第六单元导数在研究函数中的应用一周一测能力提升专项训练-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第二册

第六单元　导数在研究函数中的应用 【一周一测能力提升专项训练】 单项选择题 1.[2025重庆一中、重庆八中等校高二期中]函数f(x)=x-xln x的单调递增区间为(　　) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(0,e) D.(1,+∞) 2.[2025河北衡水中学、石家庄二中等校高二期中]函数f(x)=x3-x2+2x-1的极大值点是(　　) A.1 B.2 C.(1,-) D.(2,-) 3.[2025莆田一中高二期中]关于函数f(x)=说法正确的是(　　) A.没有最小值,有最大值 B.有最小值,没有最大值 C.有最小值,有最大值 D.没有最小值,也没有最大值 4.[2025林州一中调研]如图,有一个无盖的盛水的容器,高为H,可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为f(t),则下列函数图象中最有可能是f(t)图象的是(　　) 5.[2025北京师大附中高二期中]已知函数f(x)=3(2-m2)x-mx3在x=1处取得极小值,则m的值为(　　) A.-2 B.1 C.-2或1 D.-1或2 6.[2025哈尔滨三中高二期中]若函数f(x)=x--aln x在[4,5]上单调递增,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,4] B.(-∞,5] C.(-∞,] D.[-4,4] 7.【情境创新】[2025桂林中学高二调研]随着大数据时代的到来,越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现,当收集的数据量为x(x≥2)万条时,推荐系统的准确率约为p=,平台软件收入为40 000p元.已知每收集1万条数据,公司需要花费成本100元,当该软件获得最高收益时,收集的数据量为(　　) A.17万条 B.18万条 C.19万条 D.20万条 8.[2025淄博实验中学高二月考]若a=-,b=ln,c=-,则(　　) A.c<a<b B.b<c<a C.c<b<a D.b<a<c 多项选择题 9.[2025江苏省睢宁高级中学学情检测]已知f'(x)是函数f(x)的导函数,f'(x)的图象如图,则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)  A.f(x)在(-∞,1)上单调递减 B.f(x)在x=1处取得极小值 C.f'(-1)=0 D.f(x)在x=2处取得极小值 10.[2025萧山中学高二期中]已知函数f(x)=x3-4x+4,x∈[0,3],则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)在区间[2,3]上单调递减 B.函数f(x)的值域为[-,4] C.函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为3x+y-=0 D.若关于x的方程f(x)=a有2个不同的根,则a∈(-,1] 11.[2025石家庄二中高二期中]已知函数f(x)=ax-sin x,x∈[0,],则下列结论正确的为(　　) A.当a=时,f(x)在x=处取得极小值 B.当a=时,f(x)有且只有两个零点 C.若f(x)≤0恒成立,则0<a≤ D.若f(x)≥0恒成立,则a≥1 填空题 12.[2025成都七中月考]已知函数f(x)=ln x+(a∈R)的最小值为1,则a=　　　　.  13.[2025天津二十一中高二期中]已知函数f(x)=x2ex在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是　　　　.  14.[2025威海一中高二期中]定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x≥0时,恒有f(x)+f'(x)>0,则不等式x2f(x)<(3x-1)2f(3x-1)的解集为　　　　.  解答题 15.(13分)[2024泰安一中高二月考改编]已知函数f(x)=bln x+x2-ax(x>0),a,b∈R. (1)当a=4时,若f(x)在x=2处取得极值,求b的值; (2)若b=0,过点(2,1)与曲线f(x)相切的直线与直线x-y+3=0平行,求a的值. 16.(15分)【教材变式】[2025北师大二附中高二期中]已知函数f(x)=x3+ax+b的图象是曲线C,直线y=kx+1与曲线C相切于点(1,3). (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数F(x)=f(x)-2x-3在区间[0,2]上的最大值和最小值. 17.(15分)[2025成都石室中学、成都树德中学等校联考]已知函数f(x)=ax-tan x,x∈(0,). (1)当a=2时,求f(x)的单调区间; (2)若a≤2,证明:f(x)<sin 2x. 18.(17分)[2025广东省梅州市模拟]已知函数f(x)=ex,g(x)=x2+1,h(x)=asin x+1(a>0). (1)证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x); (2)讨论函数F(x)=f(x)-h(x)在(0,π)上的零点个数. 19.(17分)[2025无锡一中月考]已知函数f(x)=ln x+x2(a∈R). (1)当a=1时,函数G(x)=f(x)-3ln x. (i)求G'(x); (ii)若存在x1,x2∈[1,4],使得G(x1)-G(x2)≥m成立,求满足条件的最大整数m.(ln 2≈0.693) (2)设函数g(x)=x3,若f(x)≤g(x)在[,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. 参考答案 1.B　因为f(x)=x-xln x,所以f'(x)=1-(x×+ln x)=-ln x,令f'(x)>0得ln x<0,解得0<x<1,所以函数f(x)=x-xln x的单调递增区间为(0,1). 2.A　f'(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2),令f'(x)>0,解得x>2或x<1,令f'(x)<0,解得1<x<2,故f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故f(x)的极大值点是x=1. 3.A　函数f(x)的定义域为R,由f(x)=,得f'(x)==,当x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,f(x)取得最大值,f(x)没有最小值. 4.D　单位时间内所倒的水的体积不变,结合容器的形状,可知在单位时间内,高度的变化率先变慢,后由慢变快. 5.A　利用极值点处的导数值为0得m,再进行检验,即可得解.求导得f'(x)=3(2-m2)-3mx2,则f'(1)=3(2-m2)-3m=0,解得m=-2或m=1( 可能会有增根,一定要进行检验).当m=-2时,f'(x)=-6+6x2,由于x∈(-1,1)时,f'(x)=-6+6x2<0,x∈(1,+∞)时,f'(x)=-6+6x2>0,所以函数f(x)在x=1处有极小值,符合题意;当m=1时,f'(x)=3-3x2,由于x∈(-1,1)时,f'(x)=3-3x2>0,x∈(1,+∞)时,f'(x)=3-3x2<0,所以函数f(x)在x=1处有极大值,不符合题意.所以m=-2. 6.B　流程化思维解题　函数f(x)=x--aln x在[4,5]上单调递增 f'(x)=1+-≥0在[4,5]上恒成立→a≤x+在[4,5]上恒成立 g(x)=x+在[4,5]上单调递增(根据对勾函数单调性判断) 当x∈[4,5]时,g(x)min=g(4)=4+=5→a≤5. 7.C　由题意列出收益函数,然后利用导数研究其单调性,根据单调性求解最值即可得解.设收益为y元,由题意y=-100x(x≥2),则y'=(x≥2),当2<x<19时,y'>0,当x>19时,y'<0,即函数y=-100x(x≥2)在(2,19)上单调递增,在(19,+∞)上单调递减,所以当该软件获得最高收益时,收集的数据量为19万条. 8.A　利用导数研究函数的单调性+比较函数值的大小 思路导引　根据条件得到a=-=-,b=ln=,c=-=-,构造函数y=-,利用y=-的单调性即可解决问题. 由题意得a=-=-,b=ln=,c=-=-,令y=-(关键点),则y'=-,令y'=0,得x=e,当x∈(0,e)时,y'<0,当x∈(e,+∞)时,y'>0,即y=-在区间(0,e)上单调递减,在区间(e,+∞)上单调递增.又<2<e,所以->->-,所以b>a>c. 9.ACD　A(√)C(√)由题图可知,当x<1时,f'(x)≤(只有f'(-1)=0),因此f(x)在(-∞,1)上单调递减. B(✕)f'(1)≠0,且x=1两侧的导数值都是负数,所以x=1不是极值点. D(√)因为f'(2)=0,x<2时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=2处取得极小值. 10.BCD　由函数f(x)=x3-4x+4,x∈[0,3],可得f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2),当x∈(2,3)时,f'(x)>0;当x∈(0,2)时,f'(x)<0.所以f(x)在(2,3)上单调递增,在(0,2)上单调递减. A(✕)由上可知f(x)在[2,3]上单调递增. B(√)因为f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增,所以当x=2时,f(x)有极小值,且f(2)=-,又f(0)=4,f(3)=1,所以函数f(x)在区间[0,3]上的最大值为4,最小值为-,其值域为[-,4](求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的值域时,将函数的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,即可得值域). C(√)由f'(x)=x2-4,可得f'(1)=-3,又f(1)=,所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即3x+y-=0. D(√)由f(x)在[0,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增,且f(0)=4,f(2)=-,f(3)=1,可画出f(x)的大致图象如图所示.要使方程f(x)=a有2个不同的根,则f(x)的图象与直线y=a有2个交点,由图可知a∈(-,1]. 11.AD　A(√)B(✕)当a=时,f'(x)=-cos x,当x∈(0,)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故f(x)在x=处取得极小值.因为f(0)=0,f()=-1<0,所以f(x)有且只有一个零点. C(✕)f(x)≤0恒成立,当x=0时,a∈R.当x∈(0,]时,即ax-sin x≤0,a≤恒成立,构造函数g(x)=,则g'(x)=,令h(x)=xcos x-sin x,则h'(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,当x∈(0,]时,h'(x)<0,h(x)在(0,]上单调递减,又h(0)=0,所以当x∈(0,]时,g'(x)=<0,所以g(x)=在(0,]上单调递减,a≤()min==.综上可得a≤. D(√)令函数y=sin x-x,则y'=cos x-1,当x∈(0,]时,y'<0,函数y=sin x-x单调递减,则y<0,故有当x∈(0,]时,sin x<x,即<1.f(x)≥0即ax-sin x≥0恒成立,当x=0时,a∈R.当x∈(0,]时,a≥,又<1,所以a≥1. 12.1　函数f(x)的定义域为(0,+∞)(注意定义域优先原则),f'(x)=-=,当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)内恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,此时f(x)无最小值;当a>0时,由f'(x)>0,得x>a,由f'(x)<0,得0<x<a,所以函数f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增,故当x=a时,f(x)取得最小值,即f(x)min=f(a)=ln a+1=1,故a=1. 13.(-3,-2)∪(-1,0)　由题意可知,f(x)的定义域为R,且f'(x)=(x2+2x)ex,令f'(x)>0,解得x>0或x<-2;令f'(x)<0,解得-2<x<0.可知f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,(-2,0)上单调递减( 根据正难则反思想,先求出函数的单调区间).若f(x)在[t,t+1]上不单调,则或解得-3<t<-2或-1<t<0,即实数t的取值范围是(-3,-2)∪(-1,0). 14.(,+∞)　根据函数的奇偶性、单调性解不等式 思路导引　构造函数g(x)=,求导可判断g(x)在(0,+∞)上的单调性,再结合奇偶性可判断g(x)在R上的单调性,从而求解原不等式. 根据题意可构造函数g(x)=,则g'(x)=xf(x)+f'(x)=x[f(x)+f'(x)],由题可知当x≥0时,f(x)+f'(x)>0,所以g(x)=在区间(0,+∞)上单调递增,由于y=x2为偶函数,f(x)为奇函数,所以g(x)=为奇函数,所以g(x)为R上的增函数.又x2f(x)<(3x-1)2f(3x-1),即g(x)<g(3x-1),所以x<3x-1,解得x>. 15.【解析】(1)当a=4时,f(x)=bln x+x2-4x(x>0),则f'(x)=+2x-4(x>0).(2分) 因为f(x)在x=2处取得极值,所以f'(2)=0, 即+2×2-4=0,解得b=0.(5分) 当b=0时,检验可知满足f(x)在x=2处取得极值, 所以b=0.(6分) (2)方法一　设切点为(x0,y0)( 此处应注意“过一点”和“在一点”的切线方程的区别),由题意,当b=0时,f(x)=x2-ax(x>0),则f'(x0)=2x0-a=1, 所以a=2x0-1,　① y0=-ax0,　② =1,　③(9分) 将①代入②得y0=x0-,　④ 再将④代入③中,化简得-1=0, 解得x0=1(x0=-1舍去),所以a=2x0-1=1.(13分) 方法二　若b=0,则f(x)=x2-ax(x>0), 过点(2,1)且与直线x-y+3=0平行的直线方程为x-y-1=0.(9分) 则直线x-y-1=0与曲线f(x)=x2-ax(x>0)相切, 联立消去y并化简得x2-(a+1)x+1=0, 则Δ=(a+1)2-4=0,解得a=1或a=-3, 检验可知,当a=1时,切点坐标为(1,0),满足题意; 当a=-3时,切点坐标为(-1,-2),与x>0矛盾. 综上可知a=1.(13分) 16.【解析】(1)因为切点为(1,3),所以k+1=3,得k=2.(1分) 因为f'(x)=3x2+a,所以f'(1)=3+a=2,得a=-1, 则f(x)=x3-x+b.(4分) 由f(1)=3得b=3,所以f(x)=x3-x+3.(6分) (2)F(x)=x3-3x,F'(x)=3x2-3, 令F'(x)=3x2-3=0,得x1=-1,x2=1.(9分) 列表: x 0 (0,1) 1 (1,2) 2 F'(x)   - 0 +   F(x) 0 递减 极小值 递增 2 因为F(1)=-2,F(0)=0,F(2)=2, 所以当x∈[0,2]时,F(x)的最大值为2,最小值为-2.(15分) 17.利用导数求函数的单调区间+利用导数证明不等式 思路导引　(1)直接利用求函数单调区间的方法求解即可. (2)方法一:先将f(x)放大到2x-tan x,然后利用导数证明2x-tan x<sin 2x即可. 方法二:直接两式求差,根据未知数和参数的范围证明f(x)-sin 2x<0即可. (2)方法一　∵x>0,a≤2,∴ax≤2x,∴f(x)≤2x-tan x, 要证明f(x)<sin 2x,则只需证明2x-tan x<sin 2x.(7分) 令g(x)=2x-tan x-sin 2x,x∈(0,)(待证不等式的两边含有同一个变量时,一般可以直接构造“左减右”的函数,有时也可对复杂的式子进行变形,构造新的函数,利用导数研究其单调性和最值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证), 则g'(x)=2--2cos 2x=2--2(2cos2x-1)=4-(4cos2x+).(9分) ∵x∈(0,),∴cos2x∈(0,1), ∴4cos2x+≥4,当且仅当cos2x=时,等号成立, ∴当x∈(0,)时,g'(x)≤0,∴g(x)在区间(0,)上单调递减,(13分) ∴g(x)<(当x→0时,g(x)→0),即2x-tan x<sin 2x, ∴当x∈(0,)时,f(x)<sin 2x得证.(15分) 方法二　令g(x)=ax-tan x-sin 2x,x∈(0,), 则g'(x)=a--2cos 2x=a+2-(4cos2x+).(9分) ∵x∈(0,),∴cos2x∈(0,1), ∴4cos2x+≥4,当且仅当cos2x=时,等号成立, ∴g'(x)≤a+2-4=a-2, 又∵a≤2,∴当x∈(0,)时,g'(x)≤0,∴g(x)在区间(0,)上单调递减,(13分) ∴g(x)<0, ∴当x∈(0,)时,f(x)<sin 2x得证.(15分) 18.【解析】(1)方法一　令G(x)=f(x)-g(x)=ex-x2-1( 构造函数), 则G'(x)=ex-2x, 记p(x)=ex-2x,则p'(x)=ex-2, 当x∈(0,ln 2)时,p'(x)<0,当x∈(ln 2,+∞)时,p'(x)>0, 所以p(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增.(4分) 所以当x∈(0,+∞)时,G'(x)=p(x)≥p(ln 2)=2-2ln 2>0, 所以G(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以当x∈(0,+∞)时,G(x)>G(0)=0,即f(x)>g(x).(7分) 方法二　当x∈(0,+∞)时,易知f(x)=ex>1,g(x)=x2+1>1, 构造函数S(x)==, 则S'(x)==-≤0,当且仅当x=1时取等号.(3分) 则S(x)在(0,+∞)上单调递减, 又x→0时,S(x)→1, 所以S(x)<1,即<1,所以f(x)>g(x).(7分) (2)F(x)=f(x)-h(x)=ex-asin x-1,F'(x)=ex-acos x.(8分) 确定分类标准是分类讨论的关键, 若0<a≤1,则当x∈(0,π)时,F'(x)=ex-acos x>1-a≥0, 所以F(x)在(0,π)上单调递增,F(x)>F(0)=0,即函数F(x)在(0,π)上无零点;(10分) 若a>1,记q(x)=F'(x)=ex-acos x, 则当x∈(0,π)时,q'(x)=ex+asin x>0,q(x)在(0,π)上单调递增, 又q(0)=1-a<0,q()=>0, 故存在x0∈(0,),使q(x0)=0, 所以当0<x<x0时,q(x)<0,F(x)单调递减,当x0<x<π时,q(x)>0,F(x)单调递增,所以F(x)min=F(x0), 又F(x0)<F(0)=0,F(π)=eπ-1>0, 所以F(x)在(0,x0)上无零点,在(x0,π)上有唯一零点.(15分) 综上,当0<a≤1时,F(x)在(0,π)上没有零点;当a>1时,F(x)在(0,π)上有且仅有1个零点.(17分) 19.利用导数研究不等式恒成立问题和能成立问题 思路导引　(1)(i)根据导数的运算法则求导即可; (ii)利用导数求函数G(x)在[1,4]上的最值,由此可确定m的范围,进而求满足条件的最大整数m. (2)化简不等式并分离参数,利用导数求函数的最值可得a的取值范围. 【解析】(1)(i)当a=1时,f(x)=ln x+x2, 所以G(x)=f(x)-3ln x=x2-2ln x,G'(x)=x-=.(2分) (ii)当1≤x<时,G'(x)<0,函数G(x)在[1,)上单调递减, 当<x≤4时,G'(x)>0,函数G(x)在(,4]上单调递增.(4分) 又G(1)=,G(4)=8-4ln 2,G()=1-ln 2, ln 2≈0.693,所以G()<G(1)<G(4), 所以函数G(x)在[1,4]上的最大值为8-4ln 2,最小值为1-ln 2.(6分) 因为存在x1,x2∈[1,4],使得G(x1)-G(x2)≥m成立, 所以当x∈[1,4]时,[G(x)]max-[G(x)]min≥m,(8分) 所以m≤7-3ln 2,又ln 2≈0.693,故7-3ln 2≈4.921, 所以满足条件的最大整数m的值为4.(10分) (2)不等式f(x)≤g(x),可化为ln x+x2≤x3, 因为x∈[,+∞),所以a≤x-.(11分) 由题意a≤x-在[,+∞)上恒成立, 所以当x∈[,+∞)时,a≤(x-)min(分离参数,将不等式恒成立问题转化为函数最值问题,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min).(12分) 设h(x)=x-,则h'(x)=-=.　 设φ(x)=4x3-6+12ln x,则φ'(x)=12x2+, 当x≥时,φ'(x)>0,函数φ(x)=4x3-6+12ln x在[,+∞)上单调递增, 又φ()=4e-6+6>0,所以φ(x)>0, 所以当x≥时,h'(x)>0,函数h(x)=x-在[,+∞)上单调递增.(14分) 所以当x∈[,+∞)时,h(x)≥h()=-, 所以a≤-, 所以实数a的取值范围为(-∞,-].(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $