精品解析：新疆克拉玛依市独山子区第二中学（初中部）2025-2026学年九年级上学期第一阶段十月限时作业（第一次月考）数学试卷

独山子第二中学2025—2026学年第一阶段十月限时作业 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章． 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是二次函数的是 （ ） A. y＝2x＋1 B. C. y＝3x2＋1 D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第二部分（非选择题 共114分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 二次函数的最小值是_______ 11. 若函数是关于的二次函数，则____． 12. 已知a、b是方程的两根，则___________． 13. 第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有_________家． 14. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 15. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 用合适的方法解下列方程． （1）； （2）； （3）；（公式法） （4）．（配方法） 17. 已知二次函数． （1）求顶点坐标； （2）求与x轴的交点坐标． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 19. 如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． （1）的长为 米（用含x的代数式表示） （2）若仓库的面积为150平米，求； （3）仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 20. 已知一个二次函数的图象经过、、三点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点P的坐标； （3）的面积为 ． 21. 二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． （1）抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； （4）当时，的取值范围是______． 22. 随着人们生活水平提高，小区轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区年底有轿车辆，年底轿车达到辆． （1）若该小区轿车平均年增长率都相同，求该小区轿车平均年增长率是多少? （2）若按照平均年增长率计算，到年底轿车达到多少辆? 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）求的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 独山子第二中学2025—2026学年第一阶段十月限时作业 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章． 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列函数是二次函数的是 （ ） A. y＝2x＋1 B. C. y＝3x2＋1 D. 【答案】C 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解∶ 二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：B 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 6. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵的图象开口向下，对称轴是y轴，关于y轴的对称点是， ∴时，y随x的增大而减小， 又∵ ∴， 故选：D． 8. 已知，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 9. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得，， ，故①不符合题意；当与时的函数值相等，可得，故②符合题意；当时函数值最大，可得，故③不符合题意；由点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边， ∴，，， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴当与时的函数值相等， ∴，故②符合题意； ∵当时函数值最大， ∴， ∴；故③不符合题意； ∵点和点在该图象上， 而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小， ∴．故④符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键． 第二部分（非选择题 共114分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 二次函数的最小值是_______ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，将该二次函数写成顶点式，即可解答． 【详解】解：∵， ∴当时，函数有最小值，为． 故答案为：1 11. 若函数是关于的二次函数，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（且a、b、c是常数）的函数叫做二次函数． 12. 已知a、b是方程的两根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键． 13. 第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有_________家． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有家公司参加“哈洽会”，依题意得，求解即可，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程． 【详解】解：设有家公司参加“哈洽会”，依题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴参加此次“哈洽会”的公司有家， 故答案为：． 14. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 15. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点， ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 用合适的方法解下列方程． （1）； （2）； （3）；（公式法） （4）．（配方法） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】（）利用直接开平方法解答即可； （）移项，利用因式分解法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； （）移项，利用配方法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：移项得，， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：，，， ∵， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 17. 已知二次函数． （1）求顶点坐标； （2）求与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质． （1）将函数解析式化为顶点式，即可写出该函数的顶点坐标； （2）令求出x的值，即可写出该函数与x轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， ∴二次函数与x轴的交点坐标为． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 19. 如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． （1）的长为 米（用含x的代数式表示） （2）若仓库的面积为150平米，求； （3）仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）米 （3）解：不能，理由： 根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为． 【解析】 【分析】（1）因为设的长为米，则米，即可作答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论． 本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意得，， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米； 【小问3详解】 略 20. 已知一个二次函数的图象经过、、三点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点P的坐标； （3）的面积为 ． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）该抛物线的对称轴为直线，顶点为； （3）27 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点代入可求得，将的值代入可求得抛物线的解析式； （2）把解析式化成顶点式，即可求得对称轴和顶点坐标； （3）根据三角形面积公式求得即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将点代入得：． 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 该抛物线的对称轴为直线，顶点为； 【小问3详解】 解：． 故答案为：27． 21. 二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． （1）抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； （4）当时，的取值范围是______． 【答案】（1），； （2） 如图所示： （3） （4）或； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像及性质，以及函数平移，解题关键是熟悉二次函数的图像和性质. （1）利用配方法求出写出顶点式即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据题意由函数平移原则“左加右减，上加下减”写出即可； （4）根据函数图像可求解. 【小问1详解】 解： 故 ∵点C在y轴上 ∴ 故答案为：， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位； 则： 故答案为：； 【小问4详解】 ∵，由图像可得：或； 故答案为：或. 22. 随着人们生活水平提高，小区轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区年底有轿车辆，年底轿车达到辆． （1）若该小区轿车平均年增长率都相同，求该小区轿车平均年增长率是多少? （2）若按照平均年增长率计算，到年底轿车达到多少辆? 【答案】（1）小区轿车平均年增长率是； （2）按照平均年增长率计算，到年底轿车达到辆． 【解析】 【分析】（1）设小区轿车平均年增长率为x，则增长2次以后的车辆数是，列出一元二次方程解方程即可； （2）年底轿车年的车辆． 【小问1详解】 解：设小区轿车平均年增长率为x， 根据题意得，， 解得或（不合题意，舍去）． 答：小区轿车平均年增长率是； 【小问2详解】 小区到年底小区轿车拥有量为：， 答：按照平均年增长率计算，到年底轿车达到辆． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用（增长率问题），解题关键在于根据题意准确列出方程． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）求的面积最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2） （3）的面积最大值为 【解析】 【分析】（1）把点，代入抛物线，利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的解析式，令，可求出抛物线与轴的交点，根据待定系数法即可求解； （3）如图所示，过点作轴交于，设，则，用含的式子表示的面积，根据抛物线的顶点式即可求出最大值． 【小问1详解】 解：将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令，则，解得，， ∴，且， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 解：如图所示，过点作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， ∴的面积最大值为． 【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，函数图像的性质特点及面积的计算方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $