精品解析：全国招生考试全真试卷数学4

**基本信息** 该卷精选全国多所重点高中自主招生真题改编，聚焦方程与不等式、函数与几何综合等核心知识，通过动态问题、新定义情境考查数学抽象、推理能力及模型意识，适配高中提前招生模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/30|方程根、不等式解集、函数图像|基础概念与图像分析结合（如第4题由函数图像推断矩形面积）| |填空题|6/30|新运算、几何中线、反比例函数|创新运算与动态几何（如第8题新运算不等式组、第10题矩形与反比例函数综合）| |解答题|5/60|函数最值、新定义“桃园数”、抛物线综合|多模块综合与逻辑推理（如15题新定义数论、17题抛物线与周长最值问题）|

全国重点高中提前招生考试 全真式卷（四） （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题5分，共30分） （2022广州大学附中教育集团自主招生改编） 1. 已知是方程的两个根，则（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2014 D. 2013 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是方程的两个根， 所以，，， 则 . 故选：C （成都市东辰国际学校自主招生） 2. 若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. （2021华师一附中自主招生） 3. 若是关于的一元一次方程，则的值为（ ） A. 5 B. C. 或5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义得到方程（不等式）组，解得的值，代入计算即可. 【详解】因为是关于的一元一次方程， 所以，解得，则. 故选：A （2020华师一附中自主招生） 4. 如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动．过点作交于点，设点的运动路程为，图②表示的是与的函数关系的大致图象，则矩形的面积是（ ） A. 20 B. 18 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，由正切值，代入数值后得出二次函数关系，再结合图象和对称轴，顶点坐标求出，最后求出面积即可. 【详解】由图②可知，，设，则， 如图，当点在上时， 则， 因为，所以， 即，化简为， 当时，代入上式并结合图②可得， 解得或（舍去），所以， 所以矩形的面积是， 故选：A. （2020淮北一中自主招生） 5. 如图，在矩形中，分别与相切于三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，可证得四边形是正方形，由切线长可得，再利用勾股定理建立方程求出即可得解. 【详解】连接，如图， 在矩形ABCD中， ， 分别与相切于E，F，G三点， ， ， 四边形是正方形， ， ， 是的切线， ， ， 在中，， ， ， . 故选：A （宁波市普通高中保送生招生测试） 6. 如图，半径弦于点，将沿对折交于点，的面积为36，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆形补全，根据折叠的性质得到，，根据直径所对圆周角为得，根据余角性质得到利用圆中的垂直关系，连接，根据等腰三角形性质得到，根据三角函数定义设，则，求得，利用三角形面积得到方程求解即可. 【详解】 根据题意将圆形补全，直线交圆于点，连接，， 因为将沿对折交于点，所以，， 因为为直径，所以，所以， 因为弦于点，所以， 所以，所以，因为， 所以，所以，所以， 因为，所以，设，则， 则，因为， 所以， 所以，解得，（舍），所以. 故选：A 二、填空题（每小题5分，共30分） （2022西安交通大学少年班自主招生） 7. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，解方程求出，即可得出答案. 【详解】设，则，即， ，解得：，（舍去）， ，即， ，解得：，（舍去）， 所以，， 所以. 故答案为：. （2022成都市实验外国语学校直升考试） 8. 对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出关于的方程组，求出，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围. 【详解】因为， 所以，解得， 所以，， 因为不等式组恰有3个整数解， 所以， 故答案为：. （2020泉州市侨光中学自主招生） 9. 如图所示，中，已知和分别是边上的中线，且，垂足为，若，则线段为________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角形重心的性质得到，根据勾股定理求出，延长交于，根据直角三角形的斜边中线性质求出，根据三角形的重心的性质计算即可． 【详解】解：延长交于， ∵和分别是边上的中线， ∴点是的重心，∴， ∵，∴， 又∵是的中点， ∴，∴， 故答案为：． （2022宁波市自主招生） 10. 如图，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，点在边上，且，以为边向下作矩形，使得点在边上，反比例函数的图象经过边与的交点，若，则的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，证得，求得，再由，求得，得到，结合反比例函数的图形经过点，代入即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为四边形是矩形，四边形是矩形， 所以， 又因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，解得，所以，所以， 因为反比例函数的图形经过点，所以. 故答案为：. （2020湖南师大附中自主招生） 11. 如图所示，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，顶点与边的中点重合，交于点交于点，则重叠部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明为的中点，再由得到，最后由面积关系得到结果. 【详解】由已知可得，所以， 因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以为的中点， 在中，， 易得，所以， 所以， 故答案为：. （华师一附中高中招生考试） 12. 若四个互不相等的正实数满足，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可将看做方程的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值． 【详解】解：设看做方程的两个解， 方程整理得：， 则， 又， 则. 故答案为：． 三、解答题（每小题12分，共60分） （黄石二中自主招生） 13. 已知，求的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，代入消去，将的表达式分离常数得，利用基本不等式求得结果. 【详解】，， ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以. 故的最小值为. （2020黄冈市省级示范高中自主招生） 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，，点的坐标是． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点在坐标轴上，且使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或或或 【解析】 【分析】（1）作轴，解直角三角形即可求出点，的坐标，利用待定系数法可求解； （2）由题意可得，，依据点在坐标轴上，设或，根据，即可求得点的坐标. 【小问1详解】 作轴，在，，， 所以，，所以， 因为在反比例函数的图象上， 所以，所以反比例函数为，因为在的图象上， 所以，把，两点的坐标代入，则， 解得， 所以一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 由，令，则，令，则， 所以，，所以， 若点在轴上，设，则， 由可得，解得或， 所以点或， 若点在轴上，设，则， 由可得，解得或， 所以点或， 综上所述，点的坐标为或或或. （2022重庆市保送生考试） 15. 对于任意一个三位数，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称这个三位数为“桃园数”．例如：，因为，所以112是“桃园数”；，因为，所以253不是“桃园数”； （1）判断459，615是否是“桃园数”？说明理由； （2）对于“桃园数”，去掉个位上的数字得到的两位数记为，去掉百位上的数字后将十位与个位的数字交换得到的两位数记为，若能被24整除，求所有的． 【答案】（1）459是“桃园数”， 615不是“桃园数” （2）P的值为314、336、358、628 【解析】 【分析】（1）根据“桃园数”定义判断即可； （2）设“桃园数”的百位上的数字是a，十位上的数字是b，表示出p、m、n结合整除的含义求出a的范围再逐个检验． 【小问1详解】 因为，所以459是“桃园数”； 因为，所以615不是“桃园数”； 【小问2详解】 设“桃园数”的百位上的数字是a，十位上的数字是b， 则个位上的数字是，且a为小于10的正整数，b为小于10的自然数， ∴，则 ， ∴ ∵能被24整除，∴是6的倍数， ∴a、b同是偶数或同是奇数，且a是3的倍数， ∵a、b、a+b分别在百位、十位、个位上 ∴∴或6或9 当时，，此时b的值可以是1、3、5 对应的P的值为314、336、358； 当时，，此时b的值可以是2 对应的P的值为628； 当时，，由于，此时b不存在 综上，P的值为314、336、358、628． （宁波市普通高中保送生招生测试） 16. 如图①，在中，为边上的中线（），以为直径的半圆分别交于点． （1）求证：点为的内心； （2）如图②，过点作的垂线交的延长线于点，试判断与的大小关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 连接，因为，为边上的中线， 所以，所以， 因为，点在半圆上， 所以， 因为是圆的直径，所以，所以， 所以，所以平分，所以为的内心. （2），理由如下： 过作，，垂足分别为， 因为平分，所以， 由题意可得，所以， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，连接，由圆的性质可得平分，即可得证； （2）根据题意，过作，，垂足分别为，即可证明，从而得到结果； （3）根据题意，在上截取，连接，过点作于，由勾股定理代入计算，结合相似可证，从而得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上截取，连接，过点作于， 因为，所以， 所以，所以， 所以是等腰直角三角形，所以， 所以，，所以，则， 所以，，所以， 所以，因为，， 所以，所以，所以， 因为，，所以， 所以. （2020华师一附中自主招生） 17. 如图①，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点坐标为，点坐标为，点是点关于抛物线对称轴的对称点，连接，过点作轴于点，过点作交的延长线于点． （1）求的值； （2）求线段的长度； （3）如图②，试在线段上找一点，在线段上找一点，且点为直线上方抛物线上的一点，求当的周长最小时，面积的最大值是多少? 【答案】（1） （2） （3）△MPF面积有最大值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法将点，点坐标函数解析式即可得出方程组，解出和的值即可； （2）根据对称点坐标特点可求出点坐标，又轴，所以的长就是点纵坐标的绝对值．又，，而的值都已知，可求出的值，的长即和的和； （3）找点C关于的对称点N和关于的对称点G，连接，交于点F，交于点P，即G、F、P、N四点共线时，周长＝最小，如图见详解，求此时面积即可． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线， ，解得：. 【小问2详解】 由（1）得抛物线解析式：， ，所以抛物线对称轴直线， 因为点D是点C关于抛物线对称轴的对称点， 所以，， 令，即，解得：， 所以，，因为， 所以，， 所以，又因为， 所以， ∴，即，解得：，则； 【小问3详解】 点关于的对称点，找点C关于的对称点， 连接，交于点F，交于点P，即G、F、P、N四点共线时， 周长＝最小， 设直线的解析式为 将，代入抛物线 ，得，解得， 所以直线的解析式：， 由（2）得， 所以直线的解析式，联立，解得 所以，因为轴， 所以将代入直线的解析式：，所以， 所以与的水平距离为2， 过点作轴的平行线交于点Q， 设点，则 令，解得：， 所以， 所以， 因为对称轴为直线， ∵开口向下，， ∴时，△MPF面积有最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国重点高中提前招生考试 全真式卷（四） （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题5分，共30分） （2022广州大学附中教育集团自主招生改编） 1. 已知是方程的两个根，则（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2014 D. 2013 （成都市东辰国际学校自主招生） 2. 若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2021华师一附中自主招生） 3. 若是关于的一元一次方程，则的值为（ ） A. 5 B. C. 或5 D. 2 （2020华师一附中自主招生） 4. 如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动．过点作交于点，设点的运动路程为，图②表示的是与的函数关系的大致图象，则矩形的面积是（ ） A. 20 B. 18 C. 10 D. 9 （2020淮北一中自主招生） 5. 如图，在矩形中，分别与相切于三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（ ） A. B. C. D. （宁波市普通高中保送生招生测试） 6. 如图，半径弦于点，将沿对折交于点，的面积为36，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、填空题（每小题5分，共30分） （2022西安交通大学少年班自主招生） 7. 已知，则的值为________． （2022成都市实验外国语学校直升考试） 8. 对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是________. （2020泉州市侨光中学自主招生） 9. 如图所示，中，已知和分别是边上的中线，且，垂足为，若，则线段为________. （2022宁波市自主招生） 10. 如图，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，点在边上，且，以为边向下作矩形，使得点在边上，反比例函数的图象经过边与的交点，若，则的值为________. （2020湖南师大附中自主招生） 11. 如图所示，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，顶点与边的中点重合，交于点交于点，则重叠部分的面积为________． （华师一附中高中招生考试） 12. 若四个互不相等的正实数满足，则的值为________. 三、解答题（每小题12分，共60分） （黄石二中自主招生） 13. 已知，求的最小值． （2020黄冈市省级示范高中自主招生） 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，，点的坐标是． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点在坐标轴上，且使得，求点的坐标． （2022重庆市保送生考试） 15. 对于任意一个三位数，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称这个三位数为“桃园数”．例如：，因为，所以112是“桃园数”；，因为，所以253不是“桃园数”； （1）判断459，615是否是“桃园数”？说明理由； （2）对于“桃园数”，去掉个位上的数字得到的两位数记为，去掉百位上的数字后将十位与个位的数字交换得到的两位数记为，若能被24整除，求所有的． （宁波市普通高中保送生招生测试） 16. 如图①，在中，为边上的中线（），以为直径的半圆分别交于点． （1）求证：点为的内心； （2）如图②，过点作的垂线交的延长线于点，试判断与的大小关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的长． （2020华师一附中自主招生） 17. 如图①，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点坐标为，点坐标为，点是点关于抛物线对称轴的对称点，连接，过点作轴于点，过点作交的延长线于点． （1）求的值； （2）求线段的长度； （3）如图②，试在线段上找一点，在线段上找一点，且点为直线上方抛物线上的一点，求当的周长最小时，面积的最大值是多少? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $