湖北省荆门市德艺学校2024-2025学年高二上学期期末数学复习卷（二）

2024-2025学年度德艺中学高二上学期数学期末复习卷二 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在四面体中，.点分别为棱 的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．设A，B为两个随机事件，以下4个命题，正确的序号选项为（    ）. ①若A，B是互斥事件，，则； ②若A，B是对立事件，则； ③若A，B是独立事件，，，则； ④若，，且，则A，B是独立事件. A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 3．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，， 则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线：，：，点在上，点在上，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．原点到的距离的最大值为 C．的充要条件为 D．的充要条件为或 5．已知圆及直线，给出下列结论：①圆被轴截得的弦长为；②直线恒过定点：③时，直线被圆截得弦长取最大值；④直线被圆截得弦长最小值为.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和， 且，，则的离心率为（   ）. A． B． C． D． 7．已知等差数列满足，前8项和；公比为正数的等比数列满足，，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得相应分，有选错的得0分． 9．记等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B．是递增数列 C．当时，取得最小值 D．若，则n的最小值为11 10．已知抛物线的焦点为，且三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为； B．若直线BC过点F，O为坐标原点，则 C．若，则线段BC的中点到轴距离的最小值为 D．若直线AB，AC是圆的两条切线，则直线BC的方程为 11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12．在长方体中，为棱上的动点（不与重合），在直线上的点满足.给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是 . ①； ②为定值； ③存在点，使得平面平面； ④存在点，使得点到平面的距离为2. 13．已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，与在第一象限内交于点，且，与的离心率分别为，.则的取值范围是 . 14．某旅游公司根据市场调研的情况推出了A，B两个旅游路线方案，通过实践发现，选择方案A旅游路线与选择方案B旅游路线的游客比为3:1，该公司为了激励大家消费，设立优惠项目，即选择方案A旅游路线优惠200元，选择方案B旅游路线优惠100元（每位游客的选择相互独立），已知旅游公司的总优惠金额恰为的概率为，，则的关系式为 ． 四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向 距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛 4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触 礁的危险？ 16．学校组织知识竞赛，题库中的试题分为A，B两种类型，每个学生选择两题作答，第一题从A，B两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，若答错第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，已知学生甲答对A种试题的概率均为，答对B种试题的概率均为，且每道试题答对与否互相独立． (1)求学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率； (2)求学生甲两题均答对的概率． 17．如图，已知圆，圆心是点，点是圆上的动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点作一条直线与曲线相交于两点，与轴相交于点， 若，试探究是否为定值?若是，求出该定值； 若不是，请说明理由. 18．已知数列的前项和为. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式： (3)若，数列的项和为，求证：. 19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点E在线段上，满足，点F为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度德艺中学高二上学期数学期末复习卷二 答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C BCD D C D D BD ABD 题号 11 答案 ABD 1．【详解】因为在四面体中，， 点分别为棱的中点，所以 ，。故选：D. 2．D【详解】①：由是互斥事件，则， 故①错误；②：由是对立事件，则为必然事件，即，故②正确； ③：由是独立事件，则也是互相独立的， 即，故③正确； ④：由，， 则相互独立，即相互独立，故④正确. 故选：D. 3．C【详解】取的中点，则，且， 以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 所以在上的投影的长度为，故点到直线的距离为，故选：C. 4．A【详解】对于B，：可化为， 令，得，则过定点， 当垂直于定点与原点的连线时，O到的距离最大，最大距离为，故B正确； 对于C，的充要条件为，即，故C正确； 对于D，的充要条件为且，即或，故D正确. 对于A，因为直线：，：不一定平行， 当与相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0，故A错误；故选：A 5．D【详解】由圆，则圆心，半径， 则圆与轴的交点为，则圆被轴截得的弦长为，故①正确； 由直线，即直线， 由，解得，即直线恒过定点，故②错误； 由，则点在圆内部，当直线过圆心时，直线被圆截得弦长最大，此时，即，故③正确；当时，直线被圆截得弦长最小， 此时，则直线被圆截得弦长最小值为， 故④正确. 故选：D. 6．C【详解】连接，，根据题意，，，三 点共线，，，三点共线.， 且由知，故. 所以. 可设，，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得， ，解得，所以. 故选：C. 7．D【详解】设的公差为，由得， 解得，所以. 设的公比为，由， 得，解得（舍）或，所以. 因为，所以，则， 因为对任意的，，所以数列单调递增， 又因为，， 所以当时，，故的最大值是8. 故选：D. 8．D【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确；变形得，， ，， 所以，又， 所以，，所以， 所以，所以， B正确； 设，，，将坐标代入双曲线方程可得， ，作差后整理可得，即 所以，故C正确； 设直线，则直线，将代入双曲线方程， 可得，则，，将换成即得 ，则与，的值有关，故D错误，故选：D. 9．BD【详解】对于A，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，，故是递增数列，故B正确； 对于C，， 所以当时，取到最小值，故C错误； 对于D，令，即，解得或，因为，所以使的n的最小值为11，故D正确. 故选：BD. 10．ABD【详解】对于A：因为在抛物线上，所以，解得，所以，故A正确；对于B：显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为，由得，所以，所以，所以，故B正确； 对于C：因为，当且仅当B，C，F三点共线时，等号成立，所以，所以，即线段BC的中点到轴距离的最小值为，故C错误；对于D：直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即，又直线AB与圆相切，所以，整理得，即，同理可得，所以直线BC的方程为，故D正确. 故选：ABD. 11．ABD【详解】在选项A中，，，，且，平面， 平面，平面，， 同理，，，且，平面， 直线平面，故A正确；在选项B中， ，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 到平面的距离为定值， 又的面积是定值，三棱锥的体积为定值，故B正确； 在选项C中，，异面直线与所成角为直线与直线的夹角. 易知为等边三角形，当为的中点时，； 当与点或重合时，直线与直线的夹角为. 故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误； 在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，， 所以，，由A选项正确：可知是平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 12．①④【详解】在长方体中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， ，由，得， 解得，对于①，，，因此， ①正确；对于②，， 不是常数，因此不为定值，②错误； 对于③，由平面，得平面， 即平面的一个法向量为，设平面的法向量， 则，令，得，，即不垂直， 因此不存在点，使得平面平面，③错误； 对于④，点到平面的距离，若， 则，整理得，解得， 因此存在点，使得点到平面的距离为2，④正确， 所以所有正确结论的序号是①④. 故答案为：①④ 13．【详解】如图所示.根据椭圆的定义以及双曲线 的定义可得解得 显然，可得.又，且，其中，， 可得，所以. 令，则.因为，所以. 又，所以，所以， 又，所以，所以，所以可得. 设函数，而函数在区间上单调递增， 所以，所以.即的取值范围是. 故答案为：. 14．【详解】根据题意，当时，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为， 优惠金额恰为，则是优惠金额恰为时再有一个人选择方案或优惠金额恰为再有一个人选择方案，所以， 设，令，则，即，解得或．①当时，可得， 所以为以为首项，以为公比的等比数列， 根据题意，，，，所以可得， ，，…，，叠加可得 ， 故，，也符合该式，故. ②当时，可得， 所以，即，而， 则为以为首项，为公比的等比数列， 所以，．综上，，． 故答案为：． 15．(1) (2)该船没有触礁的危险． 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，则，所以该船没有触礁的危险． 16．(1) (2) 【详解】（1）若学生甲第一题选择A种试题作答，则第二题选择B种试题作答的概率 ， 若学生甲第一题选择B种试题作答，则第二题选择A种试题作答的概率 ， 故学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率． （2）若学生甲两题都选择A种试题作答，则两道试题均答对的概率， 若学生甲两题都选择B种试题作答，则两道试题均答对的概率， 若学生甲第一题选择A种试题作答，第二题选择B种试题作答，则两道试题均答对的概率 ， 若学生甲第一题选择B种试题作答，第二题选择A种试题作答，则两道试题均答对的概率 ， 故学生甲两题均答对的概率. 17．(1) (2)为定值 【详解】（1）因为，所以， 所以，半径， 因为线段的中垂线交线段于点，所以， 所以， 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，，，故曲线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，其方程为，与轴不相交，不合题意，舍去， 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为， 设，，由 消去整理得，恒成立，所以， 又因为直线与轴的交点为，所以，所以，，，， 又因为，所以，同理，所以，且， 所以， 整理后得，所以为定值，原题得证. 18．(1)证明见解析，(2)，(3)证明见解析 【详解】（1）由，可得，即， 则，所以， 因此是首项为4，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知，当时，， 当时，，时也适合，所以. （3）因为，①② ①-②得， 所以. 因为，所以. 19．(1)证明见解析，(2)，(3) 【详解】（1）取点M为的中点，连接， 因为点F为的中点，所以，， 又因为，，又，则， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）因为平面，平面，所以平面平面， 又，平面平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为，设，则， 因为，又，所以，，， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）在（2）的条件下，以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，过点A作平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，所以， 设平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 答案第4页，共8页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$