期末专题04 等差等比数列通项、性质、递推关系与数列求和11大考点（期末真题汇编，湖南专用）高二数学上学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 期末专题04等差等比数列通项、性质、递推关系与数列求和 ☆1大高频考点概览 考点01等差数列中基本量的计算 考点02等差数列的性质 考点03等比数列中基本量的计算 考点04等比数列的性质 考点05等差等比混考问题 考点06n与S的关系 考点07分组求和 考点08裂项相消求和 考点09错位相减求和 考点10最值与范围问题 考点11数列新定义 目目 考点01 等差数列中基本量的计算 1.(24-25高二上湖南长沙湖南师范大学附属中学.期末)已知等差数列a},a2=3,a。=11,则a4=() A.6 B.7 C.8 D.9 2.(24-25高二上湖南永州期末)记等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a,=1,则S4=（) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(24-25高二上湖南百师联盟期末)在等差数列an}中，Sn为其前n项和.若a,+a4=17,2a2+a6=24, 则S2=() A.210 B.420 C.198 D.105 4.(24-25高二上湖南益阳期末)已知等差数列{an}的前n项和为S.,a,=2,S6-S4=22,则Ss=() A.36 B.64 C.72 D.88 5.(24-25高二上湖南天壹名校·期末)等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若a,=5,a。=95,则S1。=() A.50 B.100 C.400 D.500 1/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高二上湖南株洲第二中学期末)已知等差数列a.的前n项和为Sn,3S4-4S3=3,则d= 7.(24-25高二上湖南多校联考期末)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1。+a12+3ag=4-a1,则3S1g= () A.10 B.15 C.21 D.38 目目 考点02 等差数列的性质 8.(24-25高二上湖南岳阳平江县期末)在等差数列an}中，Sn为其前n项的和，若S4=6,S。=20,则 S12= 9.(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学·期末)已知等差数列{a,}的前n项和为 Sn,若a+a6+a,=15,则S1=() A.30 B.55 C.80 D.110 10.(24-25高二上湖南百师联盟期末)（多选）已知等差数列{an}的首项a,=2,公差d=8,在{an}中每相 邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b},以下说法正确的有() A.a =8n-6 B.当k=3时，b.=2n C.当k=3时，b,是数列{an}中的项 D.若b,是数列an}的项，则k的值不可能为7 11.(24-25高二上湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学·期末)（多选）若数列{αn}为等差数列， Sn为其前n项和，S;<S。,S。=S,,S,>Sg,则下列说法正确的有() A.公差d<0 B.S12>0 C.S>Ss D.使S,<0的最小正整数n为14 12.(24-25高二上·湖南长沙雅礼中学·期末)已知等差数列{an}，满足a202+a2023<0,a2022·a2023<0,且数 列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于() 2/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4043 B.4042 C.4041 D.4040 13.(24-25高二上湖南郴州·期末)（多选)已知公差为d的等差数列an},其前n项和为Sn,且 S2<0,S3>0,则下列说法正确的为() A.a7<0 B 为等差数列 n C.当Sn取得最小值时，”=6 D.{an}为递减数列 目目 考点03 等比数列中基本量的计算 14.(24-25高二上湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学期末)若{an}是公比为3的等比数列， 且a,+a=5,则a5=」 15.(24-25高二上·湖南浏阳期末)在等比数列an}中，a,=1,a3=4,则a4= 16.(24-25高二上湖南长沙湖南师范大学附属中学.期末)已知等比数列an}中，公比q>0,若a2=4,则 41+a2+a3() A.有最小值-4 B.有最小值12 C.有最大值-4 D.有最大值12 17.(24-25高二上·湖南永州期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,数列{S。-a+1为等比数列， 若am≤2024，则正整数m的最大值为() A.9 B.10 C.11 D.12 18.(24-25高二上湖南益阳·期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且2a2+a4=13,S,=25 (1)求an; (2)若bn=2,记Tn=b+b2+…+bn,求T6的值 目目 考点04 等比数列的性质 19.(24-25高二上湖南郴州期末)在正项等比数列an}中，若a2,a1o为方程x2-7x+9=0的两个实根，则 l0g3a1+l0g3a2+…+l0g3a1=(） A.10 B.11 C.12 D.22 3/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.(24-25高二上湖南长沙周南中学期末)记Sn为正项等比数列{an}的前n项和.若S2=2,S4=6,则 S6=() A.18 B.10 C.14 D.12 21.(24-25高二上湖南多校联考·期末)（多选）记等比数列{an}的公比为q,前n项积为T,己知a1>1, a1oa1>1,(ao-1)(a1-1)<0,则() A.921 B.T1<1 C.T,的最大值为 D.a1o+a1>2 目目 考点05 等差等比混考问题 22.(24-25高二上湖南长沙长郡中学期末)已知数列{an}为等差数列，{b.}为等比数列，a=b=6,则() A.bb。≥a4a6 B.b4+b≥a4+a6 C.b,b。≤a4a6 D.b4+b6≤a4+a6 23.(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学.期末)已知数列{αn}是公差不为零的 等差数列，4，=1，且a1,a,a,成等比数列. (1)求{an}的通项公式： (2)设bn=a2,求数列{bn}的前n项和Sn 目目 考点06 ansm的关系 24.(24-25高二上湖南郴州期末)已知数列{an}的前n项和S。=-n2+7n,则a。=() A.10 B.6 C.4 D.-4 25.(24-25高二上湖南多校联考期末)记数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=4,则S6= 26.(24-25高二上湖南百师联盟期末)在数列{an}中，Sn为其前n项和.若a1=1,Sn+1=3Sn+1,则an=() A.3” B.3n-2 C.3-1 D.2m-1 4/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 27.(24-25高二上湖南永州期末)（多选）已知数列{an}的前n项和S。=n2-13n,则() A.a1=-12 B.a2024<02023 C.Sn有最小值 D. 数列 不是等差数列 28.(2425高二上湖南永州期末)已知数列 1 的前项和S,-820 11 ，4=4,则a2024=一 29.(24-25高二上湖南岳阳平江县·期末)（多选）数列{an}的前n项和S,=11n-n2,则() A.a1=10 B.an=-2n+12 C.当n=5或6时，数列{Sn}有最小项 D 是等差数列 目目 考点07 分组求和 30.(24-25高二上湖南益阳期末)（多选)已知数列an}的前n项和为Sn,且a,=1,an+1=2an+1,则() A.an=2"-1 B.Sn=2"1-n-2 C.S=+2 D.数列{1log2(an+}为等比数列 目目 考点08 裂项相消求和 31.(2425高二上湖南长沙周南中学·期末)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》 中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设各层球数 1 构成一个数列{an}.则数列{二的前五项的和为() a. 5/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 1 A.35 B. 35 c D.5 32.(24-25高二上湖南多校联考期末记数列a,}的前n项和为S,已知S.=m,-m,-) 2 (1)证明：{an}是等差数列： 1,1,,111 (②若a=2,证明：S+,+…+s.9 +…+ 3.(2425高二上湖南衡阳第一中学期末记数列a,的前n项和为S,已知S,=m,--少 2 (I)证明：{an}是等差数列； .111 (2)若a,=2,证明： S。9 34.(24-25高二上湖南郴州期末)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a+4a.=8S.+12. (1)求数列{an}的通项公式： 3 (2若。S,数列b}的前项和为工求证：7，<令 35.(24-25高二上湖南长沙第一中学.期末)（多选）已知正项数列{an}满足a,=1, 10 aa,a,)=a,(aa小aeN,记7.=aa,+a,a+…+a,a1,7o=11,则（） 2024 是等差数列 B.a2025= a 2025 C.T,<1 D.243 i=1 36.(2425高二上湖南长沙湖南师范大学附属中学期末)函数f(x)=x-1(x≠0)的图象犹如两条飘逸的绸 带而被称为飘带函数，也是一对优美的双曲线在数列c,中，G=l上=neN,n≥2，记数列c的 Cn 前n项积为Tn,数列T}的前n项和为S.,则当n之2时() A言双2 B.1<S 5 D.s8<2 37.(24-25高二上湖南株洲第二中学·期末)己知等比数列an}的前n项和为Sn,a1=2,2S3=3a3+4,数 列{b}满足：b,= 。S+2neN),且数列b,}的前项和为工，若对于任意的实数a-1,,不等式 S(S +1) T,<m2-2am-2恒成立，则实数m的取值范围为() 6/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(-o,-1U[1,+∞j B.（-oo,-1)U1,+oo) C.（-0,-3)u(3,+0 D.-0,-3]U[3,+0 38.(24-25高二上湖南长沙第一中学期末)已知等差数列{an}的首项a=1,公差为d(d≠0)，其前n项 和为Sn,b。=anan1-2Sn (1)求证：数列bn1-b,}是等差数列： (2)若{b,}也是等差数列，求数列 -13” 的前n项和Tn aan+ 39.(24-25高二上湖南长沙周南中学期末)已知数列an}的前n项和为Sn,且Sn=n2,n∈N.数列bn}满 1 足：么=l,6=写且36：-4b+6.=0,n∈N. (1)求证：数列{b1-b}是等比数列： (2)求数列{an}和(b}的通项公式； ③设，，c的前吸的和为Z,求证：工<星 anant 目目 考点09 错位相减求和 40.(24-25高二上湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学.期末)已知数列{an}的通项公式为 2，则数列{，}的前n项和Sn=() 0n A.2”-n-1 21-n-2 20 B. C.2”-n+1 2m+1-n+2 2 20 D. 2” 1.Q425上湖南邵阳邵东期末已知数列0，满足：a-山，aH36十cN7 (1)求数列a}的通项公式： (2)设bn=aan+1,求数列{b}的前n项和Sn: 1 (3)设6，=2”0，记数列c,的前m项和Z,求证：7<4 42.(24-25高二上湖南百师联盟期末)已知等比数列an}的各项都是正数，Sn是{an}的前n项和，a=1, S2=a3-1. 7/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn: k,n=ak, (2)若bn= ∈N,求∑b的值 b-1+2k,ag<n<ak, 考点10 最值与范围问题 43.(24-25高二上湖南邵阳邵东·期末)已知数列a}的首项a1=1,且满足(a+1-a,-1(a+1-2a.)=0对任 意n∈N都成立，则能使am=2025成立的正整数m的最小值为_ 44.(24-25高二上湖南衡阳第一中学期末)已知数列a,a2,43,a4,a的前三项成公差为m的等差数列， 后三项成公比为m的等比数列，其中m∈(0,1)，若a,=a,则a,的最小值为() A.-3-2√2 B.-3+2√2 C.1 D.5 1 425高上湖水州期末在数列Q,b中，&)=1，a3a十61=2b,+ (1)求数列{an},{bn}的通项公式： (2②)若不等式2+入(-1(b,+a,21对任意n∈N恒成立，求实数入的取值范围； (3)证明： 乃1< 台b,b112 46.(24-25高二上湖南衡阳第一中学期末)已知{an}是递增的等差数列，a+a5=14,a2a4=40 (1)求{an}的通项公式： (2)设数列{(-l)a}的前n项和为Tn,求Tn； ③记6=16+，若 0m-4 b2 -bzn 对任意n∈N恒成立，求实数的取值范围， 目目 考点11 数列新定义 47.(2425高二上湖南郴州期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该 数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著 名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想等）·如取正整数m=6,根据上述运算法则得出 6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），现给出冰雹猜想 8/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 的递推关系如下：已知数列an}满足：a=m(m为正整数)，an+1= ,当an为偶数时 2 若a=1,记 3an+1,当an为奇数时 数列{an}的前n项和为Sn,则S2o2s=一· 48.(24-25高二上湖南益阳·期末)若各项均为正整数的数列U:a1,a2,…,a.,…n≥3)，对任意的 k(2≤k≤n-1,均有a1+ag-1>2a成立，则称数列U为“下凸正整数数列” (1)若数列1，a,b,6是“下凸正整数数列”，求出所有的数对(a,b): (2)设数列b}满足b=1,bn>0且b=nb1+b好+nbn,判断数列{b,}(n≥3)是否为“下凸正整数数列”，并 说明理由； (3)已知“下凸正整数数列”U':a1,a2,…,a,…(n之3)中，a=1,4=2,,an=991,求的最大值 49.(24-25高二上湖南株洲第二中学期末)若正整数数列x,满足：对任意的n∈N,都有 x,-x1>xn-1-x-2n≥3)恒成立，则称数列为“差增数列 (1)若1，a,b,8为“差增数列”，写出所有可能的a,b: (2)若“差增数列”{xn}满足：x=1,x=2024,求k的最大值： (3)对所有可能的“差增数列”xn,记T=max{xx2,x2o24}(maxM表示数集M中的最大值)，求T的最小 值 50.(24-25高二上·湖南长沙长郡中学期末)卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用 k 一般地，对无穷数列{a},{b,},定义无穷数列cn=∑ab-(neN),记作{a}*{b,}={c,},称为a}与 {b}的卷积卷积运算有如图所示的直观含义，即{cn}中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元 素的和，易知有交换律{an}*{b}={bn}*{a} a a a3 aibi abi a3b b2 b3 1b3a2b3a3b3… (1)a=n,b=3",a *b=c,c,c2,c3,ca; (2)对ieN,定义T,{an}如下：①当i=1时，T,{an}={an};②当i≥2时，T{an}为满足通项 9/10 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 0,n<i, d,= an+l-,n≥i 的数列d,},即将{a,}的每一项向后平移(i-1刂项，前(i-)项都取为0.试找到数列{}， 使得{}*{a}=T{a}: (3)若an=n,{an}*{bn}={cn},证明：当n≥3时，bn=Cm-2ca-1+Cn-2. 10/10 期末专题04 等差等比数列通项、性质、递推关系与数列求和 11大高频考点概览 考点01 等差数列中基本量的计算 考点02 等差数列的性质 考点03 等比数列中基本量的计算 考点04 等比数列的性质 考点05 等差等比混考问题 考点06 与的关系 考点07 分组求和 考点08 裂项相消求和 考点09 错位相减求和 考点10 最值与范围问题 考点11 数列新定义 地 城 考点01 等差数列中基本量的计算 1．(24-25高二上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知等差数列，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】因为等差数列，所以， 故选：B. 2．(24-25高二上·湖南永州·期末)记等差数列的前项和为，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列项的性质和求和公式即可求得的值. 【详解】因为数列为等差数列，则. 故选：B 3．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)在等差数列中，为其前项和.若，，则（    ） A．210 B．420 C．198 D．105 【答案】A 【分析】列方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的前项和公式可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，所以 解得，所以. 故选：A. 4．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知等差数列的前项和为，则（    ） A．36 B．64 C．72 D．88 【答案】C 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得，故， 进而可得，故， 故选：C 5．(24-25高二上·湖南天壹名校·期末)等差数列中，为其前项的和，若，，则（   ） A．50 B．100 C．400 D．500 【答案】D 【分析】根据等差求和公式即可代入求解. 【详解】， 故选：D 6．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)已知等差数列的前项和为，，则 . 【答案】/0.5 【分析】运用等差数列的求和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由. 故答案为：. 7．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)设为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．10 B．15 C．21 D．38 【答案】D 【分析】先由题中条件，结合等差数列下标之和的性质求出,再根据等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 则，即，所以，则, 因此. 故选：D 地 城 考点02 等差数列的性质 8．(24-25高二上·湖南岳阳平江县·期末)在等差数列中，为其前n项的和，若，则 ． 【答案】42 【分析】由已知列出方程求出首项和公差即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 则. 故答案为：. 9．(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学·期末)已知等差数列的前项和为，若，则 （    ） A．30 B．55 C．80 D．110 【答案】B 【分析】利用等差数列的项的性质，由条件求得，再根据等差数列求和公式化简计算即得. 【详解】因是等差数列，故，解得， 则. 故选：B. 10．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)（多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，是数列中的项 D．若是数列的项，则的值不可能为7 【答案】ABC 【分析】利用等差数列的通项公式即可判断选项A与选项B；直接让，解得，即可判断选项C；利用等差数列概念即可判断D. 【详解】对于A，由题意得，A正确； 对于B，当时，数列的首项为2，公差为，故，B正确； 对于C，由B选项可知，令，解得，所以是数列的第8项，C正确； 对于D，插入个数，则，，，，…，所以等差数列中的项在等差数列中对应的项的序号是以1为首项，为公差的等差数列，即，若是数列的项，令，当时，，D错误. 故选：ABC. 11．(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学·期末)（多选）若数列为等差数列，为其前项和，，，，则下列说法正确的有 （    ） A．公差 B． C． D．使的最小正整数为 【答案】ABD 【分析】推导出，，，可判断A选项；利用等差数列的求和公式可判断B选项；利用等差数列的基本性质和作差法可判断C选项；由可得出，结合数列的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，， 则，，， 所以，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，则，C错； 对于D选项，因为，， 由，可得，则， 因为，所以数列单调递减，由可得， 所以，使的最小正整数为，D对. 故选：ABD. 12．(24-25高二上·湖南长沙雅礼中学·期末)已知等差数列，满足，，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（   ） A．4043 B．4042 C．4041 D．4040 【答案】A 【分析】由题可知数列是递减的等差数列，再由等差数列前n项和公式和下角标和的性质即可求解. 【详解】因为数列的前n项和有最大值， 所以数列是递减的等差数列． 又，， 所以，即数列的前2022项为正数，从第2023项开始为负数， 由等差数列求和公式和性质可知， ， ， 所以当取最小正值时，. 故选：A. 13．(24-25高二上·湖南郴州·期末)（多选）已知公差为的等差数列，其前项和为，且，则下列说法正确的为（    ） A． B．为等差数列 C．当取得最小值时， D．为递减数列 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质可得，再逐项分析判断. 【详解】在等差数列中，， 则，，公差， 对于A，，A错误； 对于B，，则，， 为等差数列，B正确； 对于D，由，得为递增数列，D错误； 对于C，数列前6项都为负，从第7项起都为正，因此当取得最小值时，，C正确. 故选：BC 地 城 考点03 等比数列中基本量的计算 14．(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学·期末)若是公比为的等比数列，且，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件求出的值，由此可得出的值. 【详解】因为是公比为的等比数列，，可得， 所以，. 故答案为：. 15．(24-25高二上·湖南浏阳·期末)在等比数列中，，则 . 【答案】 【分析】由等比数列的两项求公比，在通过和求出的值. 【详解】，∴，∵，∴， 故答案为： 16．(24-25高二上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知等比数列中，公比，若，则（    ） A．有最小值 B．有最小值12 C．有最大值 D．有最大值12 【答案】B 【分析】由结合基本不等式可以求出最小值，又可以趋向正无穷大，则无最大值，即可求解. 【详解】因为公比，，则， 当且仅当即时取等，故可知的最小值为12， 又可以趋向正无穷大，则可以趋向正无穷大，即无最大值. 故选：B. 17．(24-25高二上·湖南永州·期末)已知等比数列的前项和为，，数列为等比数列，若，则正整数的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，分和两种情况根据数列为等比数列分别求解，可得，所以可得等比数列的通项公式，再根据即可求解. 【详解】等比数列的前项和为，，设公比为， 由数列为等比数列， 所以当时，可得，不是等比数列， 当时，可得， 所以，所以， 所以，由，可得， 又，，可得正整数的最大值为. 故选：. 18．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知等差数列的前项和为，且，. (1)求； (2)若，记，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，. 所以数列的通项公式是. （2）由题意知，则， 数列是首项为，公比为的等比数列， 又因为，所以，. 地 城 考点04 等比数列的性质 19．(24-25高二上·湖南郴州·期末)在正项等比数列中，若为方程的两个实根，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．22 【答案】B 【分析】利用韦达定理求出，再利用对数运算及等比数列性质计算得解. 【详解】由为方程的两个实根，得， 在正项等比数列中，，， 所以. 故选：B 20．(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)记为正项等比数列的前项和．若，，则（    ） A．18 B．10 C．14 D．12 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质得成等比数列，从而得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，且，， 由等比数列的性质可知：成等比数列， 即成等比数列，所以，解得：， 故选：C 21．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)（多选）记等比数列的公比为q，前n项积为，已知，，，则（   ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】BD 【分析】先用反证法证明可判断A，判断数列是正项递减数列，可得，从而可判断BC；结合基本不等式可判断D. 【详解】因为，所以一个大于1，一个小于1， 因为，若公比，则都大于等于1，矛盾，所以，A不正确； 因为，所以，即， 所以数列是正项递减数列，可得，所以的最大值为，C不正确； ，B正确； 因为，所以，D正确. 故选：BD. 地 城 考点05 等差等比混考问题 22．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)已知数列为等差数列，为等比数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列和等比数列的性质和基本不等式即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 因为数列为等比数列，所以， 而， 所以，故A正确，C错误； 因为，而，可同为正数也可同为负数， 当时，，当时，， 所以，大小关系不确定，故B，D错误. 故选A. 23．(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学·期末)已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及等比中项的性质列方程求基本量，即可得通项公式； （2）由（1）得，应用等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）设等差数列是公差为，且，且， ∴，， 又成等比数列，则， ∴，即， 即，解得或（舍）， ∴. （2）由（1）得，则，又，则， 又， 所以. 地 城 考点06 24．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知数列的前项和，则（    ） A．10 B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】利用第项与前项的关系求出答案. 【详解】数列的前项和，所以. 故选：D 25．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)记数列的前n项和为，且满足，则 . 【答案】 【分析】根据题中递推公式，得到，与原式作差整理，得到数列是等比数列，根据等比数列求和公式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，两式作差得， 即，则， 又，即， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列 因此. 故答案为： 26．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)在数列中，为其前项和.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与的关系式，求得，进而得到数列是等比数列，再用公式计算即可. 【详解】因为，所以当时，.两式相减，得，. 因为，且当时，，所以，所以， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以. 故选：C. 27．(24-25高二上·湖南永州·期末)（多选）已知数列的前项和，则（    ） A． B． C．有最小值 D．数列不是等差数列 【答案】AC 【分析】根据数列的前项和公式，利用，求出数列的通项公式，结合等差数列的定义和性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，， 当时，也满足上式，所以数列的通项公式为， 所以， 所以数列是公差为2的等差数列，所以，故B错误； 因为，所以当时，；当时，， 所以有最小值或，故C正确； 因为，所以， 所以，所以数列是等差数列，故D错误. 故选：AC. 28．(24-25高二上·湖南永州·期末)已知数列的前项和，，则 ． 【答案】4050 【分析】由已知根据递推关系可得数列为等差数列，再根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】当时，，可得， 当时，，又，所以，所以， 所以数列是首项为4，公差为2的等差数列， 所以，所以. 故答案为：4050. 29．(24-25高二上·湖南岳阳平江县·期末)（多选）数列的前项和，则（     ） A． B． C．当或6时，数列有最小项 D．是等差数列 【答案】ABD 【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】对于A：因为，当时，故A正确； 对于B：当时， 所以， 经检验时也成立，所以，故B正确； 对于C：因为，所以当或时取得最大值，且，即数列有最大项，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确. 故选：ABD 地 城 考点07 分组求和 30．(24-25高二上·湖南益阳·期末)（多选）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 【答案】AB 【分析】因为，所以数列是等比数列，即可求出，利用分组求和即可求出，进而即可判断CD. 【详解】因为，所以，所以数列是以首项为， 公比为2的等比数列，所以，故A正确； 数列的前项和为 ，故B正确； 因为，故C错误； 令，所以数列为等差数列，故D错误. 故选：AB. 地 城 考点08 裂项相消求和 31．(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设各层球数构成一个数列．则数列的前五项的和为（    ） A．35 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，然后利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以数列的前五项的和为. 故选：C 32．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)记数列的前n项和为，已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据通项公式和前项和公式的关系消去，根据等差数列的定义即可判断； （2）利用裂项相消求和即可求出不等式左边，从而判断其范围. 【详解】（1）∵， 又， 两式相减可得，     ∴， ∴， ∴是以为公差的等差数列. （2）由已知得. ∴，     ∴.     ∴      . 33．(24-25高二上·湖南衡阳第一中学·期末)记数列的前n项和为，已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用变形，再利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出及，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 因此，所以是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的公差，， ，， 所以 . 34．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为．求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）由与的关系，及等差数列通项公式即可求； （2）由（1）求出，利用裂项相消法求，即可证明. 【详解】（1）由题意，当时，，解得或， 因为，所以， 由得， 两式相减得， 整理得，因为， 所以， 所以数列是首项为6，公差为4的等差数列， 所以. （2）由（1）可知，， 所以， 所以 . 因为， 所以， 所以，即. 35．(24-25高二上·湖南长沙第一中学·期末)（多选）已知正项数列满足，，记，，则（   ） A．是等差数列 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将递推式合理变形后利用等差中项的性质判断A；利用裂项相消法结合给定条件判断BC；合理构造，，并运用导数证明，再结合放缩法和裂项相消法判断D即可. 【详解】因为， 所以，即， 即，所以数列为等差数列，故A正确； 设等差数列的公差为，又因为， 所以，则， 所以， 所以 ， ，则，解得， 所以，，所以，故B错误； 由，故C正确； 设，，则， 所以函数在上单调递增，且， 所以当时，，即， 故，所以， 又因为 ， 即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是合理构造不等式并进行放缩，然后利用裂项相消法得到所要求的不等关系即可． 36．(24-25高二上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是一对优美的双曲线.在数列中，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则当时（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，利用裂项的思想整理可得，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，， 则 ， 可得， 又因为为递增数列，且， 所以当，可得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用裂项的思想整理可得，即可得结果. 37．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，且数列的前项和为，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式和前项和公式求出公比，进而求得，则，结合裂项相消法求和可得，进而根据不等式恒成立的问题计算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，易知，由题意可得， 解得，则，， 所以， 则， 所以原不等式可转化为对任意的实数恒成立， 即恒成立，解得. 故选：D. 38．(24-25高二上·湖南长沙第一中学·期末)已知等差数列的首项，公差为（），其前项和为，. (1)求证：数列是等差数列； (2)若也是等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由以及等差数列的定义代入计算，即可证明； （2）根据题意，结合（1）中的结论可得，再由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题知， ， 又是公差为的等差数列，故， ， 故为定值，又， 所以是首项为，公差为的等差数列. （2）因为是等差数列， 所以， 即得（舍）或，故. 故， 故. 39．(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)已知数列的前项和为，且，．数列满足：，，且，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列和的通项公式； (3)设，的前项的和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的定义进行证明. （2）利用“累加法”求数列的通项公式；根据与的关系求数列的通项公式. （3）利用“裂项求和法”求数列的前项和，再进行判断. 【详解】（1）因为，即，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）知， 当时， ， 当时，满足上式，所以， 当时，， 当时，， 时，上式亦成立. 所以． （3）因为 所以， 综上． 地 城 考点09 错位相减求和 40．(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学·期末)已知数列的通项公式为，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用错位相减法及等比数列前n项和求. 【详解】由题设，则， 两式作差，有， 所以. 故选：B 41．(24-25高二上·湖南邵阳邵东·期末)已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，记数列的前项和，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将取倒数，判断数列是等差数列，根据等差数列的通项公式可求数列的通项公式. （2）利用“裂项求和法”求数列的前项和. （3）利用“错位相减法”求数列的前项和，再进行比较判断. 【详解】（1）由题设， 又， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列， 可得，故. （2）由（1）知，所以， 则. （3）由（2）得， 则， 所以， 两式相减得：， 即， 所以， 因为，所以. 42．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)已知等比数列的各项都是正数，是的前项和，，. (1)求数列的通项公式及其前项和； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）代入等比数列的基本量，即可求解； （2）分情况讨论，求出，运用等差数列和等比数列求和，结合错位相减计算即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则. 由，，得，即，解得或（舍去）. 所以，. （2）由（1）知，，所以. 因为， 所以当时，， 当时，，； 当时，，； 当时，，，当时，，所以. 当时，由，， 得当时，，，，…，，构成以为首项，为公差，项数为的等差数列. 因为，所以当时，，. 当时，，. 当时，，，…，构成了组等差数列， 且这组等差数列的首项分别为，公差分别为，项数分别为，，…，. 设每组等差数列的所有项的和为， 则. 所以， 设，则， 两式相减，得， 所以， 所以. 当时，均满足上式，所以. 【点睛】关键点点睛： （1）分析可知构成了组等差数列，且这组等差数列的首项分别为，公差分别为，项数分别为，，…，.，根据等差数列公式计算； （2）当数列是“等差等比”形式时，其前n项和用“错位相减法”求和. 地 城 考点10 最值与范围问题 43．(24-25高二上·湖南邵阳邵东·期末)已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为 . 【答案】18 【分析】分析数列特点，分数列是等差数列、等比数列、等差与等比混合交叉的数列进行讨论. 【详解】由知：或. 当时，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，则，解得； 当时，数列是以1为首项，2为公比的等比数列， ，则，解得：（舍）； 若数列是等差与等比的交叉数列，又，； 若要最小，则，，，， ，，，，，， ，，，，，，， ，此时，故的最小值为18. 故答案为：18 【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列中的规律求解数列中的项的问题，解题关键是能够根据递推关系式讨论.若数列为等差和等比各项交叉所得的数列，若要使的值最小，则需尽可能利用对数列中的项进行缩减，进而利用首项求出的值. 44．(24-25高二上·湖南衡阳第一中学·期末)已知数列，，，，的前三项成公差为的等差数列，后三项成公比为的等比数列，其中，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列，等比数列的定义利用表示，由关系可得的关系式，利用基本不等式求的最小值. 【详解】因为数列，，，，的前三项成公差为的等差数列，后三项成公比为的等比数列， 所以，，， 因为，所以， 所以， 又，故， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以. 故选：B. 45．(24-25高二上·湖南永州·期末)在数列，中，，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由已知可得，所以数列是等差数列，可得的通项公式，由，可得数列是等比数列，即可求解的通项公式； （2）由已知可得，令，可得，所以可得，分为偶数和为奇数分别求解即可； （3）利用放缩法可得，再根据等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以数列是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，所以， 由，可得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以； （2）由，得到， 令，则， 当时，，得到， 当时，，所以，又， 当为偶数时，，得到， 当为奇数时，，得到， 所以； （3） ， 所以，所以， ，故得证. 46．(24-25高二上·湖南衡阳第一中学·期末)已知是递增的等差数列，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出通项公式. （2）利用并项求和法，结合等差数列前n项和公式求解. （3）求出，探讨数列的单调性，求出其最大项即可得解. 【详解】（1）在等差数列中，，而， 则是方程的两个根，解此方程得或， 又是递增数列，则，因此数列的公差， 所以的通项公式为. （2）由（1）得， 因此 . （3）依题意，，， 令，， 当时，；当时，，因此数列的最大项为， 由对任意恒成立，得， 所以实数的取值范围是. 地 城 考点11 数列新定义 47．(24-25高二上·湖南郴州·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则 ． 【答案】4725或4746 【分析】根据给定的运算法则，逆推进出前4项，再结合数列周期性求出. 【详解】由，得，或， 若，则数列是周期数列，其周期为3， 因此； 若，则数列去掉前3项后是周期数列，其周期为3， 因此. 故答案为：4725或4746 【点睛】思路点睛：由“角谷猜想”的运算法则，利用逆推的方法求出前4项，再利用周期性求和. 48．(24-25高二上·湖南益阳·期末)若各项均为正整数的数列，对任意的，均有成立，则称数列为“下凸正整数数列”. (1)若数列是“下凸正整数数列”，求出所有的数对； (2)设数列满足，且，判断数列是否为“下凸正整数数列”，并说明理由； (3)已知“下凸正整数数列”中，，，，，求的最大值. 【答案】(1)、 (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“下凸正整数数列”的定义可得出关于、的不等式组，结合不等式的基本性质可求出的取值范围，求出正整数值，进而可得出正整数的值，即可得出数对； （2）由已知化简得出，利用累加法求出数列的通项公式，再结合题中定义验证即可得出结论； （3）由“下凸正整数数列”的定义可得出，令，可得出，利用累加法结合不等式的基本性质可得出，利用累加法可得出，然后解不等式，可得出，然后取，验证，即可得出结果. 【详解】（1）因为数列为“下凸正整数数列”，则， 所以，，可得， 又、，当时，或，当时，不符合题意. 即所求的数对有、. （2）数列是“下凸正整数数列”，理由如下： 因为，所以，. 对任意的，所以，，即，且. 则当时，，，，，， 累加得，则， 也满足，故对任意的，. ①由可知是正整数， ②因为， 其中且， 即成立，综合①②可得数列是“下凸正整数数列”. （3）因为， 对任意的，令， 则且，故对任意的恒成立， 当，，，时， 因为， 所以，， 此时，， 即，解得，故. 若取，则对任意的，， 此时，数列为“下凸正整数数列”，且，即符合题意. 综上，的最大值为. 【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现时，构造等差数列； （2）当出现时，构造等比数列； （3）当出现时，用累加法求解； （4）当出现时，用累乘法求解. 49．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)若正整数数列满足：对任意的，都有恒成立，则称数列为“差增数列”. (1)若1，，，8为“差增数列”，写出所有可能的，； (2)若“差增数列”满足：，，求的最大值； (3)对所有可能的“差增数列”，记（表示数集中的最大值），求的最小值. 【答案】(1)或或或 (2)65 (3)511567 【分析】（1）根据“差增数列”的定义可列不等式，结合正整数解，即可得解， （2）利用迭代法可得，进而得，即可结合二次函数的性质，代值求解， （3）根据可得，又结合取值得求解. 【详解】（1）依题意，因为数列1，，，8为“差增数列”，则 注意到，故所有可能的，为 或或或 （2）由题意知，当时， ， 即，， 当时，，当时，， 则当时，， 故正整数的最大值为65. （3）令，由题知，， 则， 此时有 ， 故， 另一方面，当，，…，，，，…，时， 取，则，，， 且， 综上，的最小值为511567. 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 50．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用.一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积.卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律. (1)若，，，求，，，； (2)对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0.试找到数列，使得； (3)若，，证明：当时，. 【答案】(1)，，， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义代入即可求解； （2）尝试从一般到特殊，先找到时的，再推广到一般即可； （3）即为数列的前项和的前项和，从这个角度出发理解卷积的定义即可. 【详解】（1），，，. （2） 对一般的， （3）方法一：由定义知，，，…，，设为数列的前项和，因此 ， 的通项即为， 故当时，. 方法二：记的前项和为，由卷积运算的交换律为， 故①， 因此②， ②①得，故当时，. 【点睛】关键点点睛：将卷积看成数列的前项和问题，问题较容易理解. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $