期末专题06 三角函数及三角恒等变换8大考点（期末真题汇编，福建专用）高一数学上学期人教A版

期末专题06 三角函数及三角恒等变换 8大高频考点概览 考点01 扇形的弧长及面积公式 考点02 任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系 考点03 诱导公式 考点04 三角恒等变换 考点05 三角函数的图象与性质 考点06 三角函数的伸缩平移变换 考点07 三角函数中的参数范围 考点08 三角函数的应用 地 城 考点01 扇形的弧长及面积公式 1．(24-25高一上·福建福州·期末)已知弧AB的长为，其所对的圆心角，则 cm. 【答案】6 【分析】将已知的弧长和圆心角代入弧长公式，求出半径. 【详解】已知弧长，圆心角， 根据弧长公式，可得.即. 故答案为：6. 2．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)已知一个扇形的面积和周长均为16，则该扇形的圆心角大小为 ．（用弧度制） 【答案】2 【分析】设出圆心角和半径，根据弧长和面积公式得到周长，得到答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 故扇形的弧长为，周长为， 扇形的面积，解得. 故答案为：2 3．(24-25高一上·福建三明·期末)已知扇形的面积为2，则它的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式、弧长公式、周长公式、基本不等式求解即可. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧所对的圆心角为，弧长为，面积为， 则，，即， 所以扇形的周长，当且仅当时取等号， 所以扇形的周长的最小值为. 故答案为：. 4．(24-25高一上·福建泉州·期末)《九章算术》在卷一《方田》题[三五]中提到弧田面积的计算问题.弧田是由圆弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分所示）.有一弧田的弧长为10，且所在的扇形圆心角为2，则该弧田的面积约为（    ） （参考数据：）    A．10 B．12.5 C．13 D．26 【答案】C 【分析】用扇形的面积减去三角形的面积来求得正确答案. 【详解】扇形的半径，面积为， ， 三角形的面积为， 所以弧田的面积约为. 故选：C 5．(24-25高一上·福建龙岩·期末)分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示.已知某勒洛三角形的周长是，则该勒洛三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勒洛三角形的性质与弧长公式，求得等边三角形的边长，利用扇形面积公式以及三角形面积公式，结合图形组合，可得答案. 【详解】设等边的边长为，的长度为，解得， 以为圆心，所得的扇形的面积为， 等边的面积为， 勒洛三角形的面积为. 故选：A. 地 城 考点02 任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系 6．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知，，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】分别根据条件确定所在的象限，即可判断选项. 【详解】由可知，是第一或第三象限角， 由可知，是第二或第三象限角， 所以是第三象限角. 故选：C 7．(24-25高一上·福建福州·期末)已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数定义计算即可. 【详解】根据三角函数定义得到，则. 故选：A. 8．(24-25高一上·福建厦门·期末)“”是“”的（   ）． A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意分析可知等价于，等价于，即可得结果. 【详解】若，等价于，即， 若，等价于， 可知等价于， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：A. 9．(24-25高一上·福建龙岩·期末)若角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义可求得的值. 【详解】因为角终边上一点，所以. 故选：B. 10．(24-25高一上·福建南平·期末)若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充要条件解出或，其中，再来判断必要不充分条件即可. 【详解】由于，所以或，其中， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 11．(24-25高一上·湖南永州宏桦高级中学·期末)求值： (1)； (2) 【答案】(1)11 (2)0 【分析】（1）利用指数和对数的运算法则即可计算求解； （2）利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】（1）原式 . （2）原式 地 城 考点03 诱导公式 12．(24-25高一上·福建漳州·期末)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据点的坐标求出的值，再利用诱导公式求出的值. 【详解】根据三角函数的定义，若角终边上一点，则. 已知点在角的终边上，则. 所以. 根据诱导公式. 因为，所以. 故选：A. 13．(24-25高一上·福建莆田第二中学、仙游第一中学·期末)如图，（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先求出再利用诱导公式化简原式，可得正弦、余弦齐次式，弦化切后代入即可得答案. 【详解】因为，所以 所以 故选：B. 14．(24-25高一上·福建南平·期末)（1）计算的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂和对数的运算求解； （2）法一，利用诱导公式化简式子，根据商数关系弦化切求解；法二，由题可得，代入所求式子得解；法三，由，可得为第一象限角或第三象限角，讨论分别求出得解. 【详解】（1） ； （2）解法一：，则原式； 解法二：，，即， 则原式； 解法三：，为第一象限角或第三象限角， ①当为第一象限角时，，， 则原式； ②当为第三象限角时，，， 则原式. 15．(24-25高一上·福建福州第一中学·)如图所示，在平面直角坐标系中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A，B两点，已知，点B的横坐标为，点C与点B关于x轴对称. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式化简原式为，再弦化切代入即可求解； （2）求出的正弦值与余弦值，根据，利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以 ， （2）因为点B的横坐标为，且B是第二象限单位圆上的点， 所以B的纵坐标为，即， 则， 因为①，②， 由①②结合可得，， 因为点C与点B关于x轴对称，所以， 因为， 16．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)设且，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）由三角函数定义可得正弦，余弦和正切值，利用诱导公式化简得到答案； （2）结合（1），利用诱导公式得到，利用正切差角公式进行计算即可. 【详解】（1）由三角函数定义可得， ，， ； （2） ， 由（1）知，，故， 故. 地 城 考点04 三角恒等变换 17．(24-25高一上·福建泉州·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】， 所以， 所以， ， 所以. 故选：D 18．(24-25高一上·福建厦门·期末) ． 【答案】/0.5 【分析】由诱导公式及二倍角公式即可求解； 【详解】， 故答案为： 19．(24-25高一上·福建厦门·期末)已知，分别为第一、第三象限角，且，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据同角基本关系式求出，，从而逐项判断. 【详解】已知为第一象限角，且， 则，所以， 同理为第三象限角，则， 所以，，C正确，D错误， ，A错误； ，B正确. 故选：BC 20．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】都是锐角，所以， 由， 可得， 由基本不等式有， 所以， 可得或（舍） 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 21．(24-25高一上·福建福州第一中学·)若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 22．(24-25高一上·福建泉州·期末)在平面直角坐标系中，已知角为第一象限角，其终边和单位圆的交点与点关于直线对称，则 . 【答案】 【分析】结合条件及三角函数定义可得，，由此可得，结合二倍角公式求结论. 【详解】由已知点的坐标为，且，， 又点与点关于直线对称， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以， 又为锐角，所以，所以， 所以， 故答案为：. 23．(24-25高一上·福建龙岩·期末)若，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】应用两角和差的正弦及正切公式计算求解得出，最后应用对数运算化简求值. 【详解】因为， 又因为，所以 所以， ， 则. 故选：A. 24．(24-25高一上·福建福建师范大学附属中学·期末)已知，若，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，再利用差角的余弦公式化简得解. 【详解】由，得， 则， 即，所以. 故答案为： 25．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)若，且． （1）当时， ；（2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）代入，得到，并求出，利用诱导公式得到，求出； （2）由三角恒等变换得到，从而，换元得到，求出最小值. 【详解】（1）当时，， 即， ，即，所以， 又，故， 所以，故， 由于， 所以， 所以一种情况是， 解得，满足要求， 还可能，解得，不合要求， 故； （2）， 故， ， 由得， ， 令，则， 当时，，此时，即时，等号成立. 故答案为：， 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为三角函数或二次函数求出最值. 26．(24-25高一上·福建福州·期末)已知为锐角，在下面两个条件中任选一个作为已知条件： ①；②. (1)求； (2)已知，，. （i）求； （ii）求的最小值，并求出此时的值. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)； (2)（i）; （ii），最小值为. 【分析】（1）选①，根据已知可得，再由同角三角函数的关系求，选②，由已知及同角三角函数的关系得，再由二倍角正切公式求； （2）（i）法一：由和角正切公式及已知（1）的结果，列方程求，法二：应用差角正切公式求即可；（ii）将目标式化为或，再应用基本不等式求最值，注意取值条件. 【详解】（1）选①，因为，所以， 因为，所以，得， 故，则. 选②，因为，所以， 因为，所以， 所以，则. （2）（i）法一：因为， 由（1）知，则，解得. 法二：由（1）知，因为， 所以； （ii）法一： ， 当且仅当时，即时，的值最小，最小值为. 法二： 当且仅当时，即时，的值最小，最小值为. 27．(24-25高一上·福建龙岩·期末)已知函数. (1)若，且，求的值； (2)若，且，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二倍角公式和诱导公式化简得，再利用同角三角函数基本关系求得，即可得解； （2）结合已知角的范围及同角三角函数基本关系求得，，然后利用两角差的正弦公式求得，然后根据角的范围求解角即可. 【详解】（1）， 由，得，又，所以，所以. （2）由得，所以， 又，所以. 由于，故，，， 所以，，故， ， 所以 ， 又因为，故. 28．(24-25高一上·福建南平·期末)如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且. (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，利用三角函数定义可得，，由，结合诱导公式求解； （2）根据（1）得，则，令，，换元上式可得，，利用二次函数单调性求出答案. 【详解】（1）因为单位圆上点的横坐标，且点在第一象限， 所以点，即有，， 因为且为锐角，为钝角， 所以 ， 所以. （2）由（1）知，， 则， 设，则， 因为，所以， 则，所以， 因为 所以， 所以，， 所以的取值范围为. 29．(24-25高一上·福建三明·期末)在平面直角坐标系中，角，的顶点为，始边为轴的非负半轴，终边分别过点，． (1)求，的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由角终边过点的坐标求得，由正切的和差角公式求得的值；由的终边上点的坐标，求得的值． （2）由诱导公式和二倍角公式化简代数式，然后将齐次式化简为含有的式子，代入（1）中的结果即可. （3）由的终边的点坐标，求得，然后得到的值，通过的范围求得的值． 【详解】（1）因为的终边过点， 所以． 所以． 因为的终边过点， 所以． （2） ． （3）因为的终边过点， 所以． 所以 ． 因为，且，， 所以，， 所以． 所以． 地 城 考点05 三角函数的图象与性质 30．(24-25高一上·福建龙岩·期末)函数（，）在一个周期内的如图所示，则 .    【答案】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求出的值． 【详解】根据函数（，）在一个周期内的图像， 可得,解得， 再根据最高点的坐标，可得, 结合的范围，可得，所以， 所以， 故选： 31．(24-25高一上·福建福州第一中学·)函数，的定义域为 . 【答案】 【分析】由二次根式中被开方数非负及正弦函数性质可得答案． 【详解】由，得， 因为，所以， 所以的定义域为. 故答案为：. 32．(24-25高一上·福建龙岩·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．将函数上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的 C．的一个对称中心是 D．当时，函数的值域是 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质判断ACD；利用平移变换求出解析式判断B. 【详解】对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，是的对称中心，C正确； 对于D，当时，，，D错误. 故选：AC 33．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．函数的零点为 B．当时，不等式的解集为 C．当时，函数的单调递减区间为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】A选项，利用辅助角公式得到，整体法求出函数零点；B选项，先求出，不等式变形为，结合图象得到不等式，求出解集；C选项，结合图象得到，求出单调递减区间；D选项，利用三角恒等变换得到. 【详解】A选项，， 令，解得， 故的零点为，A正确； B选项，时，， ， 故，解得，B正确； C选项，时，， 令，解得，C正确； D选项， ， 因为，所以，D错误. 故选：ABC 34．(24-25高一上·福建泉州·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．在区间上的取值范围为 D．使得成立的的取值集合为 【答案】ACD 【分析】已知三角函数解析式，得到即可得到函数周期，判断A选项；令解得区间即是函数单调递增区间，从而判断出B选项：由单调区间可以求得函数在区间上的值域，判断C选项；先求出的解，由函数单调性即可得到的解集，判断D选项. 【详解】由解析式知道，则周期，故A选项正确； 令，解得， ∴在区间上单调递增，在上递减，故B选项错误； 当时，，即，故C选项正确； 令，解得或， 由函数单调性可知成立的的取值集合为，故D选项正确. 故选：ACD. 35．(24-25高一上·福建莆田第二中学、仙游第一中学·期末)（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．将的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数的图象对称中心为 【答案】BC 【分析】根据函数图象求出函数的解析式逐项判断可得正确答案. 【详解】A.由图象可得，最小正周期，∴， 将点代入得，，∴， ∵，∴，故，选项A错误. B.，由得， 由在上单调递增得，，解得， ∴的取值范围为，选项B正确. C.由得，，即， ∴，故不等式的解集为，选项C正确. D. 将的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数图象对称中心的纵坐标为2，选项D错误. 故选：BC. 36．(24-25高一上·福建福州·期末)（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．与的图象存在相同的对称轴 B．与的值域相同 C．与存在相同的零点 D．与的最小正周期相同 【答案】BC 【分析】根据正余弦函数的性质判断A、B、D；特殊值法有为共同零点判断C. 【详解】对于对称轴为， 对于对称轴为， 若存在相同的对称轴，则，而， 所以不可能成立，A错； 、值域均为，最小正周期分别为，B对，D错； ，显然为与共同零点，C对. 故选：BC 37．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)中，下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】A选项，由诱导公式可得；B选项，由余弦函数单调性可得B正确；C选项，举出反例；D选项，平方，求出，并得到，求出，开方得到答案. 【详解】A选项，由诱导公式得，结论正确； B选项，在上单调递减，又，， 则，结论正确； C选项，若，则，故，结论错误； D选项，若两边平方得， 即， 因为，，所以，， ， 所以，结论正确 故选：C 38．(24-25高一上·福建福州第一中学·)（多选）已知函数（，）的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形ACBD为平行四边形，且面积为，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】BC 【分析】设，由四边形为平行四边形，可得，由可得；将点代入，可得，再依次求其性质，即可判断. 【详解】由四边形为平行四边形可知，，设，则， 所以，所以，解得，则周期为，A错误； 则，将点代入得， ，即，由于点在的增区间上， 所以，，则，， 所以，故B正确； 当时，，由正弦函数性质， 在区间上单调递增，C正确； 由于， 所以直线不是函数的对称轴，D错误. 故选：BC 39．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数． B．的图象关于直线对称． C．当且时，在内恰有2025个零点． D．，，则的最大值为． 【答案】BCD 【分析】A选项，当时，，A错误；B选项，，B正确；C选项，令得，又，解得或，的解个数为1013个，的解个数为1012个，故C正确；D选项，令，则在上恒成立，分，和三种情况，得到的最大值为，D正确. 【详解】A选项，，定义域为R， 若，则，满足， 此时为偶函数， 若，则， 此时不为偶函数，A错误； B选项，， 故的图象关于直线对称，B正确； C选项，当且时，， 令得，又，解得或， ，解得，又， 故，有1013个解， ，在上，有两个解，设为， 又，故或，， 故此时有个解， 综上，或，共有个解， 在内恰有2025个零点，C正确； D选项，，， 令，则在上恒成立， 令，对称轴为， 若，即时，在上单调递增， 故只需，，，， 故，当时，等号成立， 若，即时，在上最小值为， 故只需，即， 故， 当且仅当时，等号成立， 若，即时，在上单调递减， 故只需，，，故， ，当且仅当时，等号成立， 综上，的最大值为，D正确. 故选：BCD 【点睛】知识点点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称 40．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)已知， (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)解不等式； (3)若为锐角，且，求的值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为； (2) (3) 【分析】（1）利用辅助角公式得到，根据求出最小正周期，整体法求出单调递增区间； （2）在（1）基础上，得到不等式，数形结合得到解集； （3）在（1）基础上，得到，由同角三角函数关系和角的范围求出，凑角法，结合余弦差角公式求出答案. 【详解】（1）， 故的最小正周期， 令， 解得， 故的单调递增区间为； （2）由（1）知，，即， 故，解得， 所以的解集为； （3）由（1）得，即， 因为为锐角，所以，故， 当时，， 而，故，所以， 则， . 41．(24-25高一上·福建三明·期末)已知函数，其中，且的最大值为3． (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值； (3)将函数的图象向右平移个长度单位，得到函数的图象．若为定值，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3)． 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用已知条件，且的最大值为3，从而求得的值； （2）由（1）知求得，利用整体代替法以及正弦函数单调性即可求得最值； （3）利用平移规则可得.设，通过三角恒等变换化简可得.通过分析可知，若时，不为定值；当，即时，，即可求得的最小值. 【详解】（1） ． 其中，． 因为的最大值为3， 所以， 所以． 因为，所以． （2）由（1）知，． 因为，， 所以． 所以． 因为，所以， 当即时，， 当即时，； （3）依题意， 设． 所以 ． 若，取，， ，， 则，即． 所以，当时，不为定值． 当，即时，． 此时，为定值2． 因为， 所以，的最小值为． 42．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知函数的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先化简函数的解析式，根据周期求，再利用代入法求函数的值域； （2）根据（1）的结果，代入求得，再利用换元，以及二倍角公式，两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1） ， 因为函数的最小正周期为，所以，得， 所以， ，则，所以， 所以函数的值域是； （2）， 设，，则，，所以， 所以， . 43．(24-25高一上·福建厦门·期末)已知函数． (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 x (2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标． 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】（1）填写表格，再利用五点法进行作图即可； （2）根据三角函数图象平移变换求出的解析式，利用正弦函数单调性和对称性进行求解即可． 【详解】（1） 0 x 0 2 0 0 （2）易知， 令，解得， 所以的单调递增区间为． 令，解得， 所以对称中心的坐标为 44．(24-25高一上·福建福建师范大学附属中学·期末)已知函数 (1)求出函数的单调减区间； (2)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像； (3)当时，求曲线与的交点个数．（请直接写出答案） 【答案】(1)； (2)作图见解析； (3)2. 【分析】（1）利用正弦函数的单调递减区间列出不等式并求解即得. （2）通过列表得函数在内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出图. （3）在同一坐标系内作出两个函数在上的图象，观察图象即可得解. 【详解】（1）函数，由， 得， 所以函数的单调减区间是. （2）列表： 0 1 2 0 0 1 描点，连线，画出在上的大致图象如图： （3）在同一坐标系内作出函数与在的图象，如图： 观察图象，曲线与的交点个数为2. 45．(24-25高一上·福建泉州·期末)已知函数其中. (1)当时， （i）按关键点列表，并画出函数的简图； （ii）写出的单调区间； (2)是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（i）答案见解析；（ii）单调递增区间：；单调递减区间： (2)存在实数，证明见解析 【分析】（1）利用五点作图法来画出图象，根据图象写出单调区间. （2）由来进行判断和证明 【详解】（1）（i）当时，列表如下： 0 0 1 0 1 2 描点如图： （ii）由图可知，单调递增区间：； 单调递减区间：. （2）存在实数，使得的图象是中心对称图形； 对称中心为. 下证明：①对于任意. 所以 ； ②对于任意，. 所以 ； 综上所述，存在实数，使得的图象关于中心对称. 46．(24-25高一上·福建龙岩·期末)已知函数，其中，. (1)若，且是函数的一条对称轴，求的最小值； (2)若，且存在，，使成立，求的取值范围； (3)若，，且不等式对恒成立，求的值. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）先利用辅助角公式化简函数，再根据正弦函数对称轴列式求解即可； （2）结合函数的最大值为，令，由题意转化为函数在区间上至少存在两个最大值点，根据正弦函数的性质列不等式求解即可； （3）问题转化为：不等式对恒成立，分类讨论研究的函数值符号，转化为当或时，，当时，，设函数，根据对称性得，由求得，即可得解. 【详解】（1）当时，，由已知得， 得，由，故当时，有最小正值3； （2）当时，，其最大值为， 由已知条件，存在，，令， 则函数在区间上至少存在两个最大值点， 则，即，所以的取值范围为； （3）时，问题转化为： 不等式对恒成立， 由，则， 当或时，即或时，， 当时，即时，， 所以当或时，， 当时，， 设函数，则在上单调递增，在上单调递减， 且函数的关于直线对称，所以， 所以，解得， 又由，解得， 所以. 47．(24-25高一上·福建福州第一中学·)定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 【答案】(1)不具有性质，具有性质. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据性质的定义，结合两个函数的解析式，即可判断； （2）（ⅰ）结合性质的定义，根据特殊值，即可判断，再根据定义得到，，并推导出，并求的值，（ⅱ） 【详解】（1）， ， 所以，所以不具有性质， ， ， 所以，所以具有性质. （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得，，， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为，所以， 则，，则， 验证：当时，， 则对任意，， ， 所以等式成立， 故存在，使得具有性质. （ⅱ），所以， ，， 由，得 即， 即， 即， 即， 因为对任意的，当时，恒成立， 所以对任意的，当时，，恒成立， ，，不妨设， 则问题转化为在区间上单调递减， 所以，解得： 地 城 考点06 三角函数的伸缩平移变换 48．(24-25高一上·福建漳州·期末)某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据表格中的数据，列出关于的方程组，解方程组得出函数的解析式，根据三角函数图象的变换规则即可得出结果. 【详解】由表中的数据可得， ，解得， 所以， 将图象向左平移单位后， 得到的图象. 故选：A 49．(24-25高一上·福建福州第一中学·)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象关于原点对称，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的平移变换求出函数的图象，然后利用函数的对称性求得的关系式，即可得出答案. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 因为函数图象关于原点对称，， 所以，所以的值可以是. 故选：B. 50．(24-25高一上·福建福建师范大学附属中学·期末)的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的值域为 ． 【答案】 【分析】求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求出值域. 【详解】依题意，， 当时，，，则， 所以在区间上的值域为. 故答案为： 51．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为偶函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换得到，利用伸缩变换和平移变换得到，由为偶函数得到方程，求出，得到最小值. 【详解】， 所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到， 向左平移个单位长度，得到函数， 因为为偶函数，所以，解得， 故的最小值为. 故答案为： 52．(24-25高一上·福建南平·期末)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调 D．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 【答案】ABD 【分析】由周期公式计算可得A正确，利用代入检验法可判断B正确，根据正弦函数单调性利用整体代换可求得C错误，由平移规则计算可判断D正确. 【详解】对于A，由周期公式计算可得函数的最小正周期为，即A正确； 对于B，将代入检验可得， 因此函数的图象关于点对称，即B正确； 对于C，当时，； 易知在上不单调，所以C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得到，即D正确. 故选：ABD 53．(24-25高一上·福建福州·期末)已知函数. (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； x 0 y 0 (2)将图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式，并写出曲线的一个对称中心. 【答案】(1)表格见解析，作图见解析； (2)，一个对称中心为. 【分析】（1）完善题干的表格，应用五点法画出函数图象； （2）根据函数图象的平移写出解析式，再由正弦型函数的性质及整体法求对称中心. 【详解】（1）列表得 0 y 0 2 0 0 再描点，得图象如下， （2）将图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象， 再将其各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 故的解析式为. 由，得，故函数图象的一个对称中心为. 地 城 考点07 三角函数中的参数范围 54．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，根据正弦图象，得到不等式，求出答案. 【详解】，时，， 由于在区间上有最大值，没有最小值， 故，解得. 故选：A 55．(24-25高一上·福建福州·期末)已知函数的图像与轴交点的纵坐标为，且在区间上无最大值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图像与轴交点求出，由函数在区间上有最大值，求出的取值范围，从而知道函数在区间上无最大值时的取值范围. 【详解】由条件得，又，得，所以. 由，解得. 若在区间上存在最大值，则，解得， 则，所以若在上无最大值，的取值范围为， 故选：D. 56．(24-25高一上·福建漳州·期末)已知函数的图象过点，且在区间单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据已知点求出的值，再根据单调递增区间列出关于的不等式求解. 【详解】因为函数的图象过点，代入函数可得： ，即. 又因为，所以，则函数. 对于余弦函数，其单调递增区间为. 那么对于函数，有. 解不等式可得：. 解不等式可得：. 因为在区间单调递增，所以. 由可得：. 由可得：. 因为，所以，解得，所以. 故答案为：. 57．(24-25高一上·福建南平·期末)已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由，可得，所以，从而求出的取值范围． 【详解】 ，， ∵函数在区间上有且仅有4个零点， ，解得， 即的取值范围是 故答案为： 58．(24-25高一上·福建福建师范大学附属中学·期末)（多选）已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】据中心对称即可求值A；由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期判断B正确；举例说明判断判断C；结合已知单调区间得出范围判断D. 【详解】对于A，由及在上单调递减， 得的图象关于点对称，因此，A正确； 对于B，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数， 即，解得，，而周期，则， 又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个，B正确； 对于C，，取，函数在上单调递减， 即也满足要求，C错误； 对于D，依题意，为单调递减区间的子集， 则，其中，解得，， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，D正确. 故选：ABD 地 城 考点08 三角函数的应用 59．(24-25高一上·福建福建师范大学附属中学·期末)摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min．甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是 ． 【答案】17 【分析】根据给定条件，设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，借助对称性求出，再结合两个相邻座舱对应弧所对圆心角即可得解. 【详解】设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，，只需考查旋转的第一周内即可， 而摩天轮的座舱每分钟转动，则乙家庭的座舱转过的弧度数为， 摩天轮的两个相邻座舱中点间的圆弧所对圆心角为，甲家庭的座舱转过的弧度数为， 依题意，甲乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，则， 整理得，当且仅当时取等号， 所以的最小值是17. 故答案为：17 60．(24-25高一上·福建厦门·期末)如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度之比为 ．若，则关于t的一个函数解析式为 ． 【答案】 （或2） （答案不唯一）． 【分析】做圆周运动的质点在相同时间内运动的弧长相等，通过计算可求的角速度之比，利用待定系数法设，利用周期、振幅、相位等概确定三角函数表达式中的参数即可求得结果. 【详解】因为做圆周运动的质点在单位时间t内运动经过的弧长，且和在相同时间内运动的弧长相等，所以和在运动的角速度之比等于运动半径之比的倒数，即， 所以周期之比为二者的旋转方向相反． 设，由可知． 又因为的值域为，所以齿轮A的半径为1，的取值范围为． 所以，解得． 当时，，得， 所以．． 故答案为：（或2）；（答案不唯一）． 61．(24-25高一上·福建漳州·期末)长泰摩天轮位于长泰天柱山，是欢乐大世界的地标式游乐设施，被誉为“长泰之眼”．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值． 【答案】(1)，； (2)6分钟 (3)米． 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简，根据化简结果结合三角函数的最值求解出. 【详解】（1）， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以，， 所以，； （2）由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程； （3）由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 62．(24-25高一上·福建福州第一中学·)为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，. (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用锐角三角函数的定义求出 、 的长，然后根据面积公式算出 的面积； （2）根据题意，用关于 的三角函数式表示出三角形区域 的面积 ，然后根据换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质求出三角形区域 面积的最大值. 【详解】（1）设 与 相交于点 ，则 ， 可得 ， ， 因为 等于 到 的距离， 所以， 即 的面积为 . （2）过点 作 于点 ，则 ， 且三角形区域 面积为 ， 设 ，由 ，得 所以 ， 结合 ，可得 当 时， 取得最大值， 即三角形区域 面积的最大值为 . 63．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)某小区南门有条长100米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长5米、宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，小区保安李师傅提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中． (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 【答案】(1)，； (2)，； (3)11 【分析】（1）利用几何关系得到，从而，； （2）表达出各边长，得到，； （3）由得到，再构造对偶式，求出，设改造后停车位数量最大值为，作出辅助线，得到，从而得到不等式，求出，故取，则该路段改造后的停车位比改造前增加个. 【详解】（1）由题意得，，， 故，故， 当时，， 故，； （2）由（1）可得，， ，， （3）令，则， 即①， 设②， 式子得，解得， 当时，，解得， 因为，所以，而，不合要求，舍去； 当时，，解得，满足要求， 此时， 设改造后停车位数量最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为， 则顶点到线段距离为， 由图及题意可得，， 由（1）可得， 故， ，， 故， 由，解得，故取， 则该路段改造后的停车位比改造前增加个. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专题06 三角函数及三角恒等变换 8大高频考点概览 考点01 扇形的弧长及面积公式 考点02 任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系 考点03 诱导公式 考点04 三角恒等变换 考点05 三角函数的图象与性质 考点06 三角函数的伸缩平移变换 考点07 三角函数中的参数范围 考点08 三角函数的应用 地 城 考点01 扇形的弧长及面积公式 1．(24-25高一上·福建福州·期末)已知弧AB的长为，其所对的圆心角，则 cm. 2．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)已知一个扇形的面积和周长均为16，则该扇形的圆心角大小为 ．（用弧度制） 3．(24-25高一上·福建三明·期末)已知扇形的面积为2，则它的周长的最小值为 ． 4．(24-25高一上·福建泉州·期末)《九章算术》在卷一《方田》题[三五]中提到弧田面积的计算问题.弧田是由圆弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分所示）.有一弧田的弧长为10，且所在的扇形圆心角为2，则该弧田的面积约为（    ） （参考数据：）    A．10 B．12.5 C．13 D．26 5．(24-25高一上·福建龙岩·期末)分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示.已知某勒洛三角形的周长是，则该勒洛三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系 6．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知，，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．(24-25高一上·福建福州·期末)已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·福建厦门·期末)“”是“”的（   ）． A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．(24-25高一上·福建龙岩·期末)若角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·福建南平·期末)若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．(24-25高一上·湖南永州宏桦高级中学·期末)求值： (1)； (2) 地 城 考点03 诱导公式 12．(24-25高一上·福建漳州·期末)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高一上·福建莆田第二中学、仙游第一中学·期末)如图，（    ）    A． B．2 C． D．3 14．(24-25高一上·福建南平·期末)（1）计算的值； （2）已知，求的值. 15．(24-25高一上·福建福州第一中学·)如图所示，在平面直角坐标系中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A，B两点，已知，点B的横坐标为，点C与点B关于x轴对称. (1)求的值； (2)求的值. 16．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)设且，求的值． 地 城 考点04 三角恒等变换 17．(24-25高一上·福建泉州·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 18．(24-25高一上·福建厦门·期末) ． 19．(24-25高一上·福建厦门·期末)已知，分别为第一、第三象限角，且，则（   ）． A． B． C． D． 20．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 21．(24-25高一上·福建福州第一中学·)若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 22．(24-25高一上·福建泉州·期末)在平面直角坐标系中，已知角为第一象限角，其终边和单位圆的交点与点关于直线对称，则 . 23．(24-25高一上·福建龙岩·期末)若，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 24．(24-25高一上·福建福建师范大学附属中学·期末)已知，若，则 ． 25．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)若，且． （1）当时， ；（2）的最小值为 ． 26．(24-25高一上·福建福州·期末)已知为锐角，在下面两个条件中任选一个作为已知条件： ①；②. (1)求； (2)已知，，. （i）求； （ii）求的最小值，并求出此时的值. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 27．(24-25高一上·福建龙岩·期末)已知函数. (1)若，且，求的值； (2)若，且，，求的值. 28．(24-25高一上·福建南平·期末)如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且. (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的取值范围. 29．(24-25高一上·福建三明·期末)在平面直角坐标系中，角，的顶点为，始边为轴的非负半轴，终边分别过点，． (1)求，的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 地 城 考点05 三角函数的图象与性质 30．(24-25高一上·福建龙岩·期末)函数（，）在一个周期内的如图所示，则 .    31．(24-25高一上·福建福州第一中学·)函数，的定义域为 . 32．(24-25高一上·福建龙岩·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．将函数上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的 C．的一个对称中心是 D．当时，函数的值域是 33．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．函数的零点为 B．当时，不等式的解集为 C．当时，函数的单调递减区间为 D．函数的值域为 34．(24-25高一上·福建泉州·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．在区间上的取值范围为 D．使得成立的的取值集合为 35．(24-25高一上·福建莆田第二中学、仙游第一中学·期末)（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．将的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数的图象对称中心为 36．(24-25高一上·福建福州·期末)（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．与的图象存在相同的对称轴 B．与的值域相同 C．与存在相同的零点 D．与的最小正周期相同 37．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)中，下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 38．(24-25高一上·福建福州第一中学·)（多选）已知函数（，）的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形ACBD为平行四边形，且面积为，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称 39．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数． B．的图象关于直线对称． C．当且时，在内恰有2025个零点． D．，，则的最大值为． 40．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)已知， (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)解不等式； (3)若为锐角，且，求的值． 41．(24-25高一上·福建三明·期末)已知函数，其中，且的最大值为3． (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值； (3)将函数的图象向右平移个长度单位，得到函数的图象．若为定值，求的最小值． 42．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知函数的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)若，，求的值. 43．(24-25高一上·福建厦门·期末)已知函数． (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 x (2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标． 44．(24-25高一上·福建福建师范大学附属中学·期末)已知函数 (1)求出函数的单调减区间； (2)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像； (3)当时，求曲线与的交点个数．（请直接写出答案） 45．(24-25高一上·福建泉州·期末)已知函数其中. (1)当时， （i）按关键点列表，并画出函数的简图； （ii）写出的单调区间； (2)是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由. 46．(24-25高一上·福建龙岩·期末)已知函数，其中，. (1)若，且是函数的一条对称轴，求的最小值； (2)若，且存在，，使成立，求的取值范围； (3)若，，且不等式对恒成立，求的值. 47．(24-25高一上·福建福州第一中学·)定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 地 城 考点06 三角函数的伸缩平移变换 48．(24-25高一上·福建漳州·期末)某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 49．(24-25高一上·福建福州第一中学·)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象关于原点对称，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 50．(24-25高一上·福建福建师范大学附属中学·期末)的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的值域为 ． 51．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为偶函数，则的最小值为 ． 52．(24-25高一上·福建南平·期末)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调 D．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 53．(24-25高一上·福建福州·期末)已知函数. (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； x 0 y 0 (2)将图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式，并写出曲线的一个对称中心. 地 城 考点07 三角函数中的参数范围 54．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（    ） A． B． C． D． 55．(24-25高一上·福建福州·期末)已知函数的图像与轴交点的纵坐标为，且在区间上无最大值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 56．(24-25高一上·福建漳州·期末)已知函数的图象过点，且在区间单调递增，则的取值范围为 ． 57．(24-25高一上·福建南平·期末)已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围为 . 58．(24-25高一上·福建福建师范大学附属中学·期末)（多选）已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 地 城 考点08 三角函数的应用 59．(24-25高一上·福建福建师范大学附属中学·期末)摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min．甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是 ． 60．(24-25高一上·福建厦门·期末)如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度之比为 ．若，则关于t的一个函数解析式为 ． 61．(24-25高一上·福建漳州·期末)长泰摩天轮位于长泰天柱山，是欢乐大世界的地标式游乐设施，被誉为“长泰之眼”．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值． 62．(24-25高一上·福建福州第一中学·)为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，. (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值. 63．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)某小区南门有条长100米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长5米、宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，小区保安李师傅提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中． (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $