期末专题05 导数及其应用8大考点（期末真题汇编，湖南专用）高二数学上学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 期末专题05导数及其应用 ☆10大高频考点概览 考点01导数的概念 考点02导数几何意义的应用之切线与切线方程 考点03导函数图象与原函数图象问题 考点04单调性与最值问题 考点05极值与极值点 考点06构造函数利用导数研究函数单调性比大小 考点07恒成立问题 考点08零点问题 考点09隐零点替换 考点10多选题多考点综合 目目 考点01 导数的概念 1.(23-24高二上湖南部分学校期末)已知f'(x)是函数f(x)的导函数，且∫'(x)=3,则 1imf。-A)-fx,+2A= Ar-0 △x 2.(24-25高二上湖南郴州·期末)已知函数f(x=x2+e,则1im f1+△-四-() △x A.2+e B.-2-e C.3e D.2e 3.(23-24高二上湖南部分学校期末)某物体运动s后，其位移（单位：m)为y= 上P+21,在251≤4这 段时间里，该物体的平均速度为() A.5m/s B.6m/s C.8m/s D.10m/s 目目 考点02 导数几何意义的应用之切线与切线方程 4.(24-25高二上·湖南岳阳平江县·期末)函数y=x+1nx在点(1,1)处的切线方程为(). A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=x+1 D.y=x-1 1/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25高二上·湖南株洲第二中学.期末)曲线f(x)=x+1+ln(x+1)在x=0处的切线方程为 6.(24-25高二上湖南百师联盟·期末)若曲线y=ln(x+1+m的一条切线方程为y=2x+1,则m= 7.(24-25高二上湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知过点(-1,0)的直线与曲线y=e相切于点A, 则切点A的坐标为() A.(0,1 B.(1,e) C.（2,e2) D.(3,e 8.(24-25高二上溯南长沙长那中学期末)已知曲线y=1-1nx与直线y=ax+4aeR相切，则 ex a= 9.(23-24高二上湖南部分学校期末)己知函数f(x)=x3+ax2+b.x的图象经过点A(L1,1),且在点A处的切线 与直线：x+y=0垂直. (1)求a,b的值； (2)求经过点(2,4)且与曲线y=f(x)相切的切线方程. 10.(2425高二上湖南多校联考期末)已知过点A(a,0)可以作曲线y=(x-1)e的两条切线，则实数a的取值 范围是() A.(1,+∞) B.(-0,-3)U1,+0) C.(-oo,-eU2,+o)） D.(-00,-2)U(2,+0) 1.(23-24商二上潮肉长沙立信中学期末已知直线)=众+6与函数)=+nx的图象相切，则-b 的最小值为 12.(24-25高二上湖南郴州期末)已知函数f(x)=axlnx+3(a为常数)在x=1处的切线与直线x+2y=0 垂直. (1)求a的值： (2)已知点P是函数f(x)图象上的一点，求点P到直线2x-y-4=0的距离的最小值. 目目 考点03 导函数图象与原函数图象问题 13.(24-25高二上湖南长沙周南中学期末)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y=∫'(x)的图象如图所示，则该函数的图象是() 2/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=f(x) 14.(24-25高二上湖南长沙长郡中学期末)已知可导函数f(x)的部分图象如图所示，f(2)=0,∫'(x)为 函数∫(x的导函数，下列结论不一定成立的是() 12345 A.f'1<f1B.f'(5)<f(5 C.f'(2=f(2)D.f'(3)<f'(4<f(5) 15.(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学，期末)如图是函数y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象，则下列判断正确的是() y=f'(x) 234/ -315 A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增 B.在区间(2,3)上f(x)单调递减 C.在区间(4,5)上f(x)单调递增 3/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.在区间(3,5)上f(x)单调递减 目目 考点04 单调性与最值问题 16.23-24高二上湖南常德第一中学期末)若函数f=x-1-anx在区间 上是减函数，则实数a的 取值范围是() A c D.3 17.(24-25高二上湖南天壹名校期末)己知函数f(x=x3-ax2-x,当x=a时f(x)取得极大值 (1)求a的值： (2)求函数y=f(x) 「33 上的最大值与最小值 2'2 18.(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学.期末)某制造商制造并出售球形瓶装 的某饮料.已知瓶子的制造成本是πr2分，其中r(单位：cm)是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造 商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 19.(23-24高二上湖南张家界·期末)已知函数f(x)=e-1,g(x)=ax+lnx,aeR (1)讨论函数g(x)的单调性； (2)设h(x)=f(x)-g(x),若h(x)存在零点，求实数a的取值范围 20.(23-24高二上湖南郴州期末)已知函数fx)=e+a(x-1),gx=2ax-2a,aeR (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数∫(x)与gx)的图象恰有一对点关于M(1,0)对称，求实数a的取值范围 2,2425高二上潮南长沙周南中学期已知函数八)=-(a+2到x+2mx(a>0且a≠2). (1)讨论函数f(x)的单调区间： 回当a=方时，证期：f-+子≤e-2。 22.(24-25高二上湖南长沙雅礼中学期末)己知函数∫(x)是定义在R上的偶函数，记'(x)为函数f(x)的 导函数，且满足f(x)+f"(x)=e-e+2xe,则不等式fx)+x<e的解集为 er 4/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 极值与极值点 23.(23-24高二上湖南邵东第三中学期末)已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2,若x=-1时，f(x)取极值0， 则ab的值为() A.3 B.18 C.3或18 D.不存在 24.(23-24高二上湖南张家界·期末)己知函数f(x)=x3-ax2,a∈R,且f(-1)=5. (1I)求曲线y=f(x)在点L,f)处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值 25.(24-25高二上·湖南百师联盟期末)若x=0是函数f(x)=x3-ax2+a2+ax-2的极小值点，则f(x)的 极大值为() A 50 B.- D. 27 2-3 26.(23-24高二上湖南郴州期末)若函数f(x)=xx-kx2-x在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范 围为() B.（ c.(o) 27.(23-24高二上湖南师范大学附属中学期末)设f(x)=e*(e-2ax-1且f(x≥0恒成立. (1)求实数a的值； (2)证明：f(x存在唯一的极大值点，且e2<f(x)<22 目目 考点06 构造函数利用导数研究函数单调性比大小 28.(24-25高二上湖南浏阳期末)已知函数f(x)=x2+2cosx,设a=f(0.2）,b=f(0.32）,c=f(1og27), 则() A.c>b>a B.c>a>b C.bxaxc D.a>b>c 29.2425高二上湖南长沙周南中学期未设a，b=23,飞=则a,6,c的大小关系为C） e A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 5/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1,1 2,2 0,2324高上南沙准礼教有集团期末利若Q之Ac三一则 e A.c<b<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 目 考点07 恒成立问题 31.(24-25高二上湖南长沙周南中学期末)设不等式；e*-ax≥0在x∈(0，+0)时恒成立.则实数a的最大 值为一 32.(24-25高二上湖南多校联考期末)已知函数f(x)=xlnx-ax+a,aeR. (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(L,f()处的切线方程； (2)若对任意x>0,不等式f(x)≥0恒成立，求a的值： (3)若实数m,n满足m>n>0,证明：nn+1<m血m-n血<nm+1 m-n 33.(24-25高二上湖南长沙明德中学期末)设f(x)=x-1-lx (1)求f(x在 处的切线方程； (2)求证：当x>0时，f(x)≥0； 国证明：对打任意正整数+北+儿+-+相成立 34.(24-25高二上湖南长沙长郡中学.期末)设函数f(x=cosx1+sinx-1,xeR. (1)求y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)判断y=f(x在区间0,2π上的零点个数，并说明理由： (何若实数a城足rE[0,引，1)s+a,求实数的收值范用 35.(24-25高二上湖南长沙第一中学期末)设函数f(x=x2-ax-a21nx(aeR). (1)当a=2时，讨论函数y=f(x)的单调性； (2)当a≠0时，曲线y=f(x与直线y=m交于A(x,m),B(x2,m)两点，求证：f (+>0; 2 (3)证明： }写+2n(a22,meN) 11 2n-12 36.(2425高二上湖南长沙长那中学期末)已知函数f(x到=(x+2)six+c0sx,若存在，：∈0，x≠x), 2 6/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 使得f(x)-f(x川=ae-e成立，则实数a的取值范围是() A. B. C.(0,2 D.(1,2 目目 考点08 零点问题 37.(24-25高二上潮南名校联考联合体期末)已知函数f(x)=mx ax (1)当a>0时，求y=∫(x)的单调区间： (2)若gx)=fx)-x有两个零点，求a的取值范围. 38.(24-25高二上湖南岳阳平江县期末)已知函数f(x=ae2x+(a-2)e-x (1)当a=0时，求f(x在区间0，+∞）上的最值： (2)讨论∫x)的单调性； (3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围 目目 考点09 隐零点替换 39.(24-25高二上湖南长沙雅礼中学·期末)已知函数f(x=e-ax,gx)=lnx-ax,aeR (I)当a<e时，讨论函数f(x)的零点个数 (2)记函数F(x=f(x)-g(x)的最小值为m,求G(x)=e-e"lnx的最小值， 目目 考点10 多选题多考点综合 40.(2425高二上满南名校联考联合体期末已知函数f(y)=©(a>0),则下列说法正确的是() x-a A.f(x)的最小值为e+ B.若x>a,f(x的最小值为a+4,且2a∈(no,n。+1),n。∈N,则n=1(参考e3=20.09) C若g=ax>,则g2e D.若∫(x=ka有两根，则k的取值范围为(e2,+o) 7/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 41.(23-24高二上湖南长沙宁乡期末对于函数f)=血x,下列说法正确的有(） A.f()在r=e处取得最小值 B.f(x)在x=e处取得最大值 C.f(x)有两个不同零点 D.f(2)<f(π)<f(3) 42.(23-24高二上湖南长沙长郡集团所有学校期末)已知函数f(x)=x3-3x2+4,则() A.∫(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.f(x)在[-1,4]上的值域为[0,20] D.点(1,2)是曲线y=f(x)的对称中心 8/8 期末专题05 导数及其应用 10大高频考点概览 考点01 导数的概念 考点02 导数几何意义的应用之切线与切线方程 考点03 导函数图象与原函数图象问题 考点04 单调性与最值问题 考点05 极值与极值点 考点06 构造函数利用导数研究函数单调性比大小 考点07 恒成立问题 考点08 零点问题 考点09 隐零点替换 考点10 多选题多考点综合 地 城 考点01 导数的概念 1．(23-24高二上·湖南部分学校·期末)已知是函数的导函数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合导数的定义运算求解. 【详解】由题意可得：． 故答案为：. 2．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：A 3．(23-24高二上·湖南部分学校·期末)某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为：． 故选：A. 地 城 考点02 导数几何意义的应用之切线与切线方程 4．(24-25高二上·湖南岳阳平江县·期末)函数在点处的切线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程. 【详解】函数的导数为，则， 则函数在点处的切线方程为，即． 故函数在点处的切线方程为.      故选：B 5．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义计算即可求解. 【详解】，则，， 故所求切线方程为，即. 故答案为： 6．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)若曲线的一条切线方程为，则 . 【答案】 【分析】求导，根据斜率可得，即可代入求解. 【详解】设，则. 设切点为，由题意，得，即，解得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 7．(24-25高二上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出切点的坐标. 【详解】设切点坐标为，由，得， 则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为. 故选：A 8．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)已知曲线与直线相切，则 . 【答案】 【分析】由的导数出发，设出切点坐标，利用导数方程，由此求得的值. 【详解】由，得， 设切点为， 则，， 消去得， 函数在区间上单调递增，且， ，此时. 故答案为： 9．(23-24高二上·湖南部分学校·期末)已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线垂直． (1)求a，b的值； (2)求经过点且与曲线相切的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义分析列式求解； （2）设切点，切线斜率，求直线方程并代入点运算求解即可. 【详解】（1）由，则， 因为的图象在点处的切线与直线垂直， 则，解得. （2）由（1）可设切线与曲线相切于点， 则切线斜率， 则切线的方程为， 将点代入方程整理得，解得或． 当时，切线方程为． 当时，切线方程为． 故经过点且与曲线相切的切线方程为或． 10．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，得到，根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果. 【详解】由得， 设过点的直线与曲线切于点， 则切线斜率为， 所以切线方程为 因为切线过点， 所以，整理得， 因为过点的切线有两条， 所以方程有两不同实根， 因此，解得或， 即实数a的取值范围是. 故选：B 11．(23-24高二上·湖南长沙立信中学·期末)已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设出切点坐标，求出切线方程为，从而可得，构造函数，求出其最小值即可得答案. 【详解】设切点为，，所以切线的斜率， 则切线方程为，即， 故， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为： 12．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知函数（为常数）在处的切线与直线垂直． (1)求的值； (2)已知点是函数图象上的一点，求点到直线的距离的最小值． 【答案】(1)2. (2)； 【分析】（1）求出函数的导数，利用切线与已知直线垂直求出的值. （2）由（1）求出函数，平移直线与曲线相切，求出切点坐标，再利用点到直线距离求出最小值. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得，则， 由曲线在处的切线与直线垂直，得， 所以的值是2. （2）由（1）知，，平移直线与函数的图象相切，设切点为， 则切线的斜率，解得，切点为， 所以点到直线的距离的最小值为. 地 城 考点03 导函数图象与原函数图象问题 13．(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数的符号判断函数在相应区间上的单调性，可判断函数图象的形状. 【详解】由题意可知，当和时，导函数，函数单调递减； 当时，导函数，函数单调递增，故函数的图象如图D． 故选：D 14．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)已知可导函数的部分图象如图所示，，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，以及导数的几何意义，逐项判断即可. 【详解】由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； 由图可知，，，但不确定与的大小关系，故B不一定成立； 由图可知，，故C成立； 由图可知，函数在区间上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：B. 15．(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学·期末)如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】BC 【分析】根据图象确定的区间符号，进而判断的区间单调性，即可得答案. 【详解】由图知：上，上， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在、上不单调，在、上分别单调递减、单调递增. 故选：BC 地 城 考点04 单调性与最值问题 16．(23-24高二上·湖南常德第一中学·期末)若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在区间上是减函数，转化为，对恒成立求解. 【详解】解：因为函数在区间上是减函数， 所以，对恒成立， 即，对恒成立， 令，由对勾函数的性质得， 所以， 故选：D 17．(24-25高二上·湖南天壹名校·期末)已知函数，当时取得极大值. (1)求的值； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是. 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，求出的值，再代入检验即可； （2）结合（1）可得函数的单调性，从而求出极值与区间端点函数值，即可求出最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为时取得极大值； 所以，，. ①当时，， 由解得或；由解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减； 时取得极小值，不符合题意，所以舍去. ②当时， 由解得或；由解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减； 时取得极大值，符合题意. 综上可得：. （2）由（1）可知，，， 在，上单调递增，在上单调递减； 所以在上极大值为，极小值为； 又由于， 函数在上的最大值是，最小值是. 18．(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学·期末)某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【答案】(1)6，（分） (2)2，最小利润为（分） 【分析】（1）设每瓶饮料的利润为（分），由题意列出其解析式，通过求导判断其单调性，即得及此时瓶子的半径； （2）由（1）分析，易得及此时瓶子的半径. 【详解】（1）设每瓶饮料的利润为（分）， 由题可知 ， 则，由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为（分） （2）由上分析，当时，利润最小，， 故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为. 19．(23-24高二上·湖南张家界·期末)已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论，即可求得出函数的单调性； （2）分离参数并构造函数，求导得出函数单调性并利用函数与方程的思想画出图象即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由. 求导可得， 当时，，此时，函数在上单调递增； 当时，令，解得； 若，解得在上单调递增； 若，解得在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）令，易知，分离参数得， 令，其中， 则， 当时，； 当时，， 函数的减区间为，增区间为， 所以当时，取得最小值，画出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与函数的图象有交点，即存在零点； 故实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 20．(23-24高二上·湖南郴州·期末)已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数与的图象恰有一对点关于对称，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论单调性； （2）法一：分离参数，转化为与曲线恰有1个公共点，设新函数求导判单调性求最值即可求解. 法二：将问题转化为直线与曲线恰有1个公共点，根据图象找出a的范围. 【详解】（1）由已知得：， ①当时，在定义域上单调递增； ②当时，由，得， 当，则在上单调递减， 当，在上单调递增. （2）若函数与的图象恰有1对点关于点对称， 则方程， 即，即恰有1个解， 法一：显然，所以恰有1个解. 令，则直线与曲线恰有1个公共点. 由，得： 当时，单调递减，且， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 极小值，且当且时， 故由直线与曲线恰有1个公共点，得实数的取值范围是. 法二：由恰有1个解，得直线与曲线恰有1个公共点. 易知直线过定点，作出直线与曲线， 由图象知，当直线斜率或直线与曲线相切时满足条件. 设直线与曲线相切于点， 由得 ， 则，解得， 故实数的取值范围是. 【点睛】分离参数法和切线找临界值解决零点问题是本题关键，注意定义域. 21．(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)已知函数（且）． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求得并因式分解，然后对进行分类讨论来求得的单调区间. （2）利用构造函数法，结合导数、零点存在性定理等知识来证得不等式成立. 【详解】（1）， ①当时，当时，，时，， 所以的递增区间是，，递减区间为； ②当时，当时，，时，， 所以的递增区间是，，递减区间为． 综上，当时，的递增区间是，，递减区间为； 当时，的递增区间是，，递减区间为． （2）当时，， 由题意可得，只需证明， 方法一：令， 则， 令，易知在上单调递增，，， 故存在，使得，即， 当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增， 故时，取得唯一的极小值，也是最小值． ， 所以，即当时，． 方法二：不等式等价于， 只需证， 令，所以， 当时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，即，当且仅当时取得等号， 用替代得到，函数在上单调递增， 且，， 故存在，使得， 所以，当且仅当时取得等号， 所以，即当时，． 【点睛】方法点睛： 对于含参数的函数单调性问题，求导后因式分解，根据参数与导数零点的大小关系进行分类讨论是常用方法.通过确定导数在不同区间的正负，得出函数的单调区间. 证明不等式时常采用构造函数法，可以直接构造函数，通过研究其单调性和最值来证明不等式，如方法一；也可以对不等式进行适当变形后构造函数，利用已有的函数性质进行证明，如方法二利用这一结论进行替换证明. 22．(24-25高二上·湖南长沙雅礼中学·期末)已知函数是定义在上的偶函数，记为函数的导函数，且满足，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用偶函数的导数必为奇函数，可求得，再代入不等式构造函数即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，故， 又，所以，即， 所以是定义在上的奇函数； 又因为， 所以，即， 两式相加，再整理得：，所以由得，即， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以在上，由，解得； 又当时，，，即，故，即， 综上：的解集为，故的解集为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接根据解析式来解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系即可得到解集． 地 城 考点05 极值与极值点 23．(23-24高二上·湖南邵东第三中学·期末)已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（    ） A．3 B．18 C．3或18 D．不存在 【答案】B 【分析】利用导数与极值的定义得到关于的方程组，从而求得，然后再检验时，函数是否能取得极值，由此得解. 【详解】由，得， 因为时，取得极值0， 所以，解得或， 当时，， 此时函数在在处取不到极值； 经检验时，函数在处取得极值0，满足题意； 所以，所以. 故选：B. 24．(23-24高二上·湖南张家界·期末)已知函数，且. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，极大值为 【分析】（1）首先根据求，再根据导数的几何意义求切线方程； （2）首先根据导数判断函数的单调性，再求函数的极值. 【详解】（1）由题设，则； ，则， 所以点处的切线方程为，即； （2）由（1）， 由，有或，由，有， 故在区间上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，极大值为. 25．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，因为是极小值点，所以， 求出a的值，再由a的取值和单调性即可求出取得极大值，即可求的结果. 【详解】因为，所以. 又是函数的极小值点，所以，解得或. 当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去. 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是的极小值点，所以，. 由以上分析知，当时，取得极大值，且. 故选：B. 26．(23-24高二上·湖南郴州·期末)若函数在定义域内有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据极值分析可得与有2个变号交点，对求导，利用导数判断其单调性和最值，结合的图象分析求解. 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得， 由题意可知与有2个变号交点， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0， 可得的图象，如图所示： 由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象进而求解． 27．(23-24高二上·湖南师范大学附属中学·期末)设且恒成立. (1)求实数的值； (2)证明：存在唯一的极大值点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将问题转化为，恒成立，利用导数求解的单调性，即可求解，构造函数，继续利用导数求解函数的单调性得最值即可求解， （2）利用导数求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求证. 【详解】（1）由条件知恒成立， 恒成立， 令，则恒成立，， ①当时，在上单调递增，又， 当时，，与矛盾，不合题意； ②当时，在单调递减，在单调递增， 当时，有极小值，也为最小值，且最小值为， 又恒成立，， 令，则， 令，解得， 在单调递增，在单调递减，， 所以由，解得， 综上，实数的值为. （2）由题可得， 令，则，由得， 在上，，在上，， 所以在单调递减，在单调递增， 又， ， 由零点存在定理及的单调性知，方程在有唯一根， 设为且， 从而有两个零点和0， 且在区间上，， 在区间上，,在区间上，， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 从而存在唯一的极大值点， 由得， ， 等号不成立，所以， 又在单调递增， 所以， 综上可知，存在唯一的极大值点，且成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 地 城 考点06 构造函数利用导数研究函数单调性比大小 28．(24-25高二上·湖南浏阳·期末)已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数的单调性，比较大小，可得大小关系. 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 29．(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得． 【详解】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以． 故选：B 30．(23-24高二上·湖南长沙雅礼教育集团·期末)若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建，利用导数可知在上单调递增，结合单调性分析判断. 【详解】令，则在上恒成立， 可知在上单调递增，则， 可得，即. 故选：C. 地 城 考点07 恒成立问题 31．(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)设不等式；在时恒成立．则实数的最大值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，得在上恒成立，问题转化为求函数在上的最小值.利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值. 【详解】因为，由，得：恒成立，即. 记，则， 由得：；由得：. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取到最小值，且. 所以. 故答案为： 32．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，不等式恒成立，求a的值； (3)若实数m，n满足，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，得到，结合，利用导数几何意义得到切线方程； （2）求导，得到的单调性，进而得到所以，设，求导，得到的单调性，，故，当且仅当时等号成立，若满足，必有，求出； （3）变形后得到，换元后化为，由（2）知，当时，，当且仅当时取等号，故，从而成立，同理，要证明，即证明，即，令，，求导得到的单调性，所以，即，整理得，从而成立. 【详解】（1）若，则，定义域为， ， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2），令，得， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使恒成立，需满足. 设， 则，令，得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故，当且仅当时等号成立， 若满足，必有， 故. （3）要证明， 即证明， 令，由，得，不等式化为. 由（2）知，当时，，当且仅当时取等号， 所以，整理得，从而成立； 同理，要证明，即证明， 即. 令，因为，所以， 所以在上单调递减，所以， 即，整理得，从而成立. 综上，. 【点睛】关键点点睛：第三问，对所证不等式进行变形，先证不等式左边，只需证明，令，不等式化为，，二元问题转化为单元问题，同理再变形不等式右边，证明出结论 33．(24-25高二上·湖南长沙明德中学·期末)设. (1)求在处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)证明：对于任意正整数都有恒成立. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证； （3）由（2）可知当时，可得，根据等比数列求和可知，即可得解. 【详解】（1）已知，则， 则，又， 所以切线方程为，即. （2），所以， 令，解得， 可知当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以. （3）由（2）可知当时，，即， 令，可得， 从而 ， ， 即， 则对于任意正整数都有恒成立. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围. （2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解． 34．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)设函数，. (1)求在点处的切线方程； (2)判断在区间上的零点个数，并说明理由； (3)若实数满足，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)三个零点，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求导数，再得出切线斜率进而求出切线； （2）求出导函数根据导函数的正负得出函数的单调性，再结合零点存在定理得出函数零点个数； （3）构造函数，再求导函数得出函数单调性即可得出最值进而解题. 【详解】（1）， ，因此，又， 所以在点处的切线方程为. （2）， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 因为，所以， 又， 由零点存在定理，时，有一个零点， 又，所以在区间上有三个零点. （3）设，， 则，， 令，，， 当时，则存在使，，即在区间上单调递减， 所以，即在区间上单调递减， 所以，不合题意； 当时，令，， 又，则，， 所以在区间上单调递增，， 所以在区间上单调递增，， 所以在区间上单调递增，，满足题意. 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解题（3）的方法是构造新函数，应用二次求导进而得出计算求参. 35．(24-25高二上·湖南长沙第一中学·期末)设函数（）. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，曲线与直线交于，两点，求证：； (3)证明：（，）. 【答案】(1)时，单调递减；时，单调递增. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数的正负即可求解； （2）求导得，进而代入化简将问题转化成，构造函数即可利用导数求解； （3）利用（2）的结论取，，利用累加法即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 时，，单调递减； 时，，单调递增. （2），则， 由题意，知有两解，，不妨设， 要证，即证， ①若，则； ②若，由知， 在上单调递减，在上单调递增，也有， 综合①②知，， 所以只需证（*）. 又， ∴两式相减，整理得， 代入（*）式，得，即. 令（），即证. 令（），则， ∴在上为增函数，∴， ∴成立. （3）由（2）知，， 故，，取， 所以（）， 则（）. 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 36．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由单调递增去掉绝对值符号，构造函数，转化为存在，使得，对求导后按照和两类进行讨论. 【详解】， 当时，，所以是增函数， 不妨设，则，又， 所以由，得，即， 设，则， 当时，，是增函数，不存在，使得， 当时，要满足题意，则在区间上有解，使得在区间上不单调. 则，， 设，，，（两等号不可能同时成立）， 所以， 所以在区间上单调递减，得，， 所以. 故选C. 地 城 考点08 零点问题 37．(24-25高二上·湖南名校联考联合体·期末)已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)函数的单调增区间为，单调减区间为. (2) 【分析】（1）求该函数的定义域，求导，根据导数判断函数的单调性； （2）分离参数，并构造函数，利用导数得出的大致图像，进而由与的图象有两个交点结合图像得出所求范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，即，解得. 当时，，则，函数在上单调递增； 当时，，则，函数在上单调递减； 综上，函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）由题意在上有两个不同的根. 可化为， 令，则问题转化为与的图象有两个交点. , 令，则，. 当时，，则，函数在上单调递增； 当时，，则，函数在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，， 当时，，则， 当时，的增长速度远慢于的增长速度，所以. 因为与的图象有两个交点，所以. 综上，的取值范围为. 38．(24-25高二上·湖南岳阳平江县·期末)已知函数 (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值，无最小值 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）当时，分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最值； （2）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按、进行讨论，写出单调区间； （3）对按、进行讨论，分析函数的单调性，在时，根据函数的单调性直接验证即可；在时，求出函数的最小值，结合零点存在定理可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 则在区间上单调递减，所以，，无最小值. （2）函数的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减； （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，函数的减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. （3）分析以下几种情况讨论： （ⅰ）若，函数在上为减函数，则至多有一个零点； （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 当时，由于，故只有一个零点； 当时，由于，此时，函数没有零点； 当时，， 又，故在有一个零点. 设正整数满足， 则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 地 城 考点09 隐零点替换 39．(24-25高二上·湖南长沙雅礼中学·期末)已知函数，，. (1)当时，讨论函数的零点个数 (2)记函数的最小值为m，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)0 【分析】（1）求导，分、和三种情况，利用导数判断的单调性和最值，进而分析零点； （2）对求导，分析的单调性和符号，即可得的单调性和最值，结合零点代换可得，再对求导，利用导数分析其单调性和最值，结合零点代换分析求解. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，. ①当时，，可知在定义域内单调递增， 且，，所以函数有唯一零点； ②当时，恒成立，所以函数无零点； ③当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增． 则， 故当时，，即，所以函数无零点； 综上所述，当时函数无零点；当，函数有且仅有一个零点. （2）由题意可知的定义域为，且， 令，则， 可知在上为增函数，即在上为增函数． 且，， 可知在上存在唯一零点， 则，可得，， 当时，，在上减函数； 当时，，在上为增函数； 可知的最小值 又因为的定义域为，且， 且在上为增函数，可知在上为增函数， 因为，则，， 可知在上存在唯一零点，则， 当时，，在上为减函数； 当时，，在上为增函数， 所以的最小值为， 因为，则，即， 又因为，可得， 且函数在上为增函数，所以， 可得， 又因为，即，所以在上的最小值为0. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法 （1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号； （2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数． （3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解； （4）求函数在闭区间的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较，从而得到函数的最值． 地 城 考点10 多选题多考点综合 40．(24-25高二上·湖南名校联考联合体·期末)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．若的最小值为，且，则（参考） C．若，则 D．若有两根，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】对于A项：应用导数研究函数的单调性，再研究最值即可求得；对于B项：最小值为，即，可构造函数，应用零点存在定理证求解即可；对于C项：分类讨论当，，时，的最小值即可；对于D项：由有两根可等价转化为有两根，构造函数求其最值即可. 【详解】对于A项：因为函数的定义域为， 所以，由得， 所以在上，单调递减，在上，单调递减， 在上，单调递增. 当时，；当时，，所以A错误； 对于B项：由上推理可知当时，，所以. 设函数，则， 所以函数在单调递增. 又因为，， 所以，则，所以，故B正确； 对于C项：因为， 所以， 令，则， 则函数在单调递增， 又因为，所以， 若，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以； 若，当时，，单调递增； 所以； 若，当时，， 设，因为， 所以单调递增， 所以， 又因为，所以；综上可知C正确； 对于D项：因为有两根， 所以，即有两根. 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 且当，时，. 所以， 所以有两根只需，故D错误； 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：在C项推理中，若，只需证明，因此可构造函数，只需证明当时，即可，这样可以较易证出. 41．(23-24高二上·湖南长沙宁乡·期末)对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得最小值 B．在处取得最大值 C．有两个不同零点 D． 【答案】BD 【分析】利用单调性求最值判断A,B，求零点判断C，先转换到同一单调区间内，在比大小判断D即可. 【详解】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确， 令，解得，可得只有一个零点，故C错误， 易知，且结合单调性知，即成立，故D正确. 故选：BD 42．(23-24高二上·湖南长沙长郡集团所有学校·期末)已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．在上的值域为 D．点是曲线的对称中心 【答案】ACD 【分析】A选项，求导，得到函数单调性，得到函数的极值点个数；B选项，在A选项求出的函数单调性基础上，结合特殊点的函数值得到B错误；C选项，求出极值和端点值，比较后得到值域；D选项，验证即可. 【详解】对于A，，令可得或2. 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以0是的极大值点，2是的极小值点，所以有两个极值点，故A正确； 对于B，由A选项知函数极大值为，极小值为， 又，数形结合得，只有2个零点，故B错误； 对于C，由于在递增，在递减，在递增， 且，，， 所以在上的值域为，故C正确； 对于D，， 点是曲线的对称中心，故D正确. 故选：ACD. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $