集合A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=bn,n∈N*},C=A∪B,若将集合C中的元素从小到大排列,形成一个新数列{cn},下列结论正确的有(　　) A.an=4n-2 B.c20=b10 C.c20=a15 D.数列{cn}的前20项和为610 填空题 12.设数列{an},{bn}均为等差数列,它们的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则=　　　　.　  13.已知等差数列-2,1,4,7,10,…,现在其每相邻两项之间插入一个数,使之成为一个新的等差数列{an},则数列{an}的第13项为　　　　.  14.【模块综合】设Sn为数列{an}的前n项和,若an+an+1=2n+1,且存在k∈N*,使得Sk=Sk+1=210,则a1的取值集合为　　　　.  解答题 15.(13分)记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=-1,S7=-21. (1)求{an}的通项公式; (2)求满足Sn<an的最小正整数n. 16.(15分)已知公差为整数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=97,S97>0,S99<0. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 17.(15分)设{an}是由正数组成的等差数列,Sn是其前n项和. (1)若Sn=20,S2n=40,求S3n的值; (2)若存在互不相等的三个正整数p,q,m,使得p+q=2m,证明:不等式Sp·Sq<成立. 18.(17分)已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn-nan=n(n∈N*),且a2=3. (1)证明数列{an}为等差数列,并求{an}的通项公式; (2)设bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求使Tn>成立的正整数n的最小值; (3)在数列{cn}中,对任意n∈N*,当2k≤<2k+1,k∈N*时,cn=k,若cm+c2m+c4m+c8m+c16m≥23,求正整数m的最小值. 19.(17分)【探索新定义】设首项为正的等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,anbn=2n2+n-1,=. (1)求{an}的通项公式; (2)证明:{bn}为等差数列; (3)对数列{cn},若存在互不相等的正整数k1,k2,…,ki(i≥2),使得++…+也是数列{cn}中的项,则称数列{cn}是“和稳定数列”.试判断数列{an}是否是“和稳定数列”.若是,求出i的取值集合;若不是,请说明理由. 参考答案 1.C　因为a,2m,b,4m为等差数列,所以2×2m=a+b,2b=6m,所以b=3m,a=m,所以=. 2.C　设{an}的公差为d,由a2+a3=4,a3+a4=5,得解得所以a9+a10=2a1+17d=2×+17×=11. 3.A　方法一　设数列{an}的公差为d,由S3=3,S6=24,得解得则a5=a1+4d=-1+8=7. 方法二　由S3=3,S6=24,得a1+a2+a3=3a2=3,a1+a2+a3+a4+a5+a6=3(a2+a5)=24,所以a2=1,a2+a5=8,所以a5=7. 方法三　由等差数列前n项和片段和的性质,知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,因为S3=3,S6=24,所以S9-S6=2(S6-S3)-S3=39,S9=S6+39=63,得S9==9a5=63,故a5=7. 4.C　依题意,an=a1+(n-1)d=+(n-1)d,由{an}从第11项起比1大,得即解得<d≤,所以公差d的取值范围是(,]. 5.A　当{an}为递减数列时,公差d<0,Sn=na1+d=n2+(a1-)n,因为n2的系数<0,所以Sn一定有最大值,充分性成立;若Sn有最大值,如Sn=-2n,有最大值-2,但此时d=0,{an}是常数列,必要性不成立.因此“{an}是递减数列”是“Sn有最大值”的充分不必要条件. 6.B　 7.D　设向外每层雕孔依次增加固定的数量为d,所以每层雕孔数为等差数列,所以由6层的鬼工球比3层的鬼工球多30个雕孔,得出a4+a5+a6=3a5=30,所以a5=10=a1+4d=2+4d,所以d=2,所以an=2+(n-1)×2=2n.因为6层的鬼工球比3层的鬼工球多30个雕孔,3个鬼工球的雕孔数相差最多为36,所以m≥7或m≤2(6层的鬼工球比3层的鬼工球多30个雕孔,而3个鬼工球的雕孔数相差最多为36,所以最多层数与最少层数相差要大于3,故m为最多层数或最少层数,即m≥7或m≤2).当m≥7时,Sm-S3≥S7-S3=a7+S6-S3=14+30=44(此时m为最多层数,最少层数为3),不合题意;当m=2时,S6-S2=S6-S3+a3=30+6=36,符合题意;当m=1时,S6-S1>S6-S2=36,不合题意.综上,m=2. 8.A　构造法求数列通项+裂项相消法求和 思路导引　根据取倒数法可得-=,由等差数列的定义和通项公式可得an=,an+1=,进而bn=4(-1)n(+),结合裂项相消法求和即可. 由an+1=,得==+,即-=,又a1=2,所以=,则{}是以为首项,为公差的等差数列,则=+(n-1)=,故an=,得an+1=,所以bn=(-1)n(2n+1)anan+1=(-1)n(2n+1)·=4(-1)n(+).所以S200=b1+b2+…+b200=4(--++--+…--++)=4(-1+)=-. 9.ABD　A(√)B(√)数列{an}的前n项和Sn=n2+n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,而a1=S1=2满足上式,因此an=2n,所以数列{an}是等差数列. C(✕)==,则数列{}是公差为的等差数列. D(√)==-,数列{}的前n项和=1-+-+…+-=1-=. 10.ACD　利用等差数列及S8<S6<S7,判断出a7>0,a7+a8<0,即得d<0,再利用等差数列和等差数列前n项和的性质逐项判断即可.设等差数列{an}的公差为d,若S8<S6<S7,则a7=S7-S6>0,a7+a8=S8-S6<0,故a8<0,所以d=a8-a7<0,即等差数列{an}是递减数列. A(√)由上分析,数列前7项为正,其余项为负,故n=7时,Sn最大. B(✕)由a7>0,a1+a14=a7+a8<0,得S13==13a7>0,S14=<0,所以使得Sn<0成立的最小自然数n=14. C(√)|a6+a7|-|a8+a9|=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0,则|a6+a7|<|a8+a9|. D(√)当n≤7或n≥14时,>0,当7<n<14时,<0,由0>a8>a9>…>a13,S8>S9>…>S13>0,得数列{}中的最小项为. 11.ACD　A(√)设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,由a4=b3,a5=b2+a3,且a1=b1=2,得解得所以an=2+4(n-1)=4n-2,bn=2+6(n-1)=6n-4. B(✕)C(√)方法一　A={2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,54,58,62,…},B={2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,…},则C=A∪B={2,6,8,10,14,18,20,22,26,30,32,34,38,42,44,46,50,54,56,58,62,…},则c20=58,又b10=56,a15=58,故c20≠b10,c20=a15. 方法二　令4n-2=6k-4⇒k=,所以当n=3p+1,p∈N时,a3p+1=b2p+1,且相邻公共项a3p+1,a3p+4之间依次有a3p+2=12p+6,b2p+2=12p+8,a3p+3=12p+10.所以当p=0时,a1=b1;p=1时,a4=b3;p=2时,a7=b5;p=3时,a10=b7;p=4时,a13=b9,又13+9-5=17,所以c17=a13=b9,c18=a14,c19=b10,c20=a15=58. D(√)记{an}的前n项和为Sn,由前面分析可知{cn}的前20项由a1,a2,a3,…,a15和b2,b4,b6,b8,b10组成,则{cn}的前20项和为S15+b2+b4+b6+b8+b10=2×15+×4+(8×5+×12)=610. 12.　因为数列{an},{bn}均为等差数列,所以======. 13.16　在相邻两项之间插入一个数,形成新的等差数列,则新的等差数列的公差为原等差数列公差的.设已知的等差数列为{bn},公差为d,易知b1=-2,b2=1,则d=b2-b1=3,则an=-2+(n-1)×=n-).令n=13,得a13=-=16. 14.{-20,21}　存在k∈N*,使得Sk=Sk+1=210,即ak+1=0.因为an+an+1=2n+1,所以S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=3+7+…+(4n-1)==n(2n+1),假设S2n=n(2n+1)=210,解得n=10或n=-(舍去),此时S20=210.由存在k∈N*,使得Sk=Sk+1=210,所以有k=19或k=20.由an+an+1=2n+1,可得an+1+an+2=2n+3,两式相减,得an+2-an=2.当k=20时,有S20=S21=210,即a21=0,根据an+2-an=2,可知数列{an}的奇数项和偶数项分别是等差数列,且公差均为2,所以a21=a1+(11-1)×2=0,解得a1=-20;当k=19时,有S19=S20=210,即a20=0,a20=a2+(10-1)×2=0,解得a2=-18,由已知得a1+a2=3,所以a1=21.综上,可知a1的取值集合为{-20,21}. 15.【解析】(1)设{an}的公差为d. 因为a3=-1,S7=-21, 所以(3分) 解得 所以an=a1+(n-1)d=3-2(n-1)=-2n+5.(6分) (2)由(1)可知Sn=na1+d=3n+×(-2)=-n2+4n.(9分) 由Sn<an,得-n2+4n<-2n+5,即n2-6n+5=(n-1)(n-5)>0, 解得n<1或n>5, 又n为正整数,所以满足条件的最小正整数n=6.(13分) 16.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,d∈Z, 则S97==97a49=97(97+48d)>0, S99==99a50=99(97+49d)<0, 解得-<d<-,则d=-2,(5分) 所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=97-2(n-1)=-2n+99.(7分) (2)由(1)知,an=-2n+99,a49>0,a50<0,Sn=·n=-n2+98n,(9分) 则数列{an}是递减数列,前49项均为正,从第50项起为负, 当n≤49时,Tn=a1+a2+…+an=Sn=-n2+98n;(11分) 当n≥50时,Tn=a1+a2+…+a49-a50-…-an=2S49-Sn=2×(-492+98×49)-(-n2+98n)=n2-98n+4 802.(14分) 所以Tn=(15分) 17.等差数列的前n项和及其性质+基本不等式 思路导引　(1)根据Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也是等差数列,得到Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn),从而可求S3n的值; (2)利用等差数列的性质以及求和公式可得Sp·Sq=pq(+2a1am+apaq),再利用基本不等式可证明题中不等式. 【解析】(1)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列, ∴Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn), ∴S3n=3S2n-3Sn=60.(5分) (2)∵{an}是等差数列,且p+q=2m,∴ap+aq=2am,(6分) ∴Sp·Sq=p(a1+ap)·q(a1+aq) =pq(a1+ap)(a1+aq) =pq[+a1(ap+aq)+apaq] =pq(+2a1am+apaq) <()2[+2a1am+()2](10分) =m2(+2a1am+) =[m(a1+am)]2 =.(15分) 18.【解析】(1)当n≥2时,2Sn-1-(n-1)an-1=n-1, 又2Sn-nan=n,所以(n-1)an-1-(n-2)an=1, 当n≥3时,(n-2)an-2-(n-3)an-1=1, 所以(n-1)an-1-(n-2)an=(n-2)an-2-(n-3)an-1, 可得2an-1=an+an-2,所以{an}为等差数列.(3分) 又2S1-a1=1,所以a1=1,又a2=3,所以公差d=2, 所以an=1+2(n-1)=2n-1.(5分) (2)bn=====(-),(7分) 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1-+-+-+…+-)=(1-). 要使Tn>,即(1-)>,(9分) 解得n>12,所以正整数n的最小值为13.(11分) (3)2k≤<2k+1,即2k≤n<2k+1, 不妨设2k≤m<2k+1,k∈N*,m∈N*,则cm=k.(13分) 因为2k+1≤2m<2k+2,所以c2m=k+1, 同理c4m=k+2,c8m=k+3,c16m=k+4, 所以cm+c2m+c4m+c8m+c16m=k+(k+1)+(k+2)+(k+3)+(k+4)=5k+10,(15分) 所以5k+10≥23,解得k≥,又k∈N*,所以k的最小值为3, 故m的最小值为23=8.(17分) 19.数列新定义+判断等差数列+利用定义求等差数列通项公式 思路导引　(1)根据条件,分别令n=1,n=2列式求出a1,b1,a2,b2,进而求{an}的公差,最后求通项公式即可; (2)由(1)将an代入条件式求出bn,并根据等差数列定义判断; (3)由数列{an}的通项公式可知其代表所有的正奇数,分i=2m(m∈N*)和i=2m-1(m∈N*,m≥2),得++…+分别为偶数和奇数,进而判断{an}是否为“和稳定数列”. 【解析】(1)令n=1,则a1b1=2,===,又a1>0,所以a1=1,b1=2.(1分) 令n=2,则a2b2=9,==, 解得或(2分) 若a2=-,b2=-,则数列{an}的公差为-,则a3=-, 代入anbn=2n2+n-1中得b3=-,则==,　 不满足==1,舍去,所以a2=3,b2=3, 则等差数列{an}的公差为a2-a1=2,则an=1+2(n-1)=2n-1.(5分) (2)因为an=2n-1,anbn=2n2+n-1, 所以bn===n+1,(8分) 所以bn+1-bn=1,又b1=2, 故{bn}是首项为2,公差为1的等差数列.(11分) (3)由an=2n-1得{an}中的项是所有的正奇数, 当i=2m(m∈N*)时,++…+是偶数,故一定不是数列{an}中的项; 当i=2m-1(m∈N*,m≥2)时,++…+为奇数,是数列{an}中的项. 综上,数列{an}是“和稳定数列”,此时i=2m-1(m∈N*,m≥2), 故i的取值集合为{i|i=2m-1,m∈N*,m≥2}.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $