专题07 圆的有关性质及其位置关系（期末真题汇编50题，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题07 圆的有关性质及其位置关系 4大高频考点概览 考点01垂直于弦的直径 考点02 圆周角 考点03 点和圆的位置关系 考点04直线和圆的位置关系 地 城 考点01 垂直于弦的直径 一、单选题 1．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 由圆心O到的距离为，即，则，再利用勾股定理求出的长，进而求得弦的长． 【详解】解：由题意可得：∵，， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴． 故选：D． 2．(24-25九上·广东汕头龙湖区·期末)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心一点在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心一点在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，， ∴，， 设圆形工件的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴圆形工件的半径为， 故选：B． 3．(24-25九上·广东珠海香洲区·)如图，《九章算术》记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，其大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯子去锯这根木材，锯口深为1寸，锯道长1尺（1尺寸），问圆形木材的直径是（   ） A．26寸 B．13寸 C．12寸 D．5寸 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的应用，过圆心O作于点C，延长交圆于点D，连接，则寸，，设圆的半径为x寸，利用勾股定理在中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求． 【详解】解：过圆心O作于点C，延长交圆于点D，连接，如图 ∵， ∴，， 则寸，（寸）， 设圆的半径为x寸，则寸， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴圆材直径为（寸）． 故选：A． 4．(24-25九上·广东广州花都区·期末)如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，为水面截线，为桌面截线，，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，则此时水面截线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：过O作，连接， ∴， ∵水面高度下降了， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 5．(24-25九上·广东广州知用学校·期末)我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则  的半径长为（   ） A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：B． 二、填空题- 1．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是 米． 【答案】145 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理可得米，设这段弯路的半径是x米，则米，米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵C是上的一点，，垂足为D， ∴米， 设这段弯路的半径是x米，则米， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴这段弯路的半径是145米， 故答案为：145． 2．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)如图，在中，圆心O到弦的距离为1，，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理．先根据垂径定理得到，然后根据勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：为圆心到弦的距离， ， ， 在中， ，， ． 故答案为：． 3．(24-25九上·广东中山·期末)如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形． 球的半径为， 瓶内液体的最大深度， 则截面圆中弦的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键．根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【详解】解：在中，设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：16． 三、解答题 1．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，， ∴， ∵， ∴， ∵纸条宽为，，． ∴，， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径长为． 2．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)如图，直径为的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽，求油的最大深度． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C， ， ， ∵的直径为， ， 在中，， ． 答：油的最大深度为． 地 城 考点02 圆周角 一、单选题 1．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等，先由三角形外角的性质求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)如图，在半径为2的中，点A、B、P是圆上的三个点，且满足，则弦长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．首先连接，，，在优弧上任取点E，连接，根据圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理即可求得，又由，利用勾股定理即可求得弦的长． 【详解】解：连接，，，在优弧上任取点E，连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)如图，点A、B、C在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理进行计算，即可解答．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：C． 4．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键．由圆内接四边形对角互补求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形．若， ∴， 故选：C 5．(24-25九上·广东东莞部分学校·期末)如图，已知是的直径，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形中的两个锐角互余，同弧所对的圆周角相等；根据是的直径，得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．(24-25九上·广东中山·期末)如图，内接于， 是的直径，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理求出、，再根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：B． 7．(24-25九上·广东汕尾·)如图，四边形内接于，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形．首先根据圆周角定理可知，再根据圆内接四边形对角互补可以求出的度数． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ． 故选：C． 8．(24-25九上·广东汕头·期末)如图，为的直径，点在上，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，三角形的内角和定理，由，则，所以，由圆周角定理可得，最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州花都区·期末)如图，点是外接圆上的一个动点（点不与点，，重合），，．则下列结论：①是等边三角形；②；③以，，，为顶点的四边形的最大面积是；④若点在内运动时，始终满足，则点运动的路径长度为．其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理逆定理，①根据圆周角定理，得到，从而判断；②将绕点B顺时针旋转得到，根据等边三角形的判定可以得到为等边三角形，再根据旋转的性质得到在上，从而可以求解的数量关系；③因为的面积为定值，所以当P与相邻两点构成的三角形面积最大时，以A，P，B，C为顶点的四边形面积最大，根据圆的性质以及垂径定理可知，时，面积最大，根据等边三角形的性质以及外心的性质求出外接圆的半径，然后根据对角线垂直的四边形面积公式求解即可；④将绕点B顺时针旋转得到，根据②可知为等边三角形，在根据，可以判定的形状，从而得到，进而可以得到N点的位置，从而判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∴为等边三角形，故①正确； ②将绕点B顺时针旋转得到，如图： ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在上， ∴， 故②错误； ∵是等边三角形，， ∴的面积为定值， ∴当P与相邻两点构成的三角形面积最大时，以A，P，B，C为顶点的四边形面积最大， 以题图为例， ∵，为定值， ∴当P到距离最大时，面积最大， ∴此时，， ∴C，O，P共线， 连接，交于D，如图： ∵为等边三角形，， ∴， ∵O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∴； 故③正确； ④将绕点B顺时针旋转得到，如图： ∴， 由②知，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴N在以A为圆心，为半径的圆弧上， 又∵， ∴N点为定点， ∴M点为定点，没有运动轨迹； 故④错误； 综上所述，正确的是①③． 故答案为：①③． 2．(24-25九上·广东韶关乳源县·期末)如图，在四边形中，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由点B，C，D在以点A为圆心的圆上，根据圆周角定理，即可求解， 本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴点B，C，D在以点A为圆心的圆上， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25九上·广东东莞翰林实验学校·期末)问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______； 探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系； 拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，______． 【答案】（）等腰直角，；（）；（）或． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理，旋转的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转的性质得到为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出、、的数量关系； （）延长交于，连接、、，根据圆周角定理得到，由（）的结论解答； （）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，根据（）（）的结论计算，得到答案． 【详解】解：（）由旋转变换的性质可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：等腰直角，； （）如图，延长交于，连接，， ∵是直径， ∴，， 由（）可知：， 又， ∴， ∴； （）如图，当点在直线的左侧时，连接、， ∵，，点为的中点， ∴，， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵，，， 由勾股定理得，， 由（）得，， ∴， 解得，， 如图，当点在直线的右侧时，连接、， 同理可知：， ∵，， ∴， 由勾股定理可求得：， 由（）的结论可知，， 故答案为：或． 2．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 【答案】(1) (2)菱形，见解析 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形性质和判定，圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． （1）先根据圆周角定理得，再由勾股定理即可解答； （2）先根据垂径定理得：，再证明，得，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论； （3）如图3，连接，先根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上，且，由旋转可得：点在以为圆心，2为半径的圆上，则当为相切时，的值最大，即可解答． 【详解】（1）∵为直径， ∴在中． ∵在中， （2）∵为直径 ，． 四边形是平行四边形 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是菱形 （3）如图，，， ∴点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点C旋转， ∴点是在以为圆心，以为半径的圆上运动， ， ∵当最小时，最大，此时与圆C相切于点D， ， ， 连接 ， ， ， 此时，即AE的最大值为． 3．(24-25九上·广东江门·期末)【项目学习探究】根据以下素材，探索完成任务． 探索求圆半径的方法 背景素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题 任务一 若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，G．现测得，则可知该圆的半径为_______， 任务二 如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点A，E，F在半圆上．若，，求圆的半径， 【答案】任务一：；任务二： 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 任务一：根据勾股定理求出的长即可求解； 任务二：作于点N，交于点M，连接，，由垂径定理得，根据求出的值，进而可求出半径． 【详解】解：任务一：∵四边形是矩形， ∴， ∴是直径． ∵，， ∴， ∴该圆的半径为． 故答案为：； 任务二：如图3，作于点N，交于点M，连接，， 则四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点03 点和圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如果点P在圆O内，，那么圆O的直径可能为（   ） A．5 B．7 C．10 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点在圆内即可判断求解，掌握点和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵点在内，且， ∴的半径大于，直径大于， ∴的直径可能为， 故选：D． 2．(24-25九上·广东惠州仲恺区·期末)如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一点到圆上一点的最值，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在以为直径的上运动，进而由勾股定理求得，根据的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵ ∴， ∴在以为直径的上运动， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：C． 3．(24-25九上·广东广州天河区·期末)如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线性质，理解点与圆的位置关系是解题关键． 连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，与圆的半径相等，即可得出结论． 【详解】解：连接， ，，点O为的中点， ， 的半径为5， 点在上． 故选：B． 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州荔湾区第一中学·期末)如图，在半径为的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题；连接，，，取的中点，连接，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出点在以为半径的上运动，当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】连接，，，取的中点，连接，， 是的中点， ， ， 点在以为半径的上运动， 当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为， ，， ， ， 的最大值为， 故答案为：. 2．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)已知的直径为9，若，则点与的位置关系是 ． 【答案】点在外 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．首先求出圆的半径，然后比较与的大小即可得出结论．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：的直径为9， 的半径为4.5， 又， ， 点在外． 故答案为：点在外． 3．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)如图，等边三角形的边长为，点D，E分别是边的动点，且，连接交于点．则 ：连接，线段长的最小值为 ． 【答案】 /60度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 首先由已知条件证明，得到，通过构造圆，找到线段的最小值时，点的所在的位置，进而求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆， 连接交于， 交于，则， 根据圆周角定理可得， ， ， ，， ∴，， 当点与重合时，的值最小，最小值， 故答案为： ，． 4．(24-25九上·广东惠州惠阳区·期末)如图，在矩形中，，，，是一动点，是由沿直线翻折得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点，确定点在何位置时，的值最小是解题的关键．根据题意可推出点在以为圆心为半径的圆上运动，得到当、、共线时，的值最小，根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，即可求出． 【详解】解：由折叠可得：， ，， ， 点在以为圆心为半径的圆上运动， 当、、共线时，的值最小，如图， 四边形矩形， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 5．(24-25九上·广东中山·期末)如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点间的距离，连接，分别交于点，由，，，则为中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出，从而转化为转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值，即有，再求出，代入即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，分别交于点， ∵，，， ∴为中点， ∵， ∴， ∴转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 6．(24-25九上·广东河源龙川第一实验学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点，当的面积最大时，点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，过点作于点，连接，可证明是等腰直角三角形，则；求出，，可证明是等腰直角三角形，则，，可证明当点O在线段上时，有最大值，此时，即此时点P到的距离最大，则此时的面积最大，且，求出直线解析式为，设，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    由题意可知，，， ， ∴是等腰直角三角形， 为弦的中点， ， 在中，当，则；当，则，解得：， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 为的中点， ∴，， ∵， ∴当点O在线段上时，有最大值，此时，即此时点P到的距离最大， ∴此时的面积最大，且， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， 解得或（舍去）， ∴ 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)如图所示，的顶点均在格点上，点C的坐标为 (1)将绕原点O顺时针方向旋转得到对应的，请画出，并写出点的坐标； (2)请在图中标出的外接圆的圆心M以及写出点M的坐标，并计算的外接圆的面积． 【答案】(1)见解析； (2)点M位置见解析，； 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，确定三角形外接圆圆心，两点距离计算公式，圆的面积计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式可得的位置，描出，并顺次连接，再写出的坐标即可； （2）作线段的垂直平分线交于点M，根据网格的特点可得点M的坐标，再利用勾股定理得到的长，再根据圆面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于点M，则， ∵， ∴， ∴的外接圆半径为， ∴的外接圆的面积为． 地 城 考点04 直线和圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)如图，四边形内接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心，圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理以及邻补角，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．由点是的内心知、，从而求得，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案． 【详解】解：∵点是的内心， ∴、， ∵， ∴ ， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：D． 2．(24-25九上·广东中山三鑫学校·期末)如图，直线与相切于点，直线与相交于点．连接．若，则的度数为（    ）． A．36° B．72° C．90° D．36°或72° 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理以及三角形的相关性质．连接，先利用切线的性质得到，则根据三角形内角和得到，再根据圆周角定理得到，加上，所以，从而可求出的度数，然后利用三角形外角性质可计算出的度数． 【详解】如图，连接， 直线与相切于点， ， ， ， ，， ， 解得， ， ． 故选：． 3．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，是的切线，切点分别是点和，是的直径．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由切线长定理和切线的性质得，，由圆周角定理得，即得为等边三角形，得到，，得到，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线，切点分别是点和，是的直径， ∴，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 （负值舍去）， 故选：． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 1．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，是的两条切线，，为切点，连接交于点，交于点C，，，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理；全等三角形的性质与判定，勾股定理；证明得出，三线合一得出，设的半径长为，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， 设的半径长为，则， 在中， ∴ 解得： 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25九上·广东广州荔湾区第四中学·期末)已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点； （2）由（1）可得结论； （3）设的半径为，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、， ∴， ∵线段、与相切，切点分别为、，， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是的直径，即点在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切于点， 则即为所作； （2）证明：由（1）知：即，且点在上， ∴与相切； （3）解：设的半径为， 过点作于点，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵、、都是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 2．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．如图，当与相切时，点恰好落在上．请就图中的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点，，，求的半径． (3)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)∠PAO=30° (2)⊙O的半径为3 (3) 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，矩形的性质和判定，三角形的面积等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据圆周角定理得到，等量代换求得答案； （2）设的半径为，根据勾股定理列出关于的一元二次方程，解方程得到答案； （3）如图2，先由勾股定理计算，由三角形的面积法可得的长，即是的长，最后由勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：（1）如图1，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）设⨀的半径为， ，， ， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为； （3）如图2，过点作于，作于， ， 四边形是矩形， ， 的半径为，， ， ， ．， 3．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图，在中，，为的中点，以为直径作⊙，交边于点，过点作，垂足为点． (1)求证：为⊙的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得出是的中位线，再根据平行线的性质得出即可； （2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半求出斜边，由勾股定理求出，再根据中点的定义可得，再由勾股定理求出，由三角形面积公式求出，最后由勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径， ∴，即， ∵在中，，D为的中点， ∴， ∴点E是的中点， 又∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是斜边上的中线，， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线以及三角形中位线，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线性质是正确解答的关键． 4．(24-25九上·广东广州荔湾区第一中学·期末)如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答． （2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图1所示： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 直线是的切线； （2）解：作，垂足为，如图2所示： ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 5．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，为的边上一点，以O为圆心，的长为半径作圆，交于点D，过点A作，交于点E． (1)如图1，连接，若，则绕点E按顺时针方向旋转______°与重合． (2)如图2，连接，交于点F，连接，且． ①求证：为的切线． ②若，，，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；②15 【分析】（1）由平行线的性质得，由圆周角定理得，即可求解； （2）①证明，而为的直径，得到，即可求解； ②证明，设，则在中，由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． ∴， ∴绕点E按顺时针方向旋转与重合． 故答案为：； （2）①证明：∵， ． ∵， ， ． ∵为的直径， ， ． ， ， ， ， ∴为的切线． ②如图，连接，并延长交于点G． ， ． ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． ∵， ， ． ∵为的直径， ． ∵， ， ． ， ， ． ， ， 设，则在中，． ， ， 解得，即， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，圆切线的判定，圆内接四边形的性质，三角形全等，勾股定理的运用等，熟练掌握圆的性质是解题的关键．                                                                                                                6．(24-25九上·广东汕头·期末)如图，是的内接三角形，，，连接，并延长交于点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）连接，由圆周角定理可得，则，再根据切线的性质可得，最后通过平行线的判定方法即可； （）过作于点，证明四边形是矩形，又，则四边形是正方形，然后根据正方形的性质可得，，再通过三角形内角和定理，角度和差求出，最后由勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：过作于点，如图所示： ∴， 由（）得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，切线的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，矩形的判定，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 7．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)如图，是直角三角形，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)以为圆心，为半径作圆． ①判断与的位置关系并加以证明； ②若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①与相切，理由见解析  ② 【分析】本题考查了基本作图，掌握角平分线的基本作法和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据作角平分线的基本作图求解； （2）①过作于点，根据角平分线的性质得到，即可得到结论； ②设，根据勾股定理求出长，然后在中，运用勾股定理求出长，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：①与相切； 证明：过作于点， ∵平分 ， ， ∴与相切； ②设， ∵是直角三角形， ， 在和中， ， ， ∴， ， 在中， 有即：， 解得：， ∴的面积为：． 8．(24-25九上·广东珠海香洲区·)如图，是的直径，，过点C作于点E． (1)求的度数； (2)证明：直线是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查圆周角定理、平行线的判定和性质，切线的判定等知识． （1）连接和，由，得，得，再根据圆周角定理可得答案； （2）由（1）知，，得，再由得，即可证明直线是的切线． 【详解】（1）解：连接和， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线． 9．(24-25九上·广东广州花都区·期末)如图，为的直径，点在上，，直线与直径的延长线交于点．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，连接，由圆周角定理求得，由等腰三角形的性质求得，即可求得，根据切线的判定定理即可证得是的切线． 【详解】证明：连接 是的切线 10．(24-25九上·广东云浮罗定·期末)如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形内心的性质、三角形的外角性质知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 11．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，在中，，点是上一点，以为圆心，为半径的圆分别交于点，平分． (1)证明：直线是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)的半径长为2 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，所以，则，即可证明直线是的切线； （2）连接，由，得，则，求得，则，可证明是等边三角形则，可证明，则，即可求得的半径长． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， 平分， ， ， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线； （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的半径长为2． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键， 12．(24-25九上·广东东莞部分学校·期末)如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点A为圆心，长为半径作．求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的判定等，熟练进行尺规作图是解题的关键． （1）通过尺规作图构造全等三角形，得出，即可得解； （2）由等腰三角形三线合一的性质，得出，结合切线的判定定理，即可证明． 【详解】（1）解：如图1，即为所求（方法不唯一）： （2）解：如图2所示， 由（1）知平分，， ∴， 又∵是的半径． ∴是的切线． 13．(24-25九上·广东中山·期末)如图1， 在中，，， 经过A，C两点的交于点D， 连接并延长线交于点 F， 作交于点E． (1)求证： 为的切线； (2)若，，求的长； (3)如图2， 将绕点C逆时针旋转到，点F和点G对应， 连接，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接，先得出为等腰直角三角形，求出，进而得出，根据平行线的性质得出，进而可得出，即可得出结论； （2）作，垂足为 M，由（1）可知为等腰直角三角形，先求出，，进而根据勾股定理得出结论； （3）连接，由题意可知：，，先证明，再证明，得出，得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）如图 2，作，垂足为 M， 由（1）可知为等腰直角三角形， ∵ ，，，， ∴，， ∵在中，，， ∴； （3）如图 3，连接，由题意可知：，， ∵， ， ∴， ∵在与中， ，，， ∴， ∵， ∴， 即． 试卷第56页，共57页 试卷第57页，共57页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆的有关性质及其位置关系 4大高频考点概览 考点01垂直于弦的直径 考点02 圆周角 考点03 点和圆的位置关系 考点04直线和圆的位置关系 地 城 考点01 垂直于弦的直径 一、单选题 1．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东汕头龙湖区·期末)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东珠海香洲区·)如图，《九章算术》记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，其大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯子去锯这根木材，锯口深为1寸，锯道长1尺（1尺寸），问圆形木材的直径是（   ） A．26寸 B．13寸 C．12寸 D．5寸 4．(24-25九上·广东广州花都区·期末)如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，为水面截线，为桌面截线，，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，则此时水面截线为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东广州知用学校·期末)我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则  的半径长为（   ） A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米 二、填空题- 1．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是 米． 2．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)如图，在中，圆心O到弦的距离为1，，则的半径长为 ． 3．(24-25九上·广东中山·期末)如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形． 球的半径为， 瓶内液体的最大深度， 则截面圆中弦的长为 ． 三、解答题 1．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 2．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)如图，直径为的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽，求油的最大深度． 地 城 考点02 圆周角 一、单选题 1．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)如图，在半径为2的中，点A、B、P是圆上的三个点，且满足，则弦长为（   ） A．2 B． C．3 D． 3．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)如图，点A、B、C在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东东莞部分学校·期末)如图，已知是的直径，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 6．(24-25九上·广东中山·期末)如图，内接于， 是的直径，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·广东汕尾·)如图，四边形内接于，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·广东汕头·期末)如图，为的直径，点在上，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州花都区·期末)如图，点是外接圆上的一个动点（点不与点，，重合），，．则下列结论：①是等边三角形；②；③以，，，为顶点的四边形的最大面积是；④若点在内运动时，始终满足，则点运动的路径长度为．其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 2．(24-25九上·广东韶关乳源县·期末)如图，在四边形中，，，则的度数为 ． 三、解答题 1．(24-25九上·广东东莞翰林实验学校·期末)问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______； 探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系； 拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，______． 2．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 3．(24-25九上·广东江门·期末)【项目学习探究】根据以下素材，探索完成任务． 探索求圆半径的方法 背景素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题 任务一 若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，G．现测得，则可知该圆的半径为_______， 任务二 如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点A，E，F在半圆上．若，，求圆的半径， 地 城 考点03 点和圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如果点P在圆O内，，那么圆O的直径可能为（   ） A．5 B．7 C．10 D．13 2．(24-25九上·广东惠州仲恺区·期末)如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（   ） A． B．3 C． D． 3．(24-25九上·广东广州天河区·期末)如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州荔湾区第一中学·期末)如图，在半径为的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为 ． 2．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)已知的直径为9，若，则点与的位置关系是 ． 3．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)如图，等边三角形的边长为，点D，E分别是边的动点，且，连接交于点．则 ：连接，线段长的最小值为 ． 4．(24-25九上·广东惠州惠阳区·期末)如图，在矩形中，，，，是一动点，是由沿直线翻折得到，连接，则的最小值是 ． 5．(24-25九上·广东中山·期末)如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是 ． 6．(24-25九上·广东河源龙川第一实验学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点，当的面积最大时，点的坐标为 ．    三、解答题 1．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)如图所示，的顶点均在格点上，点C的坐标为 (1)将绕原点O顺时针方向旋转得到对应的，请画出，并写出点的坐标； (2)请在图中标出的外接圆的圆心M以及写出点M的坐标，并计算的外接圆的面积． 地 城 考点04 直线和圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)如图，四边形内接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东中山三鑫学校·期末)如图，直线与相切于点，直线与相交于点．连接．若，则的度数为（    ）． A．36° B．72° C．90° D．36°或72° 3．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，是的切线，切点分别是点和，是的直径．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，是的两条切线，，为切点，连接交于点，交于点C，，，则的半径长为 ． 三、解答题 1．(24-25九上·广东广州荔湾区第四中学·期末)已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 2．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．如图，当与相切时，点恰好落在上．请就图中的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点，，，求的半径． (3)若的半径为6，，求的长． 3．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图，在中，，为的中点，以为直径作⊙，交边于点，过点作，垂足为点． (1)求证：为⊙的切线； (2)若，，求的长． 4．(24-25九上·广东广州荔湾区第一中学·期末)如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，的半径为，求的长． 5．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，为的边上一点，以O为圆心，的长为半径作圆，交于点D，过点A作，交于点E． (1)如图1，连接，若，则绕点E按顺时针方向旋转______°与重合． (2)如图2，连接，交于点F，连接，且． ①求证：为的切线． ②若，，，直接写出的面积． 6．(24-25九上·广东汕头·期末)如图，是的内接三角形，，，连接，并延长交于点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 7．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)如图，是直角三角形，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)以为圆心，为半径作圆． ①判断与的位置关系并加以证明； ②若，，求的面积． 8．(24-25九上·广东珠海香洲区·)如图，是的直径，，过点C作于点E． (1)求的度数； (2)证明：直线是的切线． 9．(24-25九上·广东广州花都区·期末)如图，为的直径，点在上，，直线与直径的延长线交于点．求证：是的切线． 10．(24-25九上·广东云浮罗定·期末)如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明． 11．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，在中，，点是上一点，以为圆心，为半径的圆分别交于点，平分． (1)证明：直线是的切线； (2)若，求的半径． 12．(24-25九上·广东东莞部分学校·期末)如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点A为圆心，长为半径作．求证：是的切线． 13．(24-25九上·广东中山·期末)如图1， 在中，，， 经过A，C两点的交于点D， 连接并延长线交于点 F， 作交于点E． (1)求证： 为的切线； (2)若，，求的长； (3)如图2， 将绕点C逆时针旋转到，点F和点G对应， 连接，求的大小． 试卷第16页，共16页 试卷第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $