1.2 一定是直角三角形吗（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 北师版 八年级(上) 1. 能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直 角三角形，发展合情推理能力.(重点) 2. 能够灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题，培养学生的综合应用能力，发展数学语言表达能力. (难点) 3. 理解勾股数的定义，探索常用勾股数的规律. 素养目标 如果∠A +∠B = 90°，那么△ABC 就是一个直角三角形，∠C 为直角. 即有如下的直角三角形的判定方法： 两个角互余的三角形是直角三角形. 思考：如何判定一个三角形是直角三角形？ 除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？ 复习导入 同学们知道古埃及人没有三角板是怎么画直角的吗？ 点击视频观看 你知道为什么吗？ 情境导入 【活动1】：做一做 类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果． （1）让一根绳子的一端与 0 刻度线重合，分别在 3 cm，7 cm，12 cm 处做标记，得到长度分别为 3 cm，4 cm，5 cm 的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形． 答：是直角三角形． 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 新知探究 （2）类似（1）的操作，以 2.5 cm，6 cm，6.5 cm 和 4 cm，7.5 cm，8.5 cm 的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形． 答：是直角三角形． 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 新知探究 【活动2】：画一画 下面有四组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17； ④ 5，6，7． 问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是 直角三角形吗？ ①②③是 ④不是 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 5 6 7 新知探究 ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17； ④ 5，6，7． 问题2 哪几组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. a2 + b2 = c2 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 新知探究 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判定此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角. 特别说明： 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 新知探究 勾股数 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 新知探究 常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都乘相同倍数 k (k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如将 3，4，5 都乘 2 和 3，得到的 6，8，10 和 9，12，15 也是勾股数. 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 新知探究 例1 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角. 工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 新知探究 在△BCD 中， BD² + BC² = 5² + 12² = 169 = 13² = CD²， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD 中， AB² + AD² = 3² + 4² = 25 = 5² = BD²， 所以△ABD 是直角三角形， ∠A 是直角. D A B C 4 3 5 13 12 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 新知探究 例2 判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形. (1) 在△ABC 中，∠A = 20°，∠B = 70°； (2) 在△ABC 中，AC = 7，AB = 24，BC = 25； (3) △ABC 的三边长 a，b，c 满足 (a＋b)(a－b) = c². 解析：(1) 已知两角可以求出另外一个角； 解：(1) 在△ABC 中，∵∠A = 20°，∠B = 70°， ∴∠C = 180°－∠A－∠B = 90°， 即△ABC 是直角三角形. 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 新知探究 (2) 在△ABC 中，AC = 7，AB = 24，BC = 25； (2) ∵ AC² + AB² = 7² + 24² = 625， BC² = 25² = 625， ∴ AC² + AB² = BC². 根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形. 解析：(2) 使用勾股定理的逆定理验证. 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 新知探究 (3) △ABC 的三边长 a，b，c 满足 (a＋b)(a－b) = c². 解析：(3) 将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证. (3) ∵ (a＋b)(a－b) = c²， ∴ a²－b² = c²，即 a² = b²＋c². 根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形. 方法总结：在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的最大边的平方等于另外两边的平方和. 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 新知探究 例3 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可. 探究点： 利用三边数量关系判定直角三角形 新知探究 1. 以下列长度的三条线段为边，能围成一个直角三 角形的是(　C　) A. 4，3，6 B. 5，6，12 C. 6，8，10 D. 7，20，25 C 当堂反馈 2. 若某三角形的三边长为a，b，c，且满足(a＋ b)(a－b)＝c2，则下列说法正确的是(　A　) A. 边a所对的角是直角 B. 边b所对的角是直角 C. 边c所对的角是直角 D. 此三角形不是直角三角形 A 当堂反馈 3. [教材变式]如图，在正方形组成的网格图中标有 AB，CD，EF，GH的四条线段，其中能构成一个 直角三角形三边的三条线段是(　B　) A. CD，EF，GH B. AB，EF，GH C. AB，CD，EF D. GH，AB，CD B 当堂反馈 4. 给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③ 4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12； ⑦7，25，24.以每组数据为三边长，可构成三角形 的有 ，可构成直角三角形的有 ⁠ .(填写序号) ①③④⑥⑦　 ① ④⑥⑦　 当堂反馈 5. 如图，已知△ABC的三条边AC＝20cm， BC＝15cm，AB＝25cm，过点C作CD⊥AB， 则CD＝ cm. 12　 当堂反馈 解：在△ABC中， ∵AB⊥BC， ∴根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5. 在△ACD中， ∴AC2＋CD2＝AD2. ∴△ACD是以AD为斜边的直角三角形，∠ACD＝90°. ∴AC⊥CD. ∵AC2＋CD2＝5＋4＝9，AD2＝9， 6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2， CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC. 试说明：AC⊥CD. 当堂反馈 一定是直角三角形吗 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形 勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c 课堂小结 $古埃及人曾用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，然后以三个节、四个节、五个节的长度为边长，将绳子拉直，固定成一个三角形，其中一个角便是直角。 null