1.2一定是直角三角形吗同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1.2 一定是直角三角形吗同步练习 一、单选题 1．下列各组数据中，是勾股数的是（   ） A．，，1 B． C．4，5，9 D．3，4，5 2．下列四组数中能作为直角三角形边长的是（   ） A．2，2，3 B．3，4，5 C．6，7，8 D．5，13，14 3．在中，D是边上的一点．若，则是（   ） A．的角平分线 B．边上的高线 C．边上的中线 D．边上的垂直平分线 4．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 5．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C．31 D．37 6．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点，为垂足，若，，，则的长为（   ） A．10 B．11 C． D． 7．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 8．“已知7，24，是一组勾股数，求的值．”小苹的结果是无法确定，小安的结果是，乐乐的结果是或，则（    ） A．小苹对 B．小安对 C．乐乐对 D．三人都不对 9．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（    ） A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤ 二、填空题 11．一个三角形三边长为、、，则三角形的面积为 ． 12．如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 13．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为 ．    14．如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第六代勾股树图形中正方形的个数为 ． 15．如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③．其中正确的结论是 ． 三、解答题 16．（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． 17．如图，有一块三角形硬纸板，其中，现要从中剪下一个以为底边的等腰． (1)在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求等腰的面积． 18．如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 19．如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，，点D在A的正北方向． (1)求四边形步道所围公园的面积； (2)小明和小亮从B到D去玩耍，公园内有一条小路，小明决定走小路从B→E→D，小明的速度为，小亮决定全程走步道从B→C→D，小亮的速度为，已知，则小明和小亮谁先到达D？请说明理由．（精确到十分位，参考数据：，，） 20．如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)当是直角三角形时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.2 一定是直角三角形吗同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A B C D B B C 1．D 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理．满足的三个正整数，称为勾股数，据此即可得出答案． 【详解】解：A、，，不是整数，故不是勾股数，该选项不符合题意； B、，不是整数，故不是勾股数，该选项不符合题意； C、4，5，9，不能构成三角形，该选项不符合题意； D、3，4，5，三边是整数，且，能构成直角三角形，该选项符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A：∵，，， ∴不能作为直角三角形边长，不符合题意； B：∵，，， ∴能作为直角三角形边长，符合题意； C：∵，，， ∴不能作为直角三角形边长，不符合题意； D：∵，，， ∴不能作为直角三角形边长，不符合题意； 故选B． 3．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．由等式变形得，根据勾股定理逆定理，可知为直角三角形，且，从而，即是边上的高线． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是边上的高线． 故选：B． 4．A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 5．B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；先根据勾股定理求得的长，然后根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积为， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， ∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2 ， 同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3 ， ∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4 ， ， ∴“生长”了 2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2026 ． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．分两种情况，根据勾股数的定义得出方程，求解即可． 【详解】解：当m为最长边时，， 解得：（负值已舍去）； 当24为最长边时，， 解得：（负值已舍去），不是整数，不符合题意； 综上所述，， 故选：B． 9．B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 10．C 【分析】根据正三角形性质，得，；根据旋转的性质，得，，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明，即可判断①；根据勾股定理逆定理，得，结合等边三角形 ，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算得，从而判断④；绕点A逆时针旋转得到，根据等腰三角形、勾股定理及其逆定理的性质计算，可判断⑤，即可得到答案． 【详解】解：连接，如下图： ∵正 ∴， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形 ∴，即②错误； ∵， ∴ 和中 ∴ ∴，可以由绕点B逆时针旋转得到，即①正确； ∵， ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴，即③正确； ∵ ∴ 过点B做，交于点N ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积，即④正确； ∵正 ∴绕点A逆时针旋转得到，如下图： ∵，，， ∴为等边三角形 ∴ 过点A做，交于点G，如下图： ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解． 11． 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用三角形面积公式求解．解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴该三角形是直角三角形，且直角边长为和， ∴三角形的面积为：． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可知，利用勾股定理可求出的长，利用即可求解． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ， ； 故答案为：． 14．127 【分析】本题考查图形的规律．根据前三代的正方形的个数分别为3、7、15可得第n代有个正方形，据此即可解答． 【详解】解：第一代有3个正方形， 第二代有7个正方形， 第三代有15个正方形， 第n代有个正方形， 故第六代有（个）正方形， 故答案为：127． 15．①②③ 【分析】利用旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理逐一计算判断即可． 【详解】解：连结，如图， ①∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，所以①正确； ②∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 所以②正确； ③∵， ∴， ∴ ， 所以③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质，并根据题意选择适当的知识求解是解题的关键． 16．（1）是勾股数，见解析；（2）是勾股数，见解析；（3）是勾股数，见解析 【分析】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方； （1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）根据勾股数的定义得出，推出的成立即可； （3）得到即可得到这是一组勾股数． 【详解】解：（1），，（k是正整数）， ， ，，是一组勾股数； （2）a，b，c是一组勾股数， ∴，，（k是正整数）也是一组正整数， ， ， ∴，，（k是正整数）也是一组勾股数； （3）表示大于1的整数， 由，，得到、、均为正整数； 又， 而， ， 、、为勾股数． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图复杂作图，三角形的面积，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点，连接，即为所求； （2）证明，设，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，，， ， ， 设，则有， ， ， 的面积． 18．(1)5 (2)四边形ABCD的面积为36 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及四边形面积的计算，解题的关键是连接，将四边形分割为两个直角三角形分别求解． （1）在中，用勾股定理求的长； （2）利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再分别计算两个直角三角形的面积并求和得四边形面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴由勾股定理得， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，． ∴四边形的面积 ． 答：四边形的面积为． 19．(1) (2)小明先到达D，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握该两个定理的灵活应用． （1）先利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用勾股定理得出长度，最后利用三角形的面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求出线段的长度，然后分别求出两人的时间进行对比即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； 根据方位得，， 由勾股定理得，， ∴； ∴； （2）解：小明先到达D，理由如下： ， 由勾股定理得， 小明所需时间为； 小亮所需时间为； ∵， ∴小明先到达D． 20．(1)是直角三角形，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和等腰直角三角形的性质，解决此题的关键是注意分类讨论； （1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案； （2）根据勾股勾股定理即可得到答案； （3）不知道哪个角是直角，所以要分情况讨论； 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ，， ∴， ， ∴， ∴ ∴是直角三角形且； （2）解：∵， ， ∴， 由（1）可知：； 又， 在中， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，\ 综上可知：当是直角三角形时，的长为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $