期末专题03 函数的概念与函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）10大考点（期末真题汇编，福建专用）高一数学上学期人教A版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 期末专题03函数的概念与函数的基本性质 (单调性、奇偶性、周期性、对称性) ☆10大高频考点概览 考点01求函数值 考点02函数的定义域 考点03函数的值域 考点04函数相等 考点05直接判断函数单调性、奇偶性 考点06定义法证明函数的单调性 考点07根据函数的单调性、奇偶性求参数值 考点08根据函数的单调性、奇偶性解不等式 考点09函数性质的综合应用 考点10函数新定义 目目 考点01 求函数值 x+3,x<1 1.(24-25高一上福建福州期末)已知函数f(x)= x2,x21,则ff0)=() A.0 B.3 C.6 D.9 {2-3xx>0,则-2)=() f(x+2),x≤0 2.(24-25高一上·福建莆田第一中学期末)设函数f(x)= A.-4 B.-2 C.0 D.2 目目 考点02 函数的定义域 3.(24-25高一上福建泉州期末)使得f(x)=】+斥有意义的x的取值集合为」 4.(24-25高一上·福建漳州期末)函数f(x)=√2-1og2x的定义域为」 5.(24-25高一上福建福州第一中学)函数f(x)=√2sinx-1,xe[0,2π的定义域为 1/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高一上·福建三明期末)函数y= n3-)的定义域为 Vx-1 7.(24-25高一上福建福州期末)已知函数f()=16g:1+ 1-x (1)求函数f(x)的定义域： (2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)若f(m)-f(-m)<2,求m的取值范围. 8.(24-25高一上福建泉州第五中学期末)已知函数f(x)=log2x2-2ax+a), (1I)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围； (2)x∈山，2]，f()≥0，求实数a的取值范围： (3)已知函数g(x)=log2(x-1),若F(x)=f(x)-g(x)恰有一个零点，求实数a的取值范围. 目目 考点03 函数的值域 9.(24-25高一上福建厦门期末)设a>0,且a≠1，若函数f(x)= a-a,x≤l 的值域为R,则a的取 -x2+2ax,x>1 值范围是()· A.[2,+0) B c D.1,2] 10.(24-25高一上福建泉州期末)若函数f(x)= 1og2(x+2),-2<x<2, 的值域为R,则m的取值范围是() x2-2m.x,x≥2 A 2 B.-0,2 D.2,+0 11.(24-25高一上·福建莆田第一中学期末)设函数f(x=a+b同时满足条件f(0)=-1和对任意x∈R都有 fx+1)=2fx)+2成立. (1)求∫(x的解析式： (2)求g(x)=V1-log2f(x的定义域和值域； 1,x∈[0,1 (3)若x= 0g,x-1,x∈仙，+o)'求使得h)=1成立的整数x的取值的集合。 12.(23-24高一上安微黄山期末)已知函数f)=√ogx-2-1· (I)求函数f(x)的定义域及其值域： 2/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若方程og!x-mf(x)=0有两个不同的实数根，求m的取值范围。 目目 考点04 函数相等 13.(24-25高一上福建漳州期末)下列各组函数中，表示同一个函数的是（) A.f)=RF与gx)=x B.fx=1与gx=x-1 x+1 C.f(x)=F与g(x=xW D.f(x=x°与gx)=1 14.(24-25高一上福建三明期末)（多选)下列各组中的f(x)与g(x)为同一个函数的是() A.fx)=x°与gx=1 B.f(x)=lne与g(x)=x c1a=-可与a-k到 D.f(x)=Vx2-1g(x)=Vx-1.x+1 目目 考点05 直接判断函数单调性、奇偶性 15.(24-25高一上福建泉州期末)下列函数中，既是奇函数又 [ 上单调递增的是() A.y=x B.y=sinx C.y=cosx D.y=tanx 目目 考点06 定义法证明函数的单调性 16.(2425高一上福建龙岩期末)已知函数fx)=2x+1 (1)用定义法证明函数f(x)在区间[1，+o∞)上单调递增： (②对任意的xe[l,5列都有-2+21+6≤f)+9 成立，求实数t的取值范围 f(x)1 17.2425商-上相建泉州期术已知函数f=a-3二xeR)为奇函数 (1)求实数a,判断并根据定义证明∫(x)的单调性； 3/8 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)求不等式fx2-2x)+f(x-2)<0的解集 18.(24-25高一上福建南平期末)已知函数fx)=a+ka(k∈R,0<a<1)是定义域为R的奇函数 (1)求k的值： (2)判断函数∫x)的单调性，并根据定义证明； 2π (3)是否存在实数1，对任意x∈0， 有f(cos2x+f2sinx-2)>0.若存在，求的取值范围；若不存 3 在，请说明理由 19.(24-25高一上·福建漳州期末)如图，已知直线/112，A是4,2之间的一个定点，A到4,2的距离分 别为AE=1,AD=2,C是4上一个动点，设CE=x∈[山，2]，作直线AB⊥AC,且与直线交于点B· E D B (I)写出△ABD与△ACE的面积之和关于x的函数解析式f(x): (2)判断函数∫(x)的单调性，并用定义法加以证明. 考点0☑ 根据函数的单调性、奇偶性求参数值 -x2+2x+ 1 9ts、 20.(24-25高一上福建南平.期末)已知函数f(x)= 3是R上的单调函数，则实数a的取值 loga (3x)-1,x> 范围是() A.（0,1 B.(,2 C.(1,2] D.(1,2 21.(2425高一上福建福建师范大学附属中学期末)已知函数f=-1+一，其中a为常数，且a>1. a*+l ax (I)若f(x)是奇函数，求a的值： (2)证明：f(x)在(0,2)上有唯一的零点； (3)设f(x)在(0,2)上的零点为，证明：x,-1>1og,(2-马 22.(2425高一上福建龙岩·期末)已知函数f(x)=log3(9+1+ax是偶函数 4/8 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求实数a的值； (2)若函数g(x)=9+9+m3)的最小值为-3，求实数m的值 23.(24-25高一上福建福州期末)已知函数f(x)=ax2-x-a,aeR (诺a=写出f的单调区间（不必证明）： (2)若f(x)是偶函数，求a的值： (3)若x∈[0,2]，f(x)≤bx,求a2+b的最小值. 目目 考点08 根据函数的单调性、奇偶性解不等式 24.2425商-上稻建三明期利已知=lg,号og5,当xe写3时，f≥og,恒成立，则 m的取值范围是() A63 B.[-6,-3+2V2] C.[-3-2V2,-3+22] D.(-0,-3+2V2] 25.425有一上建泉州第五中学期末已期西数=[任-小-2：-以，则不等式 f(2x-1)+f(x)+2≤0的解集为_ 26.24-25高一上福建莆田第一中学期末已知函数f(d=2+2 2×2 (1)①求f(0),f(2),f（0)+f2)的值： ②求f-1),f(3),f(-1)+f(3)的值： (2)根据(1)结果，猜测∫(x)+∫(2-x)的值，证明该等式，并用文字叙述该等式的几何意义； (3)判断函数f(x的单调性（不用证明）.若f-a2)+f(5-2a)>2,求实数a的取值范围。 2425有一上相建圆门期村已知器数子-1. (1)判断∫(x)的奇偶性，并说明理由； (2)解不等式fx2）+f(2x-1)≥0； (3)当0<a<1时，若关于x的方程af(xf2x)+bf(2x-1=0有解，证明：b>1-a. 5/8 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 28.2425高一上福建泉州第五中学期末已知奇函数f)=)-(a∈R),g)=sim2x+ 3”+1 6 (1)求a的值； ②4∈0，小，3,0,4f)28(x,+m,求实数m的取值范围： (),-1,+o,八小)-f八片求-的取值花同， 目目 考点09 函数性质的综合应用 29.(24-25高一上福建漳州期末)已知f(x)为R上奇函数，f(x+4=f(x), f1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=6,则f(2025)=_ 30.(24-25高一上·福建福州第一中学)（多选）已知定义在R上的函数∫(x)满足：对Vx,y∈R, fx+y+fx-y=2fxfy),且f(0)≠0，f)=0,定义：2f)=f+f(2)++f(n,则以 下结论正确的有（) A.f(2)=-1 B.f(-x)=f (x) C.f(x+2=f(x) D.s) 31.(24-25高一上福建南平.期末)（多选）对任意的x,y∈R,函数f(x)满足 f(2x)+f(2y)=2f(x+y)fx-y),且f(0)≠0，f(2)=-1,则() A.f(0)=1 B.f(x)是奇函数 C.4为函数f(x)的一个周期 D.f(1)+2f(2)+…+100f100)=50 32.(24-25高一上福建厦门期末)（多选）已知函数f(x=lnx-1-lnx,则(). A.f(x)的定义域为{xx≠0，且x≠1}B.f(x)在区间(-o,0)单调递增 C.f(x)的图象关于(1,0)对称 D.-8:+) <0 33.(2425高一上福建三明期末)（多选）已知定义在(-1，上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=力 且当xe(0,1时，f(x>0,则有() 6/8 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.f(x)是奇函数 B.》(》= c》别 D.得++n小k≥2neN) 34.(24-25高一上福建泉州期末)（多选）已知函数f(x对任意x∈R都有f(x+4)+f(x)=f(2),若 y=f(x-1的图象关于直线x=1对称，且对任意a,b∈[-4,0，当a≠b时，都有 af (a+bf(b)>af(b)+bf (a,() A.f-2)=0 B.f(8)<f12) C.直线x=2是函数ff(x)的一条对称轴 D.若g(x)=x-4f(x)-1在区间[-20,28]上有8个零点，则所有零点的和为32 52425高一上稻诺期闲（多选）已知函数)+2。则（> A.函数f(x)为单调减函数 B.f(log:3)+f log 3>0 C.若x>0,使得f(x)≥f(-x)+a成立，则a≤4 D.函数g(x)=2sinx+1(-19≤x<19且x≠0)的与函数y=f)的的所有交点纵坐标之和为20 36425府-上超建前国第一中学期村（多选）已知季数1到+上m+,则《) A.3a,b∈R,使得f(x)是偶函数 B.当a=0,b=1时，函数g(x)=2(x)-5f(x)+6有5个零点 C.当a=0时、函数1在[2]最大值大于则5>0 D.当6=0时，设在[习]上的最大植为ia,则@的放小道为号 7/8 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点10 函数新定义 37.(24-25高一上福建莆田第一中学期末)若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这 些函数为同族函数”，例如函数y=x2,x∈[1,2]与函数y=x2,xE[-2,-1为“同族函数”.下面函数表达式 中，可以用来构造“同族函数”的是（) A.y=2 B.y=log2x C.y=x3 D.y=tanx 38.(24-25高一上·福建三明·期末)对于函数f(x),若实数m满足∫(m=m,则称m为f(x)的不动点.已 知f(x)=ax2+bx+ca>0)的不动点集合为{x,x2}. (1)若a=1,x=-√2，x,=√2，解不等式：f2)<0; 1 (2)若0<x<x2<二， a ①证明：当0<x<x时，x<∫(x<x; ②为断儿在区间-空上是香为单调函数，并说明理由。 39.(24-25高一上福建泉州期末)函数f(x)和gx的定义域分别为D,D。,如果对于D,中的任意一个数t, 按照gx)=∫()的对应关系，在D。中都有且仅有k个确定的数x与之对应，则称gx)为fx的“k~函数” 例如：f(x)=x,D=[2,4,gx)=x2,D。=R,则gx为f(x的2~函数” (1)设f(x)=x,gx)=x,D,=D。=[1,2],判断以下两种说法是否正确，并说明理由： ①gx)是f(x的“1~函数”：②f(x是gx)的“1~函数”； 回设1=+D,[店=n2x0,-0词，判断g到是否为的~函数，若是，求 若不是，请说明理由； 8设1=+D,=[}e=-6r+宁+0，=0+e,者国为r国的4~腰数，求m 的取值范围. 8/8 期末专题03 函数的概念与函数的基本性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 10大高频考点概览 考点01 求函数值 考点02 函数的定义域 考点03 函数的值域 考点04 函数相等 考点05 直接判断函数单调性、奇偶性 考点06 定义法证明函数的单调性 考点07 根据函数的单调性、奇偶性求参数值 考点08 根据函数的单调性、奇偶性解不等式 考点09 函数性质的综合应用 考点10 函数新定义 地 城 考点01 求函数值 1．(24-25高一上·福建福州·期末)已知函数，则（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式，将自变量代入求函数值. 【详解】由题设，则. 故选：D 2．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)设函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】代入计算，得到. 【详解】. 故选：B 地 城 考点02 函数的定义域 3．(24-25高一上·福建泉州·期末)使得有意义的的取值集合为 . 【答案】或 【分析】利用根式和分式有意义的条件求解即可. 【详解】若有意义，则且， 即的取值集合为或. 故答案为：或 4．(24-25高一上·福建漳州·期末)函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数有意义满足的不等式，即可求解. 【详解】由，得到，得到， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 5．(24-25高一上·福建福州第一中学·)函数，的定义域为 . 【答案】 【分析】由二次根式中被开方数非负及正弦函数性质可得答案． 【详解】由，得， 因为，所以， 所以的定义域为. 故答案为：. 6．(24-25高一上·福建三明·期末)函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法列不等式组，由此求得函数的定义域. 【详解】根据题意得到，解得. 故答案为：. 7．(24-25高一上·福建福州·期末)已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用对数的性质及分式不等式的解法求定义域； （2）应用奇偶性定义判断即可； （3）利用奇函数性质或对数运算性质得到，解分式不等式求参数范围. 【详解】（1）由条件得，则，解得， 所以的定义域为. （2）函数为奇函数，理由如下： 因为定义域为，且， 所以函数为奇函数. （3）法一： 因为函数为奇函数，所以，即，得， 则，故， 因为，则，可得，解得， 故m的取值范围为. 法二： 因为， 由，得，故， 因为，则，可得，解得， 故m的取值范围为. 8．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)已知函数， (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)，，求实数的取值范围； (3)已知函数，若恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）由对数函数真数大于0得到，由根的判别式得到不等式，求出答案； （2）转化为在上恒成立，令，对称轴为，分，和三种情况，结合函数单调性和最小值，得到不等式，求出答案； （3）分析出当时，的定义域为，转化为在只有1个解，换元后得到，，由对勾函数单调性和值域得到或，当，分析得到的定义域为，转化为在只有1个解，结合根的判别式得到，故时，满足要求，从而求出的取值范围 【详解】（1）由题意得恒成立， 故，解得， 故实数的取值范围是； （2），， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 令，对称轴为， 当时，在上单调递增， 只需，解得， 与取交集得； 当时，的最小值为， 故只需，解得； 当时，在上单调递减， 只需，解得， 与取交集得， 综上，实数的取值范围为； （3）需满足，故， 恰有一个零点， 由（1）知，若，此时的定义域为， 若，的两根为， ， 其中，故，， 故，所以的定义域为， 若，此时定义域为， 综上，当时，的定义域为， 令在只有1个解， 变形得到，令， 则，， 下面证明在上单调递减，在上单调递增， 设， 则， 因为，所以， 故，， 所以在上单调递减， 同理可证在上单调递增， 其中，， 要想在只有1个解，需满足或， 又，所以或， ，的两根为，， 其中，故，， 故，所以的定义域为， 则的定义域为， 故在只有1个解， 令，其中， 故需满足，即， 化简得，显然，当时，上式恒成立， 故时，满足要求， 综上，实数的取值范围为或. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 地 城 考点03 函数的值域 9．(24-25高一上·福建厦门·期末)设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，再根据二次函数和指数函数的值域求解即可. 【详解】当时，函数的值域为， 函数的值域为， 所以时，函数的值域为， 又因为函数的值域为R， 所以，解得， 当时，函数的值域为， 函数的值域为， 所以时，函数的值域为，与题意矛盾， 综上所述，a的取值范围是. 故选：C. 10．(24-25高一上·福建泉州·期末)若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【详解】∵函数在上单调递增， ∴当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即， ∴， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即函数的值域为， ∵，∴此时函数的值域为，即， 综上所述：. 故选：C. 11．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)设函数同时满足条件和对任意都有成立． (1)求的解析式； (2)求的定义域和值域； (3)若，求使得成立的整数的取值的集合． 【答案】(1) (2)定义域为，值域为； (3) 【分析】（1）由得到，再根据得到，得到解析式； （2）由函数特征得到不等式，结合指数函数和对数函数单调性解不等式，求出定义域； （3），换元法，令，则，从而得到或，进而求出或或，得到取值集合. 【详解】（1），解得， 故， ， 上式对任意都成立，故且，所以， 故； （2）， 令，解得，故定义域为， 显然值域为； （3），即， ，令，则， 当时，，满足要求， 当时，，解得， 当时，若，满足要求，故或1， 若，令，解得，故或4， 当时，若，不合要求， 若，令，解得， 综上，整数的取值集合为. 12．(23-24高一上·安徽黄山·期末)已知函数 ． (1)求函数的定义域及其值域； (2)若方程有两个不同的实数根，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由二次根式的被开方数非负可得出关于x的不等式，由此可求得函数的定义域； （2）令，由题意可知关于t的方程在上有两个不同的实数根，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】（1）由题意 所以的定义域为.           由得，所以的值域为. （2），令，      则方程在上有两个不同的实数根.                  解得，所以的取值范围是. 地 城 考点04 函数相等 13．(24-25高一上·福建漳州·期末)下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据相同函数概念，定义域相同且对应关系相同，逐个计算分析判断即可. 【详解】对于A选项，对于，根据根式的性质，所以，其定义域为. 而，其定义域为.但是与的对应关系不同，当时，，所以A选项错误.   对于B选项，对于，其定义域为. 的定义域为.与定义域不同，所以B选项错误.   对于C选项，对于，因为，所以，，定义域为. ，定义域为.与定义域相同，对应关系也相同，所以C选项正确.   对于D选项，对于，其定义域为，且. 的定义域为.与定义域不同，所以D选项错误. 故选：C. 14．(24-25高一上·福建三明·期末)（多选）下列各组中的与为同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】从函数的定义域和对应关系两方面进行分析.若定义域和对应关系都相同，则为同一个函数，反之则不是.接下来对每个选项逐一分析. 【详解】选项A：，根据零指数幂的定义，其定义域满足，此时. 的定义域为. 二者定义域不同，不是同一个函数.   选项B：，根据对数的运算性质，，其定义域为. 的定义域也是，且对应关系都是. 定义域和对应关系都相同，是同一个函数. 选项C：. . 定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数.   选项D：，要使根式有意义，则，即或，定义域为. ，要使根式有意义，则，即，定义域为. 二者定义域不同，不是同一个函数. 故选：BC. 地 城 考点05 直接判断函数单调性、奇偶性 15．(24-25高一上·福建泉州·期末)下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的性质求各选项函数的定义域，判断奇偶性，求函数单调区间即可得到结果. 【详解】A选项：函数定义域为，，函数是偶函数，A选项排除； B选项：函数定义域为，，函数是奇函数，且函数在单调递增，B选项正确； C选项：函数定义域为，，函数是偶函数，C选项排除； D选项：函数定义域为，D选项排除； 故选：B. 地 城 考点06 定义法证明函数的单调性 16．(24-25高一上·福建龙岩·期末)已知函数. (1)用定义法证明函数在区间上单调递增； (2)对任意的都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义按照步骤证明即可； （2）结合函数的单调性求出，然后利用基本不等式求得，最后解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）证明：取任意，，且， 有， 由，可得，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由在上单调递增， 可得在上，， 依题意得，， 又，当且仅当， 即，即时取等号， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 17．(24-25高一上·福建泉州·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数，判断并根据定义证明的单调性； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据为奇函数求得，利用函数单调性的定义证得是增函数. （2）根据函数的单调性和奇偶性来求得不等式的解集. 【详解】（1）求解法一： 函数的定义域为， 因为为奇函数，所以， 所以，所以， 解得； 求解法二： 由即， 解得，此时. 因为，所以为奇函数， 符合题意. 以下用定义证明是增函数： 任取，且，则 ， 又因为在上单调递增，且，所以，故 又，所以， 所以函数在上单调递增. （2）由，可得， 又因为为奇函数，所以，所以， 又函数在上单调递增，所以， 即，即， 解得，所以不等式的解集为. 18．(24-25高一上·福建南平·期末)已知函数是定义域为的奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并根据定义证明； (3)是否存在实数，对任意有.若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）结合可求出值，需验证是否符合题意； (2)应用函数单调性定义证明即可，注意取值、作差、变形、判号、下结论的解题过程； （3）应用函数的奇偶性与单调性，将问题转化为对任意的恒成立，再应用分离参数法转化为恒成立，应用均值不等式求解即可 【详解】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数， 则即，所以， 当时，， 此时，所以为奇函数，符合题意， 故； （2）函数在上单调递减. 证明如下： 设，且， 则 ， 因为，，所以，，， 故即，所以在上单调递减. （3）解：因为在上为奇函数， 由得 即 ， 因为在上单调递减，所以对任意的恒成立 . ①当时，原不等式成立 ； ②当时，， 令，， 由基本不等式可得， 当且仅当即时，取最小值为， 所以，的取值范围是 ； 19．(24-25高一上·福建漳州·期末)如图，已知直线，是，之间的一个定点，到，的距离分别为，，是上一个动点，设，作直线，且与直线交于点． (1)写出与的面积之和关于的函数解析式； (2)判断函数的单调性，并用定义法加以证明． 【答案】(1) (2)在单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据图中的几何关系可得，进而可得得，从而得出； （2）任取，且，再求解的正负即可. 【详解】（1）由已知，，， 所以， 又因为，所以， 所以，已知，，，得， 所以，， 函数的解析式为． （2）函数在单调递减． 证明如下：由（1）， 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以， 即，， 所以在单调递减． 地 城 考点07 根据函数的单调性、奇偶性求参数值 20．(24-25高一上·福建南平·期末)已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解. 【详解】由题，当时，单调递增，又是R上的单调函数， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 21．(24-25高一上·福建福建师范大学附属中学·期末)已知函数，其中a为常数，且． (1)若是奇函数，求a的值； (2)证明：在上有唯一的零点； (3)设在上的零点为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用奇函数的定义求出a的值. （2）探讨函数在上的单调性，再利用零点存在性定理推理得证. （3）证明，计算并判断正负，，再借助单调性即可推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由是奇函数，得 ，解得， 所以. （2）函数，，函数在上递增， 在上递增，又在上递增，因此在上递增， 而， 所以在上有唯一的零点. （3），，则， 则 ， 因此，而在上递增， 于是，， 所以. 22．(24-25高一上·福建龙岩·期末)已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义，建立方程，结合对数的运算公式，可得答案； （2）代入（1）所得函数解析式，利用配方法与换元法构造函数，根据二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）由题意得：，即， 所以， 其中 ， 所以，解得：. （2）由（1）得， 所以， 令，当且仅当时取等号， ， 故的最小值为， 等价于，解得：； 或，无解. 综上：. 23．(24-25高一上·福建福州·期末)已知函数，. (1)若，写出的单调区间（不必证明）； (2)若是偶函数，求a的值； (3)若，，求的最小值. 【答案】(1)单调递减区间为，，单调递增区间为，； (2)a的值为0； (3). 【分析】（1）根据已知写出的分段函数性质，结合二次函数性质确定单调区间； （2）利用偶函数性质列方程求参数即可； （3）由时不等式恒成立，只需考虑的情况，应用分类讨论，结合二次函数性质研究不等式恒成立求值. 【详解】（1）由题意，当时函数，且函数的定义域为， 所以， 从而其单调递减区间为，；单调递增区间为，. （2）因为是偶函数，所以， 由于，则， 从而，两边平方得， 从而，此式对任意恒成立，得，故a的值为0. （3）首先，时不等式恒成立，接下来考虑的情况： ①当时，，因为，所以，； ②当时，，， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 所以，当且仅当，时，等号成立； 法一：③当时，问题等价于当时，恒成立；当时，恒成立. 令，命题等价于， 而最大值只可能在，，三处取得，只需， 即，可得， 若，则；若，则； ④当时，，， 易知函数在上单调递增，故当时，取到最大值， 所以，所以； 综上，当，时，的最小值为. 法二：③当时，由对任意恒成立，取可得成立， 则，若，则， 若，则，所以当，有. 综上，当，时，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用分类讨论及二次函数的性质研究不等式恒成立，注意放缩思想的应用. 地 城 考点08 根据函数的单调性、奇偶性解不等式 24．(24-25高一上·福建三明·期末)已知，当时，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，将不等式转化为一元二次不等式在闭区间恒成立求解. 【详解】依题意，，令， 当时，，不等式， 则恒成立，当时，成立，； 当时，，函数在上单调递减， 当时，，因此； 当时，，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：换元，把不等式转化为闭区间上的一元二次不等式问题求解. 25．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，并得到函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性得到不等式，解得范围. 【详解】∵，∴ 函数的定义域为， ， 令函数，即， 则函数定义域为， 则， 即函数为奇函数， 又∵中， 在上单调递减，在上递增，∴在上单调递减； 在上单调递减；在上单调递减； ∴函数在上单调递减， ∵，∴， 即，即， ∴. 故答案为：. 【点睛】方法点睛，本题是利用函数的奇偶性和单调性求不等式，本题的关键是构造新的函数，利用函数的奇偶性整理不等式，利用函数单调性建立不等式，即可求得范围. 26．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知函数． (1)①求的值； ②求的值； (2)根据（1）结果，猜测的值，证明该等式，并用文字叙述该等式的几何意义； (3)判断函数的单调性（不用证明）．若，求实数的取值范围． 【答案】(1)①； ② (2)，证明过程见解析，几何意义：的图象关于中心对称； (3)函数单调递增，理由见解析， 【分析】（1）代入计算出，故，同理计算出； （2）猜想，利用指数运算法则进行证明，并得到函数的对称性； （3）定义法得到函数单调性，结合，得到，求出答案. 【详解】（1）①，，； ②； （2）猜想，证明过程如下： ； 几何意义：的图象关于中心对称 （3）函数在R上单调递增，理由如下： 任取，， 则 ， 因为在R上单调递增，，所以， 又，故， 即，在R上单调递增， 因为，， 所以， 故，解得， 故实数的取值范围为. 27．(24-25高一上·福建厦门·期末)已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)解不等式； (3)当时，若关于x的方程有解，证明：． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据奇偶性的定义求解即可； （2）先利用定义法判断函数的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可； （3）求出函数的值域，再换元令，则，当时，整理可得，构造函数，，分类讨论求出函数的值域即可得证. 【详解】（1）是奇函数，下面给出证明： 的定义域为R， 因为， 所以是奇函数； （2），且， 则， 因为，所以，， 所以，所以是R上的减函数， 等价于， 即， 因为是R上的减函数，所以， 整理得，解得； （3）因为，所以， 所以， 设，可得， 所以， 所以， 当时，，无解，不符合题意； 当时，整理可得，， 设，， 因为， 所以为奇函数，只需考虑， ①若，则， 因为在单调递减， 所以在单调递减， ②若，则，则在单调递减， 若，则，所以， 由双勾函数的单调性可得在单调递减， 所以当时，在单调递减， 又，所以，即，即， 所以． 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 28．(24-25高一上·福建泉州第五中学·期末)已知奇函数， (1)求的值； (2)，，，求实数的取值范围； (3)，，，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由奇函数在0处有定义则建立方程，然后求得； （2）由简单复合函数的单调性求得函数单调性，并求出时，的值域.由三角函数的性质求得当时的值域，然后由题意得到不等式，解得实数的取值范围； （3）由函数的性质作出函数大致图象，然后由函数的对称性，找到的最大值，由函数图像增长趋势知道，随着的增大而增大，从而得到的取值范围. 【详解】（1）函数定义域为，且为奇函数， 所以，即经检验适合题意， 所以； （2）函数， ∵在上单调递增， ∴在上单调递减， ∴函数在上单调递增， ∴当时，， 当时，， ∴， 由题意可知，即， ∴； （3）因为，∴， 由函数的性质得到函数的大致图象： 由函数的对称性可知，当，满足的的差最小， 即，即，， ∴， 由函数图象可知，函数在上增长速度变慢，∴当时，随着变大而变大 当无限趋近于时，无限接近于1，此时趋近于无穷大，此时趋近于无穷大，故. 【点睛】方法点睛，本题是函数的综合，在解决在两个区间内，不等式存在解的问题，只需要转化为求不等式两边的最值问题即可，再由题意得到不等式，即可求得范围. 地 城 考点09 函数性质的综合应用 29．(24-25高一上·福建漳州·期末)已知为上奇函数，，，则 ． 【答案】6 【分析】根据奇函数的性质得到且，再结合函数的周期性与奇偶性求出，最后根据周期性计算可得. 【详解】因为为上奇函数，所以且， 又，所以是以为周期的周期函数， 则，，， ，所以， 又，即， 解得， 所以. 故答案为： 30．(24-25高一上·福建福州第一中学·)（多选）已知定义在上的函数满足：对，，，且，，定义：，则以下结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合选项，利用赋值法，判断选项. 【详解】令，则，因为，所以， 令，则，所以，故A正确； 令，则，则，即，故B正确； 令，则，即，即，故C错误； 由可知，，即， 所以函数的周期为4，，， 所以， ，，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法处理抽象函数问题. 31．(24-25高一上·福建南平·期末)（多选）对任意的，，函数满足，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．4为函数的一个周期 D． 【答案】ACD 【分析】令可判断A；根据 时 不成立判断B；求出后令可判断C；根据周期性结合可判断D. 【详解】由 ，令 ，则 ，又 ，所以 ，故 A 正确； 因为 时 ，则不成立，所以 不是奇函数，故 B 错误； 令可得 ，所以 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 的周期为 4，故 C 正确； 由 ，得 ， 所以 ，故 D 正确. 故选： ACD. 【点睛】方法点睛：函数奇偶性与周期性、抽象函数相结合的问题，多以选择题、填空题的形式呈现，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解，抽象函数问题往往利用赋值法求解. 32．(24-25高一上·福建厦门·期末)（多选）已知函数，则（   ）． A．的定义域为 B．在区间单调递增 C．的图象关于对称 D． 【答案】ABD 【分析】选项A由对数函数的定义域即可判断；选项B，由复函函数的单调性满足“同增异减”即可判断；选项C，由于，则可判断的正误；选项，结合选项的结论可得，则选项的正误可判断. 【详解】选项A：的定义域为，选项A正确； 选项B：当时，， 因为在区间单调递增， 根据复合函数单调性，所以在区间单调递增，选项B正确； 选项C：， 所以的图象关于点对称，选项C错误； 选项D：由C可知， 所以，即， 因为，所以， 当时，， 因为在为增函数且恒成立， 所以在区间单调递增， 所以， 即，选项D正确． 故选：ABD． 33．(24-25高一上·福建三明·期末)（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则有（   ） A．是奇函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据推导出函数的单调性和奇偶性，即可判断选项ABC；再根据，从而求得，进而判断选项D. 【详解】∵定义在上的函数满足， ∴令得，即； 令得．∴是奇函数，故选项A正确； ，故选项B错误； 同理，. 当时，，，. ∵当时，，， ∴函数在上单调递增. ∵，，即，故选项C正确； ， ， ∵，，， 故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用赋值法推导出函数的奇偶性与单调性，综合利用函数的单调性与奇偶性即可求解. 34．(24-25高一上·福建泉州·期末)（多选）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则（    ） A． B． C．直线是函数的一条对称轴 D．若在区间上有8个零点，则所有零点的和为32 【答案】ACD 【分析】通过函数图象的平移性质，由的对称轴推出的奇偶性，这是后续推理的基础,利用已知等式，通过赋值法求出与的值，思路合理,根据函数的周期性和奇偶性，结合给定区间上函数的单调性判断选项B.对于选项C，通过一系列等式变换，利用函数的奇偶性和周期性证明直线是的对称轴.对于选项D，将的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，利用函数的对称性求出所有零点之和. 【详解】因为的图象关于直线对称，根据函数图象平移规律， 将的图象向左平移个单位得到的图象， 所以的图象关于对称，即是偶函数，， 已知，令，则， 由于，所以，故A正确， 由，可得，进而， 所以函数是周期为的周期函数， 对任意，当时，， 移项得到， 这意味着当，即时，， 所以在上单调递增， 因为是偶函数，所以在上单调递减， ，， 由于在上单调递减，所以，即，故B错误， 函数的周期为，又因为的图象关于直线对称， 所以的图象关于轴对称，即， 因为的图象关于轴对称，所以， 又因为的周期为，则， 再根据，可得， 同样，，而， ， 所以，设，则， 因为是偶函数，所以， 那么， 所以直线是函数的一条对称轴，C选项正确， 令，即， 设，，关于对称， 是周期为的偶函数， 由在区间上有个零点，这个零点两两关于对称， 设这个零点为，则，，，， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛： 利用函数图象的平移规律来确定函数的奇偶性，这是一种常见的方法,对于给定的函数等式，通过合理赋值可以求出函数在特定点的值. 由函数等式推出函数的周期性，再结合奇偶性和给定区间的单调性来比较函数值大小,证明函数对称轴时，通过对函数表达式进行变形，利用函数的性质进行推导. 35．(24-25高一上·福建龙岩·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．函数为单调减函数 B． C．若，使得成立，则 D．函数（且的与函数的的所有交点纵坐标之和为20 【答案】BD 【分析】根据指数函数的单调性及单调性的性质判断A；结合指数运算得，即可判断B；结合函数的对称性，参变分离得在有解，然后利用指数函数的单调性求得函数最值即可判断C；画出两个函数在同一坐标系下的图象，根据对称性和周期性求和判断D. 【详解】对于A，易知当时，，时， 由单调递增可得在以及上分别为单调递减函数，即A错误； 对于B，易知函数满足， 因此可得关于对称，，即B正确； 对于C，由，即， 即在有解，因为，所以， 所以，所以可得，解得，即C错误； 对于D，画出函数以及的如下图所示： 易知也关于对称，的周期为4， 一个周期与有两个交点，所以与在共20个交点， 即，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 36．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．，使得是偶函数 B．当时，函数有5个零点 C．当时，函数在上最大值大于，则 D．当时，设在上的最大值为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，当时，为偶函数，A正确；B选项，令，解得或5，当时，或，无解，有1个解，即，当时，或，各求出两个解，B正确；C选项，考虑，和三种情况，求出或；D选项，对进行分类讨论，结合函数单调性，求出最大值，再得到的最小值为. 【详解】A选项，当时，定义域为， 且，故此时为偶函数，A正确； B选项，时，， 令，解得或5， 当时，，即或， 由对勾函数性质得， 故无解，有1个解，即， 当时，，即或， ，解得，，解得， 综上，函数有5个零点，B正确； C选项，当时，， 时，由对勾函数可得， 若，则，，故， 要使得函数在上最大值大于，则，解得， 若，则， 此时，不合要求，舍去； 当时，，故， ，令，解得， 综上，或，C错误； D选项，时，， 令， 若，则在上单调递减且恒正， 故，最大值为， 若，则为对勾函数，均在轴上方， 故在上单调递增， 在上单调递减， 当，即时，在上单调递增， 故，且， 当，即时，在上单调递减， 故，且， 若，即时，， 其中当时，，故，且， 当时，，故，且， 若，此时在上单调递减， 当时，，当时，， 当，即时，， 当，即时，， 若，解得，此时， 若，解得，此时， 当，即时，， 综上，的最小值为，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 地 城 考点10 函数新定义 37．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．下面函数表达式中，可以用来构造“同族函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，函数不能严格单调，ABC不合要求，D选项，可举出例子. 【详解】由题意可知，可以用来构造“同族函数”的函数不能严格单调， A选项，在R上严格单调递增，不满足要求； B选项，在上严格单调递增，不满足要求； C选项，在R上严格单调递增，不满足要求； D选项，在R上不严格单调递增， 其中，与，的值域均为， 故为“同族函数”，D正确. 故选：D 38．(24-25高一上·福建三明·期末)对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知的不动点集合为． (1)若，，，解不等式：； (2)若， ①证明：当时，； ②判断在区间上是否为单调函数，并说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②不是区间的单调函数，理由见解析 【分析】（1）已知不动点的值，可先求出函数的表达式，再解不等式； （2）①根据不动点概念，得到，是方程的根．结合，得到， 再根据，，结合作差，判定即可；②运用二次函数单调性分析证明即可. 【详解】（1）因为，所以. 依题意，，是的不动点，所以 解得所以． 不等式化为． 因为，所以．解得． 所以不等式的解集为． （2）①因为，是的不动点，所以 即所以，是方程的根． 又因为， 所以为一元二次方程． 所以， 因为，， 所以，，． 所以，即． ． 因为，所以．所以． 所以，当时，． ②在不是单调函数，理由如下： 设函数的图象的对称轴为．则． 由（2）知，．所以． 所以． 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增． 所以不是区间的单调函数. 【点睛】关键点点睛：对于新定义题型，读懂题目意思是关键，然后将新知识转化为学过的知识，解题即可. 39．(24-25高一上·福建泉州·期末)函数和的定义域分别为，如果对于中的任意一个数，按照的对应关系，在中都有且仅有个确定的数与之对应，则称为的“函数”.例如：，则为的“函数”. (1)设，判断以下两种说法是否正确，并说明理由： ①是的“函数”；②是的“函数”； (2)设，判断是否为的“函数”，若是，求；若不是，请说明理由； (3)设，若为的“函数”，求的取值范围. 【答案】(1)①是正确的，②是错误的，理由见解析 (2)是，4 (3) 【分析】（1）①对于①，紧扣“函数”的定义，先确定的取值范围，再根据求出，判断对于任意，在中与之对应的的个数，思路清晰，符合定义要求. 对于②，同样依据定义，通过举反例，当时，找不到使得，从而说明不是的“函数” （2）首先分析的单调性，得出的取值范围.然后将问题转化为判断方程在内的解的个数，通过令，进一步转化为判断方程在内的解的个数.接着对在不同区间进行讨论，利用函数的单调性和零点存在定理，得出在一个周期内方程有个解，进而得出在内有个解. （3）由（2）得到的取值范围后，对进行变形，将问题转化为关于的方程在上解的个数问题.通过换元令，进一步转化为关于的方程在上有个不同解的问题，根据二次函数对称轴和根的分布情况列出不等式组求解. 【详解】（1）①是正确的，因为对，按照的对应关系，即， 所以，，所以，对，按照的对应关系， 在中都有且仅有1个确定的数与之对应所以，是的“函数”，所以，①正确； ②是错误的，因为当时，，因为，按照的对应关系，此时不存在，使得.所以，不是的“函数”，所以，②错误. （2），且，， 因为， 当，有，所以，在上单调递减； 当，有，所以，在上单调增减. 因为，所以，在上单调递减，在上单调递增. 所以，有. 因为，所以，问题等价于对于中的任意一个数，关于的方程 在内都恰有几个解的问题， 令，则，问题等价于判断对于，方程在内都恰有几个解， 记，因为， 当，又在单调递增， 所以，在都恰有1个解； 当，又在单调递减， 所以，在都恰有1个解； 当，此时方程没有解， 所以，方程在内恰有2个解，即一个周期内方程都恰有2个解. 所以，方程在内恰有4个解，所以对于中的任意一个数， 按照的对应关系，在中都有且仅有4个确定的数与之对应， 即为的“函数”，所以 （3）由（2）可知有. ， 因为为的“函数”，即对于中的任意一个数， 按照的对应关系，在中都有且仅有4个确定的数与之对应， 即对于，关于的方程都恰有4个解. 令，则，此时问题等价于对于， 关于的方程在上都恰有4个解， 令，由（2）可知， 要使在上都恰有4个解， 则关于的方程在必有2个不同的解， 记，因为的对称轴， 所以，关于的方程的两根应满足， 所以，即即 因为，所以，， 所以 【点睛】思路点睛： 对于复杂函数，先研究其单调性和值域，将“函数”问题转化为方程解的个数问题，结合函数性质和零点存在定理求解. 对于涉及复合函数和方程解个数求参数范围的问题，通过合理换元转化为二次函数问题，利用二次函数根的分布来求解. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $