专题14 锐角三角函数综合（期末真题汇编40题，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题14 锐角三角函数综合 3大高频考点概览 考点01锐角三角函数 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 地 城 考点01 锐角三角函数 一、单选题 1．(24-25九上·广东中山三鑫学校·期末)已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 2．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 3．(24-25九上·广东梅州兴宁宋声学校·期末)下列三角函数中，值为 的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么值为（   ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·广东茂名电白区·期末)在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．(23-24九上·广东茂名博雅中学·期末)如图，的三个顶点都在正方形网格格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东梅州丰顺县·期末)计算的值等于 ． 2．(24-25九上·广东湛江寸金培才学校·期末)如图，在正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则的值为 ． 3．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点，与交于点，若，则的值是 ． 4．(23-24九上·广东梅州兴宁第一中学·期末)在中，，则的度数为 地 城 考点02 解直角三角形 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到．若点B的对应点恰好落在AB边上，则点A到直线的距离为（   ） A． B． C．2 D．3 2．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则正六边形铁块的边心距约为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东湛江麻章区·期末)如图，与菱形的边相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东东莞可园中学·期末)如图，在平行四边形中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东东莞·期末)若正六边形外接圆的半径为4，则它的边心距为（　 　） A．2 B． C．4 D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，平面直角坐标系中，，绕点旋转后得到，所在直线与半径为的相切于点，与轴交于点，则的长为 ． 三、解答题 1．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 2．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．且． (1)请求出抛物线的解析式； (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． (3)过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象最多只有2个公共点时，请求出n的取值范围． 3．(24-25九上·广东中山三鑫学校·期末)如图1，在中，，，．动点P，Q同时从A点出发，点P沿着的路线以匀速运动，点Q沿着的路线匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动时间为x秒． (1)求的值． (2)如图2，当时，连接，若点P恰好在以为直径的圆上，求点Q的运动速度． (3)设点Q的速度为，记的面积为y平方厘米，求y关于x的函数表达式，并指出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？ 4．(24-25九上·广东汕头龙湖区·期末)如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长． 5．(24-25九上·广东广州荔湾区第一中学·期末)如图，是的外接圆，，，求的半径． 6．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，已知是的外接圆，点是上的动点（不与重合），连接并延长到，连接交于点．已知． (1)求证：； (2)若为等腰三角形，求的长． 7．(24-25九上·广东清远英德·期末)已知点E，F为反比例函数上的点． (1)如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式． (2)如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 8．(24-25九上·广东广州增城区·期末)如图，是内接于，是的直径，，． (1)求的长； (2)点为的一个动点，且位于直线的上方，点从点开始沿着运动至点，连接，延长交于点，连接，． ①当平分时，试探究，和三者之间的数量关系，并证明你的结论； ②与交于点，求点运动过程中，点的运动路径长． 9．(23-24九上·广东梅州·期末)已知：如图，是的直径，过的中点，且于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 地 城 考点03 应用举例 一、单选题 1．(24-25九上·广东茂名龙岭学校·期末)某河堤横断面示意图如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则迎水坡的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．(23-24九上·广东梅州兴宁第一中学教育集团·期末)一个斜坡与水平线的夹角是，则这个斜坡的坡度是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 1．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α要满足，现有一架长的梯子． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙？ (2)当梯子底端距离墙面时，α等于多少度？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1） 2．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)数学小组研究如下问题：某地的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，根据以上信息，计算北纬纬线的长度．（参考数据：，，，） 3．(24-25九上·广东梅州丰顺县·期末)如图，某校数学兴趣小组的同学测量校园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一旗台的台阶上点处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点处，测得树顶端的仰角为，已知点的高度米，台阶的坡度为，且三点在同一直线上，求树高（测角器的高度忽略不计）． 4．(24-25九上·广东湛江寸金培才学校·期末)如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管长米，为铁架的垂直管．（参考值：） (1)求的长度（结果精确到米）； (2)求铁架垂直管的长度（结果精确到米）． 5．(24-25九上·广东茂名高州·期末)综合与实践 【任务】测量小水池的最大宽度，如图1． 【工具】一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2． ①皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度） ②测角仪的功能是测量角的大小．即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得的大小，如图3． 【操作实践】 步骤1：在小水池外选点C，如图4，测得，； 步骤2：分别在，上测得，；测得． 【实践探索】 (1)请根据上述测量数据，用你所学的数学知识计算出小水池的最大宽度； (2)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母a，b，表示，角度用，，表示） 6．(24-25九上·广东茂名高州·期末)在我市乡村振兴活动中，村委会办公楼外墙上有一幅电子显示屏每天上午在播放乡村宣传片，小丽同学在点A处，测得显示屏顶端D的仰角为，再向显示屏方向前进10米后，又在点B处测得显示屏顶端D的仰角为，已知观测点A、B和C离地面高度都为米，求显示屏顶端D点距离地面的高度．（计算结果保留根号） 7．(24-25九上·广东河源源城区·期末)某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 ．（参考数据：） 8．(24-25九上·广东茂名茂南区部分学校·期末)综合与实践 【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔的高度． 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量龙象塔的高度 方案 方案一：晴天，借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：阴天，利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 1.61m 1.59m 1.6m 26.4° 26.6° 26.5° 1.18m 1.22m 1.2m 37.1° 36.9° 37° 38.9m 39.1m 39m 34.8m 35.2m 35m 【问题解决】 (1)本次实践活动对每个测量项目测量两次，再以两次测量数据的平均数作为研究数据，这样做的目的是______． (2)根据“方案一”的数据，求出龙象塔的高度； (3)根据“方案二”的数据，求出龙象塔的高度（参考数据：，，，，，）． 9．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)甲乙两名游客选择两种不同的方式游览某景区，如图，甲从山脚A处乘坐缆车到达景点C处，同时乙开车从山脚A处前行到达D处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场E处，停车后，再跑步到达景点C处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在A处观测景点C的仰角为，乙在E处观测景点C的仰角为． (1)求景点C的高度；（结果精确到） (2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点C?（参考数据：） 10．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进行了实地测量．项目操作过程如下：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测旗亭顶端A点的仰角为．在测角仪和旗亭之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到旗亭顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米，已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上，求旗亭的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 11．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)图①是某种多功能儿童车，根据需要可变形为图②的滑板车或图③的三轮车示意图．已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． (1)如图②，当支撑点在水平线上时，直接写出的长； (2)如图，当与保持平行时，求前后两轴心的长度． （参考数据：） 12．(23-24九上·广东茂名电白区·期末)某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）    (1)求点到地面的高度； (2)求建筑物的高度． 13．(23-24九上·广东深圳·期末)为积极参与全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处8米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为． (1)求点F到地面的距离； (2)求宣传牌的高．（参考数据：．，）． 试卷第1页，共3页 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 锐角三角函数综合 3大高频考点概览 考点01锐角三角函数 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 地 城 考点01 锐角三角函数 一、单选题 1．(24-25九上·广东中山三鑫学校·期末)已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案． 【详解】解：在中，，，，如图所示： 由勾股定理得：， ∴，，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 根据勾股定理，可得的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 【详解】如图： 由题知，，，， 由勾股定理，得， ． 故选：D． 3．(24-25九上·广东梅州兴宁宋声学校·期末)下列三角函数中，值为 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值直接判断． 【详解】解：，，，， 故选：D． 4．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的余弦值，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键． 过点A作于点H，则，由勾股定理求出，再由余弦的定义即可求解． 【详解】解：过点A作于点H，则， ∴由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 5．(23-24九上·广东茂名电白区·期末)在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切的计算，先用勾股定理求得，再根据正切定义计算即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴， 故选B． 6．(23-24九上·广东茂名博雅中学·期末)如图，的三个顶点都在正方形网格格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，余弦的定义；由勾股定理求出，再由余弦的定义得，即可求解；理解“”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ； 故选：C． 二、填空题 1．(24-25九上·广东梅州丰顺县·期末)计算的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 2．(24-25九上·广东湛江寸金培才学校·期末)如图，在正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题主要考查勾股定理及三角函数，熟练掌握勾股定理及余弦的定义是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据勾股定理及余弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 3．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点，与交于点，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理，即， ∴， 同理， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．(23-24九上·广东梅州兴宁第一中学·期末)在中，，则的度数为 【答案】/度 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，锐角三角函数值的计算，三角形内角和定理，根据非负性可得，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握特殊角的三角函数值的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 地 城 考点02 解直角三角形 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到．若点B的对应点恰好落在AB边上，则点A到直线的距离为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】如图，过作于， 求解， 结合旋转：证明， 可得为等边三角形，求解 再应用锐角三角函数可得答案． 【详解】解：如图，过作于， 由， ∴， ， 结合旋转： ， 为等边三角形， ， ， ， ∴A到的距离为3． 故选D 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 2．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则正六边形铁块的边心距约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．正确掌握正六边形的性质是解题关键． 【详解】解：如图，点为正六边形外接圆的圆心。接，，作，得到， ， ， 圆内接正六边形的周长为， ，则， ． 正六边形的边心距是． 故选：D． 3．(24-25九上·广东湛江麻章区·期末)如图，与菱形的边相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图连接，，，，．证明，推出，推出点在菱形的对角线上，再根据求解即可． 【详解】解：如图连接，，，，． 四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， 点在菱形的对角线上， ， ， ， 是切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质菱形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 4．(24-25九上·广东东莞可园中学·期末)如图，在平行四边形中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形性质、扇形面积公式、三角形面积公式、以及解直角三角形，过点作于点，根据解直角三角形求得，从而求得，最后根据列式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点，   ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．(24-25九上·广东东莞·期末)若正六边形外接圆的半径为4，则它的边心距为（　 　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解答时要注意以下问题：①熟悉正六边形和正三角形的性质；②作出半径和边心距，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答． 已知正六边形的边长，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和外接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵正六边形外接圆的半径为4， ∴此正六边形中，则 ． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ． 故选：D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，平面直角坐标系中，，绕点旋转后得到，所在直线与半径为的相切于点，与轴交于点，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，分两种情况分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当轴时，设与轴的交点为点，过点作所在的直线于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴 ∴， 由旋转可得，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵的半径为， ∴此时所在直线与相切， ∴； 如图，直线交轴于，交轴于，与所在直线相切于点，作于， ∵， ∴， ∴， ∵由旋转得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 1．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)60 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 2．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．且． (1)请求出抛物线的解析式； (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． (3)过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象最多只有2个公共点时，请求出n的取值范围． 【答案】(1) (2)4或3 (3)或 【分析】（1）由题意可知，根据可得，在中有，解出，再将代入中即可求解； （2）先表示，分类讨论且作图，即和，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答； （3）进行分类讨论且作图，运用数形结合思想，发现当直线经过点G或当直线与抛物线只有一个公共点时，建立，运用判别式的意义列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得：在中， ∵，，， 即，， ，， 将代入中得： ， 则抛物线的解析式为； （2）解：如图所示： 点是直线与抛物线的交点， ， 当时， 则， ， ， ， 解得：(舍去)或， 当时，， 过点作轴于点T， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形， ， ，， ， 解得：(舍去)或， 综上，t的值为4或3； （3）解：由（1）知点的坐标为， ， ∴对称轴， ∵过点作轴，交抛物线于点G， ∴点G的坐标为， 如图所示： 画出直线， 通过平移直线，得到直线 发现当经过点G时， 直线与新图象只有2个公共点， 将点代入得：， 解得：， 当直线与抛物线只有一个公共点时，直线与新图象只有2个公共点， 令， 化简得：， ， 解得：， 综上所述，当直线与新的图象最多只有2个公共点时，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．(24-25九上·广东中山三鑫学校·期末)如图1，在中，，，．动点P，Q同时从A点出发，点P沿着的路线以匀速运动，点Q沿着的路线匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动时间为x秒． (1)求的值． (2)如图2，当时，连接，若点P恰好在以为直径的圆上，求点Q的运动速度． (3)设点Q的速度为，记的面积为y平方厘米，求y关于x的函数表达式，并指出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)点Q的运动速度为 (3)；当时，最大面积为平方厘米. 【分析】（1）先证明，再利用余弦的定义求解即可； （2）如图，当时，连接，此时在上，可得，结合，可得答案； （3）当时，连接，此时在上，过作于，求解，可得的面积为，如图，当时，在上，过作于，求解，可得的面积为，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当时，连接，此时在上， ∵点P恰好在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点Q的运动速度为； （3）解：当时，连接，此时在上， 过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为， 当时，最大面积为（平方厘米）； 如图，当时，在上，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 当时， 最大面积为（平方厘米）； 综上：当时，最大面积为平方厘米. 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，锐角三角函数的应用，圆周角定理的应用，二次函数的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 4．(24-25九上·广东汕头龙湖区·期末)如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，可推出，即可证明直线是的切线； （2）证明，，得到，据此计算即可证明结论成立； （3）利用含30度的直角三角形的性质求得，得到等边的边长，在中，利用余弦函数即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵，，即， ∴． 【点睛】此题考查了圆和三角形的综合题，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．(24-25九上·广东广州荔湾区第一中学·期末)如图，是的外接圆，，，求的半径． 【答案】 【分析】本题考查了圆综合．熟练掌握圆内接四边形性质，圆周角定理推论，解三角形相关计算，是解题的关键． 连接并延长，交于点，连接，根据圆内接四边形性质得，根据，得，即得． 【详解】连接并延长，交于点，连接，则， ，， ， 在中， ， 的半径为． 6．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，已知是的外接圆，点是上的动点（不与重合），连接并延长到，连接交于点．已知． (1)求证：； (2)若为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)的长为或 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得，根据圆周角定理得，结合已知得，据此即可得出结论； （2）根据，得，因此当为等腰三角形，有以下两种情况：①当时，则，则，根据得，由此得，则，据此可得②当时，过点作于，过点作于点，作的平分线交于点，过点作干点，干点，连接，如图，先证明，则，，，利用三角形的面积公式求出，在中，，再证明，在中，，由此得，然后在中，由勾股定理得：可求出，进而即可得解． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ， 由圆周角定理得：， ， ， ； （2）解：是上的动点（不与重合）， ， 如图所示， 由（1）知，， ， ， ， ， 当为等腰三角形，有以下两种情况 ①当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，过点作于，过点作于点，作的平分线交于点，过点作干点，干点，连接，如图， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， 设， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， ，解得：， ， 在中，， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， 在，由勾股定理得：， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键 7．(24-25九上·广东清远英德·期末)已知点E，F为反比例函数上的点． (1)如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式． (2)如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)反比例函数为：； (3)或 【分析】（1）设，可得，结合，再建立方程求解即可； （2）如图，过作轴于，连接，求解，证明，可得，设，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． （3）如图，由四边形为矩形，证明，设直线为，可得直线为，求解，，结合在直线上，设，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点E，F为反比例函数上的点． 设， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴反比例函数为：； （2）解：如图，过作轴于，连接， 令，则，当时，则， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴反比例函数为：； （3）解：如图，∵四边形为矩形， ∴，， 设直线为，， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在直线上， ∴设， ∴， 整理得：， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．(24-25九上·广东广州增城区·期末)如图，是内接于，是的直径，，． (1)求的长； (2)点为的一个动点，且位于直线的上方，点从点开始沿着运动至点，连接，延长交于点，连接，． ①当平分时，试探究，和三者之间的数量关系，并证明你的结论； ②与交于点，求点运动过程中，点的运动路径长． 【答案】(1) (2)①，见解析；②． 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，进而解，即可求解． （2）①如图：过点分别作，，垂足分别为点，．则，再证四边形为正方形可得，进而证明可得，再根据线段的和差可得；②由①得即进而说明，如图：连接并延长，交于点，即为的直径．则；如图：以为边构造等腰，且可得，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】（1）解：∵是的直径 ∴， ∵，． ∴ （2）解：①，理由如下： 如图：过点分别作，，垂足分别为点，．   ． 由（1）得． 四边形为矩形． 平分， ，． 四边形为正方形． ． ， ． ． ． ． ； ②由①得．   ． ． ∴．   ∵如图：连接并延长，交于点E， ∴为的直径． ∴． ∴． 如图：以为边构造等腰，且． ∴点P在以点Q为圆心，为半径的弧上运动． 过点Q作，垂足为H．    ∴，． ∴． 当点从点运动到点时，点的运动路径为上的弧． 点的运动路径长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形、正方形的判定与性质、弧长公式、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识点是解答本题的关键． 9．(23-24九上·广东梅州·期末)已知：如图，是的直径，过的中点，且于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理推论及等边三角形的判定与性质． （1）先证明，即可证明，进而证明结论； （2）先证明是直角三角形，求出，再证明是等边三角形，即可求出结论． 【详解】（1）证明：连接． 是直径， 是的中点． 是的中点， ． ． ， ． ，即， 是上一点， 是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， 是直角三角形 ，， ． ， ， ． ， ． ． ， 是等边三角形， ． 直径为． 地 城 考点03 应用举例 一、单选题 1．(24-25九上·广东茂名龙岭学校·期末)某河堤横断面示意图如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则迎水坡的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答． 根据题意可以求得的长，再根据勾股定理即可求得的长，本题得以解决． 【详解】解：米，迎水坡的坡比为， ， 米， 米， 故选：B． 2．(23-24九上·广东梅州兴宁第一中学教育集团·期末)一个斜坡与水平线的夹角是，则这个斜坡的坡度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坡度、正切的定义，通常把坡面的垂直高度与水平宽度的比叫做坡度，由此即可得出答案，熟练掌握坡度的定义是解此题的关键． 【详解】解：一个斜坡与水平线的夹角是， 这个斜坡的坡度， 故选：B． 二、解答题 1．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α要满足，现有一架长的梯子． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙？ (2)当梯子底端距离墙面时，α等于多少度？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1） 【答案】(1)使用这架梯子最高可以安全攀上约的墙 (2)，此时人能够安全使用这架梯子 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题． （1）根据图形可知：α最大时，这架梯子可以安全攀上的墙最高，由正弦的定义求出，得到答案； （2）根据余弦的定义求出α，根据题意判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，这架梯子可以安全攀上最高的墙， 在中，， ∴， 答：使用这架梯子最高可以安全攀上约的墙； （2）解：在中，， 则， ∵， ∴此时人能够安全使用这架梯子． 2．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)数学小组研究如下问题：某地的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，根据以上信息，计算北纬纬线的长度．（参考数据：，，，） 【答案】千米 【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，作，则， ，， ， 在中，千米， （千米）， 北纬的纬线长度 （千米）． 3．(24-25九上·广东梅州丰顺县·期末)如图，某校数学兴趣小组的同学测量校园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一旗台的台阶上点处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点处，测得树顶端的仰角为，已知点的高度米，台阶的坡度为，且三点在同一直线上，求树高（测角器的高度忽略不计）． 【答案】9米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形． 在中利用坡比和的长，根据勾股定理即可求得和的长；如图：过点A作于F，可得四边形为矩形，设，在中表示出的长度，求出的长度，然后在中表示出的长度，根据代入解方程求出x的值即可． 【详解】解：∵台阶的坡度为 ∴在中，， ∵， ∴， 如图，过过点A作于F，则， 由题意得：， ∴ ∴四边形为矩形， ∴米， 设， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 答：树高为． 4．(24-25九上·广东湛江寸金培才学校·期末)如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管长米，为铁架的垂直管．（参考值：） (1)求的长度（结果精确到米）； (2)求铁架垂直管的长度（结果精确到米）． 【答案】(1)米 (2)铁架垂直管的长度约为米 【分析】（）过点作于，根据余弦的定义求出，进而求出； （）根据正弦的定义求出，根据正切的定义求出，进而求出； 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，过点作于，则四边形为矩形， ∴米，， 在中，，， ∴ ∴米 （2）解：在中，， ∴， ∴ 在中，， ， ∴（米） 答：铁架垂直管的长度约为米． 5．(24-25九上·广东茂名高州·期末)综合与实践 【任务】测量小水池的最大宽度，如图1． 【工具】一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2． ①皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度） ②测角仪的功能是测量角的大小．即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得的大小，如图3． 【操作实践】 步骤1：在小水池外选点C，如图4，测得，； 步骤2：分别在，上测得，；测得． 【实践探索】 (1)请根据上述测量数据，用你所学的数学知识计算出小水池的最大宽度； (2)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母a，b，表示，角度用，，表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得，在点A处测得；用皮尺测得，由此求解即可， 【详解】（1）解：由测量知，，，，， ， 又， ， ， 又， ； （2）解：测量过程： 在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得，在点A处测得； 用皮尺测量得， 求解过程：由测量知，在中，，，， 过点C作，垂足为， 在中，， 即， 所以， 同理，， 在中，， 即， 所以， 所以， 故小水池的最大宽度为． 6．(24-25九上·广东茂名高州·期末)在我市乡村振兴活动中，村委会办公楼外墙上有一幅电子显示屏每天上午在播放乡村宣传片，小丽同学在点A处，测得显示屏顶端D的仰角为，再向显示屏方向前进10米后，又在点B处测得显示屏顶端D的仰角为，已知观测点A、B和C离地面高度都为米，求显示屏顶端D点距离地面的高度．（计算结果保留根号） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，在中，利用锐角三角函数的定义可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，， ， ， 在中， ， ， ， ， 解得：米， 观测点A、B和C离地面高度都为米， 显示屏顶端D点距离地面的高度为米． 7．(24-25九上·广东河源源城区·期末)某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 ．（参考数据：） 【答案】51 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键． 延长交距水平地面的水平线于点，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点，如图， 由题可知，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．(24-25九上·广东茂名茂南区部分学校·期末)综合与实践 【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔的高度． 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量龙象塔的高度 方案 方案一：晴天，借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：阴天，利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 1.61m 1.59m 1.6m 26.4° 26.6° 26.5° 1.18m 1.22m 1.2m 37.1° 36.9° 37° 38.9m 39.1m 39m 34.8m 35.2m 35m 【问题解决】 (1)本次实践活动对每个测量项目测量两次，再以两次测量数据的平均数作为研究数据，这样做的目的是______． (2)根据“方案一”的数据，求出龙象塔的高度； (3)根据“方案二”的数据，求出龙象塔的高度（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)减小误差 (2)龙象塔的高度为52米 (3)龙象塔的高度为52.5米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和锐角三角函数并进行实际应用是解题的关键． （1）根据题意解答即可； （2）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可； （3）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：这样做的目的是减小误差； （2）解：由题意可知， 又， ， ，即， 解得， 龙象塔的高度为52米； （3）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， 即． 米， 龙象塔的高度为52.5米． 9．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)甲乙两名游客选择两种不同的方式游览某景区，如图，甲从山脚A处乘坐缆车到达景点C处，同时乙开车从山脚A处前行到达D处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场E处，停车后，再跑步到达景点C处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在A处观测景点C的仰角为，乙在E处观测景点C的仰角为． (1)求景点C的高度；（结果精确到） (2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点C?（参考数据：） 【答案】(1)； (2)乙先到达景点． 【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，于，，延长交于点，在中，由，得，，进而得，，再证明，得， ，，设，进而，在中，由，构造方程求解即可； （2）利用解直角三角形分别求出及，进而求得甲、乙的运动时间，从而比较即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，于，，延长交于点， ∵在中，由， ∴，， ∴，， ∵为的边上的高， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，，设， ∴， 在中，，即， 解得，经检验是原方程的解， ∴； 答：景点C的高度为； （2）解：由（）得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴乙先到达景点． 10．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进行了实地测量．项目操作过程如下：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测旗亭顶端A点的仰角为．在测角仪和旗亭之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到旗亭顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米，已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上，求旗亭的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作于点F，根据题意可知，，得到，设米，米，则米，米，在中， ，即，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点F，如图： 根据题意可知，， 在中，， ∴， 设米，米，则米，米， 在中， ， 即， 解得：米， ∴米． 11．(24-25九上·辽宁沈阳皇姑区·期末)图①是某种多功能儿童车，根据需要可变形为图②的滑板车或图③的三轮车示意图．已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． (1)如图②，当支撑点在水平线上时，直接写出的长； (2)如图，当与保持平行时，求前后两轴心的长度． （参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，由题意可知，根据三角函数定义即可得到结论； （2）过点作于点，过点作于点，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意可知：，点是的中点，，， ， ， 在中，， ； （2）解：过点作于点，过点作于点， ， 由题意知， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， 在中，，， 在中，， 由勾股定理得：， ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的三线合一性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用． 12．(23-24九上·广东茂名电白区·期末)某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）    (1)求点到地面的高度； (2)求建筑物的高度． 【答案】(1)点到地面的高度为； (2)． 【分析】（）作，利用坡度的定义求解即可； （）在（）的基础之上，作，利用三角函数求解的长度即可； 此题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握坡度，仰角俯角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）过点作于点，于点，    在中，，设，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴点到地面的高度为； （2），过点作于点，如上图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，∴， 即：，解得：， ∴， 答：建筑物的高度约为米． 13．(23-24九上·广东深圳·期末)为积极参与全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处8米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为． (1)求点F到地面的距离； (2)求宣传牌的高．（参考数据：．，）． 【答案】(1)点F到地面的距离为4米 (2)宣传牌的高约为6.2米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定以及性质． （1）过点F作于H．先证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，然后解，即可得出，即可求出 （2）解得出，进而可得出，解和，求出和， 进一步即可得出的值． 【详解】（1）解：过点F作于H． ∵， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 由∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， （米）， ∴， 答：点F到地面的距离为4米． （2）∵的坡度， ∴在中，（米）， 由题意知： ∴（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：宣传牌的高约为米． 试卷第1页，共3页 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $