期末专题03 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）12大考点（期末真题汇编，湖南专用）高二数学上学期

期末专题03 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） 12大高频考点概览 考点01 表示曲线的条件 考点02 椭圆的简单几何性质 考点03 椭圆离心率 考点04 双曲线离心率 考点05 双曲线综合 考点06 抛物线 考点07 曲线与方程（含轨迹方程） 考点08 求直线方程与斜率 考点09 斜率定值问题 考点10 面积问题 考点11 共圆问题 考点12 定点问题 地 城 考点01 表示曲线的条件 1．(24-25高二上·湖南岳阳平江县·期末)（多选）已知曲线C的方程为，则下列说法正确的为（     ） A．曲线C可以是圆 B．若，则曲线C为椭圆 C．曲线C可以表示抛物线 D．若曲线C为双曲线，则或 【答案】AD 【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断． 【详解】对于A，若曲线C是圆，则，解得，A正确； 对于B，由选项A知，当时，曲线C是圆，不是椭圆，B错误； 对于C，曲线C有两条对称轴，不可能为抛物线，C错误； 对于D，若曲线C为双曲线，则，解得或，D正确. 故选：AD 2．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)（多选）当变化时，指出方程表示的曲线的形状，下列说法正确的是（    ） A．存在实数使得方程表示轴 B．存在实数使得方程表示圆 C．不存在实数使得方程表示椭圆 D．存在实数使得方程表示双曲线 【答案】ACD 【分析】由，可判断A；由，可判断B；当，时，方程可写成，进而可判断C；当或时，可判断D. 【详解】当时，方程为，表示轴，故A正确； 若曲线为圆，由，得，且，故B错误； 当，时，方程可写成， 若曲线为椭圆，则且，m不存在，故C正确； 当或时，方程表示的曲线为双曲线，故D正确. 故选：ACD. 地 城 考点02 椭圆的简单几何性质 3．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程. 【详解】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以， 又，则， 所以椭圆方程为， 故选:B. 4．(24-25高二上·湖南天壹名校·期末)已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由焦点在轴上的椭圆特征列出关于的不等式，求解可得答案. 【详解】，解得. 故选：A. 5．(24-25高二上·湖南长沙雅礼中学·期末)椭圆的焦距为2，则m的值等于（   ）. A．5 B．8 C．5或3 D．5或8 【答案】C 【分析】利用椭圆的焦距可求得的值，再讨论椭圆的焦点位置，利用即可求得的值. 【详解】因为椭圆的焦距为2，所以，所以； 所以①当椭圆焦点在x轴上时：，， 所以，所以； ②当椭圆焦点在y轴上时：，， 所以，所以； 综上或. 故选：C. 6．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理求解即得. 【详解】依题意，，，而，则， 在中，由余弦定理得， 所以. 故选：C 地 城 考点03 椭圆离心率 7．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、的值，即可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】在椭圆中，，，所以，所以，， 所以，该椭圆的离心率为. 故选：B. 8．(24-25高二上·湖南浏阳·期末)过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为.若直线在轴，轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点的坐标，借助向量垂直的坐标表示求出切线方程，进而求出直线，并求出横纵截距，再求出离心率. 【详解】设，则， 令坐标原点为，由切圆于， 得，则，于是， 同理，因此直线的方程为， 则，即， 所以椭圆离心率. 故选：D 9．(24-25高二上·湖南娄底新化县·期末)已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，根据题设有，，从而有，再结合，可得到，即可求解. 【详解】设，，又，， 则，， 所以，又，代入，整理得到， 所以，的离心率为， 故答案为：. 10．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，设，，，为椭圆的四个顶点，为线段靠近原点处的三等分点，若点关于直线的对称点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为 . 【答案】或 【分析】求出直线的方程以及直线的方程，联立求出两线交点坐标，可得点的坐标，代入椭圆方程，化简可得或，进而可求该椭圆的离心率. 【详解】因为为线段靠近原点处的三等分点，所以， 由截距式方程可得直线的方程为，即① 点关于直线的对称点为，所以直线的斜率为， 由斜截式方程可得直线的方程为②， ①②联立解得两线交点坐标， 因为N是线段的中点，又， 所以， 即点，因为M在椭圆上， 代入椭圆方程： 化简可得， 解得或，所以或. 故答案为：或. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的常见方法，1，直接求出的值求离心率；2，先得到的方程，再根据齐次式求解；3.先求的值，再求离心率. 地 城 考点04 双曲线离心率 11．(24-25高二上·湖南永州·期末)已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线平行，得到，再结合离心率的定义，即可求解． 【详解】由题意，双曲线渐近线方程为， 因为一条渐近线与直线平行，可得， 则，即双曲线的离心率为． 故选：C． 12．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列式求出离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为c，双曲线的渐近线方程为， 依题意，圆的圆心到直线的距离为， 则，所以离心率. 故选：B 13．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知双曲线的右焦点为，以点为圆心，半径为的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点到渐近线的距离，结合圆的性质可得，进而求出离心率. 【详解】由对称性，不妨令渐近线为，右焦点， 则点到直线距离， 由，得， 所以该双曲线的离心率. 故选：D 14．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，是上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合对称性与切线长定理可得，再利用双曲线定义即可得，即可得其离心率. 【详解】设，，设，与的内切圆切于点，， 由对称性可得内切圆圆心在轴上， 结合切线长定理可得，， 则，即， 故，则， 因此，. 故选：C. 15．(24-25高二上·湖南长沙雅礼中学·期末)已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，，则C的离心率为（   ）. A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，结合条件可得为的中点且，即可得到双曲线渐近线的斜率，再由双曲线离心率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 如图，由，得.又， 得OA是三角形的中位线，即，. 由，得，，则有， 又OA与OB都是渐近线，得， 又，得， 所以该双曲线的渐近线斜率为． 则双曲线的离心率为． 故选：C 16．(24-25高二上·湖南长沙第一中学·期末)已知双曲线：（，）的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由确定与线段的位置关系，求出到渐近线的距离，接着由的关系，结合以及离心率公式即可求解. 【详解】已知双曲线：（，）的渐近线方程为， 双曲线右焦点到渐近线的距离为， 在中，，，所以， 设，则，， 因为， 所以，所以，所以， 在中，， 所以，即，即， 所以双曲线的离心率. 故答案为：.    【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 地 城 考点05 双曲线综合 17．(24-25高二上·湖南娄底新化县·期末)（多选）已知双曲线（）的右焦点为，直线是的一条渐近线，是上一点，则（   ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．的最小值为 D．直线的斜率不等于 【答案】ABD 【分析】根据条件得到，即可求出虚轴长和离心率，从而判断出A和B的正误；对于C，求出到直线的距离，即可求解；对于D，求出过点且斜率为的直线，并判断与直线的位置关系，即可求解. 【详解】因双曲线的渐近线为，由题有，得到， 对于A，因为虚轴长为，正确， 对于B，因为的离心率为，正确， 对于C，因为直线，，所以到直线的距离为， 所以的最小值为，错误， 对于D，因为过点且斜率为的直线方程为， 即与直线平行，又是上一点， 所以直线的斜率不等于，正确， 故选：ABD. 18．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以点为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A，B为的中点，若，则C的渐近线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用点到直线的距离求得圆的半径为，利用双曲线的定义及中位线的性质得，由余弦定理建立方程求得，从而得到渐近线斜率. 【详解】由题意，双曲线的一条渐近线为，则点到渐近线的距离，即圆的半径为，连接，则， 由双曲线的定义知，所以， 在中，为的中点，B为的中点，所以， ，则为. 在中，， 在中，， 因为，所以，所以， 所以渐近线斜率. 故答案为： 19．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点，若，则与的内切圆的半径之和的最小值等于 . 【答案】2 【分析】结合双曲线的定义、圆的切线长定理求得、，从而求得双曲线的方程，结合三角形内切圆性质得，设直线的倾斜角为，则，进而求得，，最后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点， 由切线长定理可知，，， 因为在轴上，所以， 所以 ， 所以，，， 双曲线的方程为：， 如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，， 设，，与圆分别相切于点，，， 由切线长定理得 ， 而，两式相加得， 所以是双曲线的右顶点，轴，所以的横坐标为， 同理可求得的横坐标为，则， 设直线的倾斜角为，由双曲线渐近线为，倾斜角分别为， 要使直线与双曲线的右支交于两点，则，有， 在，中， 有，， 因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立． 故答案为： 【点睛】结论点睛：双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上右支上一点（除了顶点），则的内切圆圆心横坐标为，为双曲线上左支上一点（除了顶点），则的内切圆圆心横坐标为. 20．(24-25高二上·湖南永州·期末)（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，点在的右支上，的离心率为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若是面积为2的正三角形，则 C．在中，恒成立 D．若，则内切圆半径的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，由，可得，则得；对于B，由已知可得，，即可求得；对于C，由已知可得，即，又，联立化简得，即可判断C； 对于D，由已知，记内切圆半径为，圆心为，则，可得 ，由且，可得，即，即可判断D． 【详解】对于A，∵，所以的中垂线与双曲线有交点， 所以，解得，故选项A正确． 对于B，∵是面积为2的正三角形，，∴， 则， 又∵，则，∴， ，即， ∴，故选项B正确； 对于C，设，，，则，又， ∴，即， ， 又，联立化简得，故选项C错误． 对于D，若，则， 记内切圆半径为，圆心为，圆与切于点， 则，，， 又且， ∴， ∴， 即，故选项D正确． 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：C选项，由已知得到，得到后，由诱导公式及二倍角公式得到，再与联立化简. 地 城 考点06 抛物线 21．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知抛物线，则抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的抛物线方程直接求出焦点坐标. 【详解】抛物线的焦点坐标是. 故选：A 22．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 【答案】 【分析】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到抛物线方程，再设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再由焦点弦公式计算可得. 【详解】直线过点，又抛物线的焦点坐标为， 所以，解得，所以抛物线，设，， 由，消去可得，显然， 所以，则. 故答案为： 23．(24-25高二上·湖南永州·期末)已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设直线的方程为，与抛物线方程联立并应用韦达定理，求解即可. 【详解】由题意得，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为， 设， 联立，得，， 由韦达定理得， 又，所以，所以， 解得或，所以， 所以. 故选：A. 24．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知抛物线的焦点为，点在上. (1)求焦点的坐标及的值； (2)设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程. 【答案】(1)的坐标为， (2) 【分析】（1）根据焦点坐标即可求解，代入点到抛物线方程中即可求解， （2）设圆的一般式方程，代入三点坐标即可求解. 【详解】（1）由题意可得焦点的坐标为. 点在上，. 解得（舍去），. （2）由抛物线可得准线方程为，所以，.由（1）知. 设过三点的圆的方程为， 代入点得， 解得. 所以，过三点的圆的方程为（或者）. 25．(24-25高二上·湖南浏阳·期末)求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)顶点在原点，准线是的抛物线方程； (2)两个焦点的坐标分别是和，且经过点的椭圆方程； (3)离心率，经过点的双曲线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）判断抛物线开口向左，根据准线方程求出，即可求得抛物线方程； （2）根据两个焦点的坐标以及椭圆经过点求出，即可求出椭圆的方程； （3）根据双曲线离心率可得，设出双曲线方程，把点代入即可求出双曲线的方程 【详解】（1）因为抛物线的顶点在原点，准线是：， 所以抛物线开口向左，且. 所以抛物线的标准方程为： （2）因为椭圆的焦点在轴上， 所以可设它的标准方程为：. 又椭圆过点得：，又， 所以. 故所求椭圆的标准方程为： （3）由， 又，所以. 设双曲线方程为：， 把点代入，得： . 所求双曲线的标准方程为： 26．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)（多选）已知抛物线：与双曲线：有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的离心率为3 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．点到抛物线的焦点的距离为8 【答案】ABD 【分析】根据双曲线方程求出其焦点坐标，即可判断A，B；依题即可求出的值，判断C项，利用抛物线的定义即可判断D项. 【详解】对于A，在双曲线：中，，，故，则，则双曲线的离心率为3，故A正确； 对于B，由可得双曲线的渐近线方程为，即，故B正确； 对于C，由上分析，可得抛物线中，，即得，故C错误； 对于D，由抛物线的定义，可得点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离，即，故D正确. 故选：ABD. 27．(24-25高二上·湖南名校联考联合体·期末)已知为曲线上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．到直线的距离的最小值为1 C．的最小值为 D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 【答案】ACD 【分析】由得，可知其图象为抛物线的上半部分，故D正确，由抛物线的焦半径公式可判断A正确，选项C可转化为到焦点与的距离和，进而可知其最小值为到准线的距离，选项B由点到直线的距离公式，结合的取值范围可得. 【详解】选项A：由得，其图象为抛物线的上半部分，焦点为， 为点到焦点的距离，故，故A正确； 选项B：到直线的距离为， 又，故，故，故B错误； 选项C：即为到焦点与的距离和，    由抛物线的定义可知，其最小值为到准线的距离，即为，故C正确； 选项D：由抛物线的定义可判断到与直线的距离相等，故D正确， 故选：ACD. 地 城 考点07 曲线与方程（含轨迹方程） 28．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)已知圆与，动圆M与圆内切，且与圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，结合椭圆的定义判断点的轨迹形状及位置，利用待定系数法求其方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，设动圆的半径为， 由动圆与圆内切，且与圆外切，得， 则，因此点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆， 而焦距，即，则短半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：B. 29．(24-25高二上·湖南长沙第一中学·期末)（多选）已知曲线：，则下列判断正确的是（   ） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线上的点与原点的最小距离为 C．曲线在第一、四象限的任意一点到点的距离与其横坐标之差为定值 D．直线：，则该直线与曲线无公共点的充要条件为且 【答案】AD 【分析】化简曲线方程，作曲线的图象，观察图象判断A，结合方程求曲线上点到原点的距离，判断B，结合抛物线定义判断C，结合对称性证明及时，直线与曲线一定有公共点，由此判断D. 【详解】曲线，作出其图象，如图所示， 观察可得的图象关于，轴对称，且关于原点中心对称；A正确； 曲线上的点与原点的距离为，B错误； 抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 曲线落在第一、四象限的任意一点到焦点的距离与到其准线的距离相等， 故曲线在第一，四象限的任意一点到点的距离与其横坐标之差为定值，C错误； 若，考虑对称性，只需研究若， 当时，一次函数增加的速度比函数快. 故当时，若，则图象与的图象一定有交点. 若，根据的图象与的图象变化情况可得的图象与曲线的图象一定有交点， 故当且仅当，时，直线与曲线无公共点，D正确， 故选:AD.    30．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)（多选）设曲线：，则（   ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的图形的面积大于5 C．曲线的周长为 D．曲线上的两点之间距离不大于 【答案】ABD 【分析】将点关于直线对称的点代入曲线的方程判断A；当，得曲线为圆心为，半径为的圆在第一象限的半圆部分，讨论不同象限的符号可画出曲线图形，结合图形利用圆的几何性质可判断BCD. 【详解】A选项，将点关于直线对称的点代入曲线：得， 即点满足曲线方程，故曲线：关于直线对称，A正确； C选项，当时，满足曲线：，故原点在曲线上， 当，得曲线：， 对应的图形为圆心为，半径为的圆在第一象限的半圆部分，此圆弧的长度为，同理可得， 曲线在第二象限的图形为圆心为，半径为的圆在第二象限的半圆部分； 曲线在第三象限的图形为圆心为，半径为的圆在第三象限的半圆部分； 曲线在第四象限的图形为圆心为，半径为的圆在第四象限的半圆部分； 曲线：对应的图形如下： 故曲线的周长为，C错误； B选项，曲线围成的图形的面积可分割为边长为的正方形和4个半径为的半圆， 故曲线围成的图形的面积为，故B正确； D选项，其中圆心与，直线与曲线交于点，， 则即为曲线上的两点之间距离的最大值， 其中， 故曲线上的两点之间距离不大于，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据方程特征，分四个象限讨论曲线的形状，并利用圆的几何性质结合图形进行解答.数形结合思想是高中数学一种重要的数学思想，一定要熟练掌握并应用于解题当中. 31．(24-25高二上·湖南永州·期末)斐波那契数列曲线是一种表示两变量之间关系的曲线．该曲线经常在统计学中使用，用来描述一系列的连续数据值．当自变量取正整数时，得到斐波那契数列，其通项公式，体现有理数可以用无理数表示． (1)若，，，求点的坐标； (2)已知，，，点，在直线，上，若动点在直线上，，，，求动点的轨迹的方程； (3)在（2）的条件下，有一束直线，，，均过点，与曲线交于，两点．若的斜率为，的斜率为，求．（注：结果不用化简） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性关系来建立等式求解；（2）通过向量关系找到动点坐标与已知点坐标及参数的联系，再消去参数得到轨迹方程. （3）直曲联立，根据直线的弦长公式，结合斜率递推公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知，，设， 则，， 由，则有， 解得，所以点坐标为． （2）设，，， 由题意得，，， 由（1）可得 ，， 设，则，消得 故的轨迹方程为：． （3）设，与联立得 设点、的横坐标， ，， 则， 当时，， 令，则， ∴，∴ 不妨设，则为斐波那契数列 则， 故 【点睛】关键点点睛：第三问关键是读懂题意，借助弦长公式求出，在借助数列递推公式直接计算即可，理解能力，转化能力要求高，属于难题. 地 城 考点08 求直线方程与斜率 32．(24-25高二上·湖南永州·期末)已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设直线交于，两点，直线，的斜率之和为0，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件结合、、关系列方程，解方程即可求解； （2）设出直线方程，直曲联立，得到方程：，根据韦达定理得到：，，结合已知条件得到方程：，解方程验证即可求解. 【详解】（1） 依题意，，点在椭圆上， ∴解得，，， 所以椭圆的方程为：． （2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，消得， ， 设，， 由韦达定理得， ，， 又，则， ∴， ，代入化简得： ， 将，代入化简得：， 即，∴或． 当时，直线过点，不合题意， 综上；直线的斜率为． 33．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程，并求的值； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线的方程； （2）设直线方程为，设点的坐标，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，由求解参数即可. 【详解】（1） 抛物线：的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 所以，解得， 所以抛物线的方程为， 又因为点在抛物线上，所以，即. （2）由（1）可知抛物线的焦点， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 由消去整理得， 所以，则，， 所以， ， 又，所以，， 因为，所以， 即， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 34．(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)已知双曲线C：的左右焦点分别为、，且焦距为4，过右焦点的动直线交双曲线于、两点，当直线轴时，． (1)求双曲线C的方程； (2)动直线分别交双曲线C的左、右支于两点，若，求此时直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意得出，由弦长得出点，代入双曲线方程求解即可； （2）设直线的方程为：，联立方程，由根与系数的关系及三角形的面积即可得解. 【详解】（1）由题意知，双曲线C得焦距为4，所以、，当直线垂直于轴时，，可得，把代入双曲线C中得  ① 又  ② 联立①②解得， 所求双曲线C的方程为 （2）设、，则， 设直线的方程为：， 联立得， 因为直线交双曲线左、右两支于A、B，故，．且， 因为 所以， 解得， 所以直线的方程为：或 35．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点. (1)求直线的方程（用，表示）； (2)当点运动时，求点（的横坐标为的横坐标，的纵坐标为的纵坐标）的轨迹的方程； (3)已知点，若直线不过点且与曲线相交于两点，并且有，问是否存在直线使得的面积为72？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)存在，或或 【分析】（1）由题意，可知直线与双曲线相切于点，利用推得，将直线与双曲线方程联立求得点坐标，即可写出直线的方程； （2）由（1）结论，易求得，取，（），结合，消去，即得点的轨迹方程； （3）设直线的方程为，，将直线与双曲线方程联立，写出韦达定理，由推出，即得直线经过定点，由的面积求得或，即得直线的方程. 【详解】（1）将代入，整理得， 因为，是双曲线与直线的唯一公共点， 所以，即（*）， 解得，代入，解得：， 即，将（*）代入，即得，其中， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为， 即. （2）由（1）已得直线的方程为，分别令即得：， 令即得：，所以， 即，（），又， 故有. 即点的轨迹的方程，其中. （3）易知直线的斜率不为0（若直线的斜率为0，易知，与题设条件矛盾）， 如图，设直线的方程为，，， 则由得，其中， 则，， 由，，可得， 即，也即， 故， 整理得：， 将，代入上式化简得：， 解得，（因直线不过点，故舍去）， 则直线的方程为，故经过定点， 此时，， 则可得的面积： ， 化简得：，解得或， 故所求直线的方程为或或. 【点睛】方法点睛：本题主要考查探求动点的轨迹方程和直线过定点问题，属于难题. 对于求动点的轨迹的方法，主要有： （1）直接法：利用题设等式化简或满足圆锥曲线的定义条件时常用； （2）相关点法：利用动点与相关点（在固定的曲线上）的数量关系求解； （3）消参法：利用动点的横纵坐标满足的关系式，通过消去参数求得. 地 城 考点09 斜率定值问题 36．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知椭圆过点，且的离心率为. (1)求的方程； (2)设分别是的左顶点，上顶点，与直线平行的直线与交于两点. ①若以线段为直径的圆与直线相切，求在轴上的截距； ②当直线斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）代入坐标以及离心率公式即可联立方程求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式列出方程，求解即得在轴上的截距；根据斜率公式化简，将韦达定理代入计算即可求得定值. 【详解】（1）由题意可知 解得. 故的方程为. （2）①由题意知.则直线的方程为. 设平行于直线的直线的方程为. 联立，消去得：. ，解得：. 设与椭圆的交点坐标为， . . 又直线与直线的距离， 由于以线段为直径的圆与直线相切，则， 即. 解得.经检验：， 故在轴上的截距为； ②由 . 为定值. 【点睛】关键点点睛：以线段为直径的圆与直线相切，则，根据求出的值即得；对于定值问题，一般需要等价转化，利用韦达定理代入，推理计算可得. 37．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与重合，点G是C与E在第一象限的交点，且. (1)求E的方程. (2)设过点的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合. （ⅰ）若l的倾斜角为45°，求的值； （ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF2的斜率分别为，证明：为和的等差中项. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义求出焦点坐标，进而得到椭圆的右焦点坐标，再利用椭圆和抛物线的交点坐标满足两个方程来确定椭圆方程.   （2）（i）根据直线的倾斜角得到直线方程，然后分别代入椭圆和抛物线方程，利用弦长公式求出和的值，进而求出它们的比值. （ii）设出直线方程，求出交点坐标，再根据斜率公式计算出，然后证明. 【详解】（1）由已知得C的焦点为，即，所以.①     因为，由抛物线的定义可得，所以. 代入E的方程可得.②     由①②解得，，所以E的方程为. （2）设，，，. （ⅰ）因为直线l的倾斜角为45°，所以，直线l的方程为. 联立整理得，则， 所以.     联立整理得， 则，， 所以.     所以.   （ⅱ）由题意知，， 设，且直线AB的方程为. 联立整理得，显然， 则，，     所以，，，     ，     又，即， 所以为和的等差中项. 【点睛】知识点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 地 城 考点10 面积问题 38．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)直线：与椭圆：交于，两点，椭圆的上顶点为点，则的面积为 . 【答案】 【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出点到直线的距离求高，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设点，.由消去，整理得，，所以，， 所以. 椭圆的上顶点，点到直线的距离， 所以的面积. 故答案为：. 39．(24-25高二上·湖南长沙雅礼中学·期末)已知椭圆C：（）的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据离心率及通径长得到方程组，求出、，即可得到椭圆方程； （2）设（，），表示出直线、的方程，即可得到、，最后根据计算可得. 【详解】（1）因为离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1， 所以，解得，所以椭圆的方程为． （2）    因为椭圆C的方程为，所以，， 设（，）， 则，即，则直线的方程为， 令，得，同理，直线AM的方程为， 令，得， 所以 ， 所以四边形的面积为定值2． 40．(24-25高二上·湖南岳阳平江县·期末)已知椭圆：的焦距为8，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与C交于两点，点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意分别求得的值即可确定椭圆方程； （2）首先利用几何关系找到三角形面积最大时点的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点到直线的距离即可求得三角形面积的最大值. 【详解】（1）根据题意，即，又，所以，因为，所以 所以椭圆C的标准方程为：． （2）由方程组消去y，得．    ① 设,，,，可得: 则 设与直线平行的直线方程为：， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为此时的面积取得最大值. 由方程组 消去y，得．    ② 方程②的根的判别式． 由，得，．此时方程②有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点． 与距离比较远的直线方程：， 直线方程为： 点到直线的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：， 所以的面积的最大值：. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 地 城 考点11 共圆问题 41．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，位于第一象限的点为上一点，，且垂直于轴. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与交于，两点，求证：，，，四点共圆. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点点距离即可求解， （2）联立直线与抛物线方程，可得点的坐标，根据向量垂直的坐标关系即可求解垂直，进而可求解. 【详解】（1）由题意知， 由轴，知，， 由，知，解得， 所以抛物线的方程为. （2）联立得， 解得，. 设，， 由，在抛物线上知，. 又，， 所以，，，， 所以，， 所以，， 所以，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆. 地 城 考点12 定点问题 42．(24-25高二上·湖南郴州·期末)已知双曲线为双曲线的左、右焦点，渐近线方程为，点为双曲线在第一象限上的一点，且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)、为双曲线的左右顶点，直线上一点，以为圆心，半径为的圆与直线交于两点，直线、与双曲线分别交于另一点、． ①证明：为定值； ②探究：直线是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②直线恒过定点，理由见解析 【分析】（1）由渐近线方程得到，再由余弦定理、三角形面积公式及双曲线的定义得到方程组，求出，，即可得解； （2）①设，即可表示出、的坐标，再由斜率公式计算可得；②设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据，求出、的关系，即可得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线为， 设，由渐近线方程为，所以，则， 由，在中由余弦定理可得， 又点为双曲线在第一象限上的一点，所以， 即，所以， 又的面积为，即，所以， 又，解得，， 所以双曲线方程为； （2）①由（1）可得、， 设，则，所以，， 所以，， 所以，即为定值； ②直线恒过定点，理由如下： 设，，显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，可得， 显然且，则，， 所以， 又， ， 所以，即，所以， 即直线的方程为，所以直线恒过点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 43．(24-25高二上·湖南长沙第一中学·期末)在平面直角坐标系中，为双曲线：（，）的右焦点，以为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切. (1)求的方程； (2)记的左、右顶点为，，弦轴，记直线与直线交点为，其轨迹为曲线. （ⅰ）求的方程； （ⅱ）直线，是曲线的任意两条切线，且，试探究在轴上是否存在定点，满足点到，的距离之积恒为1？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ）存在；或. 【分析】（1）取的一条渐近线，设以为圆心1为半径的圆与相切于，即可求出，，从而求出双曲线方程； （2）（ⅰ）设，则，设点，表示出直线与直线的方程，两式相乘即可得解； （ⅱ）设：，：（），联立直线与椭圆方程，根据得到，同理，再设，利用距离公式计算可得. 【详解】（1）由题知，取的一条渐近线， 设以为圆心1为半径的圆与相切于， 则中，，且， 故有，， 故所求双曲线的方程为.    （2）（ⅰ）设，则，设点， 又，， 所以直线的方程为①， 直线的方程为②. ①②等式相乘可得， 又在双曲线上，故，可得， ∴，化简可得，， 即曲线的方程为，.    （ⅱ）由不包括椭圆左，右顶点知，的斜率存在， 设：，：（）， ， 由，同理， 故. 设存在，， 又， 则或（不恒成立，舍去）， 所以，点. 综上，存在；或.    【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题（定点问题）常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 期末专题03圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） ☆卫大高频考点概览 考点01表示曲线的条件 考点02椭圆的简单几何性质 考点03椭圆离心率 考点04双曲线离心率 考点05双曲线综合 考点06抛物线 考点07曲线与方程（含轨迹方程） 考点08求直线方程与斜率 考点09斜率定值问题 考点10面积问题 考点11共圆问题 考点12定点问题 目目 考点01 表示曲线的条件 1.Q425高二上湖南岳阳平江县期末)（多选）已知曲线C的方程为，产 ,=1,则下列说法正确的 2-mm-1 为( A.曲线C可以是圆 B.若1<m<2,则曲线C为椭圆 C.曲线C可以表示抛物线 D.若曲线C为双曲线，则m<1或m>2 2.(24-25高二上湖南株洲第二中学期末)（多选)当m变化时，指出方程mx2+(2-m)y2=m(m-2)表示 的曲线的形状，下列说法正确的是() A.存在实数m使得方程表示y轴 B.存在实数m使得方程表示圆 C.不存在实数m使得方程表示椭圆 D.存在实数m使得方程表示双曲线 目目 考点02 椭圆的简单几何性质 3.(24-25高二上·湖南长沙长郡中学期末)若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点(0,3)，c=2,则该椭圆的标准 1/9 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 方程为() A.+上= B.+=1 94 139 c+- D.x 49 9*131 4.(2425高二上湖南天壹名校期末)已知椭圆C:,产+ 一=1的焦点在y轴上，则实数m的取值范围为 4-m6+ () A.-1,4) B.(1,4 C.（-6,4) D.（-1,+0】 5.(2425高二上湖南长沙雅礼中学期末)椭圆亡+上=1的焦距为2，则m的值等于(）. 1m4 A.5 B.8 C.5或3 D.5或8 6.2425高二上湖南郴州期末已知椭圆C:兰+上=1的左右焦点分别为，5，点P在椭圆C上，若 169 PF=2,则∠FPF=() A.30° B.45° C.60° D.120° 目目 考点03 椭圆离心率 7.(24-25高二上湖南百师联盟期末)椭圆上+ 25+9 =1的离心率为() A.3 4 B. 5 C.3 D.34 5 8.(425高二上湖南测阳期末过椭圆 2 a2+ 京=1(a>b>0)上的点M作圆r+少2=B的两条切线，切点分 别为八®者直线D在y鞋上的横距分别为m,者号+仁-3，则能圆离心率为《) C.V3 D.V6 3 3 9.(24-25高二上湖南娄底新化县·期末)己知F是椭圆C的右焦点，O为坐标原点，P是C上的一点，若 PF=2OF,且∠0FP=120°，则C的离心率为_ 10.(2425高二上湖南株洲第二中学期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，设A,A,B,B为椭圆 。+1>b>0的四个顶点，R为线段04靠近原点0处的三等分点，若点鸟关于直线B,R的对称点了 M恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为一 2/9 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 61 目目 考点04 双曲线离心率 1.2425商二上湖府水州期未已知双曲线C:号茶=10>0,6>0的一条寄近线与直线2-y+2-0平 行，则C的离心率为() A.2 B.√5 C.5 D.3 2.②425商二上衡南百师联盟期末若双准线C:二若=川a>060)的一条奇近我被圆 (x-3+y2=4所截得的弦长为2√3，则C的离心率为() A月 B.3 C.v6 D.6 2 13.2425高二上潮南郴州期末已知双面线号片=川a>06>0,的右焦点为F,以点F为心，半径 为2a的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为A,B.若AB=√5AF,则该双曲线的离心率为() A.⑤ B.6 C.3 D.√2 2 14.(2425高二上潮南长沙长郡中学期未)如图，双曲线C:。-上=1a>0)的左、右焦点分别为5， a2 4a F,M是C上位于第一象限内的一点，且直线F,M与y轴的正半轴交于点A,△AMF的内切圆在边MF上 的切点为N,若MN=2,则双曲线C的离心率为() A.5 B.√5 C.5 D.√2 2 15.2425商三上湖南长沙雅礼中学期利已奥双曲线C:手若-1(0>0,6>0)的左、右每点分别 3/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为F,F,过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点若FA=AB,FB.F,B=0,则C的离心率为 () A.√2 B.5 C.2 D.3 6,2425高上测商长沙第一中学期末已知双曲线C:怎-1(a>0,6>0)的右焦点为F，动 点F作双曲线的一条渐近线的垂线I,垂足为M,若直线I与双曲线C的另一条渐近线交于点N,且 ON+30M=40F(0为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 目目 考点05 双曲线综合 17.425二上湖南委底钢化县期为（多达）已如双面袋C:号君-1《6>0>的右焦点为P,直线 1:x+y=0是C的一条渐近线，P是l上一点，则() A.C的虚轴长为2√2 B.C的离心率为6 C.PF的最小值为2 D.直线PF的斜率不等于-2 2 图2425高清南多联考期末已知F,F分别为双曲线C名-a>0b>0)的左、右焦点， O为坐标原点，以点F为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A,B为AE的中点，若 OB.BF,=0,则C的渐近线的斜率为 19.2425商二上湖南益阳期村已知双曲线E:若茶=1的左右焦点分别为(-20,52,0，过5的直 线I与E的右支交于P,Q两点，PF与y轴交于点A,△PAF,的内切圆与边AF相切于点B,若AB=1,则 △PFF2与△QFF,的内切圆的半径之和的最小值等于一 20.Q425商三上测南水州末（多选）已知双由线C。-1Q>0,6>0)的左，右焦点分别为 F,左，右顶点分别为A,B,点P在C的右支上，C的离心率为，则下列说法正确的是() A.若PO=PF,则e≥2 B.若△POF,是面积为2的正三角形，则b2=4 C.在△PAB中，tan∠PAB+2tan∠PBA+e2tan∠APB=0恒成立 D.若a=b=2,则△PFF内切圆半径的取值范围为(0,2) 4/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点06 抛物线 21.(24-25高二上湖南郴州期末)已知抛物线C:x2=4y,则抛物线C的焦点坐标是() A.(0,1 B.（0,-1 C.(1,0 D.(-1,0) 22.(24-25高二上湖南郴州期末)已知抛物线y2=2px(p>0),过抛物线焦点的直线y=-2x+4与抛物线交 于A,B两点，则AB= 23.(24-25高二上湖南永州期末)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线1与C交于M,N两点， 若FM+2FN=0,则AOMN的面积为() A.32 B.4V2 C.25 D.5 ny 3 3 24.(24-25高二上湖南益阳期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A(m,m)(m≠0)在C上 (1)求焦点F的坐标及m的值； (2)设C的准线与x轴的交点为B,求过A,B,F三点的圆的方程 25.(24-25高二上·湖南浏阳·期末)求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)顶点在原点，准线是x=4的抛物线方程； (2)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0)，且经过点(5,0)的椭圆方程； (3)离心率e=√2，经过点M(-5,3)的双曲线方程 26.(24-25高二上湖南百师联盟期末)（多选）已知抛物线G:y2=2x(p>0)与双曲线C,:x'-上=1有 8 相同的焦点，点P(5,y)在抛物线C上，则下列结论正确的有() A.双曲线C,的离心率为3 B.双曲线C,的渐近线方程为y=±2V2x C.p=3 D.点P到抛物线C的焦点的距离为8 27.(24-25高二上湖南名校联考联合体期末)已知P(x,y)为曲线y=√上一动点，则下列说法正确的是() x-4 +少2的最小值为 5/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.P到直线y=-x-1的距离的最小值为1 日r+c-4+0-可的最小值为好 D.存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离 目目 考点07 曲线与方程（含轨迹方程） 28.(24-25高二上·湖南多校联考·期末)已知圆C,:(x-4)2+y2=144与C2:(x+4)2+y2=4,动圆M与圆C 内切，且与圆C,外切，则动圆圆心M的轨迹方程为() A.-上=1 B. =1 4933 4933 C.= D. -=1 3349 29.(24-25高二上湖南长沙第一中学期末)（多选）已知曲线C:y2=x+1,则下列判断正确的是() A.曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.曲线C上的点与原点的最小距离为 C.曲线C在第一、四象限的任意一点到点(0的距离与其横坐标之差为定能月 3 D.直线1：y=c+b,则该直线与曲线C无公共点的充要条件为k=0且b∈(-1,1) 30.(24-25高二上湖南长沙长郡中学期末)（多选)设曲线C:x2+y2=x+y,则() A.曲线C关于直线y=x对称 B.曲线C围成的图形的面积大于5 C.曲线C的周长为√2元 D.曲线C上的两点之间距离不大于2√2 31.(24-25高二上湖南永州期末)斐波那契数列曲线是一种表示两变量之间关系的曲线.该曲线经常在统 计学中使用，用来描述一系列的连续数据值.当自变量取正整数时，得到斐波那契数列，其通项公式 F体现有理数可以用无理数表示 (1)若Ax,y),B(x2,y2,AT=aAB,求点T的坐标： Q已知4任》，B子，c存点M,N在直线AB,c上，若动点石在直线Mw上， 6/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AM=1AB,BN=入BC,MT,=MN,求动点T2的轨迹C的方程； (3)在(2)的条件下，有一束直线4,2，…，1n均过点 0 I,(i∈N)与曲线C交于A,B两点.若的 斜率为1，的斜率为k,=1+√AB-1(i≥2)，求k·(注：结果不用化简) 目目 考点08 求直线方程与斜率 22425商=上测胸水州期末和已知精圆C号+若-o>6>0伯高心率为，点 在C上. (1)求C的方程； (2)设直线1交C于A,B两点，直线MA,MB的斜率之和为O,求直线I的斜率. 33.(24-25高二上湖南长沙长郡中学期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(4,α在抛物 线C上，且AF=5 (1)求抛物线C的方程，并求a的值： (2)过焦点F的直线1与抛物线C交于M,N两点，若点B(-1,2)满足∠MBN=90°，求直线I的方程 34.(24-25高二上湖南长沙周南中学期末)已知双曲线C: 京京=1(a>b>0)的左右焦点分别为斤、5， x2 y2 且焦距为4，过右焦点E的动直线1交双曲线于A、B两点，当直线11x轴时，AB=6. (1)求双曲线C的方程； (2)动直线1分别交双曲线C的左、右支于A,B两点，若S△4所=12，求此时直线I的方程. 35.(2425高二上湖南株洲第二中学期末已知双曲线父-上=1与直线1：y=x+m(k≠士V2)有唯一的 24 公共点M,过点M且与1垂直的直线分别交x轴、y轴于Ax,0),B(0,y)两点. (I)求直线AB的方程（用k,m表示）； (2)当点M运动时，求点P(x,)(P的横坐标为A的横坐标，P的纵坐标为B的纵坐标)的轨迹E的方程； (3)已知点Q3√2,0)，若直线ST不过点Q且与曲线E相交于S,T两点，并且有Q下.QT=0,问是否存在直 线ST使得△QST的面积为72？若存在，求出此时直线ST的方程；若不存在，请说明理由， 目目 考点09 斜率定值问题 7/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 36.(2425高二上湖南益阳·期末)已知椭圆E: +=川a>>0过点 x2,y2 且E的离心率为 2 (1)求E的方程； (2)设A,B分别是E的左顶点，上顶点，与直线AB平行的直线I与E交于M,N两点 ①若以线段MN为直径的圆与直线AB相切，求1在y轴上的截距； ②当直线AM,BW斜率存在时，分别将其记为k,k2,证明：k·k2为定值 7,Q425高上湖南多校联考期已知椭圆E(+a>b>0)的左、右焦点分别为，乃，抛物 线C:严=4：的焦点与乃重合，点G是C与E在第一象限的交点，且G上} (1)求E的方程 (2)设过点F的直线1与E交于点M,N,交C于点A,B,且A,B,M,N互不重合 (i)若1的倾斜角为45°，求 MN ABI 的值； (i)若P为C的准线上一点，设PA,PB,PF2的斜率分别为k,k2,k,,证明：飞为k和k的等差中项 目目 考点10 面积问题 38.(2425高二上湖南百师联盟期末直线1：x+y=3与椭圆C:亡+广 123 =1交于A,B两点，椭圆C的 上顶点为点P,则△ABP的面积为 22425高上长沙雅礼中学期末已知椭围C:等+广（口>>0）的离心克为S ，过椭圆 2 的焦点且与长轴垂直的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A,B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C, 直线MA与y轴交于点D,求四边形ABCD的面积 0.2425商二上新南远作平江县期未已知椭图C:手+茶-1口>6>0的焦距为8，离心幸为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线4x-5y+10=0与C交于A,B两点，点P为椭圆上任意一点，求。PAB的面积的最大值 目目 考点11 共圆问题 8/9 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 41.(24-25高二上湖南株洲第二中学期末)已知抛物线C：x2=2pyp>0)的焦点为F,0为坐标原点， 位于第一象限的点M为C上一点，OM=V5,且MF垂直于y轴 (1)求抛物线C的方程； (2)己知直线x-2y+12=0与C交于A,B两点，求证：A,B,M,F四点共圆 目目 考点12 定点问题 纪.2425商二上湖南概州期未已知双角线C:若茶-1a>0b>0,片，K为双商线c的东、右袋点。 前近线方程为y=±号，点P为双曲线在第一象限上的一点，且∠RPR=6△PPR,的面积为5. (1)求双曲线C的标准方程； (2)A、B为双曲线C的左右顶点，直线：x=1上一点P,以P为圆心，半径为PB的圆与直线I交于M,N两 点，直线AM、AN与双曲线C分别交于另一点E、F. ①证明：kAM·kAN为定值； ②探究：直线EF是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 43.(24-25高二上澜南长沙第一中学期末)在平面直角坐标系x0,中，F(5,0)为双曲线G:。-罗 a261 (a>0,b>0)的右焦点，以F为圆心，1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切 (1)求C的方程： (2)记C的左、右顶点为A,B,弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M,其轨迹为曲线C, (i)求C,的方程； (ⅱ)直线4，马是曲线C,的任意两条切线，且4川2，试探究在x轴上是否存在定点G,满足点G到1，☑的 距离之积恒为1？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 9/9