精品解析：天津市南开区2025-2026学年高一上学期阶段性质量监测 (一)数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段性质量监测（一） 高一年级 数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共100分，考试时间100分钟. 第I卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合（ ）. A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“一元二次方程有实数根”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）. A B. C. D. 5. 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A B. C. D. 6. 已知幂函数的图象过点，设，，，则（ ）. A. B. C. D. 7. 已知函数，下列说法错误的是（ ）. A. 当时，在定义域上单调递增 B. 当时，的值域为 C. 当时，的单调递增区间为， D. 当时，的值域为 8. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）. A. B. C. 1 D. 9. 若，则不等式：①；②；③；④，其中成立的不等式为（ ）. A ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 10. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）. A B. C. D. 第II卷 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.） 11. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________. 12. 函数的定义域为__________. 13. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则__________. 14. 设则函数的最大值为______. 15. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________. 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知全集为，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 计算 （1）； （2）若，，求的值. 18. 已知是定义域为的奇函数，当时，，且在上的最小值为. （1）求解析式； （2）作函数的图象，若方程恰有3个不同的解，求的取值范围. 19. 已知关于的不等式. （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在使不等式成立，求的取值范围. 20. 已知二次函数满足，且，函数. （1）求的解析式； （2）设，若的最大值不大于，又当时，，求的值； （3）若方程的两根和满足，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性质量监测（一） 高一年级 数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共100分，考试时间100分钟. 第I卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合后利用交集定义即可得. 【详解】由，则， 故. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题知： “，”的否定是“，”. 故选：A. 3. “”是“一元二次方程有实数根”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次项不为0和判别式大于等于0得到的范围，再利用必要不充分条件的判断方法即可得到答案. 【详解】若一元二次方程有实数根，则，解得且， 则正向“”无法推出“且”， 反向“且”可以推出“”. 故“”是“一元二次方程有实数根”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）. A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，解出即可. 【详解】由，则，解得. 故选：A. 5. 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由解析式判断函数的单调性和奇偶性即可得解. 【详解】解：对于A选项，的定义域为，为非奇非偶函数，故A错误； 对于B选项，为偶函数，在为减函数，不满足条件．故B错误； 对于C选项，为非奇非偶函数，故C错误； 对于D选项，满足 ，为偶函数，且当时，单调递增．故D正确. 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题. 6. 已知幂函数的图象过点，设，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的概念和幂函数图象过的点，可求出的值，从而根据幂函数的单调性可比较大小. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 则，， 根据指数函数单调性知，即， 由上知幂函数的解析式为，函数为上的单调递增函数， 又，所以，即. 故选：B. 7. 已知函数，下列说法错误的是（ ）. A. 当时，在定义域上单调递增 B. 当时，的值域为 C. 当时，的单调递增区间为， D. 当时，的值域为 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性法在和上单调递增，判断A；先求出在的值域为，然后根据奇函数性质求得函数值域判断B；根据对勾函数的单调性判断C，利用基本不等式和奇函数性质求解值域判断D. 【详解】对于A，当时，，函数的定义域为， 由于函数均在上单调递增，故在上单调递增， 由于函数均在上单调递增，故在上单调递增， 但是不能说在定义域上单调递增，比如取， 但，不满足单调递增，错误； 对于B，当时，，函数的定义域为， 又，所以为奇函数； 由于函数均在上单调递增，故在上单调递增， ，，故在的值域为， 由为奇函数，因此在的值域为，综上，的值域为，正确； 对于C，当时，函数，根据对勾函数的性质可知， 在上单调递增，在上单调递增，正确； 对于D，由C可知，当时，， 当且仅当即时的等号成立，又为奇函数， 因此当时，， 所以的值域为，正确. 故选：A 8. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）. A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 9. 若，则不等式：①；②；③；④，其中成立的不等式为（ ）. A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】作差法即可判断①②，不等式性质法即可判断③，不等式性质结合放缩法即可判断④. 【详解】对①，，因为，则， 所以，即，即，故①正确； 对②，，因为， 则，，则，则，故②正确； 对③，，则，故③错误； 对④，因为，则，则，则， 则， 因为 ，即，故④正确； 故选：C. 10. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性与单调性定义可得函数性质，再利用函数性质计算即可得解. 【详解】当时，， 当时，， 又，定义域为，故为奇函数， 则， 当时，，则在上单调递减， 又为奇函数，故在上单调递减， 则，即对任意恒成立， 即有，解得或， 又，则，故. 故选：B 第II卷 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.） 11. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助子集定义计算即可得. 【详解】由，，且，则. 故答案为：. 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助根式、分式及零次幂有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可得，即得， 故或或， 故的定义域为. 故答案为：. 13. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用求出值，再根据函数奇偶性即得. 【详解】因为为定义在上的奇函数，则，解得， 则当时，，则. 故答案为：1. 14. 设则函数的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】把表示为分段函数，结合函数的单调性求出的最大值. 【详解】，则或， 即或，解得或， 所以， 所以当时，单调递增，所以的最大值为; 当时，在上单调递减， 在上单调递增，又，， 所以此时，无最大值； 当时，单调递减，所以的最大值为. 综上可知：的最大值为2，当时取“”. 故答案：2 15. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则可表示出矩形的面积，再结合分类讨论即可得. 【详解】设，则， 由题意可得且，故， 当时，由，可取，则得； 当时，不可取，又，则； 综上，可得. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知全集为，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）直接代入得到集合，解出集合，再根据并补运算即可得到答案； （2）根据交集结果得到，再分和讨论即可. 【小问1详解】 当时，．由，解得或， 所以或，所以， 所以． 【小问2详解】 由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，且， 可得，解得， 综上所述，实数取值范围为． 17. 计算 （1）； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助指数幂的运算法则计算即可得； （2）借助指数幂的运算法则计算即可得. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式. 18. 已知是定义域为的奇函数，当时，，且在上的最小值为. （1）求的解析式； （2）作函数的图象，若方程恰有3个不同的解，求的取值范围. 【答案】（1） （2）图象见解析；. 【解析】 【分析】（1）配方得，解出值，再根据奇偶性即可得到其解析式； （2）根据函数解析式作出图象，再结合图象转化为直线与图象交点问题即可得到答案. 【小问1详解】 当时，， 所以在上的最小值为，解得， 所以当时，． 因为是奇函数，所以，令，得． 当时，， ， 所以. 【小问2详解】 作函数的图象， 若方程恰有3个不同的解， 根据的图象得的取值范围是． 19. 已知关于的不等式. （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在使不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）不存在，理由见解析； （2）； （3）. 【解析】 分析】（1）分和讨论，当时，结合二次函数开口和判别式即可得到答案； （2）变换主元，代入边界值得到不等式组，解出即可； （3）分离参数得，再利用换元法并结合函数单调性即可得到答案. 【小问1详解】 当时，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则需且，无解，所以不存在实数，使不等式恒成立． 【小问2详解】 设，当时，恒成立． 当且仅当，即，解得或， 所以取值范围是． 【小问3详解】 因为，所以． 设， 所以． 设，显然在上为增函数， 所以，所以， 所以的取值范围是． 20. 已知二次函数满足，且，函数. （1）求的解析式； （2）设，若的最大值不大于，又当时，，求的值； （3）若方程的两根和满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）利用二次函数性质计算即可得； （3）借助根的判别式与根与系数的关系计算即可得. 【小问1详解】 设，则有， 即，故，解得， 又，故； 【小问2详解】 ， 由的最大值不大于，且对称轴为， 则，解得， 则，有， 则当时，， 解得，又，故； 【小问3详解】 令，即， 则对该方程两根和，有，， 由，则有， ， 解得或； ，解得； ，则，解得； ， 整理得，解得； 综上可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $