期末专题04 等差等比数列通项、性质、递推关系与数列求和11大考点（期末真题汇编，湖北专用）高二数学上学期人教A版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 期末专题04等差等比数列通项、性质、递推关系与数列求和 ☆1大高频考点概览 考点01数列的概念与递推公式 考点02等差数列中基本量的计算 考点03等差数列的性质 考点04等比数列中基本量的计算 考点05等比数列的性质 考点06n与S的关系 考点07分组求和 考点08裂项相消求和 考点09错位相减求和 考点10最值与范围问题 考点11数列新定义 目目 考点01 数列的概念与递推公式 1.(24-25高二上湖北部分重点中学期末)数列-1,3，-5,7，…的第9项是() A.-17 B.17 C.-19 D.19 2.(24-25高二上湖北云学名校联盟期末)已知数列{an}的首项4，=1，且满足a+1=2an+1,则a=() A.63 B.32 C.31 D.15 3.(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学.期末)已知数列{an}满足a=2,a1=2a,-1,则 4的值为() A.299-1 B.2100-1 C.299+1 D.2100+1 42425布三上满北式汉重点中学50联合体期利数列a满足4=反，4=。u=-12小，州 a1+a2+a3+.+a2024+a2025=（) A.2024 B.2025 C.2024+√2 D.2024-√2 5.(24-25高二上湖北武汉部分重点中学期末)已知数列{a,}满足a=2an+1(neN),且a,=1,则数列 1/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 an}的通项公式为an=_ 6.记bn为数列{an}的前n项积，己知a1=3, ⊥+2=1，则数列b,的通项公式为一 a b. 7.(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学.期末)（多选）已知数列{n}的通项公式为 a。=2n+1,{an}的前项和为Sn,则下列说法正确的是() A.a3+a6=a1+a3+a7 B.数列{a2m-}是公差为4的等差数列 C.S6-2S3=18 D.数列 an 的最大项为2 S 8.(24-25高二上湖北楚天协作体期末)已知数列an}满足：a1=2,a+= 各当a为街数时 则an所 3an+l,当an为奇数时 有可能的取值的集合为() A.{2 B.{L,2 C.1,2,4} D.{1,2,4,8} 目目 考点02 等差数列中基本量的计算 9.(24-25高二上湖北武汉华中师范大学第一附属中学.期末)“中国剩余定理”又称孙子定理”，最早可见于 中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”原文如下：今有物不知其数， 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2 的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an},则as的值为() A.24294 B.24296 C.24298 D.24300 10.(24-25高二上湖北武汉重点中学5G联合体期末)（多选)等差数列an}的前n项和为Sn, Sg=9,a+a,=6,则() A.d=2 B.S1=22 C.S 2 S D.a2025=4040 1l.设{an}是公差不为零的等差数列，a+a=a+a,S,=7. (1)求an和Sn: (2)求{an}的前n项和Tn 2/9 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 等差数列的性质 12.(24-25高二上湖北武汉部分重点中学.期末)在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+as+ao=150,则 a1+a,的值为() A.30 B.40 C.50 D.60 13.(24-25高二上湖北仙桃期末)已知{an}是等差数列，a,+a,+a=21,a6+a+ao=51,则{an}的前10 项和为() A.90 B.100 C.110 D.120 14.(24-25高二上湖北部分州期末)已知公差为正数的等差数列{an},若a,a4=35,a2+a=12,则a,等于 () A.11 B.9 C.7 D.11或1 15.24-25高二上湖北武汉部分重点中学期末)已知5，万是双曲线？-士=1的左，右焦点，P是双曲线 3 右支上一点，且EF是PF和PF的等差中项，则SpFE,的值为() A.4 B.6 C.8 D.10 16.(24-25高二上湖北鄂南高级中学期末)在前n项和为Sn的等差数列{an}中，S=6,S。=10,则 S,= 17.(24-25高二上·湖北武汉常青联合体期末)（多选）数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是() A.若an=-2n+13,则数列{an}的前6项和S最大 B.若等比数列an}是递减数列，则公比q满足0<q<1 C.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2o2s>0,，则a1o13>0 D.已知{an}为等差数列，则数列 也是等差数列 n 18.(2425高二上湖北部分级示范高中.期末)（多选)已知等差数列{a}的前n项和为Sn,若 S23>0,S24<0,则下列结论正确的是（() A.数列{an}是递增数列 B.a2>0 C.a>an2 D.当Sn取得最大值时，n=13 3/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(24-25高二上湖北武汉部分重点中学期末)设等差数列{an},{b}的前n项和分别为S,Tn,若 S.2n+1 T3n-’ 则安的植为() 19 27 27 A. B. C.27 2 D. 26 26 38 20.(2425高二上湖北楚天协作体期末)（多选）记等差数列{an}的前n项和为Sn,若ao=9,S1。=0,则 () A.{an}的前10项和为50 B.{an}是递增数列 C.当n=4时，Sn取得最小值 D.若Sn>0,则的最小值为11 目目 考点04 等比数列中基本量的计算 21.(24-25高二上湖北云学名校联盟·期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,满足4，=2， 02024+a2025=0,则S1= 1 22.(24-25高二上潮北仙桃期末数列a,}中a=2,且满足aa=2，a.+a1=b,则数列b,}的前 2024项的和为 目目 考点05 等比数列的性质 23.(24-25高二上湖北仙桃期末)设数列an},{bn}都是等比数列，则在4个数列a,+bn},{an-b.}, {ab}, )中，一定是等比数列的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 24.(24-25高二上湖北武汉常青联合体·期末)在各项均为正数的等比数列an}中，a,43=144，a=6,则 2= 25.(24-25高二上湖北鄂南高级中学·期末)设各项均为正数的等比数列an}满足a4·a1。=2a6,则 l0g2a1a2…a14a1s等于（) A.24 B.21 C.14 D.15 4/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 26.(24-25高二上湖北武汉部分重点中学期末)若等比数列{an}的各项均为正数，且a,·a6·a,·a。=e2,则 lna,+lna2+…+lna2= 27.(24-25高二上湖北楚天协作体期末)已知{a,}是等比数列，前n项和为S，且满足a+a=4S。=9S, 则a1a2+a2a+.+ana+1等于() A.-4）B.-2 c4- D. - 目目 考点06 an与Sn的关系 28.(24-25高二上湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)设数列an}的前n项和为Sn,a1=-5, a,=S+2n-l,n∈N,则S,取最小值时n的值为() n A.2 B.3 C.4 D.5 29.(24-25高二上湖北武汉部分重点中学·期末)已知数列{an}各项均为正数，设数列an}的前n项和为Sn, 其中2Sn=a+a (1)求数列{an}的通项公式 ②冷么=号，求数列}的前n项利工. 30.(24-25高二上湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知数列a}的前n项和为Sn,且 2Sn=4am+1. (1)求数列{an}的通项公式： (2)已知数列cn}满足cn=an+(-1)”(2n+1),求数列c}的前2n项和Tn 目目 考点07 分组求和 31.(24-25高二上湖北仙桃·期末)已知数列an}满足an+1=2an+1,且a1=1,设bn=an+1。 (1)求证：数列{b}是等比数列： (2)设cn=an+log2bn,求数列cn的前n项和Sn 5/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32.(24-25高二上湖北部分级示范高中·期末)记Sn是等差数列{an}的前n项和，若a,=S,a2-a,=2. (I)求数列{an}的通项公式a,; (2)求使S.>2an-1成立的n的最小值； (3)求数列{(-1)S}的前n项的和Tn. 目 考点08 裂项相消求和 33.(24-25高二上湖北部分州期末)已知n(n≥2)个圆两两相交，每两个圆都有两个交点且所有交点均不重 合，设个圆的交点总数为a,记7=1+1+1++（≥2，neN),则T,= (nz2,nEN) a,aa a 34.(24-25高二上湖北武汉部分重点中学期末)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2. (1)求数列{an}的通项公式： (②冷，=。，设工为数列b,的前n项和，是否存在常数，使T<1对nN恒成立若存在，求出t SnSn+i 的最小值；若不存在，说明理由. 目目 考点09 错位相减求和 35.(24-25高二上湖北鄂南高级中学期末)已知等差数列{an}的前n(n∈N)项和为Sn,且a2+a2=16, S5=135 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=2”·an，设数列{bn}的前n项和为T,求T 36.(24-25高二上湖北云学名校联盟期末)已知数列{a}的前n项和为Sn,且Sm+2+an=Sn+1+2a1, a1=-7,a42=-4 (1)求a和a4的值，再猜想数列an}的通项公式，并证明； (2)求数列{an}的前n项和T,; (3)若数列{bn}满足bn=2"-an,求数列bn的前n项和R, 6/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37.(24-25高二上湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)己知等差数列{a,}的前n项和为Sn,且 Sa=4S2,azn =2a+1(nEN). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=5,令cn=abn,求数列{cn}的前n项和T; (3)已知数列d满足d,=n+3+22 a2)户.2”，目数列d的前项和为R,证明R<令 38.(24-25高二上湖北楚天协作体期末)已知等比数列a}的前n项和为Sn,且a1=Sn+2(n∈N) (1)求数列{an}的通项公式. (2)设bn=(2n+1)an,求数列{bn}的前n项和Tn (3)在an与a1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项 dm,d,d。(其中m,k,p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理 由， 39.(24-25高二上湖北部分州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且S,=n2+2n,n∈N°，数列b}是首 项为1，且满足b+1=2b,n∈N (1)求数列a},{bn}的通项公式： (2)是否存在正整数t,s,使得数列4， 第1项，第2项，第s项成等差数列？若存在，求满足条件的所 a+t 有，s的值；若不存在，请说明理由； (3)类比教材等比数列前项和公式推导方法，探求数列 的前n项和 目目 考点10 最值与范围问题 40.(24-25高二上湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)已知数列{αn}的第一项为1，第二项为2+4， 第三项为8+16+32，…，依此类推记数列{an}的前n项和为Sn,b=2l0g2Sn+1-1·2”,若数列{b}单 调递减，则实数入的取值范围是一 7/9 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 41.(24-25高二上湖北武汉重点中学5G联合体期末)已知数列{an}满足a=256,且a。=2a1.若，是数 列{a}的前项积，当Tn取最大值时，”=一· 1 42.2425高二上湖北武汉部分重点中学期末已知数列a,}为等比数列，4=256，公比q=2,若7是 数列{an}的前n项积，则Tn取最小值时n为() A.8 B.9 C.8或9 D.9或10 43.(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)（多选）已知数列an}的前n项和为Sn,若an1=an-3,且 a3+a,=4,则下列说法正确的是() A.数列的首项为正数 B.-2025是{an}中的项 C.{an}是递减的等差数列 D.Sn的最大值是26 44.(24-25高二上湖北云学名校联盟期末)（多选)若等差数列{an}的前n项和为Sn,首项为a,公差为d ,设a>0,ak+a+1<0,且k∈N,则下列说法正确的是() A.若k=6,则当且仅当n=6时，Sn有最大值 B.若k=7,则当且仅当n=13时，数列 的前n项和工有最大值 n 心若=8，则会的取值花围为 a, D.者函数S列=号x+口引x的对称轴方程为x=,则无的取值花围为k-号 2 45.(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学.期末)（多选）设等差数列{an}的前n项和为S,若Sn有最大值， 且23<-1，则下列结论正确的是() d2024 A.当Sn最大时，n=2023 B.使S>0的最大k值为4045 C.S4046<S1<S4045 D.在数列1≤n≤4046)中，当n=2023时， S4取最大值 a a 8/9 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点11 数列新定义 46.(24-25高二上湖北鄂南高级中学期末)若数列{an}满足a=1,a2=1,an=am-1+a-2（n≥3，n为正 整数)，则称数列{，}为斐波那契数列，又称黄金分割数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波 那契数列都有直接的应用.设Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论成立的是() A.as =13 B.a1+a3+a5+…+a2023=a2024 C.S7=54 D.a2+a4+a6++a2024=a2025 47.(24-25高二上湖北武汉部分重点中学.期末)已知m∈N,m≥5，定义：数列(an}共有m项，对任意i, ijN1≤i≤j≤m,a,a,或中至少有一个仍是a,}中的项，则称数列a,}为乘或除封闭数列 a; (1)若an=2”且m=5,判断数列{an}是否为“乘或除封闭数列”： (2)已知递增数列a1,3,a4,27,a为“乘或除封闭数列”，求a1,a,a (3)已知各项均为正且单调递增数列{an}为“乘或除封闭数列”，若am>1,证明：数列{an}是等比数列。 9/9 期末专题04 等差等比数列通项、性质、递推关系与数列求和 11大高频考点概览 考点01 数列的概念与递推公式 考点02 等差数列中基本量的计算 考点03 等差数列的性质 考点04 等比数列中基本量的计算 考点05 等比数列的性质 考点06 与的关系 考点07 分组求和 考点08 裂项相消求和 考点09 错位相减求和 考点10 最值与范围问题 考点11 数列新定义 地 城 考点01 数列的概念与递推公式 1．(24-25高二上·湖北部分重点中学·期末)数列-1，3，-5，7，…的第9项是（   ） A．-17 B．17 C．-19 D．19 【答案】A 【分析】通过列举即可求解. 【详解】由数列规律可得： -1，3，-5，7，-9，11，-13，15，-17，… 所以第9项是-17， 故选：A 2．(24-25高二上·湖北云学名校联盟·期末)已知数列的首项，且满足，则（    ） A．63 B．32 C．31 D．15 【答案】C 【分析】根据递推公式可证明是等比数列，求得其通项公式可求. 【详解】由可得，且， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 故，则. 故选：C 3．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得，由题意，故为等比数列，可得，进而可得. 【详解】由得，又， 故数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 故，得，故， 故选：C 4．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的递推关系式确定数列的周期性，从而可得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，，…… 则该数列的周期为， 所以. 故选：C. 5．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】由递推公式可得，从而得到是等比数列，利用等比数列通项公式得到从而得到的通项公式. 【详解】解：因为，所以， 又因为，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 故答案为： 6．记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】由题意可得，代入化简得，根据数列为等差数列可求通项公式. 【详解】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 7．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)（多选）已知数列的通项公式为，的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是公差为4的等差数列 C． D．数列的最大项为2 【答案】BC 【分析】利用数列的通项公式可判断A；根据等差数列定义可判断B；利用等差数列的前n项和公式可判断C；求出的通项公式，判断其单调性，可判断D. 【详解】对于A，数列的通项公式为，故， ，即，A错误； 对于B，，则， 故数列是公差为4的等差数列，B正确； 对于C，数列的通项公式为，为首项是，公差为2的等差数列， 故， 则，C正确； 对于D，，而， 当n增大时，的值随着增大，故随着n增大而减小， 故当时，数列取最大项为，D错误， 故选：BC 8．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)已知数列满足：，，则所有可能的取值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先算出前面几项，再根据规律得到周期，可解. 【详解】依题意，，，，，，…， 所以是周期为3的周期数列，根据选项，结合集合元素无序性. 故选：C. 地 城 考点02 等差数列中基本量的计算 9．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（    ） A．24294 B．24296 C．24298 D．24300 【答案】C 【分析】由题意可得数列为等差数列，则得到其通项公式，代入计算即可. 【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列， 构成首项为，公差为的等差数列， 所以， 则. 故选：C. 10．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)（多选）等差数列的前项和为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设等差数列的首项和公差，列方程即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 依题意， 解得, 所以, 对于A，由上面可知，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 故当时，取得最小值为，故，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 11．设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据可得，结合列方程组可求得，由此可得和. （2）讨论和可得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，∴，即， 由等差数列的性质得，， 由得，，即，   由得，， 联立方程可得，，    ∴，. （2）由得，时，，时，. 当时，，     当时，， ∴. 地 城 考点03 等差数列的性质 12．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)在等差数列中，若，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】利用等差数列下标和的性质得，进而可求. 【详解】由，得，即，所以 故选：D 13．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)已知是等差数列，，，则的前10项和为（   ） A．90 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的公差和首项，代入前项和公式可得答案. 【详解】设的公差为， 因为，， 所以，解得， 则的前10项和为. 故选：D. 14．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知公差为正数的等差数列，若，则等于（    ） A．11 B．9 C．7 D．11或1 【答案】A 【分析】由等差数列的性质和通项公式即可求解. 【详解】在公差为正数的等差数列中， 因为，所以， 又，所以或， 又因为公差为正数，所以，所以， 所以，则. 故选：A. 15．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知，是双曲线的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且是和的等差中项，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据双曲线方程及其定义有，结合等差中项的性质有，可求，进而可证，即可求. 【详解】由双曲线，得，， 因为是和的等差中项， 所以，即 ①， 由双曲线的定义得 ②， 由①②得，，， 所以，即， 故 故选：B 16．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)在前n项和为的等差数列中，，，则 . 【答案】12 【分析】根据题意可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，可知为等差数列， 则，即，解得. 故答案为：12. 17．(24-25高二上·湖北武汉常青联合体·期末)（多选）数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则数列的前6项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比q满足 C．已知等差数列的前n项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【分析】确定数列的所有正数项判断A；举例说明判断B；利用等差数列性质计算判断C；利用等差数列前n项和公式及性质推理判断D. 【详解】对于A，由，令，解得，令，解得， 又，则，，数列单调递减，数列前项的和最大，A正确； 对于B，当，时，等比数列也是递减数列，B错误； 对于C，，由，得，C正确； 对于D，若为等差数列，则，则， （为常数），因此数列是等差数列，D正确． 故选：ACD 18．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期末)（多选）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 【答案】BC 【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得：， ， 即，，且，即B、C正确； 因，故数列是递减数列，故A错误； 因，，即当取得最大值时，，故D错误. 故选：BC. 19．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可设，，结合与的关系可得. 【详解】因数列，均为等差数列， 故由，可设，， 则， ， 则 故选：B 20．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)（多选）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．的前10项和为50 B．是递增数列 C．当时，取得最小值 D．若，则的最小值为11 【答案】ABD 【分析】求出通项公式，对于A，直接算出和即可；对于B，运用数列的函数特征判定即可；对于C，根据数列函数特征，找出正负相邻项即可；对于D，根据数列增减性，结合判定即可. 【详解】解析：设公差为，则， ，，， 对于A：，知A正确； 对于B，由知B正确； 对于C，由通项公式知道，知C错误； 对于D，由时，，且，知D正确. 故选：ABD. 地 城 考点04 等比数列中基本量的计算 21．(24-25高二上·湖北云学名校联盟·期末)已知等比数列的前n项和为，满足，，则 . 【答案】2 【分析】利用给定条件计算出公比，再利用公式法求和即可. 【详解】设公比为，因为，所以， 故，得到的公比，所以. 故答案为：2 22．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)数列中，且满足，，则数列的前2024项的和为 . 【答案】 【分析】根据题意得到，，，，以及，，，分别是公比为的等比数列，再分奇偶讨论，结合分组求和计算即可. 【详解】解析：由，，得，，得 所以，，，以及，，，分别是公比为的等比数列， 当为奇数时，，当为偶数时， 所以，当为奇数时，， 当为偶数时，， . 故答案为：. 地 城 考点05 等比数列的性质 23．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】取，可判断；取 ，可判断；利用等比数列的定义可判断，. 【详解】对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但对任意的，，故数列不是等比数列； 对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但当时，，故数列不是等比数列； 设等比数列、的公比分别为，其中， 对任意的，， 对于，，即数列为等比数列； 对于，，故为等比数列， 故，一定是等比数列. 故选：B. 24．(24-25高二上·湖北武汉常青联合体·期末)在各项均为正数的等比数列中，，，则 ． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算作答． 【详解】等比数列中，，由， 得，由，得， 所以． 故答案为：3． 25．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解. 【详解】正项等比数列中，，解得， 因此， 所以. 故选：D 26．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)若等比数列的各项均为正数，且，则 . 【答案】6 【分析】根据等比数列下标和性质和对数运算求解可得. 【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且，则， 因为， 由等比数列的性质知：， 所以 故答案为：6 27．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)已知是等比数列，前项和为，且满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，根据可得，进而根据可得，结合等比数列性质可知，也为等比数列，从而求得前项和. 【详解】设等比数列的公比为，，则得到， 故，得或1（舍去）， ，. 设，由等比数列性质可知，数列也为等比数列， 且首项为，公比为4，故. 故选：C. 地 城 考点06 an与Sn的关系 28．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)设数列的前项和为，，，，则取最小值时的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由的关系，作差，确定为等差数列，即可求解； 【详解】由， 可得：， 则， 两式相减化简可得：， 所以为，公差为4的等差数列， 易得，， 所以当时，最小， 故选：A 29．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知数列各项均为正数，设数列的前n项和为，其中 (1)求数列的通项公式; (2)令，求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用前n项和与通项公式的关系证明是等差数列，再利用等差数列的通项公式求解即可. （2）写出新数列的通项公式，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求和即可. 【详解】（1），当时，，得或舍， 当时，，， 即，数列的各项均为正数，即， ，即数列是首项为1，公差为1的等差数列， （2），①， ②， ①-②得： ， 30．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系可得；（2）根据分组法求前项和. 【详解】（1）当时，得， 当时，，得， 故数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 故. （2）由（1）可知 当为奇数时，， 故 ， 故. 地 城 考点07 分组求和 31．(24-25高二上·湖北仙桃·期末)已知数列满足，且，设. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合已知等式构造后应用等比数列定义证明即可； （2）应用分组求和再分别应用等差数列求和公式及等比数列求和公式计算. 【详解】（1）由已知，， 且，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）知，，，所以， . 32．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期末)记是等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列方程组，求出，即得数列通项； （2）利用求和公式求出，解不等式求得的范围，取整即得； （3）将所求和式按照为奇数和偶数进行分类，利用并组求和法与等差数列求和公式计算即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，，解得， 所以. （2）由（1）可得， 由可得，解得或， 因为，故正整数的最小值为. （3）因 当为偶数时， ； 当为奇数时， . 所以数列的前项和为：. 地 城 考点08 裂项相消求和 33．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知个圆两两相交，每两个圆都有两个交点且所有交点均不重合，设个圆的交点总数为，记，则 . 【答案】 【分析】根据题意，可得，迭代求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】由题意，，，，，， ， 当时，上式成立，则，， ，， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解题意得到，求出通项. 34．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)设数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)令，设为数列的前n项和，是否存在常数t，使对恒成立?若存在，求出t的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，最小值为 【分析】（1）利用数列的与的关系式消去，判断为等比数列，即得其通项； （2）代入计算并化简，利用裂项相消法求得，由数列解析式的单调性求得其范围即可. 【详解】（1）由①， 当时，，即， 当时，②， ①-②得：，即，所以， 数列是首项为2，公比为2的等比数列，故， （2）由，可得，， ， 故 由于单调递增，可得，即， 则存在常数t，使对恒成立，即，故t的最小值为 地 城 考点09 错位相减求和 35．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前n项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列的性质可得，进而可求解； （2）由错位相减法求和即可； 【详解】（1）由题意知，， 所以，易知公差， ∴， （2） ，① ，② ①-②，得， 所以 化简可得：. 36．(24-25高二上·湖北云学名校联盟·期末)已知数列的前n项和为，且，，. (1)求和的值，再猜想数列的通项公式，并证明； (2)求数列的前n项和； (3)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出数列中项的值，再利用等差中项判断数列类型，求解通项公式即可. （2）对给定数列分类讨论，去掉绝对值后利用等差数列求和公式求解即可. （3）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）， 令得，令得， 猜想数列的通项公式为，证明如下： 由，移项得， 即，故数列为等差数列， 又，，故公差， 因此，数列的通项公式为. （2）由（1）得， 当时，，故. 当时，，故 ， 综上所述，. （3）由题意得， 故（1）, 两边乘以2得：（2）， （1）－（2）得 所以. 37．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和； (3)已知数列满足，且数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用基本量法即可求解等差数列的通项公式； （2）利用错位相减法即可求数列的前项和； （3）首先利用进行放缩得，再利用裂项相消法求和即可求证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，. ，， ，解得. ∴数列的通项公式为. （2）由（1）知，又， . ∴数列的前项和①， ②， ①-②得 ， . ∴数列的前项和. （3）由（1）知，. ， . 设数列的前项和，数列的前项和， 则 ， ， . 【点睛】本题主要考查求数列的通项公式与数列求和. 数列求和的常用方法有：公式法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法、错位相减法和、倒序相加法. 38．(24-25高二上·湖北楚天协作体·期末)已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和. (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据的关系即可作差求解， （2）根据错位相减法，结合等比数列的求和即可得解， （3）根据等差数列的性质可得，即可根据等差中项以及等比中项的性质得矛盾求解. 【详解】（1）由，得， 两式相减，得. 数列是等比数列， 又时，代入可得， ， （2）因为， 所以，①， 则②， ①-②得 ， 因此， （3）由题意得，即，故， 假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则， 即， ① 、、成等差数列，，则①式可化为，故. 这与题设矛盾，在数列中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列 39．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知数列的前项和为，且，数列是首项为1，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得数列第1项，第2项，第项成等差数列？若存在，求满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由； (3)类比教材等比数列前项和公式推导方法，探求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)存在满足要求得，或 (3)， 【分析】（1）根据的关系求的通项公式，由等比数列的定义写出的通项公式； （2）假设存在，使得成等差数列，根据等差中项的关系列式结合讨论求解； （3）由题可得，令表示的前项和，表示的前项和，仿照错位相加法求出，得解. 【详解】（1），令，得， 当时，， 满足上式，故，. 又，且满足，， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， ，. （2）假设存在，使得成等差数列， 则，即， 化简得， 又，，即， 当时，与矛盾，不符合舍去； 当时，，， 当时，，， 所以存在满足要求的，或. （3）， 令， 令①， ②， ①②得：③， ④， ④③得： ， ， 所以数列的前项和为： . 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的难点和关键是类比等比数列求和的错位相减法求出数列的前项和. 地 城 考点10 最值与范围问题 40．(24-25高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用题意求出，然后再求出，再利用递推关系结合单调性可得到不等式恒成立，最后可求出参数的范围. 【详解】由题意得： ， 又因为， 所以有， 因为数列单调递减，所以有对于恒成立， 即对于恒成立， 再取，则由， 可知数列单调递减，则， 所以要使得不等式对于恒成立， 则满足，即实数的取值范围是. 故答案为：. 41．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)已知数列满足，且．若是数列的前项积，当取最大值时， ． 【答案】10或11 【分析】由且可推出，再求出，利用函数思想求其最大值即可. 【详解】因为，且，所以， 所以数列为等比数列，公比为， 则数列， 所以， 因为， 又因为，所以当或时，取最大值， 则或时，取最大值. 故答案为：10或11. 42．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最小值时n为（    ） A．8 B．9 C．8或9 D．9或10 【答案】C 【分析】由等比数列的通项公式可得，利用二次函数与指数函数的性质即可求解. 【详解】由题意得， 因为，，所以， 函数的开口向上，对称轴为，因为， 所以或时，取最小值，即取最小值. 故选：C. 43．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)（多选）已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法正确的是（    ） A．数列的首项为正数 B．-2025是中的项 C．是递减的等差数列 D．的最大值是26 【答案】ACD 【分析】本题可先根据已知条件判断数列的类型，再求出数列的首项、通项公式和前项和公式，最后据此逐一分析选项. 【详解】已知，移项可得. 根据等差数列的定义：可知数列是公差的等差数列，且公差为负，所以是递减的等差数列，故C选项正确. 根据等差数列通项公式，可得，. 已知，将，代入可得： ，即. 把代入，可得， ，，解得，首项为正数，故A选项正确. 由等差数列通项公式，把，代入可得： . 令，则，解得， 所以不是中的项，故B选项错误. 令，则，解得. 因为，所以当时，还大于，当时，. 根据等差数列前项和公式，可得，即的最大值是26，故D选项正确. 故选：ACD. 44．(24-25高二上·湖北云学名校联盟·期末)（多选）若等差数列的前n项和为，首项为，公差为d，设，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则当且仅当时，有最大值 B．若，则当且仅当时，数列的前n项和有最大值 C．若，则的取值范围为 D．若函数的对称轴方程为，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据题意可判断出数列中各项的符号，即可得A正确，再根据的表达式可判断B正确，利用不等关系计算可得，可知C错误，由等差数列前n项和的函数性质可判断D正确. 【详解】对A选项，，，则，所以当且仅当时，有最大值，A正确； 对B选项：，，则，，且， 当且仅当时，数列的前n项和有最大值，B正确； 对C选项：，，且，， 所以，则，C错误； 对D选项：由已知可得，，且，， 所以，而，故，即D正确. 故选：ABD 45．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)（多选）设等差数列的前n项和为，若有最大值，且，则下列结论正确的是（    ） A．当最大时， B．使的最大k值为4045 C． D．在数列中，当时，取最大值 【答案】ACD 【分析】由，则或，结合有最大值，则，利用等差数列前n项和的最值即可判断A，利用等差数列的性质与前n项和公式即可判断B，利用二次函数的性质可判断C，利用数列与不等式可判断D. 【详解】由得， 则或，即或， 因为有最大值，所以，故当最大时，，A正确； 因为，，B错误； 根据等差数列前n项和的函数性质，先增大后减小， 因为的图象过原点，且， 又因为， ， 所以，所以C正确； 当时，， 又因为， 当时，，当时，， 因为且， 所以，D正确. 故选：ACD. 地 城 考点11 数列新定义 46．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可. 【详解】解析：按照规律有，，，，，，，，， A、C错；， 则，B对； ， D错． 故选：B 47．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知，，定义：数列共有m项，对任意i，，或中至少有一个仍是中的项，则称数列为“乘或除封闭数列”. (1)若且，判断数列是否为“乘或除封闭数列”; (2)已知递增数列，3，，27，为“乘或除封闭数列”，求，， (3)已知各项均为正且单调递增数列为“乘或除封闭数列”，若，证明：数列是等比数列. 【答案】(1)不是 (2)，，； (3)证明见解析 【分析】（1）利用题目定义验证即可； （2）利用或中至少有一个仍是中的项，推理可得答案； （3）结合新定义得出，进而可得数列是等比数列. 【详解】（1）由题意知，数列为2，4，8，16，32，因为和均不是中的项， 所以数列不是“乘或除封闭数列”； （2）由数列递增可知，则不是中的项，所以是中的项，所以， 因为，所以，，都是中的项，所以，得， 由，得，所以，，； （3）因为数列单调递增，且，则不是中的项，所以是中的项，所以， 因为不是中的项，所以是中的项， 所以，因为，，，，，共有m项， 所以①， 类似的，，，， 则不是中的项，所以是中的项， ， 所以②， 由①和②得，所以是首项为1的等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是理解新定义，利用或中至少有一个仍是中的项，进行推理. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $