第17讲 长方体与正方体（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第17讲 长方体与正方体 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握长方体和正方体的基本特征，理解表面积、体积计算公式的推导过程 2.能够灵活运用公式解决表面积、体积相关的各类奥数问题 3.理解等体积变形的原理，学会解决不同几何体之间的体积转换问题 4.掌握立体图形染色问题的规律，能准确计算不同位置小正方体的染色情况 5.培养空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决复杂立体几何问题的能力 知识梳理 知识点一、表面积相关问题 1.核心概念： （1）表面积定义：长方体或正方体6个面的总面积 （2）长方体特征：6个面（一般都是长方形，特殊情况有2个相对面是正方形），相对面面积相等；12条棱，分3组（长、宽、高），每组4条棱长度相等 （3）正方体特征：6个面都是正方形且面积相等；12条棱长度都相等（正方体是特殊的长方体） 2.基本公式： （1）长方体表面积公式：S=2(ab+ah+bh) （其中a表示长，b表示宽，h表示高） （2）正方体表面积公式：S=6a² （其中a表示棱长） （3）无底（或无盖）长方体表面积公式：S=ab+2ah+2bh （4）无底又无盖长方体表面积公式：S=2ah+2bh 3.解题技巧： （1）"观察法"：对于不规则的立体图形表面积计算，先观察图形特征，判断哪些面需要计算 （2）"平移法"：将不规则图形的某些面平移，转化为规则图形进行计算 （3）"分类计算法"：将组合体分解为基本图形，分别计算表面积后再进行加减（注意减去重叠部分面积） 知识点二、体积相关问题 1.核心概念： （1）体积定义：物体所占空间的大小 （2）容积定义：容器所能容纳物体的体积（一般情况下，容积小于体积） （3）体积单位：立方米(m³)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³)，相邻单位间进率是1000 （4）容积单位：升(L)、毫升(mL)，1L=1dm³，1mL=1cm³ 2.基本公式： （1）长方体体积公式：V=abh （2）正方体体积公式：V=a³ （3）长方体和正方体统一体积公式：V=Sh（S表示底面积，h表示高） （4）体积与容积关系：1L=1dm³，1mL=1cm³ 3.解题技巧： （1）"公式直接应用"：对于基本的长方体和正方体，直接应用体积公式计算 （2）"排水法求不规则体积"：将不规则物体放入水中，水面上升的体积就是物体体积 （3）"分割法求组合体体积"：将复杂组合体分割为若干个基本立体图形，分别计算体积后求和 知识点三、等体积变形 1.核心概念： （1）等体积变形：指物体的形状发生变化，但体积保持不变的现象。 （2）在奥数中常表现为： ①同一物体从一种形状转变为另一种形状（如正方体熔铸成长方体） ②液体从一个容器倒入另一个容器（形状改变但体积不变） ③不规则物体放入水中，水面上升部分的体积等于物体体积 2.基本公式： （1）长方体体积公式：V=abh （2）正方体体积公式：V=a³ 3.解题技巧： （1）"寻找不变量"：抓住体积不变这一关键，建立等量关系 （2）"方程法求解"：设未知量，根据体积相等建立方程 知识点四、染色问题 1.核心概念： （1）染色问题定义：将一个长方体或正方体表面涂色后切成若干个小正方体，研究不同位置小正方体的染色情况 （2）小正方体位置分类： ①三面染色：位于原立体图形顶点处的小正方体 ②两面染色：位于原立体图形棱上但不在顶点处的小正方体 ③一面染色：位于原立体图形面上但不在棱上的小正方体 ④没有染色：位于原立体图形内部的小正方体 2.基本规律： （1）设一个长方体的长、宽、高上分别有m、n、p个小正方体（m、n、p均≥2）： ①三面染色的小正方体：8个（长方体和正方体都有8个顶点） ②两面染色的小正方体：4[(m-2)+(n-2)+(p-2)]个（12条棱，每条棱上除去顶点处2个） ③一面染色的小正方体：2[(m-2)(n-2)+(m-2)(p-2)+(n-2)(p-2)]个（6个面，每个面除去边缘部分） ④没有染色的小正方体：(m-2)(n-2)(p-2)个（内部未露出的部分） （2）对于棱长为n的正方体（切成n×n×n个小正方体，n≥2）： ①三面染色的小正方体：8个 ②两面染色的小正方体：12(n-2)个 ③一面染色的小正方体：6(n-2)²个 ④没有染色的小正方体：(n-2)³个 3.解题技巧： （1）"规律总结法"：牢记不同位置小正方体的染色规律公式 （2）"分类计数法"：按照三面、两面、一面、无染色分类计算，避免重复或遗漏 （3）"空间想象法"：通过画图或实物观察，培养空间想象能力 例题讲解 一、表面积相关问题 【例题1】如图，一个立体图形由5个小正方体组成，每个小正方体的棱长为2厘米，这个立体图形的表面积是 平方厘米。 【例题2】长方体木块长10厘米、宽8厘米、高6厘米，按照如图所示的方式将木块切成4个小长方体木块，这4个小长方体木块的表面积之和为 平方厘米。 【例题3】把一个表面积是54平方分米的正方体木料锯成两个长方体，这两个长方体的表面积是多少平方分米？ 【例题4】把一个长方体切成3个正方体，这3个正方体表面积之和比原来的长方体表面积大8平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【例题5】如图所示是由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、3米、5米。现在要在表面涂刷油漆，刷油漆的面积是多少平方米？ 二、体积相关问题 【例题1】把一个长方体截去一个高为8厘米的长方体后，剩下的部分是一个正方体。正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米。求原来长方体的体积。 【例题2】有一块长方形的铁皮，长60厘米，宽40厘米。在这块铁皮的四角剪去边长5厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积。 【例题3】5个正方体一字拼成一个长方体，表面积比原来5个正方体的表面积之和减少288平方厘米，原来每个正方体的体积是多少立方厘米？ 【例题4】一个长方体水箱，长10dm，宽8dm，水深4.5dm，当把一块体积是120立方分米的石块放入水箱后，石块被完全淹没，此时水位上升了多少分米？ 三、等体积变形 【例题1】将棱长是6厘米的正方体铁块，锻造成长3厘米，宽2厘米的长方体，锻造成的这个长方体的高是多少厘米？ 【例题2】有一个长方体容器，长25厘米、宽16厘米、高12厘米，里面水深8厘米。如果让长25厘米、宽12厘米的面朝下，这时水深多少厘米？ 【例题3】一个长方体容器从里边量，底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个长方体铁块，且铁块不完全浸入水中。现把铁块垂直向上提起16厘米（仍有部分浸在水中），容器内水面下降了2厘米，求铁块的底面积。 四、染色问题 【例题1】把一个表面涂色的大正方体的每条棱都平均分成5份，再切成同样大的小正方体，3面涂色的有( )个，1面涂色的有( )个。 【例题2】一个正方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的64块小正方体。切成的小正方体中，三面涂色的有( )块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块，没有涂色的有( )块。 【例题3】如图，将一个长4cm、宽3cm、高3cm的长方体6个面涂上红色，然后把这个长方体切割成棱长为1cm的小正方体，可以分成( )个小正方体，其中，一面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，没有涂色的有( )个。 【例题4】下图是正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？ 【例题5】一个长方体六面涂红，沿长边切4刀、宽边切2刀，沿高边切5刀后，求各面无红色的小方块数量。 考点练习 一、表面积相关问题 1．图中的一堆积木是由16块棱长为2cm的小正方体堆成的，它的表面积（含底面）是（    ）cm2。 A．184 B．192 C．200 D．260 E．384 2．过年时小高买了一个玩具。如图所示，该玩具是一个棱长为5cm的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长为1cm的小正方体。该玩具的表面积是（    ）cm2。 A．174 B．168 C．149 D．124 3．下图每个小正方形的面积均为1平方厘米，则该立体图形的表面积为 平方厘米。 4．长方体木块长10厘米、宽8厘米、高6厘米，按照如图所示的方式将木块切成4个小长方体木块，这4个小长方体木块的表面积之和为 平方厘米。 5．如图，将6个长3分米、宽1分米、高2分米的积木堆积在一起，堆积成的物体的表面积是 平方分米。 6．星星和希希有14个棱长为5厘米的正方体，他们在地面上把它们摆成如下图所示的几何体，然后他们把露出的表面都涂上油漆，那么被涂上油漆的总面积为 平方厘米。 7．如图是一个棱长为8厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个小一点的正方体，表面积比原来增加多少平方厘米？ 8．把一根长8分米的长方体木料，正好锯成4个一样的正方体，表面积一共增加了多少平方分米？ 9．如图，一个正方体的表面积是90平方厘米，如果把这个正方体沿虚线切开得到3个长方体，那么这三个长方体的表面积之和为多少平方厘米？ 10．建造一个长方体游泳池，长30米，宽10米，深1.6米，池的四壁和底面用瓷砖铺砌，如果每平方米用瓷砖25块，共需要多少块？ 11．将12个棱长为1的正方体积木拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积最大是多少？最小是多少？ 12．将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为多少平方厘米？ 13．一个正方体木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成4份，每份又锯成5长条，共得大大小小长方体20块，这20块长方体的表面积总和是多少平方米？ 14．用棱长是2厘米的正方体拼成如图所示的立体图形，问：该图形的表面积是多少平方厘米？ 15．如图是用3个正方体木块堆成的多面体，其中最下面的正方体的棱长为10厘米，而上面的两个正方体下底面的4个顶点分别是其下面正方体。上底面各边的中点。那么这个多面体的表面积是多少平方厘米？ 二、体积相关问题 1．一个长方体的纸盒，底面是周长为12厘米的正方形，高是2.5厘米，这个长方体纸盒的表面积和体积各是多少？ 2．一个长方体，如果高截掉2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩下的正好是一个正方体，原来长方体的体积和表面积分别是多少？ 3．一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为2.5厘米和3.5厘米的长方体后，便成为一个正方体，此时表面积减少了240平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 4．有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是209平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 5．如图，在长为29厘米、宽为17厘米的长方形硬纸板的四个角各剪去边长为3厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？ 6．一个长方体水箱，长10dm，宽8dm，高为10dm。水箱里有水深6dm，现在将一块长8分米，宽6分米的石块放入水箱后，水箱溢出64立方分米的水，那么石块的高度是多少？ 7．有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？ 8．如图，将一个正方体切成8个小正方体后，表面积增加了216平方厘米，原来正方体的体积是多少立方厘米？ 9．有一个长方体容器，长40厘米、宽30厘米、高15厘米，里面水深10厘米。先将容器倾斜使水部分流出，剩余水体积为原来的一半，然后让长40厘米、宽15厘米的面朝下，这时水深多少厘米？ 10．一只乌鸦站在一个长8厘米、宽6厘米、高60厘米的长方体玻璃容器前想要喝水，此时玻璃容器里有45厘米高的水，当水位上升到50厘米时，乌鸦就能喝到水了。请问：乌鸦要往水里扔多少块石头才能喝到水（假定每块石头是棱长为1厘米的小正方体）？ 11．如图，有一个盛了蓝色油漆的长方体容器，容器上方没有盖子。它的底面是一个长15厘米，阔10厘米的长方形，蓝色油漆深20厘米。一支长方体金属柱的底面是一个边长5厘米的正方形，高100厘米，把它垂直插至容器底部，使金属柱的底面与容器的底面紧贴著，当中并没有油漆溅出。再把铁柱垂直拿起。那么铁柱表面有多少平方厘米是蓝色的？ 三、等体积变形 1．把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是( )立方厘米。 2．有一块长、宽、高分别为5分米、4分米、3分米的长方体铁块，现把它煅造成一根横截面是长8厘米、宽5厘米的长方形的长方体，求锻造后的长方体的高是多少厘米？ 3．有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时的水深又是多少厘米？ 4．有一个长方体水池，底面为边长60米的正方形，深度50米，现在水深25米，然后将一根底面边长为20米、高45米的长方体体铁桂竖直插入水池，水面高度变为多少米？ 四、染色问题 1．一个大立方体由64个相同的小立方体组成，这个大立方体的三个面被涂上了颜色，则（    ）。 A．有两个小立方体的三个面都被涂上了颜色 B．最多会有9个小立方体只有两个面被涂上了颜色 C．最少会有8个小立方体只有两个面被涂上了颜色 D．最多会有32个小立方体只有一个面被涂上了颜色 2．把一个棱长为3分米的正方体表面涂色后，切成棱长为1分米的小正方体。其中2面涂色的小正方体有( )个。 3．将一个棱长6厘米的正方体表面涂上红色，然后把它切割成棱长1厘米的小正方体。那么这些小正方体中三个面涂色的有( )块，两个面涂色的有( )块，没有涂色的有( )块。 4．一个棱长4厘米的正方体木块，把它的表面积涂上红色，然后把它锯成棱长是1厘米的小正方体，小正方体一面红色的有( )个，两面红色的有( )个，三面红色的有( )个。 5．如图，一个长方体被分成个相同的小正方体，其中只有一个小正方体是黑色的。施1次魔法，黑色正方体能把所有和它有公共面的小正方体都染成黑色。那么施2次魔法后，共有( )个黑色小正方体。 6．如图是一个表面涂色的大正方体，它被切成了小正方体。其中两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个。 7．一个长方体木块，长5dm，宽4dm，高3dm，先把它的六个面涂上颜色，再把它锯成棱长是1dm的小正方体木块（如图）。在锯成的小正方体木块中，三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个，六个面都没有涂色的有( )个。 8．将一个正方体平均分成若干份1厘米的小正方体，如果将其表面涂成红色，其中未被涂成红色有64块，则2面涂色的有多少块？ 9．下图是4×4×4正方体，如果将其表面涂成黄色，那么其中一面、两面、三面被涂成黄色的小正方体各有多少块？ 10．下图是3×4×5正方体，如果将其表面涂成黄色，那么其中一面、两面、三面被涂成黄色以及未被涂色的小正方体各有多少块？ 11．一个长方体六面涂红，沿长边切7刀，宽边切5刀，沿高边切x刀后，无红色小方块为24块，求x。 12．一个正方体六面涂红，沿三条棱分别切a、b、c刀（a≥b≥c≥1），已知切后无红色小方块数量为24块，且a＝b＋1，b＝c＋1，求a、b、c的值及2面涂色的小方块数量。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 长方体与正方体 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握长方体和正方体的基本特征，理解表面积、体积计算公式的推导过程 2.能够灵活运用公式解决表面积、体积相关的各类奥数问题 3.理解等体积变形的原理，学会解决不同几何体之间的体积转换问题 4.掌握立体图形染色问题的规律，能准确计算不同位置小正方体的染色情况 5.培养空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决复杂立体几何问题的能力 知识梳理 知识点一、表面积相关问题 1.核心概念： （1）表面积定义：长方体或正方体6个面的总面积 （2）长方体特征：6个面（一般都是长方形，特殊情况有2个相对面是正方形），相对面面积相等；12条棱，分3组（长、宽、高），每组4条棱长度相等 （3）正方体特征：6个面都是正方形且面积相等；12条棱长度都相等（正方体是特殊的长方体） 2.基本公式： （1）长方体表面积公式：S=2(ab+ah+bh) （其中a表示长，b表示宽，h表示高） （2）正方体表面积公式：S=6a² （其中a表示棱长） （3）无底（或无盖）长方体表面积公式：S=ab+2ah+2bh （4）无底又无盖长方体表面积公式：S=2ah+2bh 3.解题技巧： （1）"观察法"：对于不规则的立体图形表面积计算，先观察图形特征，判断哪些面需要计算 （2）"平移法"：将不规则图形的某些面平移，转化为规则图形进行计算 （3）"分类计算法"：将组合体分解为基本图形，分别计算表面积后再进行加减（注意减去重叠部分面积） 知识点二、体积相关问题 1.核心概念： （1）体积定义：物体所占空间的大小 （2）容积定义：容器所能容纳物体的体积（一般情况下，容积小于体积） （3）体积单位：立方米(m³)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³)，相邻单位间进率是1000 （4）容积单位：升(L)、毫升(mL)，1L=1dm³，1mL=1cm³ 2.基本公式： （1）长方体体积公式：V=abh （2）正方体体积公式：V=a³ （3）长方体和正方体统一体积公式：V=Sh（S表示底面积，h表示高） （4）体积与容积关系：1L=1dm³，1mL=1cm³ 3.解题技巧： （1）"公式直接应用"：对于基本的长方体和正方体，直接应用体积公式计算 （2）"排水法求不规则体积"：将不规则物体放入水中，水面上升的体积就是物体体积 （3）"分割法求组合体体积"：将复杂组合体分割为若干个基本立体图形，分别计算体积后求和 知识点三、等体积变形 1.核心概念： （1）等体积变形：指物体的形状发生变化，但体积保持不变的现象。 （2）在奥数中常表现为： ①同一物体从一种形状转变为另一种形状（如正方体熔铸成长方体） ②液体从一个容器倒入另一个容器（形状改变但体积不变） ③不规则物体放入水中，水面上升部分的体积等于物体体积 2.基本公式： （1）长方体体积公式：V=abh （2）正方体体积公式：V=a³ 3.解题技巧： （1）"寻找不变量"：抓住体积不变这一关键，建立等量关系 （2）"方程法求解"：设未知量，根据体积相等建立方程 知识点四、染色问题 1.核心概念： （1）染色问题定义：将一个长方体或正方体表面涂色后切成若干个小正方体，研究不同位置小正方体的染色情况 （2）小正方体位置分类： ①三面染色：位于原立体图形顶点处的小正方体 ②两面染色：位于原立体图形棱上但不在顶点处的小正方体 ③一面染色：位于原立体图形面上但不在棱上的小正方体 ④没有染色：位于原立体图形内部的小正方体 2.基本规律： （1）设一个长方体的长、宽、高上分别有m、n、p个小正方体（m、n、p均≥2）： ①三面染色的小正方体：8个（长方体和正方体都有8个顶点） ②两面染色的小正方体：4[(m-2)+(n-2)+(p-2)]个（12条棱，每条棱上除去顶点处2个） ③一面染色的小正方体：2[(m-2)(n-2)+(m-2)(p-2)+(n-2)(p-2)]个（6个面，每个面除去边缘部分） ④没有染色的小正方体：(m-2)(n-2)(p-2)个（内部未露出的部分） （2）对于棱长为n的正方体（切成n×n×n个小正方体，n≥2）： ①三面染色的小正方体：8个 ②两面染色的小正方体：12(n-2)个 ③一面染色的小正方体：6(n-2)²个 ④没有染色的小正方体：(n-2)³个 3.解题技巧： （1）"规律总结法"：牢记不同位置小正方体的染色规律公式 （2）"分类计数法"：按照三面、两面、一面、无染色分类计算，避免重复或遗漏 （3）"空间想象法"：通过画图或实物观察，培养空间想象能力 例题讲解 一、表面积相关问题 【例题1】如图，一个立体图形由5个小正方体组成，每个小正方体的棱长为2厘米，这个立体图形的表面积是 平方厘米。 【答案】88 【分析】根据图形，最上面的两个正方体被挡住了2个面，即每个正方体只有五个面。底层边上的两个正方体，被挡住两个面，则每个正方体有4个面，中间的正方体也被挡住两个面，也是4个面，总共有22个面，每个面的面积是4平方厘米，再乘22即可。 【详解】5×2＋4×3 ＝10＋12 ＝22（个） 22×（2×2）＝88（平方厘米） 则这个立体图形的表面积是88平方厘米。 【例题2】长方体木块长10厘米、宽8厘米、高6厘米，按照如图所示的方式将木块切成4个小长方体木块，这4个小长方体木块的表面积之和为 平方厘米。 【答案】632 【分析】根据题意可知，将木块切成4个小长方体木块，这4个小长方体木块的表面积之和会比原来增加4个面（两个10×8，两个6×8）。因此可以求出原来长方体的表面积，然后再加上增加的面积，即可求出现在的表面积。 【详解】（10×8＋6×8＋6×10）×2＋10×8×2＋6×8×2 ＝（80＋48＋60）×2＋160＋96 ＝188×2＋160＋96 ＝376＋160＋96 ＝536＋96 ＝632（平方厘米） 因此这4个小长方体木块的表面积之和为632平方厘米。 【例题3】把一个表面积是54平方分米的正方体木料锯成两个长方体，这两个长方体的表面积是多少平方分米？ 【答案】72平方分米 【分析】根据这个正方体的表面积是54平方分米，即可求出这个正方体的每一个面的面积。将正方体木料锯成两个长方体，表面积新增加了两个正方形的面积，因此用原来正方体的表面积加上两个正方形的面积，即可求出现在这两个长方体的表面积是多少平方分米。 【详解】 （平方分米） 答：这两个长方体的表面积是72平方分米。 【例题4】把一个长方体切成3个正方体，这3个正方体表面积之和比原来的长方体表面积大8平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】28平方厘米 【分析】切成3个正方体需要切2次，切2次增加4个面，所以每个小正方形的面积：8÷4＝2（平方厘米），则每个小正方体的表面积：2×6＝12（平方厘米），所以长方体的表面积：12×3－8＝28（平方厘米） 【详解】（3－1）×2＝4 8÷4＝2（平方厘米） 2×6＝12（平方厘米） 12×3－8＝28（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是28平方厘米。 【例题5】如图所示是由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、3米、5米。现在要在表面涂刷油漆，刷油漆的面积是多少平方米？ 【答案】190平方米 【分析】刷油漆的面积即是立体图形表面积，立体图形的表面积等于大正方体的表面积，加中间正方体4个侧面的面积，再加上面小正方体4个侧面的面积。 【详解】5×5×6＋3×3×4＋1×1×4 ＝150＋36＋4 ＝190（平方米） 答：刷油漆的面积是190平方米。 二、体积相关问题 【例题1】把一个长方体截去一个高为8厘米的长方体后，剩下的部分是一个正方体。正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米。求原来长方体的体积。 【答案】1800立方厘米 【分析】正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米，即截去的高为8厘米的长方体的侧面积为320平方厘米。由于剩下的部分是一个正方体，因此截去的长方体每个侧面的面积相等。用320平方厘米除以4，即可求出一个侧面的面积。再除以8，即可求出剩余的这个长方体的长与宽。长加上8厘米即可求出这个长方体的高。最后再根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求解。 【详解】320÷4÷8 ＝80÷8 ＝10（厘米） 10×10×（10＋8） ＝100×18 ＝1800（立方厘米） 答：原来长方体的体积是1800立方厘米。 【例题2】有一块长方形的铁皮，长60厘米，宽40厘米。在这块铁皮的四角剪去边长5厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积。 【答案】7500立方厘米 【分析】在这块铁皮的四角剪去边长5厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子，由此可知这个长方体盒子的长为：60－5×2＝50（厘米），宽为：40－5×2＝30（厘米），高为5厘米。然后再根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求解。 【详解】 （立方厘米） 答：这个长方体盒子的体积是7500立方厘米。 【例题3】5个正方体一字拼成一个长方体，表面积比原来5个正方体的表面积之和减少288平方厘米，原来每个正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】216立方厘米 【分析】5个正方体拼成一个长方体，需要拼合4次，则减少8个面，因为表面积之和减少288平方厘米，所以每个面面积为288÷8＝36平方厘米，进而正方体棱长：36＝6×6，体积：6×6×6＝216立方厘米 【详解】（5－1）×2＝8 288÷8＝36（平方厘米） 36＝6×6 6×6×6＝216（立方厘米） 答：原来每个正方体的体积是216立方厘米。 【例题4】一个长方体水箱，长10dm，宽8dm，水深4.5dm，当把一块体积是120立方分米的石块放入水箱后，石块被完全淹没，此时水位上升了多少分米？ 【答案】1.5分米 【分析】根据题意，当物体完全浸没时，石块的体积等于上升部分水的体积，即120立方分米，可得目前水面高度120÷（10×8）＝6分米，那么水面高度上升了6－4.5＝1.5分米 【详解】120÷（10×8）＝6（分米） 6－4.5＝1.5（分米） 答：水位上升了1.5分米。 三、等体积变形 【例题1】将棱长是6厘米的正方体铁块，锻造成长3厘米，宽2厘米的长方体，锻造成的这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】36厘米 【分析】先根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体铁块的体积，即等于锻造后的长方体体积。然后再用长方体体积除以长，再除以宽，即可求出这个长方体的高是多少厘米。 【详解】6×6×6÷3÷2 ＝216÷3÷2 ＝72÷2 ＝36（厘米） 答：这个长方体的高是36厘米。 【例题2】有一个长方体容器，长25厘米、宽16厘米、高12厘米，里面水深8厘米。如果让长25厘米、宽12厘米的面朝下，这时水深多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】根据题意，容器中的水未加入也未倒出，所以水的体积不变，根据原位置可得出水的体积为为25×16×8＝3200立方厘米。新底面面积为25×12＝300平方厘米。可得水深为3200÷300＝厘米。 【详解】25×16×8＝3200（立方厘米） 25×12＝300（平方厘米） 3200÷300＝（厘米） 答：水深厘米。 【例题3】一个长方体容器从里边量，底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个长方体铁块，且铁块不完全浸入水中。现把铁块垂直向上提起16厘米（仍有部分浸在水中），容器内水面下降了2厘米，求铁块的底面积。 【答案】450平方厘米 【分析】当铁块被提起16厘米时，容器内水面下降了2厘米，则容器下降2厘米的体积＝铁块向上提16厘米的体积，利用体积相等关系，铁块底面积乘以提起高度等于容器底面积乘以下降高度，即可求解。 【详解】（立方厘米） （平方厘米） 答：铁块的底面积为450平方厘米。 四、染色问题 【例题1】把一个表面涂色的大正方体的每条棱都平均分成5份，再切成同样大的小正方体，3面涂色的有( )个，1面涂色的有( )个。 【答案】 8 54 【详解】 根据上图所示，每个棱长上有5个正方体，则n＝5：： 正方体有8个顶点，在正方体顶点处的小正方体需要涂3个面； 1面涂色的小正方体都在大正方体的面上，可以利用公式（n－2）2×6。 【解答】正方体有8个顶点，所以3面涂色的有8个； （个） 3面涂色的有8个，1面涂色的有54个。 【例题2】一个正方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的64块小正方体。切成的小正方体中，三面涂色的有( )块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块，没有涂色的有( )块。 【答案】 8 24 24 8 【详解】已知正方体木块被切成64块小正方体，由可得大正方体每条棱长上面都有4个小正方体； 由正方体的认识可知，三个面均为涂色的是各顶点处的小正方体； 在各棱处，除去顶点外其他小正方体都是两面涂色，即（棱长－2）×12；； 在每个面上，除去棱上的小正方体都是一面涂的，即（棱长－2）2×6。 结合没有涂色的就是剩下的，即（棱长－2）3。 【解答】 三面涂色：8块； 两面涂色： （块） 一面涂色： （块） 没有涂色： （块） 三面涂色的有8块，两面涂色的有24块，一面涂色的有24块，没有涂色的有8块。 【例题3】如图，将一个长4cm、宽3cm、高3cm的长方体6个面涂上红色，然后把这个长方体切割成棱长为1cm的小正方体，可以分成( )个小正方体，其中，一面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，没有涂色的有( )个。 【答案】 36 10 16 2 【分析】分析题意，将长方体切割成棱长为1cm的小正方体，长可以分成4个，宽可以分成3个，高可以分成3个。 易知三面涂色的小正方体都在顶点处，有8个； 两面涂色的小正方体都在棱上，即公式为（长－2）×4＋（宽－2）×4＋（高－2）×4； 一面涂色的小正方体在每个面的中间，即公式为（长－2）×（宽－2）×2＋（长－2）×（高－2）×2＋（宽－2）×（高－2）×2； 没有涂色的在正中间找，即公式为（长－2）×（宽－2）×（高－2）； 据此求解即可。 【详解】（个） （个） （个） （个） 一面涂色： （个） 两面涂色： （个） 没有涂色： （个） 可以分成36个小正方体，其中，一面涂色的有10个，两面涂色的有16个，没有涂色的有2个。 【例题4】下图是正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？ 【答案】一面涂色6块，两面涂色12块，三面涂色8块。 【分析】三面涂色：位于正方体顶点处，每个顶点对应一个小正方体，正方体有8个顶点，因此三面涂色的小正方体有8块。 两面涂色：位于棱上（非顶点）。每条棱有3个小正方体，减去2个顶点，每条棱有1个两面涂色的。正方体有12条棱，故两面涂色的小正方体有12×1＝12块。 一面涂色：位于面的中心（非棱非顶点）。每个面3×3，去掉外围一圈，中心有1×1＝1个一面涂色的。正方体有6个面，因此一面涂色的小正方体有6×1＝6块。 【详解】12×1＝12块 6×1＝6块 答：一面涂色6块，两面涂色12块，三面涂色8块。 【例题5】一个长方体六面涂红，沿长边切4刀、宽边切2刀，沿高边切5刀后，求各面无红色的小方块数量。 【答案】12块 【分析】长边段数：4＋1＝5，内部段数5－2＝3； 宽边段数：2＋1＝3，内部段数3－2＝1； 高边段数：5＋1＝6，内部段数6－2＝4； 未涂色块数：3×1×4＝12。 【详解】4＋1＝5 5－2＝3 2＋1＝3 3－2＝1 5＋1＝6 6－2＝4 3×1×4＝12（块） 答：各面无红色的小方块有12块。 考点练习 一、表面积相关问题 1．图中的一堆积木是由16块棱长为2cm的小正方体堆成的，它的表面积（含底面）是（    ）cm2。 A．184 B．192 C．200 D．260 E．384 【答案】C 【分析】分别计算出露在外面的面数，即前面是7个面，即后面也是7个面；右面是9个，左面也是9个，上面是9个，下面也是9个，将面数相加后乘每个面的面积，每个面积的面积＝边长×边长，代入数据计算即可。 【详解】正面：1＋3＋3＝7（个） 右面：1＋3＋5＝9（个） 上面：3＋3＋3＝9（个） （7×2＋9×2＋9×2）×（2×2） ＝（14＋18＋18）×4 ＝50×4 ＝200（cm2） 则它的表面积（含底面）是200cm2。 故答案为：C 2．过年时小高买了一个玩具。如图所示，该玩具是一个棱长为5cm的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长为1cm的小正方体。该玩具的表面积是（    ）cm2。 A．174 B．168 C．149 D．124 【答案】A 【分析】观察图形可知，挖去后的立体图形，比原来的正方体多出6个小正方体的侧面积；先根据算出大正方体的表面积，再根据正方形的侧面积＝棱长×棱长×4，再乘6个面，最后相加即可。 【详解】6×5×5＋4×1×1×6 ＝150＋24 ＝174（cm2） 则该玩具的表面积是174cm2。 故答案为：A 3．下图每个小正方形的面积均为1平方厘米，则该立体图形的表面积为 平方厘米。 【答案】26 【分析】本题可以使用三视图法求表面积，先分别画出这个立体图形的三视图，然后即可知道从各个方向去看这个立体图形可以看到几个小正方形，从而即可求出该立体图形的表面积。 【详解】此立体图形三视图如下： 因此表面积为： （5＋4＋4）×2×1 ＝13×2×1 ＝26×1 ＝26（平方厘米） 该立体图形的表面积为26平方厘米。 4．长方体木块长10厘米、宽8厘米、高6厘米，按照如图所示的方式将木块切成4个小长方体木块，这4个小长方体木块的表面积之和为 平方厘米。 【答案】656 【分析】根据图示分成四个小长方体，则有4个长是10厘米，宽是6厘米的长方形、4个长是10厘米，宽是8厘米的长方形以及2个长是8厘米，宽是6厘米的长方形，将这些长方形的面积相加即可。 【详解】6×10×4＋8×10×4＋6×8×2 =240+320+96 ＝656（平方厘米） 5．如图，将6个长3分米、宽1分米、高2分米的积木堆积在一起，堆积成的物体的表面积是 平方分米。 【答案】102 【分析】根据图形依次数出3×1的这个面一共有3×2个；3×2的这个面一共有6×2个；1×2的这个面一共有3×2个；然后将这些面的面积相加，即可求出堆积成的物体的表面积是多少平方分米。 【详解】3×1×3×2＋3×2×6×2＋1×2×3×2 ＝18＋72＋12 ＝90＋12 ＝102（平方分米） 因此堆积成的物体的表面积是102平方分米。 6．星星和希希有14个棱长为5厘米的正方体，他们在地面上把它们摆成如下图所示的几何体，然后他们把露出的表面都涂上油漆，那么被涂上油漆的总面积为 平方厘米。 【答案】825 【分析】向上露出的面是9个正方形的面；向左、右、前、后露出的面都是6个正方形的面，共计9＋6×4＝33个露出的正方形的面积，露出面的个数乘一个正方形的面积即可。 【详解】9＋6×4 ＝9＋24 ＝33（个） 5×5＝25（平方厘米） 33×25＝825（平方厘米） 则被涂上油漆的总面积为825平方厘米。 7．如图是一个棱长为8厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个小一点的正方体，表面积比原来增加多少平方厘米？ 【答案】384平方厘米 【分析】由图可知，将正方体木块沿虚线切成8个小正方体，需要切3刀，每切一次，就增加2个大正方体的面，所以一共增加6个大正方体的面，所以表面积比原来增加的面积就是6个正方形面积和。 【详解】3×2×8×8＝384（平方厘米） 答：表面积比原来增加384平方厘米。 8．把一根长8分米的长方体木料，正好锯成4个一样的正方体，表面积一共增加了多少平方分米？ 【答案】24平方分米 【分析】锯成4个，需要锯3次，锯3次则增加6个面，小正方体的棱长：8÷4＝2分米， 表面积增加：2×2×6＝24平方分米 【详解】（4－1）×2＝6 8÷4＝2（分米） 2×2×6＝24（平方米） 答：表面积一共增加了24平方分米。 9．如图，一个正方体的表面积是90平方厘米，如果把这个正方体沿虚线切开得到3个长方体，那么这三个长方体的表面积之和为多少平方厘米？ 【答案】150平方厘米 【分析】根据正方体的表面积是90平方厘米可以先求出这个正方体每个面的面积为：90÷6＝15（平方厘米）。然后观察这个图形，把这个正方体沿虚线切开得到3个长方体后，表面积会增加4个面的面积，即表面积增加了：15×4＝60（平方厘米）。最后用原来的表面积加上增加的表面积即可求出这三个长方体的表面积之和为多少平方厘米。 【详解】90÷6×4＋90 ＝15×4＋90 ＝60＋90 ＝150（平方厘米） 答：这三个长方体的表面积之和为150平方厘米。 10．建造一个长方体游泳池，长30米，宽10米，深1.6米，池的四壁和底面用瓷砖铺砌，如果每平方米用瓷砖25块，共需要多少块？ 【答案】10700块 【分析】长30米，宽10米，深1.6米，因此可以先求出池的四壁和底面的面积之和。已知每平方米用瓷砖25块，因此再用池的四壁和底面的面积之和乘25，即可求出共需要多少块瓷砖。 【详解】 （块） 答：共需要10700块瓷砖。 11．将12个棱长为1的正方体积木拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积最大是多少？最小是多少？ 【答案】最大是50，最小是32 【分析】将12个棱长为1的正方体拼成长方体，体积为12，即需找出所有长、宽、高为整数且乘积为12的组合，然后分别计算出表面积。据此即可比较出拼成的长方体的表面积最大是多少，最小是多少。 【详解】体积：1×1×1×12＝12 ①12＝12×1×1 表面积：（12×1＋12×1＋1×1）×2 ＝（12＋12＋1）×2 ＝25×2 ＝50 ②12＝6×2×1 表面积：（6×2＋6×1＋2×1）×2 ＝（12＋6＋2）×2 ＝20×2 ＝40 ③12＝4×3×1 表面积：（4×3＋4×1＋3×1）×2 ＝（12＋4＋3）×2 ＝19×2 ＝38 ④12＝3×2×2 表面积：（3×2＋3×2＋2×2）×2 ＝（6＋6＋4）×2 ＝16×2 ＝32 50＞40＞38＞32 答：拼成的长方体的表面积最大是50，最小是32。 12．将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为多少平方厘米？ 【答案】216平方厘米 【分析】根据题意，前后橡皮泥的体积相等，则需根据表面积先求出各正方体的棱长：54÷6＝9＝3×3；96÷6＝16＝4×4；150÷6＝25＝5×5；可得总体积为3×3×3＋4×4×4＋5×5×5＝216（立方厘米）。因为216＝6×6×6，所以新的大正方体的棱长为6厘米，所以变面积为6×6×6＝216平方方厘米。 【详解】54÷6＝9＝3×3 96÷6＝16＝4×4 150÷6＝25＝5×5 3×3×3＋4×4×4＋5×5×5＝216（立方厘米） 216＝6×6×6 6×6×6＝216（平方厘米） 答：大正方体的表面积为216平方厘米。 13．一个正方体木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成4份，每份又锯成5长条，共得大大小小长方体20块，这20块长方体的表面积总和是多少平方米？ 【答案】20平方米 【分析】每锯一次，则会增加2个表面。沿水平方向将它锯成4份，则需要锯3次；每份又锯成5长条，又需要锯4次；一共锯了7次，因此共计增加了14个正方体每个面的面积，然后再加上原来没有切分的正方体的表面积，即这20块长方体的表面积总和是多少平方米。 【详解】锯的次数：（4－1）＋（5－1） ＝3＋4 ＝7（次） 7×2＋6 ＝14＋6 ＝20（个） 20×（1×1）＝20（平方米） 答：这20块长方体的表面积总和是20平方米。 14．用棱长是2厘米的正方体拼成如图所示的立体图形，问：该图形的表面积是多少平方厘米？ 【答案】184平方厘米 【分析】根据图形可以数得该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成的，因此可以知道这个立体图形的表面积是由多少个边长为2厘米的正方形组成。再乘每个面的面积即可解答。 【详解】（9＋7＋7）×2 ＝23×2 ＝46（个） 2×2×46 ＝4×46 ＝184（平方厘米） 答：该图形的表面积是184平方厘米。 15．如图是用3个正方体木块堆成的多面体，其中最下面的正方体的棱长为10厘米，而上面的两个正方体下底面的4个顶点分别是其下面正方体。上底面各边的中点。那么这个多面体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】900平方厘米 【分析】根据题意，最下面的正方体的棱长是10厘米，则左下方的正方体的一个面的面积是10×10＝100平方厘米，因为上面的两个正方体下底面的4个顶点分别是其下面正方体上底面各边的中点，所以可得中间的正方体的一个面的面积是100÷2＝50平方厘米，最上边的正方体的一个面的面积是50÷2＝25平方厘米，而这个图形的表面积是最下面的大正方体的6个面的面积，加上中间的正方体的4个面的面积，再加上最上面的小正方体的四个面的面积之和，据此即可解答问题。 【详解】10×10＝100（平方厘米） 100÷2＝50（平方厘米） 50÷2＝25（平方厘米） 100×6＋50×4＋25×4 ＝600＋200＋100 ＝900（平方厘米） 答：这个多面体的表面积是900平方厘米。 二、体积相关问题 1．一个长方体的纸盒，底面是周长为12厘米的正方形，高是2.5厘米，这个长方体纸盒的表面积和体积各是多少？ 【答案】48平方厘米；22.5立方厘米 【分析】根据底面是周长为12厘米的正方形可以求出这个长方体的长与宽都是：12÷4＝3（厘米）。高是2.5厘米，因此可以利用“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”、“长方体体积＝长×宽×高”即可求解。 【详解】12÷4＝3（厘米） 表面积：（3×3＋3×2.5＋3×2.5）×2 ＝（9＋7.5＋7.5）×2 ＝24×2 ＝48（平方厘米） 体积：3×3×2.5 ＝9×2.5 ＝22.5（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的表面积是48平方厘米，体积是22.5立方厘米。 2．一个长方体，如果高截掉2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩下的正好是一个正方体，原来长方体的体积和表面积分别是多少？ 【答案】原来长方体的体积是96立方厘米，表面积是128平方厘米。 【分析】一个长方体高截掉2厘米后剩下的正好是一个正方体，由此可知原来这个长方体的长与宽相等，即4个侧面完全一样。根据表面积就减少了32平方厘米，即可知道减少的4个侧面的面积为32平方厘米，因此用32平方厘米除以4先求出减少的一个侧面的面积，再除以高2厘米，即可求出这个长方体的长与宽。加上2厘米就是这个长方体原来的高。最后根据长方体的表面积公式和体积公式即可求解。 【详解】长： （厘米） 高：（厘米） 体积： （立方厘米） 表面积： （平方厘米） 答：原来长方体的体积是96立方厘米，表面积是128平方厘米。 3．一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为2.5厘米和3.5厘米的长方体后，便成为一个正方体，此时表面积减少了240平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】1600立方厘米 【分析】从下部和上部分别截去高为2.5厘米和3.5厘米的长方体后，便成为一个正方体，即可知道原来长方体的上下两个面为正方形，其余四个侧面是一样的。表面积减少了240平方厘米，就是减少了2个小长方体的侧面积，再根据侧面积＝底面周长×高，高为2.5厘米与3.5厘米的和，从而可以求出底面周长。底面周长除以4，就可以求出这个长方体的长和宽了。最后再然后根据“长方体体积＝长×宽×高”即可解答。 【详解】240÷（2.5＋3.5） ＝240÷6 ＝40（厘米） 40÷4＝10（厘米） 10×10×（10＋2.5＋3.5） ＝100×16 ＝1600（立方厘米） 答：原来长方体的体积是1600立方厘米。 4．有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是209平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】374立方厘米 【分析】设这个长方形的长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米。前面和上面的面积之和是209平方厘米，因此，即。将209分解质因数，。它的长、宽、高都是质数，因此只可能是。由此即可解决。 【详解】解：设这个长方形的长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米。 即 因为a、b、c都是质数， 因此 体积： （立方厘米） 答：这个长方体的体积是374立方厘米。 5．如图，在长为29厘米、宽为17厘米的长方形硬纸板的四个角各剪去边长为3厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？ 【答案】759立方厘米 【分析】由题意可知，折叠后长方体的长为（29－3×2）厘米，宽为（17－3×2）厘米，高为3厘米，再根据长方体的体积公式即可求出这个长方体容器的体积是多少。 【详解】（29－3×2）×（17－3×2）×3 ＝23×11×3 ＝253×3 ＝759（立方厘米） 答：这个容器的体积是759立方厘米。 6．一个长方体水箱，长10dm，宽8dm，高为10dm。水箱里有水深6dm，现在将一块长8分米，宽6分米的石块放入水箱后，水箱溢出64立方分米的水，那么石块的高度是多少？ 【答案】8分米 【分析】根据题意，当物体完全浸没时，有水溢出，那么石块的体积等于上升部分水的体积＋溢出部分水的体积。即10×8×（10－6）＝320（立方分米），320＋64＝384（立方分米）。那么根据体积公式求石块的高度384÷（8×6）＝8（分米） 【详解】10×8×（10－6）＝320（立方分米） 320＋64＝384（立方分米） 384÷（8×6）＝8（分米） 答：石块的高度是8分米。 7．有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？ 【答案】12.8厘米 【分析】根据题意，水只倒了一部分到乙水箱，使得两边水箱水的高度一样，我们求的就是现在求的高度，总的水体积并未发生变化为40×32×20＝25600（立方厘米）；因为高度一样，那么就可将两个水箱的底面合在一起分析：，即可求出高度h；底面积：40×32＋30×24＝2000（立方厘米）高：25600÷2000＝12.8（厘米） 【详解】40×32×20＝25600（立方厘米） 40×32＋30×24＝2000（立方厘米） 25600÷2000＝12.8（厘米） 答：现在的水面高12.8厘米。 8．如图，将一个正方体切成8个小正方体后，表面积增加了216平方厘米，原来正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】216立方厘米 【分析】观察图形可知，将大正方体切成8个下正方体后，看似增加了很多面，但是可以合在一起来分析，从图中可知切成如图8个小正方体只需要切3次，则增加3×2＝6个大面，因为表面积增加了216平方厘米，所以每个大正方形面积为216÷6＝36（平方厘米），所以原正方体棱长为36＝6×6，所以大正方体体积为6×6×6＝216（立方厘米） 【详解】3×2＝6 216÷6＝36（平方厘米） 36＝6×6 6×6×6＝216（立方厘米） 答：原来正方体的体积是216立方厘米。 9．有一个长方体容器，长40厘米、宽30厘米、高15厘米，里面水深10厘米。先将容器倾斜使水部分流出，剩余水体积为原来的一半，然后让长40厘米、宽15厘米的面朝下，这时水深多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】原水体积为40×30×10＝12000立方厘米，倒出后剩余水体积为12000÷2＝6000立方厘米。新底面面积为40×15＝600平方厘米。根据体积可求水深为6000÷600＝10厘米。 【详解】40×30×10＝12000（立方厘米） 12000÷2＝6000（立方厘米） 40×15＝600（平方厘米） 6000÷600＝10（厘米） 答：水深10厘米。 10．一只乌鸦站在一个长8厘米、宽6厘米、高60厘米的长方体玻璃容器前想要喝水，此时玻璃容器里有45厘米高的水，当水位上升到50厘米时，乌鸦就能喝到水了。请问：乌鸦要往水里扔多少块石头才能喝到水（假定每块石头是棱长为1厘米的小正方体）？ 【答案】240块 【分析】根据长方体的体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，可以先求出原本长方体玻璃容器中水的体积，然后再求出乌鸦喝到水时水加石头的体积，相减即为石头的总体积。最后再用所求石头的总体积除以一块石头的体积即可求出乌鸦要往水里扔多少块石头。 【详解】8×6×50－8×6×45 ＝2400－2160 ＝240（立方厘米） 240÷（1×1×1） ＝240÷1 ＝240（块） 答：乌鸦要往水里扔240块石头才能喝到水。 11．如图，有一个盛了蓝色油漆的长方体容器，容器上方没有盖子。它的底面是一个长15厘米，阔10厘米的长方形，蓝色油漆深20厘米。一支长方体金属柱的底面是一个边长5厘米的正方形，高100厘米，把它垂直插至容器底部，使金属柱的底面与容器的底面紧贴著，当中并没有油漆溅出。再把铁柱垂直拿起。那么铁柱表面有多少平方厘米是蓝色的？ 【答案】505平方厘米 【分析】根据题意，先求出油漆的体积是15×10×20＝3000（立方厘米），放入金属柱子后，容器中油漆的底面积是15×10－5×5＝125（平方厘米），油漆的高度是3000÷125＝24（cm），铁柱表面积＝一个底面积＋四个长方形的面积，代入数据计算即可。 【详解】放入柱子后， 油漆高：15×10×20÷（15×10－5×5） ＝3000÷125 ＝24（cm） 铁柱表面是蓝色的面积： 5×5＋5×24×4 ＝25＋480 ＝505（cm2） 答：铁柱表面有505平方厘米是蓝色。 三、等体积变形 1．把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】125 【分析】把一个长方体截成两段完全一样的正方体，切一次增加2个面，增加了8条棱，因为分成后的两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，即增加的8条棱的长度和是40厘米，进而得出一条棱的长度，然后根据，代入数值。 【详解】40÷8＝5（厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 每个正方体的体积是125立方厘米。 2．有一块长、宽、高分别为5分米、4分米、3分米的长方体铁块，现把它煅造成一根横截面是长8厘米、宽5厘米的长方形的长方体，求锻造后的长方体的高是多少厘米？ 【答案】1500厘米 【分析】根据题意，锻造前后铁块的体积相等即原长方体体积＝现长方体体积50×40×30＝60000（立方厘米），再根据长方体体积公式进行计算：锻造后长方体横截面积8×5＝40（平方厘米），高＝60000÷40＝1500（厘米）。 【详解】50×40×30＝60000（立方厘米） 8×5＝40（平方厘米） 60000÷40＝1500（厘米） 答：锻造后的长方体的高是1500厘米。 3．有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时的水深又是多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】根据题意，容器中的水未加入也未倒出，所以水的体积不变，根据原位置可得出水的体积为30×20×6＝3600（立方厘米），变化后底面积：30×10＝300（平方厘米），可得水深3600÷300＝12（厘米） 【详解】30×20×6＝3600（立方厘米） 30×10＝300（平方厘米） 3600÷300＝12（厘米） 答：这时的水深是12厘米。 4．有一个长方体水池，底面为边长60米的正方形，深度50米，现在水深25米，然后将一根底面边长为20米、高45米的长方体体铁桂竖直插入水池，水面高度变为多少米？ 【答案】28.125米 【分析】首先计算水池中水的体积： 水池底面为边长60米的正方形，水深25米，水的体积V＝60×60×25＝90000（立方米）。插入底面边长为20米的长方体铁柱后，水的底面积变为：60×60－20×20＝3600－400＝3200（平方米）。根据水的体积不变，水面高度h＝90000÷3200＝28.125（米）。 【详解】60×60×25＝90000（立方米） 60×60－20×20＝3600－400＝3200（平方米） 90000÷3200＝28.125（米） 答：水面高度变为28.125米。 四、染色问题 1．一个大立方体由64个相同的小立方体组成，这个大立方体的三个面被涂上了颜色，则（    ）。 A．有两个小立方体的三个面都被涂上了颜色 B．最多会有9个小立方体只有两个面被涂上了颜色 C．最少会有8个小立方体只有两个面被涂上了颜色 D．最多会有32个小立方体只有一个面被涂上了颜色 【答案】C 【分析】大立方体由4×4×4＝64个小立方体组成。当三个面被涂色时，需分析不同排列方式下各选项的正确性。 三个面相邻时，三个面交汇的角有1个小立方体三面涂色，三条边每条边贡献2个两面涂色的小立方体，共6个。若三个面中有两个相对面和一个侧面，则两面涂色的小立方体数量为4个。 单面涂色的小立方体每个面中间有4个，共12个。 【详解】A．三个面交汇的角仅有1个小立方体三面涂色，故错误。 B．三个面相邻时，两面涂色的小立方体最多为6个，无法达到9个，故错误。 C．若三个面为前面、右面和后面，前面与右面、后面与右面各贡献4个两面涂色的小立方体，共8个，此为最少情况，故正确。 D．单面涂色的小立方体最多为3×4＝12个，无法达到32个，故错误。 故答案为：C 2．把一个棱长为3分米的正方体表面涂色后，切成棱长为1分米的小正方体。其中2面涂色的小正方体有( )个。 【答案】12 【分析】把一块棱长3分米的正方体木块的外表涂色，然后沿棱切成棱长1分米的小方块，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体； 根据立体图形的知识可知：在每条棱上，除去顶点的正方体都是2面涂色，即2面涂色的公式为（棱长－2）×12。 【详解】3÷1＝3（个），所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体； （3－2）×12 ＝1×12 ＝12（个） 其中2面涂色的小正方体有12个。 3．将一个棱长6厘米的正方体表面涂上红色，然后把它切割成棱长1厘米的小正方体。那么这些小正方体中三个面涂色的有( )块，两个面涂色的有( )块，没有涂色的有( )块。 【答案】 8 48 64 【分析】把一块棱长6厘米的正方体的外表涂上红色，然后沿棱切成棱长1厘米的小正方体，所以大正方体每条棱长上面都有6个小正方体，n＝6； 根据立体图形的知识可知：（1）三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，正好8个； （2）在各棱处，除去顶点处的正方体的都有两面红色，可以利用公式（n－2）×12； （2）没有涂色的都在内部，可以利用公式（n－2）3； 【详解】（块），所以大正方体每条棱长上都有6个小正方体； 三面涂色的都在顶点处，所以一共有8块。 两面涂色的有： （块） 没有涂色的有： （块） 这些小正方体中三个面涂色的有8块，两个面涂色的有48块，没有涂色的有64块。 4．一个棱长4厘米的正方体木块，把它的表面积涂上红色，然后把它锯成棱长是1厘米的小正方体，小正方体一面红色的有( )个，两面红色的有( )个，三面红色的有( )个。 【答案】 24 24 8 【分析】一个棱长4厘米的正方体木块，把它锯成棱长是1厘米的小正方体，则每条棱上有4个小正方体。即n＝4： （1）顶点处有三面涂色，有8个顶点； （2）棱上中间部分小正方体两个面涂色，可以利用公式（n－2）×12； （3）每个面最中间部分4个小正方体一面涂色，一共有6个面，可以利用公式（n－2）2×6； 【详解】（个） 一面涂色： （个） 两面涂色： （个） 小正方体一面红色的有24个，两面红色的有24个，三面红色的有8个。 5．如图，一个长方体被分成个相同的小正方体，其中只有一个小正方体是黑色的。施1次魔法，黑色正方体能把所有和它有公共面的小正方体都染成黑色。那么施2次魔法后，共有( )个黑色小正方体。 【答案】14 【分析】如图，与黑色正方体有公共面的小正方体一共有4个，因此施1次魔法后有4个小正方体会被染成黑色。此时黑色正方体有公共面的小正方体有9个，因此施第2次魔法后又有9个小正方体会被染成黑色。相加即可知道一共有多少个黑色小正方体。 【详解】如图： 1＋4＋9 ＝5＋9 ＝14（个） 因此一共有14个黑色小正方体。 6．如图是一个表面涂色的大正方体，它被切成了小正方体。其中两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 12 6 【分析】根据正方体表面涂色的特点，正方体的每个棱上切成了3块小正方体，即n＝3： （1）一面涂色的都在每个面上，可以利用公式（n－2）2×6； （2）两面涂色的在每条棱上，可以利用公式（n－2）×12； 【详解】（3－2）×12 ＝1×12 ＝12（个） （3－2）2×6 ＝12×6 ＝6（个） 其中两面涂色的小正方体有12个，一面涂色的小正方体有6个。 7．一个长方体木块，长5dm，宽4dm，高3dm，先把它的六个面涂上颜色，再把它锯成棱长是1dm的小正方体木块（如图）。在锯成的小正方体木块中，三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个，六个面都没有涂色的有( )个。 【答案】 8 24 22 6 【分析】把一个涂色的长方体，切割成若干个小正方体，根据题意，则长锯成5个1dm的小正方体，宽锯成4个1dm的小正方体，高锯成了3个1dm的小正方体。即a-5，b＝4，c＝3： （1）在8个顶点处的小正方体都是3面涂色， （2）两面涂色的是除了顶点处的两个面相交的地方的小正方体，即长方体的棱长上的小正方体，可以利用公式； （3）六个面上每个面四周除了棱长上的小正方体都是一面涂色，可以利用公式； （4）没有颜色的在内心，可以利用公式。 【详解】三面涂漆的小正方体在长方体的8个顶点处，故有8块三面涂色； （个），（个），（个） （个），（个），（个） 所以两面涂色的有： （个） 一面涂色的有： （个） 六个面都没有涂色的有：（个） 三面涂色的有8个，两面涂色的有24个，一面涂色的有22个，六个面都没有涂色的有6个。 8．将一个正方体平均分成若干份1厘米的小正方体，如果将其表面涂成红色，其中未被涂成红色有64块，则2面涂色的有多少块？ 【答案】48块 【分析】未涂色小正方体为内部正方体，设原正方体棱长为n，则内部棱长为n－2，体积为＝64，解得n－2＝4，n＝6。 两面涂色小正方体位于棱上（每条棱去掉2个顶点），共12条棱，数量为12×（n－2）＝12×4＝48块。 【详解】设原正方体棱长为n，则内部棱长为n－2， ＝64 n－2＝4 n＝6 12×（n－2）＝12×4＝48块 答：则2面涂色的有48块。 9．下图是4×4×4正方体，如果将其表面涂成黄色，那么其中一面、两面、三面被涂成黄色的小正方体各有多少块？ 【答案】一面被涂成黄色的小正方体有24块，两面被涂成黄色的小正方体有24块，三面被涂成黄色的小正方体有8块 【分析】三面涂色：位于正方体顶点处，正方体有8个顶点，因此三面涂色的小正方体有8块。 两面涂色：位于棱上（非顶点）。每条棱有4个小正方体，减去2个顶点，每条棱有4－2＝2个两面涂色的。正方体有12条棱，故两面涂色的小正方体有12×2＝24块。 一面涂色：位于面的中心（非棱非顶点）。每个面4×4，去掉外围一圈，每边剩4－2＝2个，每个面一面涂色的小正方体有2×2＝4个。正方体有6个面，因此一面涂色的小正方体有6×4＝24块。 【详解】4－2＝2（面） 12×2＝24（块） 2×2＝4（面） 6×4＝24（块） 答：一面被涂成黄色的小正方体有24块，两面被涂成黄色的小正方体有24块，三面被涂成黄色的小正方体有8块。 10．下图是3×4×5正方体，如果将其表面涂成黄色，那么其中一面、两面、三面被涂成黄色以及未被涂色的小正方体各有多少块？ 【答案】一面被涂成黄色的小正方体有22块，两面被涂成黄色的小正方体有24块，三面被涂成黄色的小正方体有8块，未被涂色的小正方体有6块 【分析】三面涂色：位于长方体的顶点处，长方体共有8个顶点，因此三面涂色的小正方体有8块。 两面涂色：位于棱上（除去顶点）。 长度为5的棱有4条，每条棱上两面涂色的数量为5－2＝3，共4×3＝12块； 长度为4的棱有4条，每条棱上两面涂色的数量为4－2＝2，共4×2＝8块； 长度为3的棱有4条，每条棱上两面涂色的数量为3－2＝1，共4×1＝4块。 两面涂色的小正方体总数为12＋8＋4＝24块。 一面涂色：位于面的中间（除去棱和顶点）。 5×4的面有2个，每个面一面涂色的数量为（5－2）×（4－2）＝6，共6×2＝12块； 5×3的面有2个，每个面一面涂色的数量为（5－2）×（3－2）＝3，共3×2＝6块； 4×3的面有2个，每个面一面涂色的数量为（4－2）×（3－2）＝2，共2×2＝4块。 一面涂色的小正方体总数为12＋6＋4＝22块。 未被涂色：位于长方体内部，数量为（5－2）×（4－2）×（3－2）＝3×2×1＝6块。 【详解】5－2＝3 4×3＝12块 4－2＝2 4×2＝8块 3－2＝1 4×1＝4块 12＋8＋4＝24块 （5－2）×（4－2）＝6 6×2＝12块 （5－2）×（3－2）＝3 3×2＝6块 （4－2）×（3－2）＝2 2×2＝4块 12＋6＋4＝22块 答：一面被涂成黄色的小正方体有22块，两面被涂成黄色的小正方体有24块，三面被涂成黄色的小正方体有8块，未被涂色的小正方体有6块。 11．一个长方体六面涂红，沿长边切7刀，宽边切5刀，沿高边切x刀后，无红色小方块为24块，求x。 【答案】2刀 【分析】切n刀将边分成n＋1段，内部未涂色段数为（段数－2）。 长边段数：7＋1＝8，内部段数8－2＝6； 宽边段数：5＋1＝6，内部段数6－2＝4； 高边段数：x＋1，内部段数（x＋1）－2＝x－1； 未涂色块数：6×4×（x－1）＝24，解得x－1＝1，x＝2。 【详解】7＋1＝8 8－2＝6 5＋1＝6 6－2＝4 （x＋1）－2＝x－1； 6×4×（x－1）＝24 x－1＝1 x＝2 12．一个正方体六面涂红，沿三条棱分别切a、b、c刀（a≥b≥c≥1），已知切后无红色小方块数量为24块，且a＝b＋1，b＝c＋1，求a、b、c的值及2面涂色的小方块数量。 【答案】a＝5；b＝4；c＝3；36块 【分析】设为长方体，三边切数a、b、c，段数a＋1、b＋1、c＋1，内部段数a－1、b－1、c－1， 方程：（a－1）（b－1）（c－1）＝24，且a＝b＋1，b＝c＋1⇒a＝c＋2，b＝c＋1， 代入得：（c＋1）×c×（c－1）＝24，24＝2×2×2×3，解得c＝3 则a＝5，b＝4，c＝3， 2面涂色数量：4×[（a－1）＋（b－1）＋（c－1）]＝4×（4＋3＋2）＝36块。 【详解】（a－1）（b－1）（c－1）＝24 a＝b＋1，b＝c＋1⇒a＝c＋2，b＝c＋1 （c＋1）×c×（c－1）＝24 24＝2×2×2×3 c＝3 4×（4＋3＋2）＝36块 答：a＝5，b＝4，c＝3，2面涂色的小方块有36块。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $