第17讲 和差问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-三年级奥数培优讲义

第17讲 和差问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解和差问题的基本概念和数量关系 2.掌握解决和差问题的基本方法 3.能够运用线段图辅助分析和差问题 4.能解决生活中的和差问题实际应用 知识梳理 知识点一、和差问题的基本概念 和差问题是指已知两个数的和与差，求这两个数各是多少的应用题。这类问题是三年级奥数的基础内容，也是后续学习复杂应用题的重要基础。 知识点二、基本数量关系 1.已知两个数的和与差，求这两个数： （1）大数 = (和 + 差) ÷ 2 （2）小数 = (和 - 差) ÷ 2 知识点三、解题步骤 1.找出题目中的"和"与"差" 2.判断哪个是大数，哪个是小数 3.选择合适的公式进行计算 4.检验计算结果是否符合题意 知识点四、解题方法详解 1. 线段图法 （1）线段图是解决和差问题最常用的方法，通过画图可以直观地表示数量关系。 （2）画法步骤： ①先画一条线段表示小数 ②再画一条线段表示大数（比小数多出的部分就是"差"） ③标出两数之和 ④根据线段图找出数量关系 2. 公式法 （1）直接应用和差问题的基本公式进行计算： ①当已知两数之和与两数之差时： 大数 = (和 + 差) ÷ 2 小数 = (和 - 差) ÷ 2 知识点五、解题技巧与注意事项 1.仔细审题，准确找出"和"与"差" 2.注意题目中是否有隐藏的"差" 3.画线段图时，通常先画小数，再画大数 4.计算后要检验：大数+小数是否等于和，大数-小数是否等于差 5.注意单位名称的正确使用 例题讲解 一、和差问题 【例题1】全班共有学生45人，男生比女生多3人，问男生有（    ）人。 A．42 B．21 C．24 D．48 【例题2】盒子里有大、小两种钢珠共30颗，大钢珠比小钢珠少6颗。大钢珠有( )颗，小钢珠有( )颗。 【例题3】果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？ 【例题4】小华和小敏共有铅笔25支，如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小敏多2支，小华和小敏原来各有多支铅笔？ 考点练习 一、和差问题 1．张阿姨买一套衣服用了88元，上衣比裤子贵12元，上衣（    ）元。 A．50 B．38 C．76 D．100 2．哥哥和妹妹二人共有图画书67本，哥哥比妹妹多13本，哥哥有图画书( )本，妹妹有图画书( )本。 3．爷爷的年龄数字颠倒过来恰好是孙子的年龄，两个人年龄的和为110岁，爷爷比孙子大72岁，那么爷爷的年龄是 岁。 4．红光小学四（1）班一共有38人，男生比女生多2人，这个班男女生各多少人？ 5．两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？ 6．用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？ 7．小亚和小巧一共打了486个字，小亚比小巧多打了56个字，小亚打了多少个字？小巧打了多少个字？ 8．兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？ 9．商店共有足球、篮球、排球213个，足球比排球多26个，篮球比排球少38个，商店里三种球各有多少个？ 10．哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，俩人各应该是多少岁？ 11．实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 和差问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解和差问题的基本概念和数量关系 2.掌握解决和差问题的基本方法 3.能够运用线段图辅助分析和差问题 4.能解决生活中的和差问题实际应用 知识梳理 知识点一、和差问题的基本概念 和差问题是指已知两个数的和与差，求这两个数各是多少的应用题。这类问题是三年级奥数的基础内容，也是后续学习复杂应用题的重要基础。 知识点二、基本数量关系 1.已知两个数的和与差，求这两个数： （1）大数 = (和 + 差) ÷ 2 （2）小数 = (和 - 差) ÷ 2 知识点三、解题步骤 1.找出题目中的"和"与"差" 2.判断哪个是大数，哪个是小数 3.选择合适的公式进行计算 4.检验计算结果是否符合题意 知识点四、解题方法详解 1. 线段图法 （1）线段图是解决和差问题最常用的方法，通过画图可以直观地表示数量关系。 （2）画法步骤： ①先画一条线段表示小数 ②再画一条线段表示大数（比小数多出的部分就是"差"） ③标出两数之和 ④根据线段图找出数量关系 2. 公式法 （1）直接应用和差问题的基本公式进行计算： ①当已知两数之和与两数之差时： 大数 = (和 + 差) ÷ 2 小数 = (和 - 差) ÷ 2 知识点五、解题技巧与注意事项 1.仔细审题，准确找出"和"与"差" 2.注意题目中是否有隐藏的"差" 3.画线段图时，通常先画小数，再画大数 4.计算后要检验：大数+小数是否等于和，大数-小数是否等于差 5.注意单位名称的正确使用 例题讲解 一、和差问题 【例题1】全班共有学生45人，男生比女生多3人，问男生有（    ）人。 A．42 B．21 C．24 D．48 【答案】C 【分析】男生的人数＋女生的人数＝45人，男生的人数－女生的人数＝3人，则女生人数＝男生人数－3人，男生人数＋男生人数－3人＝45人，因此用45人加3人后，再除以2即可得到男生人数，依此计算。 【详解】45＋3＝48（人） 48÷2＝24（人） 即男生有24人 故答案为：C 【例题2】盒子里有大、小两种钢珠共30颗，大钢珠比小钢珠少6颗。大钢珠有( )颗，小钢珠有( )颗。 【答案】 12 18 【分析】假设小钢珠少6颗则一样多，则共有30－6＝24（颗），由此用“24÷2”求出大钢珠的颗数，进而求出小钢珠的颗数。 【详解】大钢珠：（30－6）÷2 ＝24÷2 ＝12（颗） 小钢珠：30－12＝18（颗） 【例题3】果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？ 【答案】桃树有140棵，梨树有120棵 【详解】解法一：桃树：（260+20）÷2=140（棵） 梨树：140-20=120（棵） 解法二：梨树：（260-20）÷2=120（棵） 桃树：120+20=140（棵） 答：桃树有140棵，梨树有120棵． 【例题4】小华和小敏共有铅笔25支，如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小敏多2支，小华和小敏原来各有多支铅笔？ 【答案】14支；11支 【分析】如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小敏多2支，这就说明原来小华的铅笔比小敏的铅笔多3支。 【详解】根据题意画线段示意图如下： （25＋3）÷2 ＝28÷2 ＝14（支） （支） 答：小华原来有14支铅笔，小敏原来有11支铅笔。 考点练习 一、和差问题 1．张阿姨买一套衣服用了88元，上衣比裤子贵12元，上衣（    ）元。 A．50 B．38 C．76 D．100 【答案】A 【分析】可用和差问题公式“（和＋差）÷2＝大数，（和－差）÷2＝小数”解答。 【详解】上衣：（88＋12）÷2 ＝100÷2 ＝50（元） 故答案为：A 2．哥哥和妹妹二人共有图画书67本，哥哥比妹妹多13本，哥哥有图画书( )本，妹妹有图画书( )本。 【答案】 【分析】根据差倍原则，将图书总本数加上13就是两个哥哥的数量。所以哥哥有图书为：（本），同理在总数上减去13本就是两个妹妹的数量，所以妹妹有图书为：（本）。 【详解】（67＋13）÷2 ＝80÷2 ＝40（本） （67－13）÷2 ＝54÷2 ＝27（本） 所以，哥哥有图画书40本，妹妹有图画书27本。 3．爷爷的年龄数字颠倒过来恰好是孙子的年龄，两个人年龄的和为110岁，爷爷比孙子大72岁，那么爷爷的年龄是 岁。 【答案】91 【分析】根据题意，两人的年龄和为110岁，年龄差为72岁，根据（和＋差）÷2即可计算出大数，即爷爷的年龄。 【详解】（110＋72）÷2 ＝182÷2 ＝91（岁） 即，爷爷的年龄是91岁。 4．红光小学四（1）班一共有38人，男生比女生多2人，这个班男女生各多少人？ 【答案】男生20人，女生18人 【分析】两数和加上两数差，再除以2，等于较大数；两数和减去两数差，再除以2，等于较小数；据此即可解答。 【详解】（38＋2）÷2 ＝40÷2 ＝20（人） （38－2）÷2 ＝36÷2 ＝18（人） 答：这个班男生有20人，女生有18人。 5．两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？ 【答案】79千克   71千克 【分析】假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）． 【详解】第二筐：（150-8）÷2=71（千克） 第一筐：71＋8=79（千克）或 150-71=79（千克） 答：第一筐重79千克，第二筐重71千克． 6．用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？ 【答案】锡：200千克   铝：300千克 【详解】锡的重量：（500-100）÷2= 200（千克） 铝的重量：500-200=300（千克） 答：锡重200千克，铝重300千克． 7．小亚和小巧一共打了486个字，小亚比小巧多打了56个字，小亚打了多少个字？小巧打了多少个字？ 【答案】271个  215个 【分析】由题意知两人打字的和与差，则根据大数=（和+差）÷2，小数=和﹣大或小数=（和﹣差）÷2，即可求出问题． 【详解】小亚打字个数为： （486+56）÷2 =542÷2 =271（个） 小巧打字个数为：486﹣271=215（个） 答：小亚打了271个字，小巧打了215个字． 8．兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？ 【答案】15岁；13岁 【分析】3年前哥哥比弟弟大2岁，现在哥哥仍比弟弟大2岁，他们的年龄差不变。哥哥：（28＋2）÷2＝15（岁）；弟弟：28－15＝13（岁）。 【详解】（28＋2）÷2＝15（岁） 28－15＝13（岁） 答：哥哥现在15岁，弟弟现在13岁。 9．商店共有足球、篮球、排球213个，足球比排球多26个，篮球比排球少38个，商店里三种球各有多少个？ 【答案】排球75个，足球101个，篮球37个 【分析】因为足球比排球多26个，篮球比排球少38个，那么（213-26+38）是排球个数的3倍，因此排球个数为（213-26+38）÷3=75（个），进而求出足球、篮球的个数． 【详解】排球：（213-26+38）÷3 =225÷3 =75（个） 足球：75+26=101（个） 篮球：75-38=37（个） 答：排球75个，足球101个，篮球37个． 10．哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，俩人各应该是多少岁？ 【答案】24岁；18岁 【分析】由于“年龄差”不随年份的推移而变化，所以，兄妹的年龄差始终是： （岁）。当兄妹的岁数和是42岁时，由和差公式可以求解。 【详解】哥哥为：[42＋（14－8）]÷2 ＝48÷2 ＝24（岁） 妹妹为：42－24＝18（岁） 答：那时哥哥24岁，妹妹18岁。 11．实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗？ 【答案】1056人；1290人 【分析】实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等。在实验一小人数没有增加，实验二小人数没有减少之前，两校的人数相差：146＋88＝234（人），利用（和＋差）÷2＝大数，就可以求出实验二小实际的人数。 【详解】根据题意画线段示意图如下： （2346＋146＋88）÷2 ＝2580÷2 ＝1290（人） 2346－1290＝1056（人） 答：实验一小1056人；实验二小为1290人。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $