精品解析：福建省厦门海沧中学2024-2025学年高一上学期期末适应性练习数学试题

海沧中学2024—2025学年高—上学期期末适应性练习 数学试题 考试时间：120分钟；满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列不等式中成立的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 3 （ ） A B. C. D. 4. 已知，，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（ ） A. 1.8 B. 2.8 C. 3.8 D. 4.8 7. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个零点，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分. 9. （多选）下列三角函数值为正值的是（ ） A. B. C. D. 10. 成立一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的值域为 C. 函数是周期函数 D. 函数是减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为______弧度. 13. 若函数是函数（）的反函数，且的图象经过点，则________． 14. 如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面______.米 四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明、证明步骤或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上函数，且的图象经过点． （1）求的表达式； （2）用单调性定义证明函数在上为增函数； 16. 函数的图象上相邻两个最高点的距离为，其中一个最高点坐标为. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的单调递增区间. 17. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，求的值； （3）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求的取值范围． 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数是否是在上的“美好函数”，并说明理由； （2）已知函数是在上的“美好函数”，求的值； （3）已知函数是在上的“美好函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海沧中学2024—2025学年高—上学期期末适应性练习 数学试题 考试时间：120分钟；满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集、补集的定义直接求解. 【详解】由集合，，得， 而全集，所以. 故选：D 2. 下列不等式中成立的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用特值法和不等式的性质即可一一判断各选项. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，由不等式性质可知，故B正确； 对于C，若，取，得，则，故C错误； 对于D,若且，取，得，则，故D错误. 故选：B. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式直接化简求解即可. 【详解】． 故选：D 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数与指数的互化求出，再利用对数的运算法则求解即可. 【详解】因为，，所以，， 所以， 所以， 故选：A 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因，，， 即， 所以. 故选：D 6. 若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（ ） A. 1.8 B. 2.8 C. 3.8 D. 4.8 【答案】A 【解析】 【分析】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间. 【详解】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 7. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据三角函数的定义，求出的值，得到的值，结合两角差的正切公式，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点， 因为， 所以且，解得， 所以，则． 故选：D． 8. 已知函数有两个零点，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】条件化为与的两个交点横坐标分别为，，数形结合得到，应用对勾函数的性质求目标式的范围. 【详解】由函数有两个零点，， 所以与的两个交点横坐标分别为，， 结合图象知，，， ，则， 所以， 则， 令，则，， 又在区间上单调递减，所以， 所以. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分. 9. （多选）下列三角函数值为正值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，判断符号. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确． 故选：ACD 10. 成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】解分式不等式，再由充分不必要条件的概念得解. 【详解】由 ， 所以成立的一个充分不必要条件为的真子集即可， 结合选项可知AD符合. 故选：AD 11. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的值域为 C. 函数是周期函数 D. 函数是减函数 【答案】BC 【解析】 【分析】结合函数性质逐项判断即可得. 【详解】对A：当，则， 当，则， 故函数的值域为，故A错误； 对B：当，则，， 当，则，， 即函数的值域为，故B正确； 对C：， 故函数周期函数，故C正确； 对D：由函数是周期函数，故函数不是减函数，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为______弧度. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式列式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 由题意可得，解得， 所以该扇形的圆心角大小为2弧度. 故答案为：2. 13. 若函数是函数（）的反函数，且的图象经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的解析式，再代入求值即可. 【详解】由函数是函数（）的反函数，得， 又函数的图象经过点，则，因此， 所以. 故答案为： 14. 如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面______.米 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的应用建立距离水平地面的高度关于的关系式，再代入即可得解. 【详解】依题意，设距离水平地面的高度， 所以，，则， 所以， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明、证明步骤或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的函数，且的图象经过点． （1）求的表达式； （2）用单调性定义证明函数在上增函数； 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接将点代入求出参数，即可求出函数解析式； （2）利用单调性的定义证明函数单调性即可. 【小问1详解】 将点代入可得，解得， 所以； 【小问2详解】 设是区间上的任意两个数，且，则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上为增函数. 16. 函数的图象上相邻两个最高点的距离为，其中一个最高点坐标为. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的单调递增区间. 【答案】（1）； （2）和. 【解析】 【分析】（1）由函数图象上相邻两个最高点的距离为得到最小正周期 ，利用求出，由为其中一个最高点得到，结合解出，为其中一个最高点得到，从而得到 ； （2）由求出的范围，在的范围内求出单调递增的的范围，计算出的范围即为所求. 【小问1详解】 函数的图象上相邻两个最高点的距离为， ，，，， 为其中一个最高点，， ，，， 为其中一个最高点，， ； 【小问2详解】 ，， ，或时，为单调递增函数， 解得或， 故在区间上的单调递增区间为，. 17. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇函数定义证明即可； （2）问题等价于，再转化为二次函数恒小于等于0解之即可. 【小问1详解】 由得，即的定义域为， 所以的定义域关于原点对称. 又， 所以函数是奇函数. 【小问2详解】 因为和在上分别是增函数和减函数， 所以在上为增函数， 所以在上的最小值为. 由题知对恒成立， 即对恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，求的值； （3）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，再由及二倍角公式计算可得； （3）首先求出解析式，依题意可得与在上有两个交点，分析在上的单调性与取值，即可求出的范围. 【小问1详解】 因为 ， 所以的最小正周期； 【小问2详解】 由，得，即， 故 . 【小问3详解】 将函数图象上所有点向右平移个单位长度得到， 再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到 ， 所以， 因为函数在上有两个零点， 即与在上有两个交点， 因为，故， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 且当时，当时， 当时， 所以，解得， 故函数在上有两个零点，实数的取值范围为. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数是否是在上的“美好函数”，并说明理由； （2）已知函数是在上的“美好函数”，求的值； （3）已知函数是在上的“美好函数”，求的值. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出函数的最值，即可判断； （2）首先判断函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得到方程，解得即可； （3）结合函数单调性的定义及对勾函数的性质得到函数的单调性，再对分类讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可. 【小问1详解】 因为，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，， 则， 所以不是在上的“美好函数”； 【小问2详解】 因为，， 则在上单调递减，所以，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以，解得. 【小问3详解】 函数的定义域为， ，所以为奇函数， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 其中在上单调递减的证明如下： 设， 则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上单调递减. 当，即时在上单调递减，则，， 所以，解得或（舍去），所以， 即在上为“美好函数”； 当时在上单调递增，则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即，解得 或， 因为，， 所以当时，在的最小值为，最大值不可能为，故不符合题意； 当，即时在上单调递减，则，， 所以，解得（舍去）或，所以， 即在上为“美好函数”； 当时，即时，在上单调递增，则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即，解得 或， 因为，， 所以当时，在的最大值为，最小值不可能为，故不符合题意； 综上可得或. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解所给“美好函数”的定义，结合函数的单调性求出函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $