第17讲 差倍问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第17讲 差倍问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解差倍问题的基本概念和数量关系 2.掌握差倍问题的解题思路和常用方法 3.能够运用线段图法分析差倍问题中的数量关系 4.学会解决基础型、变式型及复杂型差倍问题 5.培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力 知识梳理 知识点一、基础知识 1.差倍问题的定义： 差倍问题是指已知两个数的差与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题。其基本数量关系可表示为： （1）两数差÷(倍数-1)=较小数(1倍数) （2）较小数×倍数=较大数(几倍数) （3）较小数+两数差=较大数 2.解题关键步骤： (1) 确定"1倍数"和"几倍数" (2) 找出两数之间的"差" (3) 明确倍数关系 (4) 画出线段图表示数量关系 (5) 套用数量关系式计算 3.线段图绘制方法： (1) 先画"1倍数"，用一条线段表示 (2) 再画"几倍数"，根据倍数关系画出相应长度的线段 (3) 标出两数之间的差 (4) 标注已知条件和问题 知识点二、解题技巧总结 1.画线段图时注意： （1）标准量(1倍数)画在上面 （2）线段长度比例要适当 （3）清晰标注所有已知条件 2.关键公式变形： （1）当出现"几倍多几"时：(差-多余部分)÷(倍数-1)=1倍数 （2）当出现"几倍少几"时：(差+缺少部分)÷(倍数-1)=1倍数 3.检验方法： （1）计算两数差是否符合题意 （2）验证倍数关系是否正确 例题讲解 一、差倍问题 【例题1】李爷爷家养的鸭比鹅多只，鸭的只数是鹅的倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？ 【答案】只；只 【分析】根据题意，画线段示意图如下，与只相对应的是（3－1）倍，这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数，求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求出来了。鸭与鹅只数的倍数差是：（倍），鹅有：（只），鸭有：（只）。 【详解】 18÷（3－1） ＝18÷2 ＝9（只） 9×3＝27（只） 答：李爷爷家养的鸭有27只，养鹅有9只。 【例题2】爸爸今年38岁，佳佳今年2岁，问：几年后，父亲的年龄是佳佳的5倍？ 【答案】年 【分析】父女年龄差是：（岁），这个数量是不会变化的；当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁，这36岁是父亲比女儿多的（5－1）倍所对应的年龄。据此解题即可。 【详解】（38－2）÷（5－1） ＝36÷4 ＝9（岁） 9－2＝7（岁） 答：7年后，父亲的年龄是佳佳的5倍。 【例题3】某迎春茶话会上，买来苹果箱，已知每箱苹果取出千克后，剩余的各箱苹果总和等于原来一箱苹果的重量，问原来一箱苹果多重？ 【答案】千克 【分析】取出（24×4）千克，即96千克，即原来的比剩下的多96千克，原来有箱，剩下一箱的重量，即原来的是剩下的倍，所以[96÷（4－1）]千克为剩下的重量，即一箱的重量。 【详解】（24×4）÷（4－1） ＝96÷3 ＝32（千克） 答：原来一箱苹果重32千克。 【例题4】小新家有大小两个书架，大书架上的书的本数是小书架的3倍，如果从大书架上取走150本放到小书架上，那么两个书架上的书一样多，大小书架上原来各有多少本书？ 【答案】本；本 【分析】根据题意画线段示意图。由于大书架上的书是小书架的3倍，把小书架上书的本数看作倍量，大书架比小书架多300本对应于小书架的（3－1）倍量。大书架比小书架多的书数：150×2＝300（本），两个书架相差：3－1＝2（倍），小书架原有书：300÷2＝150（本），大书架原有书：150×3＝450（本）。 【详解】画线段示意图如下： （150×2）÷（3－1） ＝300÷2 ＝150（本） 150×3＝450（本） 答：大书架上原来有450本数，小书架原来有150本书。 考点练习 一、差倍问题 1．兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去300元，妹妹用去40元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等。哥哥带了( )元钱，妹妹带了( )元钱。 【答案】 【分析】由题目的条件“哥哥带的钱是妹妹的两倍”知：哥哥的钱比妹妹的钱多一倍，又由“哥哥用去300元，妹妹用去40元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，可知，哥哥比妹妹多： （元），则知妹妹带了260元，哥哥带了520元。 【详解】（300－40）÷（2－1） ＝260÷1 ＝260（元） 260×2＝520（元） 所以，哥哥带了520元钱，妹妹带了260元钱。 2．甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 【答案】120本；40本 【分析】根据“甲班的图书本数是乙班的3倍”，多的80本，即为多出的2倍，故乙班有图书80÷（3－1）本，据此即可求出甲班的图书数量。 【详解】80÷（3－1） ＝80÷2 ＝40（本） 40×3＝120（本） 答：甲班和乙班分别有图书120本、40本。 3．辰辰今年11岁，他爸爸今年38岁，几年前辰辰爸爸的年龄是他的4倍？ 【答案】2年 【分析】根据题意可知，爸爸和辰辰的相差38－11＝27（岁），两人的年龄差不变，把几年前辰辰的年龄看作1份，爸爸的年龄是4份，爸爸的年龄比辰辰的多3份，多27岁，27除以3即等于几年前辰辰的年龄，辰辰今年的年龄减辰辰几年前的年龄即可解答。 【详解】（38－11）÷（4－1） ＝27÷3 ＝9（岁） 11－9＝2（年） 答：2年前辰辰爸爸的年龄是他的4倍。 4．新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微。老将说：“我比你大14岁。”新手说：“上次你比我大一倍。”运动会四年开一次，今年两人年龄各几岁？ 【答案】18岁；32岁 【分析】四年前老将比新手大14岁，今年老将依旧比新手大14岁。再根据新手说上次你比我大一倍可知4年前老将的年龄是新手的2倍，据此即可根据差倍问题的公式“较小数＝差÷（倍数－1）”求出新手4年前的年龄。然后再加上4即可求出新手今年的年龄。据此即可求解。 【详解】14÷（2－1） ＝14÷1 ＝14（岁） 新手：14＋4＝18（岁） 老将：18＋14＝32（岁） 答：今年新手是18岁，老将是32岁。 5．两根绳，第一根长米，第二根长米，剪去同样长后，第一根是第二根的倍，求每根绳减去几米？ 【答案】米 【分析】剪去同样长后，第一根比第二根长米，因此，第二根剩下的长为：米，从而剪去的长度为：米。 【详解】（64－52）÷（3－1） ＝12÷2 ＝6（米） 52－6＝46（米） 答：每根绳子减去46米。 6．新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微。老将说：“我比你大10岁。”新手说：“上次你比我大一倍。”运动会四年开一次，两人年龄各几岁？ 【答案】14岁；24岁 【分析】我们把这个问题译成常见应用题表述形式为：今年，老运动员年龄比新运动员大10岁；四年前，老运动员年龄比新运动员大一倍。新、老运动员今年各几岁？大家还记得年龄问题的基本关系吗？所以现在新运动员：（岁），老运动员：（岁）。 【详解】10÷（2－1）＋4 ＝10÷1＋4 ＝10＋4 ＝14（岁） 14＋10＝24（岁） 答：新运动员14岁；老运动员24岁。 7．哥哥的图书数比弟弟多60本，哥哥的图书本数是弟弟的3倍，则哥哥、弟弟各有图书多少本？ 【答案】哥哥90本   弟弟30本 【详解】画示意图如下: 把弟弟的本数作为1倍,则弟弟的本数=60÷(3-1)=30(本) 哥哥的本数=30×3=90(本) 答:弟弟的本数是30本,哥哥的本数是90本． 8．两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的倍，甲书架比乙书架存书多本，则乙书架存书多少本？ 【答案】本 【分析】多的本相当于乙书架的倍，则乙书架的书为：（本）。 【详解】120÷（5－1） ＝120÷4 ＝30（本） 答：乙书架有30本书。 9．两块同样长的布，第一块用去31米，第二块用去19米，结果所余米数，第二块是第一块的4倍，两块布原来各长多少米？ 【答案】都是35米 【分析】第一块用去31米,第二块用去19米后，比第一块多31-19=12(米)，而这时第二块剩的是第一块的4倍，即多的12米相当于第一块的3倍，这样可以先求出第一块剩多少米，就可以求出两块原来各有多少米了． 【详解】31-19=12(米) 12÷(4-1)=4(米) 4+31=35(米) 答:这两块布原来都是35米． 10．在一个玩具店里，第一个展示柜上有67个动作人偶，第二个展示柜上有32个动作人偶。促销活动结束后，每个展示柜上卖出了相同数量的动作人偶。第一个展示柜上剩余的动作人偶数量是第二个展示柜上剩余动作人偶数量的六倍。大促结束后一共剩下多少个动作人偶？ 【答案】49个 【分析】根据题意，“每个展示柜上卖出了相同数量的动作人偶后，第一个展示柜上剩余的动作人偶数量是第二个展示柜上剩余动作人偶数量的六倍”，此时，第一个展示柜上剩余的动作人偶比第二个展示柜剩余的动作人偶多的个数为：67－32＝35（个）；根据差倍公式可以计算出第二个展示柜上剩余动作人偶的数量；进而求出大促结束后一共剩下多少个动作人偶。 【详解】 ＝35÷5 ＝7（个） 7×（6＋1） ＝7×7 ＝49（个） 答：大促结束后一共剩下49个动作人偶。 11．两个筐中各有苹果若干千克，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍，如果从第一个筐中取出26千克苹果，从第二个筐中取出2千克苹果，则两筐苹果的重量相等。你知道这两个筐中原来各有苹果多少千克吗？ 【答案】32千克；8千克 【分析】根据题意画线段示意图如下，可知，两筐苹果的倍数差是：4－1＝3（倍），两筐苹果相差:26－2＝24（千克），第二筐原来有苹果重量：24÷3＝8（千克），第一筐原来有苹果重量：8×4＝32（千克）。 【详解】画线段示意图如下： （26-2）÷（4-1） =24÷3 =8（千克） 8×4=32（千克） 答：第一筐32千克；第二筐8千克。 12．实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成，从两个校区各调走200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍，那么实验小学一校区和实验小学二校区原来各有多少人？ 【答案】380人；920人 【分析】两校区各调走200人之后还是相差540人，对应的倍数是：倍，实验小学一校区调走200人后剩下的人数是：（人），实验小学一校区原有：（人），实验小学二校区为：（人）。 【详解】540÷（4－1）＋200 ＝540÷3＋200 ＝180＋200 ＝380（人） 380＋540＝920（人） 答：实验小学一校区有380人，实验小学二校区原来各有920人。 13．某校五年级比六年级人数少人，若六年级学生再转来人，则六年级学生是五年级学生的倍，问五、六年级各有多少人？ 【答案】100人；154人 【分析】根据“某校五年级比六年级人数少人，若六年级学生再转来人，则六年级学生是五年级学生的倍”，可知，（154＋46）人是五年级学生人数的（3－1）倍，据此即可求出五、六年级各有多少人。 【详解】（154＋46）÷（3－1） ＝200÷2 ＝100（人） 100＋154＝254（人） 答：五年级有100人，六年级有154人。 14．盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？ 【答案】100个；150个 【分析】方法一：第二次拿到没有白球的时候还剩下50个红球，因此如果再增加150个白球，可以使得“每次拿出1个红球和3个白球”两种球都不剩下，这样增加150个白球后，按照第一种取法，白球会剩下（50＋150）个，即200个，这说明白球增加150个后，白球的数量是红球的3倍且白球比红球多200个，转化为差倍问题，所以，红球的数量是[200÷（3－1）]个，即100个，此时白球的数量是（100×3）个，即300个；不过这个数量是白球增加150个之后的结果，所以原来盒子里有白球（300－150）个，即150个，红球100个。 方法二：用下图表示它们的关系： 把红球的数量减去50个看做“1倍量”，可以得到，“2倍量”的数量是（）个。所以红球的数量有[50＋（50＋50）÷2]个，即100个；白球的数量比红球多50个，有（100＋50）个。可以看出作图表示简洁明了得多，也更容易发现隐含的关系。 【详解】方法一：如果增加150个白球，则每次拿出1个红球和3个白球正好可以拿完，即此时白球的个数是红球的3倍。 （50＋150）÷（3－1） ＝200÷2 ＝100（个） 100×3－150 ＝300－150 ＝150（个） 答：红球有个；白球有个。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 差倍问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解差倍问题的基本概念和数量关系 2.掌握差倍问题的解题思路和常用方法 3.能够运用线段图法分析差倍问题中的数量关系 4.学会解决基础型、变式型及复杂型差倍问题 5.培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力 知识梳理 知识点一、基础知识 1.差倍问题的定义： 差倍问题是指已知两个数的差与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题。其基本数量关系可表示为： （1）两数差÷(倍数-1)=较小数(1倍数) （2）较小数×倍数=较大数(几倍数) （3）较小数+两数差=较大数 2.解题关键步骤： (1) 确定"1倍数"和"几倍数" (2) 找出两数之间的"差" (3) 明确倍数关系 (4) 画出线段图表示数量关系 (5) 套用数量关系式计算 3.线段图绘制方法： (1) 先画"1倍数"，用一条线段表示 (2) 再画"几倍数"，根据倍数关系画出相应长度的线段 (3) 标出两数之间的差 (4) 标注已知条件和问题 知识点二、解题技巧总结 1.画线段图时注意： （1）标准量(1倍数)画在上面 （2）线段长度比例要适当 （3）清晰标注所有已知条件 2.关键公式变形： （1）当出现"几倍多几"时：(差-多余部分)÷(倍数-1)=1倍数 （2）当出现"几倍少几"时：(差+缺少部分)÷(倍数-1)=1倍数 3.检验方法： （1）计算两数差是否符合题意 （2）验证倍数关系是否正确 例题讲解 一、差倍问题 【例题1】李爷爷家养的鸭比鹅多只，鸭的只数是鹅的倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？ 【例题2】爸爸今年38岁，佳佳今年2岁，问：几年后，父亲的年龄是佳佳的5倍？ 【例题3】某迎春茶话会上，买来苹果箱，已知每箱苹果取出千克后，剩余的各箱苹果总和等于原来一箱苹果的重量，问原来一箱苹果多重？ 【例题4】小新家有大小两个书架，大书架上的书的本数是小书架的3倍，如果从大书架上取走150本放到小书架上，那么两个书架上的书一样多，大小书架上原来各有多少本书？ 考点练习 一、差倍问题 1．兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去300元，妹妹用去40元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等。哥哥带了( )元钱，妹妹带了( )元钱。 2．甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 3．辰辰今年11岁，他爸爸今年38岁，几年前辰辰爸爸的年龄是他的4倍？ 4．新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微。老将说：“我比你大14岁。”新手说：“上次你比我大一倍。”运动会四年开一次，今年两人年龄各几岁？ 5．两根绳，第一根长米，第二根长米，剪去同样长后，第一根是第二根的倍，求每根绳减去几米？ 6．新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微。老将说：“我比你大10岁。”新手说：“上次你比我大一倍。”运动会四年开一次，两人年龄各几岁？ 7．哥哥的图书数比弟弟多60本，哥哥的图书本数是弟弟的3倍，则哥哥、弟弟各有图书多少本？ 8．两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的倍，甲书架比乙书架存书多本，则乙书架存书多少本？ 9．两块同样长的布，第一块用去31米，第二块用去19米，结果所余米数，第二块是第一块的4倍，两块布原来各长多少米？ 10．在一个玩具店里，第一个展示柜上有67个动作人偶，第二个展示柜上有32个动作人偶。促销活动结束后，每个展示柜上卖出了相同数量的动作人偶。第一个展示柜上剩余的动作人偶数量是第二个展示柜上剩余动作人偶数量的六倍。大促结束后一共剩下多少个动作人偶？ 11．两个筐中各有苹果若干千克，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍，如果从第一个筐中取出26千克苹果，从第二个筐中取出2千克苹果，则两筐苹果的重量相等。你知道这两个筐中原来各有苹果多少千克吗？ 12．实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成，从两个校区各调走200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍，那么实验小学一校区和实验小学二校区原来各有多少人？ 13．某校五年级比六年级人数少人，若六年级学生再转来人，则六年级学生是五年级学生的倍，问五、六年级各有多少人？ 14．盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $