专题08 正多边形和圆、弧长和扇形面积（期末真题汇编52题，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题08 正多边形和圆、弧长和扇形面积 6大高频考点概览 考点01正多边形和圆 考点02 求弧长 考点03 求扇形面积 考点04求图形旋转后扫过的面积 考点05 求其他不规则图形的面积 考点06 求圆锥侧面积及底面半径 地 城 考点01 正多边形和圆 一、单选题 1．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，正六边形内接于，若的半径为3，则正六边形的周长为（    ） A．18 B．9 C．12 D．36 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆的有关计算，等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的确关键． 连接，，证是等边三角形，即可求得正六边形的边长，然后由正六边形周长公式求解即可． 【详解】解：连接，， ∵正六边形内接于， ∴是等边三角形， ∴正六边形的周长， 故选：A． 2．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，⊙的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙的面积，可得的估计值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正六边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正六边形的一条边，点是正六边形的中心，    过作于， 在正六边形中，， ， ∴是等边三角形，， ， ， 正六边形的面积为， ， ， 的近似值为， 故选：B． 3．(24-25九上·广东阳江阳西县·期末)正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理；连接，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接， ， ， 这个正多边形的边数为， 故选：． 4．(24-25九上·广东汕尾·)如图，正六边形内接于，正六边形的边长是2，则的半径的长是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，以及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线求出是解答此题的关键，根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再求出即可求出的半径． 【详解】解：如图，连结， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵正六边形的边长是2， ∴， 故选：B． 5．(24-25九上·广东惠州一中教育集团·期末)如图，边长为2的正六边形内接于，则该正六边形的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆与正多边形，涉及中心角，等边三角形的判定与性质，正多边形的半径，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出正多边形的中心角为，即可证明为等边三角形，继而可求解． 【详解】解：连接， 由题意得：， 而， ∴为等边三角形， ∴， ∴正六边形的半径为2， 故选：B． 6．(24-25九上·广东江门·)如图，正六边形内接于的半径为4，则这个正六边形的边心距为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出度数，得到为的等边三角形，三线合一求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， 由题意，得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴； 故选B． 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州白云区白云实验学校·期末)已知是正方形的外接圆，是上不与、重合的任意一点，则等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理，分类讨论是解答的关键．连接，，根据正方形外接圆的性质求得，分点P在劣弧和优弧上，利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是正方形的外接圆， ∴， 若点P在优弧上，则； 若点P在劣弧上，则； ∴或． 故答案为：或． 2．(24-25九上·广东东莞长安实验中学·期末)如图，点O为正五边形的中心，连接，，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正n边形的中心角为进行求解即可． 【详解】解：∵点O为正五边形的中心， ∴． 故答案为： 三、解答题 1．(24-25九上·广东汕头潮南区陈店实验·期末)如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析 【分析】本题考查了作图——画正多边形，矩形的判定以及圆的相关性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）由题意可知，因此，故，进而求得四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，因此可得，再由，得，因此，故可证得四边形是矩形． 【详解】解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）四边形是矩形．理由如下： 如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 2．(23-24九上·广东东莞石碣新民学校·期末)如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 地 城 考点02 求弧长 一、单选题 1．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：弧长， 故选：． 2．(24-25九上·广东广州花都区·期末)在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式． 弧长公式∶ (弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r)，由此即可计算． 【详解】解： 故选：A． 二、填空题 1．(24-25九上·广东惠州博罗县·期末)圆心角为，半径为1的扇形的弧长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，扇形的圆心角为, 半径为1， 所以扇形的弧长为：. 故答案为：． 2．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，弧长公式，解题的关键在于掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设这个圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方程，然后解方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为， 则有 解得， 那么这个圆锥的底面圆半径为； 故答案为：． 3．(24-25九上·广东肇庆四会·期末)一个圆锥的底面半径是2，则圆锥侧面展开图的扇形的弧长 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算． 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长为， 故答案为：． 4．(24-25九上·广东阳江江城区·期末)如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算及生活中的旋转现象，根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，， 所以重物上升了． 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25九上·广东湛江第二十三中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)求点B经过的路径弧的长（结果保留）． 【答案】(1)见详解 (2)点B经过的路径的长为 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧长公式． （1）将点、分别绕点顺时针旋转得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可； （2）根据弧长公式求解即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由题意得，， ∴， 所以点B经过的路径的长为． 2．(24-25九上·广东珠海香洲区·)珠海市某中学举行秋季校运动会．如图1，跑道内圈是由长为87米的两条直道和半径为36米的两条半圆弧跑道组成．内道第1跑道长：．跑道分为8道，每条跑道宽1.2米．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)400米分跑道划线时，终点线设置在分界线处（如图1和图2）．为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上（如图中A，C，E，…），那么各外圈跑道起跑线较相邻内圈跑道起跑线依次应向前延伸多少米？（结果保留π） (2)米接力赛的第三接力区一般都在弯道上，画接力区线的方法通常用固定基准点放射式丈量法，此方法需要用到圆心角的相关量（如图1和图3）．已知第六跑道内侧线米，试计算的大小（结果保留π）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆的周长计算和弧长计算． （1）因为直线跑道长度相同，所以相邻两个跑道的长度差即为两个半圆形跑道的长度差，根据圆的周长公式计算即可； （2）先计算半径的长度，再根据弧长公式，计算圆心角即可． 【详解】（1）解：设第n条圆弧形跑道内侧的半径为， ； （2）解：第6跑道内侧半径为， ． 3．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)（1）解方程：； （2）如图，弧的长为，圆心角，求此弧所在圆的半径r． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，已知弧长求半径： （1）移项后，利用因式分解法解方程即可； （2）根据弧长公式，进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ∴， ∴； （2）由题意，， ∴， 答：弧所在圆的半径为． 4．(24-25九上·广东东莞东城区联考·期末)如图，的直径，半径，点D在弧上，，，垂足分别为E、F，若点E为的中点，求弧的长． 【答案】 【分析】本题考查求弧长，连接，交于点G，可得四边形是矩形，进而推出是等边三角形，进而得到，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示，连接，交于点G， ，，， 四边形是矩形， ， 点E为的中点， ， ， 是等边三角形． ， ∵， 弧的长为． 地 城 考点03 求扇形面积 一、单选题 1．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)若扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：， 故选：C． 2．(24-25九上·广东中山·期末)如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形，求扇形的面积．先求出正六边形的一个内角的度数，再利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵点D为弧的中点， ∴， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ∴， ∴，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心． 2．(24-25九上·广东汕尾·)如图，点C，D是以为直径的半圆上的点，且，半径，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查求扇形的面积，直接运用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：阴影部分的面积为：． 故答案为：． 3．(24-25九上·广东韶关乳源县·期末)已知一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的弧长为 ，面积为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】 6.28 9.42 【分析】根据扇形弧长和面积公式，即可求解， 本题考查的是扇形的弧长和面积公式的运用，正确记忆弧长和面积公式是解题的关键． 【详解】解：由弧长公式可得这个扇形的弧长为， 扇形的面积为， 故答案为：6.28，9.42． 4．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式、扇形面积公式，设该扇形的半径为，由弧长公式求出，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：设该扇形的半径为， ∵一个扇形的圆心角为，其弧长为， ∴， ∴， ∴该扇形的面积为. 故答案为：． 5．(24-25九上·广东广州知用学校·期末)山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，套路复杂，画工精细，刀工别致，为国家级非物质文化遗产．如图 ① 是一块扇面形的山西砖雕作品，它的部分设计  图如图 ② 所示，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角．若 ，，则阴影部分的面积为 （结果用含π 的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解答本题的关键． 利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 故答案为：． 6．(24-25九下·广东肇庆·期末)一个扇形的半径为，扇形所对的圆心角为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的计算，扇形的面积公式是解题的关键． 直接利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据扇形的面积公式可得： 扇形的面积． 故答案为：． 三、解答题 1．(23-24九上·广东东莞·期末)如图，菱形的边长为a，，分别以A，C为圆心，a为半径画及．求及所围成的叶形的周长及面积． 【答案】周长：；面积： 【分析】此题考查了菱形的性质以及扇形的面积与弧长公式．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．由菱形中，，可求得，然后利用弧长公式，即可求得此叶形的周长；首先连接，过点作于点，可求得高的长，由叶形的面积，即可求得答案． 【详解】解：菱形中，， ， 叶形的周长； 连接，过点作于点， ，， ， 叶形的面积． 2．(23-24九上·广东中山·期末)如1图是一款利用曲边三角形制造的扫地机． 如2 图是一个曲边三角形，它可按照如下方法作出：作等边三角形，分别以点A，B，C为圆心， 以的长为半径作，，，三段弧所围成的图形就是曲边三角形． 若这个曲边三角形的周长为，求它的面积（结果保留π）．    【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、弧长的计算，根据题意和图形，可以计算出的长，然后根据扇形面积公式和三角形的面积，可以求得曲边三角形的面积． 【详解】解：由题意可得， ，， ∴， 解得，， ∵是等边三角形， ∵， 作交于点D，    ∴， ∴， ∴， ∴一个曲边三角形的面积是：． 地 城 考点04 求图形旋转后扫过的面积 一、单选题 1．(24-25九上·广东韶关仁化县·期末)如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ， 故选：A． 二、解答题 1．(24-25九上·广东汕头龙湖区·期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，则点旋转到点的过程中扫过的图形面积为 ．（结果保留） 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3) 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，旋转变换，勾股定理，扇形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点即可； （3）利用勾股定理求出，再利用扇形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标；    （2）如图，即为所求，点的坐标；    （3）， 扫过图形面积为． 故答案为：． 2．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出绕点逆时针旋转的； (2)在旋转到的过程中，线段扫过的面积为___________． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）根据旋转的性质作图即可； （）利用勾股定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可； 本题考查了旋转作图，扇形的面积，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴线段扫过的面积， 故答案为：． 3．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长都是1个单位，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于原点对称的图形； (2)画出将绕点O沿顺时针方向旋转得到的； (3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． （结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换、扇形的面积，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、扇形的面积公式是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）结合扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图， 即为所求； （3）解：由勾股定理得， ， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为 ． 4．(24-25九上·广东广州天河区·期末)如图，在中，，且点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到． (1)画出； (2)求在旋转过程中，线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）由题意可得，由勾股定理可得，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：由题意可得：，， ∴线段扫过的面积为． 5．(23-24九上·广东东莞石碣新民学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知，，将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)所得点的坐标为 ； (3)线段扫过的图形的面积为 ．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了旋转变换的性质，扇形的面积公式，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转到性质找出对应点即可求解； （2）根据图形可直接写出答案； （3）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：所得点的坐标为， 故答案为：； （3）解：，， 线段扫过的图形的面积， 故答案为：． 地 城 考点05 求其他不规则图形的面积 一、单选题 1．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)如图，是半圆O的直径，C，D是半圆弧的三等分点，于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，根据圆周角定理得到，根据等边三角形的性质得到，推出，根据直角三角形的性质得到，，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，，， ，是半圆弧的三等分点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积的面积扇形的面积， ， ， 于点， ，， 图中阴影部分的面积的面积扇形的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，三角形的面积的计算，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．(24-25九下·广东肇庆·期末)如图，在中，，，，分别以、为半径画圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，三角形的面积公式等知识点，由图中的面积关系得出“阴影部分的面积两个半圆面积之和三角形面积”是解题的关键． 根据“阴影部分的面积两个半圆面积之和三角形面积”直接列式计算即可． 【详解】解：由图形可知： 阴影部分的面积两个半圆面积之和三角形面积 ， 故选：． 二、填空题 1．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，平分，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，即点是的中点，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(24-25九上·江苏盐城盐都区·期末)如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、扇形面积公式，由三角形内角和定理可得，由题意可得，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∵分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F， ∴， 故答案为：． 3．(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)如图是一个残缺圆的一段圆弧，在圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线交于点，交于点．已知，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】设点为圆心，由垂径定理的推论可知点在直线上，连接，利用线段垂直平分线的性质和勾股定理求出圆的半径，进而可得，得到垂直平分线，即得，得到，再证明可得，据此即可求解． 【详解】解：设点为圆心，由垂径定理的推论可知点在直线上，连接， ∵垂直平分， ∴，， 设圆的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为，， ∴， ∴垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，扇形的面积，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并判断出为等边三角形是解题的关键． 4．(24-25九上·广东江门江海区·期末)如图，正方形的边长为2，以各边长为直径在正方形内画半圆，则阴影部分面积是 ． 【答案】/ 【分析】如图，作辅助线，首先求出半圆O的面积，其次求出的面积；观察图形可以发现：阴影部分的面积． 该题主要考查了正方形的性质、圆的面积公式、三角形的面积公式等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，将阴影部分的面积转化为规则图形的面积和或差． 【详解】解：如图，连接． 则 ，， 由题意得：图中阴影部分的面积， 故答案为: ． 5．(24-25九上·广东江门·)如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交边于点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查扇形的面积，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．连接，过点作，垂足为，找出即可求出答案． 【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图所示， ∵， ∴， ， 则， 以点C为圆心，的长为半径作弧， ，又， 是等边三角形， ， ， ， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)如图，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M交于点E，过点M作交于N． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为，图中阴影部分的面积为 【分析】（1）利用平行线性质得到，结合切线长定理推出，进而得到，再结合平行线性质推出，即可证明是的切线； （2）利用勾股定理求出，连接，根据切线性质可知，利用等面积法求出（即半径），再结合扇形面积公式即可求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：， ， 分别与相切于点A、B、C， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：由（1）知，， ， ， 连接， 分别与相切于点B， ， ， ， 的半径为， 图中阴影部分的面积为. 【点睛】本题考查了平行线性质，切线长定理，切线判定定理，勾股定理，切线性质，扇形面积公式，解题的关键在于灵活运用相关知识． 2．(24-25九上·广东惠州惠阳区·期末)如图，为的直径，为上一点，，延长至点，使得，过点D作，垂足E在的延长线上，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； (3)当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （1）利用直径所对的角为直角得，进而求得得度数． （2）连接，根据和都是等腰三角形，即可得到，再根据三角形内角和即可得到，进而得出是⊙O的切线； （3）根据，，可以得到半圆的面积，即可得的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）为的直径， ， ， （2）如图所示，连接， 在中，， ， 中， ， ∴是的切线； （3）当时，， ∵为的直径， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积=半圆的面积的面积 地 城 考点06 求圆锥侧面积及底面半径 一、单选题 1．(24-25九上·广东惠州仲恺区·期末)综合实践课上，珍珍用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（   ）． A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥底面半径，根据圆锥底面周长为展开图扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 2．(24-25九上·广东江门鹤山振华学校·)若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：B． 二、填空题 1．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)若圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查计算圆锥侧面积，因圆锥侧面展开图是扇形，掌握扇形面积计算方法是关键．根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥侧面积为：， 故答案为：． 2．(24-25九上·广东东莞翰林实验学校·期末)底面半径为的圆锥的侧面积是，则圆锥的母线长是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了求圆锥的母线长，圆锥的侧面积底面圆的周长母线长=底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为，则， 解得， 故答案为：． 3．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算公式，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 则， 解得， 故答案为：2． 4．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)如图，将一个含的三角板绕着斜边旋转一周，得到一个由两个底面重合的圆锥组成的几何体，如果三角板的斜边长为，则这个几何体的表面积是 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，点、线、面、体，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．先求直角三角形斜边上的高，再根据圆锥的侧面积公式求解． 【详解】解：如图： 过作， 则， 此几何体的表面积是：． 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25九下·广东肇庆·期末)综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 试卷第1页，共3页 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 正多边形和圆、弧长和扇形面积 6大高频考点概览 考点01正多边形和圆 考点02 求弧长 考点03 求扇形面积 考点04求图形旋转后扫过的面积 考点05 求其他不规则图形的面积 考点06 求圆锥侧面积及底面半径 地 城 考点01 正多边形和圆 一、单选题 1．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，正六边形内接于，若的半径为3，则正六边形的周长为（    ） A．18 B．9 C．12 D．36 2．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，⊙的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙的面积，可得的估计值为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东阳江阳西县·期末)正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．(24-25九上·广东汕尾·)如图，正六边形内接于，正六边形的边长是2，则的半径的长是（    ） A．3 B．2 C． D． 5．(24-25九上·广东惠州一中教育集团·期末)如图，边长为2的正六边形内接于，则该正六边形的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．(24-25九上·广东江门·)如图，正六边形内接于的半径为4，则这个正六边形的边心距为（   ） A．3 B． C． D．2 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州白云区白云实验学校·期末)已知是正方形的外接圆，是上不与、重合的任意一点，则等于 ． 2．(24-25九上·广东东莞长安实验中学·期末)如图，点O为正五边形的中心，连接，，则的度数为 ． 三、解答题 1．(24-25九上·广东汕头潮南区陈店实验·期末)如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 2．(23-24九上·广东东莞石碣新民学校·期末)如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 地 城 考点02 求弧长 一、单选题 1．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东广州花都区·期末)在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东惠州博罗县·期末)圆心角为，半径为1的扇形的弧长是 ． 2．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 ． 3．(24-25九上·广东肇庆四会·期末)一个圆锥的底面半径是2，则圆锥侧面展开图的扇形的弧长 ． 4．(24-25九上·广东阳江江城区·期末)如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 （结果保留）． 三、解答题 1．(24-25九上·广东湛江第二十三中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)求点B经过的路径弧的长（结果保留）． 2．(24-25九上·广东珠海香洲区·)珠海市某中学举行秋季校运动会．如图1，跑道内圈是由长为87米的两条直道和半径为36米的两条半圆弧跑道组成．内道第1跑道长：．跑道分为8道，每条跑道宽1.2米．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)400米分跑道划线时，终点线设置在分界线处（如图1和图2）．为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上（如图中A，C，E，…），那么各外圈跑道起跑线较相邻内圈跑道起跑线依次应向前延伸多少米？（结果保留π） (2)米接力赛的第三接力区一般都在弯道上，画接力区线的方法通常用固定基准点放射式丈量法，此方法需要用到圆心角的相关量（如图1和图3）．已知第六跑道内侧线米，试计算的大小（结果保留π）． 3．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)（1）解方程：； （2）如图，弧的长为，圆心角，求此弧所在圆的半径r． 4．(24-25九上·广东东莞东城区联考·期末)如图，的直径，半径，点D在弧上，，，垂足分别为E、F，若点E为的中点，求弧的长． 地 城 考点03 求扇形面积 一、单选题 1．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)若扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东中山·期末)如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为 ． 2．(24-25九上·广东汕尾·)如图，点C，D是以为直径的半圆上的点，且，半径，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 3．(24-25九上·广东韶关乳源县·期末)已知一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的弧长为 ，面积为 （结果保留小数点后两位）． 4．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 5．(24-25九上·广东广州知用学校·期末)山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，套路复杂，画工精细，刀工别致，为国家级非物质文化遗产．如图 ① 是一块扇面形的山西砖雕作品，它的部分设计  图如图 ② 所示，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角．若 ，，则阴影部分的面积为 （结果用含π 的代数式表示） 6．(24-25九下·广东肇庆·期末)一个扇形的半径为，扇形所对的圆心角为，则扇形的面积为 ． 三、解答题 1．(23-24九上·广东东莞·期末)如图，菱形的边长为a，，分别以A，C为圆心，a为半径画及．求及所围成的叶形的周长及面积． 2．(23-24九上·广东中山·期末)如1图是一款利用曲边三角形制造的扫地机． 如2 图是一个曲边三角形，它可按照如下方法作出：作等边三角形，分别以点A，B，C为圆心， 以的长为半径作，，，三段弧所围成的图形就是曲边三角形． 若这个曲边三角形的周长为，求它的面积（结果保留π）．    地 城 考点04 求图形旋转后扫过的面积 一、单选题 1．(24-25九上·广东韶关仁化县·期末)如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 1．(24-25九上·广东汕头龙湖区·期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，则点旋转到点的过程中扫过的图形面积为 ．（结果保留） 2．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出绕点逆时针旋转的； (2)在旋转到的过程中，线段扫过的面积为___________． 3．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长都是1个单位，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于原点对称的图形； (2)画出将绕点O沿顺时针方向旋转得到的； (3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． （结果保留π） 4．(24-25九上·广东广州天河区·期末)如图，在中，，且点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到． (1)画出； (2)求在旋转过程中，线段扫过的面积（结果保留）． 5．(23-24九上·广东东莞石碣新民学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知，，将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)所得点的坐标为 ； (3)线段扫过的图形的面积为 ．（结果保留π） 地 城 考点05 求其他不规则图形的面积 一、单选题 1．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)如图，是半圆O的直径，C，D是半圆弧的三等分点，于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九下·广东肇庆·期末)如图，在中，，，，分别以、为半径画圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，平分，，则阴影部分的面积为 ． 2．(24-25九上·江苏盐城盐都区·期末)如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是 ． 3．(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)如图是一个残缺圆的一段圆弧，在圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线交于点，交于点．已知，，则阴影部分的面积为 ． 4．(24-25九上·广东江门江海区·期末)如图，正方形的边长为2，以各边长为直径在正方形内画半圆，则阴影部分面积是 ． 5．(24-25九上·广东江门·)如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交边于点，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题 1．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)如图，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M交于点E，过点M作交于N． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的半径及图中阴影部分的面积． 2．(24-25九上·广东惠州惠阳区·期末)如图，为的直径，为上一点，，延长至点，使得，过点D作，垂足E在的延长线上，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； (3)当时，求图中阴影部分的面积． 地 城 考点06 求圆锥侧面积及底面半径 一、单选题 1．(24-25九上·广东惠州仲恺区·期末)综合实践课上，珍珍用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（   ）． A． B． C．3 D．6 2．(24-25九上·广东江门鹤山振华学校·)若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)若圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是 ． 2．(24-25九上·广东东莞翰林实验学校·期末)底面半径为的圆锥的侧面积是，则圆锥的母线长是 ． 3．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则这个圆锥的母线长为 ． 4．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)如图，将一个含的三角板绕着斜边旋转一周，得到一个由两个底面重合的圆锥组成的几何体，如果三角板的斜边长为，则这个几何体的表面积是 ．（结果保留π） 三、解答题 1．(24-25九下·广东肇庆·期末)综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 试卷第1页，共3页 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $