第17讲 分解质因数（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第17讲 分解质因数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解质因数和分解质因数的概念，能准确区分质数、合数与质因数 2.掌握分解质因数的两种基本方法（短除法和树枝分解法） 3.能够运用分解质因数解决最大公因数、最小公倍数及实际应用题 4.学会用分解质因数法解决数论相关的奥数题型 知识梳理 知识点一、核心概念梳理 1. 质因数的定义 （1）质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数 （2）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数 注意：1既不是质数也不是合数，因此不能作为质因数 2. 相关概念辨析 概念 定义 举例 质数 只有1和本身两个因数的自然数 2、3、5、7、11… 合数 除了1和本身还有其他因数的自然数 4、6、8、9、12… 因数 整数a除以整数b(b≠0)的商正好是整数而没有余数，则b是a的因数 12的因数有1、2、3、4、6、12 质因数 既是质数又是某个数的因数 12的质因数是2和3 知识点二、分解质因数的方法 1. 短除法（最常用方法） 步骤： ① 用最小的质数去除这个合数，直到商是质数为止 ② 把所有除数和最后的商写成连乘形式 示例：分解126的质因数 2 | 126 └─── 3 | 63 └─── 3 | 21 └─── 7 126=2×3×3×7 2. 树枝分解法（因数树） 步骤： ① 将合数分解成两个因数的乘积 ② 若因数是合数继续分解，直到所有因数都是质数 ③ 把所有质数因数写成连乘形式 示例：分解72的质因数 72 / \ 8 9 / \ / \ 2 4 3 3 / \ 2 2 72=2×2×2×3×3 知识点三、分解质因数的应用 1. 求最大公因数和最小公倍数 （1）最大公因数（GCD）：所有公有质因数的乘积 （2）最小公倍数（LCM）：所有质因数的最高次幂的乘积 示例：求18和24的最大公因数和最小公倍数 18=2×3²，24=2³×3 GCD=2×3=6，LCM=2³×3²=72 2. 解决整除问题 典型题型：已知一个数的质因数，判断其整除特性 例题：若N=2³×3²×5，N能被哪些数整除？ 解答：N的所有因数都由2^a×3^b×5^c组成（a≤3,b≤2,c≤1），共(3+1)(2+1)(1+1)=24个因数 3. 完全平方数的判定 特征：分解质因数后，所有质因数的指数都是偶数 例题：判断144是否为完全平方数 144=2⁴×3²，指数4和2都是偶数，所以144是完全平方数（12²） 4. 实际应用题 例题：将360块糖分给若干个小朋友，每人分得同样多且正好分完，有多少种不同的分法？ 解答：360=2³×3²×5，因数个数=(3+1)(2+1)(1+1)=24个，去掉分给1个小朋友的情况，共23种分法 知识点四、奥数拓展题型 1. 乘积末尾0的个数问题 方法：计算因数中2×5的对数（每对产生一个0） 例题：1×2×3×…×20的积末尾有几个0？ 解答：含2的因数多于含5的因数，共有4个5（5,10,15,20），所以末尾有4个0 2. 因数个数问题 公式：若N=p₁^a₁×p₂^a₂×…×pn^an，则因数个数=(a₁+1)(a₂+1)…(an+1) 例题：求360的因数个数 360=2³×3²×5¹，因数个数=(3+1)(2+1)(1+1)=24个 3. 密码问题（因数分解） 例题：一个三位数密码是两个质数的乘积，且这两个质数的和是20，求密码可能是多少？ 解答：和为20的质数对：(3,17)、(7,13)，乘积分别为51、91，所以密码可能是51或91 例题讲解 一、分解质因数 【例题1】连续三个自然数的乘积是17550，那么，这三个自然数的和是（    ）。 A．72 B．75 C．78 D．84 【答案】C 【分析】先把17550分解质因数，再找出这三个连续的自然数，最后求和即可。 【详解】17550＝2×5×5×3×3×3×13＝25×26×27 25＋26＋27＝78 则这三个自然数的和是78 故答案为：C 【例题2】12和18的最小公倍数与最大公因数的差是 。 【答案】30 【分析】用质因数分解法求最大公因数： 全部共有的质因数相乘的积就是这几个数的最大公因数。 用质因数分解法求最小公倍数的方法： 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 先分别求出12和18的最小公倍数与最大公因数，用最小公倍数减最大公因数即可解答。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 2×3＝6 2×3×2×3＝6×6＝36 36－6＝30 12和18的最小公倍数与最大公因数的差是30。 【例题3】这25个数相乘，积的末尾有 个连续的“0”。 【答案】6 【分析】1×2×3×……×23×24×25的积的末尾“0”的个数是由质因数2和质因数5的个数确定的，由于质因数2的个数明显多余质因数5的个数，因此要确定乘积末尾“0”的个数，必须要先确定质因数5的个数。式子中含有质因数5的乘数有5、10、15、20、25这5个数，其中25包含了2个5，故式子中共含有质因数5的个数为：5＋1＝6（个），据此即可知道乘积末尾0的个数。 【详解】含有质因数5的乘数有：5、10、15、20、25 5＝1×5， 10＝2×5， 15＝3×5， 20＝2×2×5， 25＝5×5， 质因数5的个数为：5＋1＝6（个） 因此乘积末尾有6个连续的“0”。 【例题4】两个数的差是24，它们的乘积是1456，则这两个数的和是多少？ 【答案】80 【分析】根据题意可知，先把1456分解质因数，再把质因数重新组合改写成两个数的积，并且这两个数相差24，然后求出这两个数的和即可解答。 【详解】1456＝2×2×2×2×7×13＝28×52 52－28＝24 52＋28＝80 答：这两个数的和是80。 【例题5】将21、30、65、126、143、169、275这7个数分成两组，使这两组数的积相等。 【答案】21、30、65、143为一组；126、169、275为一组 【分析】先通过分解质因数，然后观察每个质因数出现的次数，最后平均分配，确保两组中质因数的个数和种类都完全相同，这样才能使这两组数的乘积相等，据此得到符合条件的分组。 【详解】21＝3×7，30＝2×3×5，65＝5×13，126＝2×3×3×7，143＝11×13，169＝13×13，275＝5×5×11； 2、7、11各出现2次，3、5、13各出现4次； 因此每组数必须满足：2、7、11各出现1次，3、5、13各出现2次； 所以可以将3×7、2×3×5、5×13、11×13分为一组，2×3×3×7、13×13、5×5×11分为一组； 即21、30、65、143为一组，126、169、275为一组。 答：21、30、65、143为一组，126、169、275为一组。 二、分解质因数的应用 【例题1】小明随手翻开数学书中的两页，看见这两页的页码数字的积是1332，这两页的页码是多少？ 【答案】36和37 【分析】先将1332分解质因数，再将这些质因数重新组成两个自然数的积，并且这两个自然数相差为1，这两个自然数就是这两页的页码，据此即可解答。 【详解】1332＝2×2×3×3×37＝36×37 答：这两页的页码是36和37。 【例题2】有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？ 【答案】7岁、8岁、9岁和10岁 【详解】我们先把5040分解质因数：5040＝24×32×5×7. 再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10. 所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁． 【例题3】2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完。若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增加10个，则每人可以多分8个。问原来有多少人？ 【答案】17人 【分析】题中的数量关系是弹珠总数＝人数×人均弹珠数，人数及弹珠总数的变化导致人均弹珠数的变化。先将两次弹珠总数分别进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数为人数，另一个乘数则为人均弹珠数；同理再变形多次，类比两种变形的结果，能满足人数减少1，人均弹珠数则增加8的情况即可。 【详解】2006＋10＝2016（个） 2006＝2×17×59，2016＝2×2×2×2×2×7×9 经过组合可得：2006＝17×118，2016＝16×126， 17－1＝16，118＋8＝126符合人数减少1，人均弹珠数则增加8的情况，因此原来有17人。 答：原来有17人。 【例题4】学校购买一批毛笔正好用去216元，如果每支毛笔便宜1元，则可以多买3支，钱也正好用得完。请问实际购买了多少支毛笔？ 【答案】24支 【分析】题中的数量关系是总价＝单价×数量，单价变化则导致数量变化，但是总价不变。先将总价进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数为单价，另一个乘数则为数量；同理再变形多次，类比两次变形的结果，能满足单价少1，数量增加3的情况即可。 【详解】216＝2×2×2×3×3×3 重新组合可得：216＝9×24，216＝8×27， 9－8＝1，27－24＝3，符合单价少1，数量增加3的情况。 因此实际每支毛笔9元，一共可以买24支。 答：实际购买了24支毛笔。 【例题5】五（1）班搞迎新联欢会，黄老师买了一些贺卡作为礼物赠送给同学们，每张贺卡5角左右，一共花了18.20元。请问：一共买了几张贺卡？ 【答案】35张 【分析】5角左右也就是50分左右，18.20元等于1820分，把1820分解质因数，然后再把质因数重新组合，写成两个因数的乘积，其中一个因数与50接近，另一个因数就是贺卡的张数，据此即可解答。 【详解】18.20元＝1820分 1820＝2×2×5×7×13＝35×52 52分＝5角2分，符合每张贺卡的价钱，即买了35张贺卡。 52分＝0.52元 0.52×35＝18.20（元） 答：一共买了35张贺卡。 考点练习 一、分解质因数 1．下列选项中，20和6的最小公倍数是（    ）。 A．20 B．30 C．120 D．60 【答案】D 【分析】几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。求解方法是分解质因数法，即把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数和各自独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】对20和6分解质因数：20＝2×2×5；6＝2×3 根据最小公倍数的求法，公有质因数是2，20独有的质因数是2和5，6独有的质因数是3，所以20和6的最小公倍数为2×2×3×5＝60 故答案为：D 2．两个非零自然数的和与积都是2023的倍数，这两个数的乘积最小是（    ）。 A．2023 B．14161 C．226576 D．1019592 【答案】C 【分析】假设这两个非零自然数是x和y，根据两数的和与积都是2023的倍数，找到满足条件的x和y的值，据此即可解答。 【详解】假设这两个自然数是x和y。 ①若x和y都是2023的倍数，则两个数最小都是2023，2023×2023＝4092529，比所有选项都大，不符合题意； ②若x和y都比2023小，因为2023＝17×17×7，再次假设x＝17m，y＝17×7n，这样假设能保证x×y是2023的倍数，此时x＋y＝17m＋17×7n，要让乘积最小，则x＋y应最小，所以17m＋17×7n最小，最小是2023，即17m＋17×7n＝2023，m＋7n＝119，＝17－n； 当m＝7时，n＝16，此时x＝17m＝17×7＝119，y＝17×7n＝17×7×16＝1904。 又因为7和17是互质数，如果假设x＝172m，y＝7n，要让乘积最小，则x＋y应最小，所以172m＋7n最小，最小是2023，即172m＋7n＝2023，但找不到合适的m和n。 故当m＝7时，n＝16时，满足题意。此时：x×y＝119×1904＝226576。 所以这两个数的乘积最小是226576。 故答案为：C 3．数学家华罗庚小时候学因数与倍数时，曾经遇到过这样的问题：已知有两个数，它们的乘积是2800，其中一个数的因数个数比另一个数的因数个数多1，那么这两个数的和是（    ）。 A．190 B．185 C．191 D．192 【答案】X 【分析】先把2800分解质因数，考虑到除了完全平方数，其他数字因数的个数都是成对出现的，不会出现多1个的情况，因此找出属于完全平方数的因数的个数，再进一步分析，找出符合题意的答案。 【详解】任何一个正整数，其因数应该是成对出现的，这意味着，一般情况下，一个正整数应该有偶数个因数；完全平方数的因数个数是奇数个； 根据题意：“两个数的乘积等于2800，其中一个数的因数个数比另一个数的因数多1”，这表明：这两个数中有一个是完全平方数； 由于：2800＝2×2×2×2×5×5×7，其属于完全平方数的因数有五个：22＝4、42＝16、52＝25、102＝100、202＝400， 分别进行分析：2800＝4×700，各有3个和16个因数，不符合题意； 2800＝7×400，各有2个和15个因数，不符合题意； 2800＝16×175，各有5个和6个因数，符合题意； 2800＝25×112，各有3个和10个因数，不符合题意； 2800＝28×100，各有6个和9个因数，不符合题意； 综上所述，这两个数是16和175，这两个数的和是：16＋175＝191。 故答案选：C 4．在算式□×□×□＝2023中，每个乘数都是大于1的整数，那么这三个乘数的和是（    ）。 A．30 B．35 C．36 D．41 【答案】D 【分析】先将2023分解质因数为2023＝7×17×17，因为每个乘数都是大于1的整数，所以这三个乘数分别为7、17、17，据此即可解决。 【详解】2023＝7×17×17 7＋17＋17＝41 故答案为：D 5．有这样一种算式：三个不同的自然数相乘，积是100。这样的算式有 种。（交换因数位置的算同一种。） 【答案】4 【分析】将100分解质因数得到100＝2×2×5×5，然后进行从新组合成3个不同的自然数相乘，即可得出答案。 【详解】100＝1×2×50＝1×5×20＝2×5×10＝1×4×25 所以这样的算式有4种。 6．将17拆成若干个不同的质数和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积等于 。 【答案】210 【分析】拆分要求：所有质数不同，且和为17，目标是乘积最大。 首先列出17以内的所有质数：2、3、5、7、11、13， 通过计算只能是17＝2＋3＋5＋7，其余组合都不行。最后算出乘积。 【详解】17＝2＋3＋5＋7 2×3×5×7＝210 最大的乘积等于210。 7．1×2×3×…×198×199×200这200个数相乘，积的末尾有 个连续的“0”。 【答案】49 【分析】1×2×3×……×198×199×200的积的末尾“0”的个数是由质因数2和质因数5的个数确定的，由于质因数2的个数明显多余质因数5的个数，因此要确定乘积末尾“0”的个数，必须要先确定质因数5的个数，因此进行列举计算即可解决。 【详解】5的倍数有：200÷5＝40（个） 5×5＝25，25的倍数有：200÷25＝8（个） 5×5×5＝125，125的倍数有：200÷125＝1（个）……75（个） 总共含有质因数5的个数为：40＋8＋1＝49（个） 因此积的末尾有49个连续的“0”。 8．这10个数相乘，积的末尾有 个连续的“0”。 【答案】2 【分析】观察发现，在乘法算式中每出现1对“2×5”就会在乘积的末尾产生1个0，通过对式子中含有质因数2或5的数进行分解质因数，弄清楚式子中有多少对“2×5”即可。 【详解】将2、4、5、6、8、10分解质因数，如下所示： 式子中出现了8个2、2个5，即能组成两对“2×5”，故乘积末尾有2个连续的“0”。 9．975×1925×1872×□，要使这个连乘积的最后5个数字都是0，那么在方框内最小应填( )。 【答案】10 【分析】首先把975、1925、1872分解质因数，判断出975、1925、1872中含有多少个因数2和多少个因数5，推出975×1925×1872的积的末尾有几个0；然后根据这个连乘积的最后5个数字都是0，求出在方框内最小应填多少即可。 【详解】975＝3×5×5×13，975含有2个因数5； 1925＝7×5×5×11，1925含有2个因数5； 1872＝2×2×2×2×3×3×13，1872含有4个因数2； 因为975含有2个因数5，1925含有2个因数5，975和1925一共含有4个因数5，1872含有4个因数2， 所以975×1925×1872的积的末尾有4个0； 因为这个连乘积的最后5个数字都是0， 所以在方框内最小应填10。 10．三位数满足：它的所有质因数之和是。这样的三位数有( )个。 【答案】13 【分析】26以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23这9个， 先找出和是26的组合，然后分类枚举。 【详解】，，，，； 符合要求的三位数有： ，； ，； ，，，； ，，； ，； 总共13个。 11．将21、242、66、65、25、33、35、39这八个数平均分成两组，使两组数的乘积相等，可以怎么分？ 【答案】见详解 【分析】先把这8个数分解质因数，然后按照质因数平均分的原则把8个数分成两组，使两组数中相同的质因数的个数相等，据此即可解答。 【详解】21＝3×7 242＝2×11×11 66＝2×3×11 65＝5×13 25＝5×5 33＝3×11 35＝5×7 39＝3×13 66×33×65×35＝242×21×39×25 12．把若干个自然数1、2、3、…连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【答案】最小55，最大59。 【分析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零。由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了。 【详解】5的倍数： ，，，，，… 发现只有25、50、75、100、…这样的数中才会出现多个因数5； 乘到55时共出现个因数5，所以至少应当写到55， 如果乘到下一个5的倍数60，将会出现14个0，所以最大是59。 13．有三个自然数a、b、c，已知a×b＝144，b×c＝216，a×c＝96，则这三个自然数的和等于多少？ 【答案】38 【分析】根据a×b＝144，b×c＝216，a×c＝96求出（a×b×c）2的值，进而求出a×b×c的值，a×b×c的积除以216等于a，a×b×c的积除以96等于b，a×b×c的积除以144等于c，然后把三个数相加即可解答。 【详解】a×b＝144，b×c＝216，a×c＝96 所以（a×b×c）2＝144×216×96 （a×b×c）2＝144×36×6×16×6 （a×b×c）2＝144×36×36×16 （a×b×c）2＝12×12×36×36×4×4 （a×b×c）2＝（12×36×4）2 （a×b×c）2＝17282 a×b×c＝1728 a＝1728÷216＝8 b＝1728÷96＝18 c＝1728÷144＝12 a＋b＋c ＝8＋18＋12 ＝26＋12 ＝38 答：这三个自然数的和等于38。 二、分解质因数的应用 1．三个不满9岁的小朋友的年龄之积是90，他们的年龄之和是 岁。 【答案】14 【分析】三个不满9岁的小朋友的年龄之积是90，因此可以将90分解质因数为：90＝2×3×3×5。然后再组合成三个均小于9的数。通过尝试可能的组合，唯一符合条件的年龄为3岁、5岁、6岁，据此即可求出他们的年龄之和。 【详解】90＝2×3×3×5 ＝3×5×6 和：3＋5＋6 ＝8＋6 ＝14（岁） 因此他们的年龄之和是14岁。 2．贝贝是名中学生，他参加了全市的数学联赛（满分100分）。若贝贝的名次、分数和年龄的乘积是6786，那么贝贝获得了第 名。 【答案】6 【分析】贝贝是名中学生，则贝贝的年龄在12岁到15岁之间。 将6786分解质因数，6786＝2×3×3×13×29，则贝贝肯定是13岁，因为满分是100分，则贝贝的分数是87分，名次就是第6名。 【详解】6786＝6×13×87 则贝贝获得了第6名。 3．有5个小朋友，他们年龄都不到12岁，且都是整数，他们的年龄乘积是13860.这5个小朋友中的年龄最大是 岁。 【答案】11 【分析】将13860分解质因数得到2²×3²×5×7×11。由于每个小朋友的年龄都不超过12岁且为整数，因此可以将这些质因数重新组合成5个数相乘，且11不需要组合。列举出所有可能的组合，据此即可知道这5个小朋友中的年龄最大是多少岁。 【详解】13860＝2²×3²×5×7×11 组合一：13860＝4×5×7×9×11 组合二：13860＝5×6×6×7×11 组合三：13860＝2×7×9×10×11 因此所有组合中最大年龄均为11岁。 4．2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完。若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增加10个，则每人可以多分8个。原来有( )人。 【答案】17 【分析】增加10个后是2016个，对2006和2016分别分解质因数，前后两种情况下，人数相差1人，并且人数是2006、2016的因数，找出符合要求的两个因数即可。 【详解】 2016＝ 只有16到17相差1人； ，， 经验证符合条件，所以原来有17人。 5．张阿姨用 112 元钱去买窗帘布若干米，由于窗帘布每米降价 1 元，因此，张阿姨所带的钱可以比原来多买 2m．原来每米多少元？ 【答案】8元 【详解】112＝2×2×2×2×7, 2×2×2＝8,与7就差1,所以原来每米8元,现在每米7元. 检验一下,原来每米8元,可买112÷8＝14米,现在每米7元,可买112÷7＝16米,可比原来多买16－14＝2米,符合已知条件. 答：原来每米8元. 6．有735名同学参加知识竞赛，现在要把他们分到人数相等的若干个考场中，使每个考场人数在30至40人之间，可以分成几个考场？ 【答案】21个 【分析】根据题意可知，每个考场的人数乘考场个数等于参加知识竞赛的学生数，所以每个考场的人数和考场个数都是学生数的因数，把735分解成两个因数的成绩，其中一个因数大于30小于40，这个因数就是每个考场的人数，另一个因数就是考场的个数，据此即可解答。 【详解】735＝3×5×7×7＝21×35，由于每个考场人数相等，且在30到40人之间，所以考场人数为35人，分成了21个考场。 答：可以分成21个考场。 7．陈老师和张老师带领学生去种树，他们一共种了150棵树，每个老师和每名学生种的树一样多。问：每人种树多少棵？一共有多少名学生（学生人数接近50）？ 【答案】3棵；48名 【分析】每个老师和每名学生种的树一样多，共种树150棵，即每人种树的棵数和人数都是是150的因数，而150＝2×3×5×5＝3×50＝3×（48＋2），由于学生人数接近50人且有2名老师，可知学生人数为48，每人种树3棵，据此即可解答。 【详解】150＝2×3×5×5＝3×50＝3×（48＋2） 每人植树一样多，且学生人数接近50人且有2名老师，所以有48名学生，2名老师，每人种树3棵。 答：每人种树3棵，一共有48名学生。 8．甲、乙、丙、丁四个人，他们的年龄分别是四个连续的偶数，四个人年龄的乘积是48384，那么这四个人中年龄最小的是几岁？ 【答案】12岁 【分析】先把48384分解成质因数相乘的积，然后根据他们的年龄分别是四个连续的偶数，推算出这四个数各是多少，据此即可解答。 【详解】48384＝2×2×2×2×2×2×2×2×3×3×3×7＝12×14×16×18 所以他们的年龄分别是12岁，14岁，16岁，18岁，最小的是12岁。 答：这四个人中年龄最小的是12岁。 9．幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新入园一位小朋友，这样每位小朋友就要少分2个苹果。原来有多少位小朋友？ 【答案】14位 【分析】题中的数量关系是苹果总数＝人数×人均苹果数，人数变化则导致人均苹果数变化，但是总的苹果数量不会发生变化。因此可以先将苹果总数进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数为人数，另一个乘数则为人均苹果数；同理再变形多次，类比两次变形的结果，能满足人数增加1，人均苹果数则减2的情况即可。 【详解】420＝2×2×3×5×7 420＝14×30，420＝15×28 15－14＝1，30－28＝2，符合人数增加1，人均苹果数减少2的情况。 故原来有14位小朋友，每位小朋友分30个苹果。 答：原来有14位小朋友。 10．（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大岁，他们四个人年龄的乘积是。问他们四个人的年龄各是几岁？ 【答案】12岁、14岁、16岁、18岁 【分析】题中告诉我们，是四个人年龄的乘积，只要我们把分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。 【详解】，由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。 答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。 11．小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？ 【答案】9699690 【分析】由题意可知这个积的末四位数是前三位数的10倍，因此可以设这个数的前三位为，则末四位为10×，整个号码可表示为：×10000＋10×＝10010×，其中为三位数（100≤≤999）；又因为整个号码是几个连续质数的乘积，而10010＝2×5×7×11×13，这些质数并非完全连续，需要进行补充，从而形成连续的质数序列，如2，3，5，7，11，13，17，19，……，因此需要补充质数3、17、19……。最后根据100≤≤999即可确定补充哪几个质数，从而确定小明家的电话号码是多少。 【详解】解：设这个数的前三位为，则末四位为10×。 整个号码可表示为：×10000＋10×＝10010×， 因为10010＝2×5×7×11×13，整个号码是几个连续质数的乘积， 所以分解质因数后一定要含有质数3。 又因为100≤≤999， 所以分解质因数后还需要有别的质数，即17、19……。 3×17＝51，不符合的取值范围； 3×17×19＝969，符合的取值范围。 因此。 整个号码为： 答：小明家的电话号码是9699690。 12．甲、乙、丙、丁四人生肖都相同，把他们今年的年龄连乘，积是784，那么： (1)他们中年龄最大的比年龄最小的大( )岁。 (2)他们四人今年的年龄和是( )岁。 【答案】(1)12或96 (2)32或104 【分析】（1）先把784分解质因数，784＝2×2×2×2×7×7，因为甲、乙、丙、丁四人生肖都相同，所以他们的年龄差都是12的倍数，然后分类讨论即可。 （2）将（1）的两种情况的四人的岁数相加即可。 【详解】（1）784＝2×2×2×2×7×7＝2×2×14×14＝2×2×2×98 当四人的岁数分别为2岁，2岁，14岁，14岁， 14－2＝12（岁） 当四人的岁数分别为2岁，2岁，2岁，98岁， 98－2＝96（岁） 答：他们中年龄最大的比年龄最小的大12岁或96岁。 （2）2＋2＋14＋14＝32（岁） 2＋2＋2＋98＝104（岁） 答：他们四人今年的年龄和是32或104岁。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 分解质因数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解质因数和分解质因数的概念，能准确区分质数、合数与质因数 2.掌握分解质因数的两种基本方法（短除法和树枝分解法） 3.能够运用分解质因数解决最大公因数、最小公倍数及实际应用题 4.学会用分解质因数法解决数论相关的奥数题型 知识梳理 知识点一、核心概念梳理 1. 质因数的定义 （1）质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数 （2）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数 注意：1既不是质数也不是合数，因此不能作为质因数 2. 相关概念辨析 概念 定义 举例 质数 只有1和本身两个因数的自然数 2、3、5、7、11… 合数 除了1和本身还有其他因数的自然数 4、6、8、9、12… 因数 整数a除以整数b(b≠0)的商正好是整数而没有余数，则b是a的因数 12的因数有1、2、3、4、6、12 质因数 既是质数又是某个数的因数 12的质因数是2和3 知识点二、分解质因数的方法 1. 短除法（最常用方法） 步骤： ① 用最小的质数去除这个合数，直到商是质数为止 ② 把所有除数和最后的商写成连乘形式 示例：分解126的质因数 2 | 126 └─── 3 | 63 └─── 3 | 21 └─── 7 126=2×3×3×7 2. 树枝分解法（因数树） 步骤： ① 将合数分解成两个因数的乘积 ② 若因数是合数继续分解，直到所有因数都是质数 ③ 把所有质数因数写成连乘形式 示例：分解72的质因数 72 / \ 8 9 / \ / \ 2 4 3 3 / \ 2 2 72=2×2×2×3×3 知识点三、分解质因数的应用 1. 求最大公因数和最小公倍数 （1）最大公因数（GCD）：所有公有质因数的乘积 （2）最小公倍数（LCM）：所有质因数的最高次幂的乘积 示例：求18和24的最大公因数和最小公倍数 18=2×3²，24=2³×3 GCD=2×3=6，LCM=2³×3²=72 2. 解决整除问题 典型题型：已知一个数的质因数，判断其整除特性 例题：若N=2³×3²×5，N能被哪些数整除？ 解答：N的所有因数都由2^a×3^b×5^c组成（a≤3,b≤2,c≤1），共(3+1)(2+1)(1+1)=24个因数 3. 完全平方数的判定 特征：分解质因数后，所有质因数的指数都是偶数 例题：判断144是否为完全平方数 144=2⁴×3²，指数4和2都是偶数，所以144是完全平方数（12²） 4. 实际应用题 例题：将360块糖分给若干个小朋友，每人分得同样多且正好分完，有多少种不同的分法？ 解答：360=2³×3²×5，因数个数=(3+1)(2+1)(1+1)=24个，去掉分给1个小朋友的情况，共23种分法 知识点四、奥数拓展题型 1. 乘积末尾0的个数问题 方法：计算因数中2×5的对数（每对产生一个0） 例题：1×2×3×…×20的积末尾有几个0？ 解答：含2的因数多于含5的因数，共有4个5（5,10,15,20），所以末尾有4个0 2. 因数个数问题 公式：若N=p₁^a₁×p₂^a₂×…×pn^an，则因数个数=(a₁+1)(a₂+1)…(an+1) 例题：求360的因数个数 360=2³×3²×5¹，因数个数=(3+1)(2+1)(1+1)=24个 3. 密码问题（因数分解） 例题：一个三位数密码是两个质数的乘积，且这两个质数的和是20，求密码可能是多少？ 解答：和为20的质数对：(3,17)、(7,13)，乘积分别为51、91，所以密码可能是51或91 例题讲解 一、分解质因数 【例题1】连续三个自然数的乘积是17550，那么，这三个自然数的和是（    ）。 A．72 B．75 C．78 D．84 【例题2】12和18的最小公倍数与最大公因数的差是 。 【例题3】这25个数相乘，积的末尾有 个连续的“0”。 【例题4】两个数的差是24，它们的乘积是1456，则这两个数的和是多少？ 【例题5】将21、30、65、126、143、169、275这7个数分成两组，使这两组数的积相等。 二、分解质因数的应用 【例题1】小明随手翻开数学书中的两页，看见这两页的页码数字的积是1332，这两页的页码是多少？ 【例题2】有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？ 【例题3】2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完。若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增加10个，则每人可以多分8个。问原来有多少人？ 【例题4】学校购买一批毛笔正好用去216元，如果每支毛笔便宜1元，则可以多买3支，钱也正好用得完。请问实际购买了多少支毛笔？ 【例题5】五（1）班搞迎新联欢会，黄老师买了一些贺卡作为礼物赠送给同学们，每张贺卡5角左右，一共花了18.20元。请问：一共买了几张贺卡？ 考点练习 一、分解质因数 1．下列选项中，20和6的最小公倍数是（    ）。 A．20 B．30 C．120 D．60 2．两个非零自然数的和与积都是2023的倍数，这两个数的乘积最小是（    ）。 A．2023 B．14161 C．226576 D．1019592 3．数学家华罗庚小时候学因数与倍数时，曾经遇到过这样的问题：已知有两个数，它们的乘积是2800，其中一个数的因数个数比另一个数的因数个数多1，那么这两个数的和是（    ）。 A．190 B．185 C．191 D．192 4．在算式□×□×□＝2023中，每个乘数都是大于1的整数，那么这三个乘数的和是（    ）。 A．30 B．35 C．36 D．41 5．有这样一种算式：三个不同的自然数相乘，积是100。这样的算式有 种。（交换因数位置的算同一种。） 6．将17拆成若干个不同的质数和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积等于 。 7．1×2×3×…×198×199×200这200个数相乘，积的末尾有 个连续的“0”。 8．这10个数相乘，积的末尾有 个连续的“0”。 9．975×1925×1872×□，要使这个连乘积的最后5个数字都是0，那么在方框内最小应填( )。 10．三位数满足：它的所有质因数之和是。这样的三位数有( )个。 11．将21、242、66、65、25、33、35、39这八个数平均分成两组，使两组数的乘积相等，可以怎么分？ 12．把若干个自然数1、2、3、…连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 13．有三个自然数a、b、c，已知a×b＝144，b×c＝216，a×c＝96，则这三个自然数的和等于多少？ 二、分解质因数的应用 1．三个不满9岁的小朋友的年龄之积是90，他们的年龄之和是 岁。 2．贝贝是名中学生，他参加了全市的数学联赛（满分100分）。若贝贝的名次、分数和年龄的乘积是6786，那么贝贝获得了第 名。 3．有5个小朋友，他们年龄都不到12岁，且都是整数，他们的年龄乘积是13860.这5个小朋友中的年龄最大是 岁。 4．2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完。若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增加10个，则每人可以多分8个。原来有( )人。 5．张阿姨用 112 元钱去买窗帘布若干米，由于窗帘布每米降价 1 元，因此，张阿姨所带的钱可以比原来多买 2m．原来每米多少元？ 6．有735名同学参加知识竞赛，现在要把他们分到人数相等的若干个考场中，使每个考场人数在30至40人之间，可以分成几个考场？ 7．陈老师和张老师带领学生去种树，他们一共种了150棵树，每个老师和每名学生种的树一样多。问：每人种树多少棵？一共有多少名学生（学生人数接近50）？ 8．甲、乙、丙、丁四个人，他们的年龄分别是四个连续的偶数，四个人年龄的乘积是48384，那么这四个人中年龄最小的是几岁？ 9．幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新入园一位小朋友，这样每位小朋友就要少分2个苹果。原来有多少位小朋友？ 10．（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大岁，他们四个人年龄的乘积是。问他们四个人的年龄各是几岁？ 11．小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？ 12．甲、乙、丙、丁四人生肖都相同，把他们今年的年龄连乘，积是784，那么： (1)他们中年龄最大的比年龄最小的大( )岁。 (2)他们四人今年的年龄和是( )岁。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $