精品解析：湖南省岳阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷

湖南省岳阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷 温馨提示： 本试卷分试题卷和答题卷两部分，请将答案填（涂）在答题卷上，考试结束后只交答题卷.本试卷共5页，有22道题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 2i C. D. 2 3. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. ，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则事件与事件的关系是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件对立 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件互斥又独立 6. 为抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，则为（ ） A. B. C. D. 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，正四面体的长为，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题.（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 若在上的投影向量为 10. 已知圆，点是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆关于直线对称 B. 直线与圆相交所得弦长为 C. 若，则距离的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点是双曲线上的点（异于、），则下列结论正确的是（ ） A. 该双曲线的离心率为 B. 该双曲线的渐近线方程为 C. 若，则的面积为 D. 点到、两点的连线斜率乘积为 12. 在棱长为2的正方体中为CD的中点，是的中点，是侧面内的一动点（不包含四个顶点），则下列结论正确的是：（ ） A. 点到平面的距离为 B. 三棱锥体积是定值，定值为1 C. 存在点，使得平面 D. 存在点，使得且 三、填空题.（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则________________. 14. 若直线与圆相切，则________________. 15. 若，且，则的最小值等于________________. 16. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为________________. 四、解答题.（本题共6个小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求，并求的最大值. 18. 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）； （3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率． 19. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求． 20. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 21. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 22. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. （1）求的方程； （2）设直线不经过点，且与相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为-2，求证：l过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省岳阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷 温馨提示： 本试卷分试题卷和答题卷两部分，请将答案填（涂）在答题卷上，考试结束后只交答题卷.本试卷共5页，有22道题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求，再求． 【详解】由已知得，所以，故选C． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 2i C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先化简计算，再根据复数虚部的定义可得结论. 【详解】因为，所以复数的虚部为. 故选：D. 3. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A． 4. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】， 所以. 故选：B 5. 若，则事件与事件的关系是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件对立 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件互斥又独立 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 又因为，，所以， 所以事件与事件相互独立、事件与事件不互斥，故不对立. 故选：C. 6. 为抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，利用两点间的距离公式及余弦定理即可求解. 【详解】由题意得， 直线与抛物线交于两点， 所以， 所以，， 所以， 所以. 故选：C 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 8. 如图，正四面体的长为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以、、为基底表示，然后利用向量的数量积计算公式计算即可. 【详解】 . 故选：D 二、选择题.（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 若在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用向量减法运算的坐标运算可判断A；求得向量的模判断B；利用向量夹角坐标表示求得向量的夹角判断C；利用投影向量的运算公式求解可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 由已知可得，，故B错误； 因为，又，所以，故C错误； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知圆，点是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆关于直线对称 B. 直线与圆相交所得弦长为 C. 若，则距离的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线是否过圆心判断A，利用点到直线的距离公式和垂径定理判断B，利用三角形三边的关系列不等式判断CD. 【详解】由题意可得圆的标准方程为，圆心为，半径， 选项A：因为圆心在直线上，所以圆关于直线对称，说法正确； 选项B：圆心到直线的距离，所以由垂径定理可得弦长为，说法错误； 选项C：因为，所以点在圆外，又因为点是上的动点， 所以，当且仅当三点共线且在第三象限时等号成立， 所以距离的最大值为，说法正确； 选项D：因为点是上的动点，所以，， 当且仅当 三点共线且点在轴正方向上时等号成立， 所以的最小值为，说法错误. 故选：AC 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点是双曲线上的点（异于、），则下列结论正确的是（ ） A. 该双曲线的离心率为 B. 该双曲线的渐近线方程为 C. 若，则的面积为 D. 点到、两点的连线斜率乘积为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出、、的值，利用双曲线的离心率公式可判断A选项；求出该双曲线的渐近线方程，可判断B选项；利用双曲线的定义、勾股定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用斜率公式结合双曲线的方程可判断D选项. 【详解】在双曲线中，，，则， 对于A选项，该双曲线的离心率为，A错； 对于B选项，该双曲线的渐近线方程为，B对； 对于C选项，因为，则， 由双曲线的定义可得， 所以，，可得， 故，C对； 对于D选项，设点，其中，且，可得， 易知点、，则，D错. 故选：BC. 12. 在棱长为2的正方体中为CD的中点，是的中点，是侧面内的一动点（不包含四个顶点），则下列结论正确的是：（ ） A. 点到平面的距离为 B. 三棱锥体积是定值，定值为1 C. 存在点，使得平面 D. 存在点，使得且 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量结合点到平面距离判断A,应用等体积结合三棱锥体积公式计算判断B,设点的坐标，应用线面平行的向量关系及线线垂直的向量关系分别计算求解判断C,D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量，则，取，得， 所以点到平面的距离为，A选项正确； ，B选项错误； 设，，，则，， 则 设平面的法向量，则，取，得， 当，即时，平面,C选项正确； 因为， 则，， 则所以，当时满足得且，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题.（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则________________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数定义直接代入计算可得结果. 【详解】由题意可知， 所以可得. 故答案为： 14. 若直线与圆相切，则________________. 【答案】9 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式求出值. 【详解】圆，即的圆心，半径， 依题意，，解得. 故答案为：9 15. 若，且，则的最小值等于________________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用指数运算并由基本不等式中“1”的妙用计算可得结果. 【详解】由可得，因此； 又，所以； 当且仅当时，即时，等号成立； 所以的最小值等于8. 故答案为：8 16. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为________________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先发现斐波那契数的规律，并计算接下来的圆弧所在圆的半径和圆弧长，进而可得所求圆锥的底面半径. 【详解】由斐波那契数可知，从第3项起，每一个数都是前面两个数的和， 所以接下来的一段圆弧所在圆的半径是，对应的弧长是， 设圆锥的底面半径是， ，解得：. 故答案为：. 四、解答题.（本题共6个小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求，并求的最大值. 【答案】（1） （2），最大值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于的等式，解出的值，即可得出的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的性质可得出的最大值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为为等差数列的前项和，，， 即，所以，， 所以，. 【小问2详解】 ， 故当时，故有最大值. 18. 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）； （3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】（1）， （2）估计众数为70，分位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由第三、四、五组的频率之和为0.7，各组频率之和为，建立方程组求解； （2）由频率分布直方图可知最高的矩形组为第三组，取中点可得众数，求前两组与前三组频率之和，确定第分位数所在组，再由比例关系求解； （3）由抽样比可得两组选取人数，列举法得，，再由古典概型概率公式可求. 【小问1详解】 由题意可知：，， 解得，； 【小问2详解】 由频率分布直方图估计众数为， 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 则估计第分位数为； 【小问3详解】 根据分层抽样，和的频率比为 故在和中分别选取4人和1人，分别设为和 则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有 共10个， 即，记事件“两人来自不同组”， 则事件包含的样本点有 共4个，即， 所以. 19. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用余弦定理及面积公式求出、，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，，为外接圆的半径， ∴． ∵，∴． 又，∴． 【小问2详解】 由（1）知，又∵， 由余弦定理，得①， 由题意知，即②， 联立①②得，所以，故． 20. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直的判定定理可证得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 四边形为矩形，，为中点， ，又，，； 平面，平面，； ，平面，平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 由（1）知：平面，平面的一个法向量为， ， 即平面与平面夹角的余弦值为. 21. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）令可求出的值，再令由可得出，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）根据（1）中的结论求出数列的通项公式，可求出，利用错位相减法和分组求和法可求得. 【小问1详解】 因为数列的前项和为，且， 所以①， 当时，，解得， 当时，②， ①②得，所以，即， 即，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 因为数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，则， 所以，， 所以，， 则， 令③， 所以，④， ③④得， 所以，，故. 22. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. （1）求的方程； （2）设直线不经过点，且与相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为-2，求证：l过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明：当直线的斜率不存在时，设 直线方程为： 当直线的斜率存在时 设直线方程为，设 联立直线与椭圆方程：整理得： 或者 当时，直线方程为：，过定点，与题意矛盾 当，直线方程为： 即：直线过定点 综上所述：直线过定点 【解析】 【分析】（1）根据离心率及短轴定义列方程组计算即可； （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况设直线方程再联立方程组计算求参即可. 【小问1详解】 由题意得： 所以的方程为： 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $