专题12 反比例函数和相似三角形压轴题（期末真题汇编30题，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题12 反比例函数和相似三角形压轴题 2大高频考点概览 考点01反比例函数综合压轴题 考点02 相似三角形综合压轴题 地 城 考点01 反比例函数综合压轴题 1．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空： ． 【深入探究】 （2）求证：点在直线上． （3）请写出与的数量关系，并说明理由． （4）尺规作图：求作射线，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1） （2）见解析 （3），见解析 （4）见解析 【分析】（1）运用反比例函数系数的几何意义即可求得答案； （2）设，，由轴，轴，可得，，运用待定系数法可得直线的解析式为，当时，，即可证得结论； （3）连接交于点，可证得四边形是矩形，推出，再证得，即可求得答案； （4）连接交反比例函数的图象于点，以点为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于点，分别过、作轴、轴的平行线交于点，作点关于轴的对称点，连接、即可． 【详解】解：（1）由于函数的图象经过点， 则， 又， ， 故答案为：； （2）证明：由（1）知：， 设，， 轴，轴， ，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上； （3），理由如下： 轴，轴， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 轴， ， ； （4）如图所示，连接交反比例函数的图象于点，以点为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于点，分别过、作轴、轴的平行线交于点，作点关于轴的对称点，连接、，则射线，即为所求． 【点睛】本题考查了待定系数法、反比例函数系数的几何意义、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接． (1)求反比例函数的表达式及直线的函数表达式； (2)若，求点C的坐标； (3)如图2，直线l绕若点旋转，直线l上有一动点P，过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N，连接，若在直线上刚好存在三个不同的P点且使得的面积为9时，请直接写出此时直线的斜率． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，设，根据，列出方程进行求解即可； （3）设直线的解析式为，把代入，得到，设，进而得到，，根据的面积为9，列出方程，根据直线上刚好存在三个不同的P点，得到有3个不相等的实数根，利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与直线交于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，解得：； ∴； （2）设直线与轴交于点，设， ∵， ∴当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴或， ∴或； （3）设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴， 设， ∵过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N， ∴到，， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， 整理，得：， 设，则：， ∴； ①当时，，解得：或， ∴或， 即：或， 当时，， ∴有2个不相等的实数根， ∵直线上刚好存在三个不同的P点， ∴有2个相等的实数根， ∴，解得：或； ②当时，则：，解得：或， ∴或， 当时，； 当时，； ∵直线上刚好存在三个不同的P点， ∴或， 当时，解得：或； 当，无解； 综上：或或或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，分割法求面积，根与系数的关系等知识点，综合性强，计算量大，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 3．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、或 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论； （2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解； （3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为也在上， ， 的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上， 代入可得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，可得，解得 ， ， 的坐标为，的坐标为， ； （3）解：①若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图， 设点， ，， 是直角三角形， ， 即， 解得， 点的坐标为． ③当时，如图， 当点在轴上时，设点， ，， 是直角三角形， ， ， 解得， 点的坐标为． ④若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为． 综上可得点的坐标为、、或． 4．(24-25九上·广东东莞长安实验中学·期末)在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式． 【答案】(1)是矩形的“友好函数” (2)①；② 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； （2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即， ， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键． 5．(23-24九上·广东连州·期末)综合运用：如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为 (2) (3)点M的坐标为或 【分析】（1）将，代入，求得，的值，再由，坐标利用待定系数法即可求解； （2）先求出、点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E，证明，得到，，再分两种情况，即可得出答案． 【详解】（1）∵，两点在反比例函数的图象上 ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）设直线交y轴于点C， ∴， ∴， ∴ （3）点M的坐标为或 解析如下：如图，由题意得，， 过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E， 则， ∴，， 当点在点A的左侧时， 设，则， ∵在上， ∴，即， ∴，， 经检验是原方程的根且符合题意，，不合题意，舍去； 当时，， ∴； 当点在点A的右侧时， 设，则， ∵在上， ∴，即， ∴，， 经检验是原方程的根且符合题意，，不合题意，舍去； 当时，， ∴； 综上所述：点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 6．(23-24九上·广东深圳·期末)【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） 【答案】（1）；（2）；（3）a的最大整数值为7；（4）10 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解； （3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解； （4）过点A作轴于点，求出反比例函数的解析式，设直线与的交点为P，则，过点P作轴于点，延长交x轴于点K，求出，，可求出直线的解析式，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由图形可知是等腰直角三角形，则， 故答案为：； （3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H， ∵四边形为矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． （4）如图4，过点A作轴于点， 由勾股定理可得， ∴， 把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 设直线与的交点为P，则， 过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ， ∴， ∵， ∴的最大整数值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数的图象和性质，勾股定理等知识，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键． 7．(23-24九上·广东清远清城区·期末)在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等腰直角三角形相交，，. (1)如图1，若反比例函数的图象恰好经过的顶点B时，求反比例函数的表达式； (2)在（1）的前提下，过点A作交反比例函数的图象于点Q，连接，求的面积和点Q的坐标； (3)如图2，若反比例函数的图象交的边于点C，且，点P是反比例函数图象上的一动点，满足的面积是3，请直接写出点P的坐标. 【答案】(1) (2)，点Q的坐标为， (3)或 【分析】（1）过点B作于点H，利用等腰直角三角形的性质求出点B的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点Q作轴于点M，求出直线的解析式是和直线的解析式为，与反比例函数解析式联立得到点Q的坐标为，则，利用即可得到答案； （3）求出，过点C作于点N，得到，过点P作轴于点R，求出反比例函数解析式为，由（2）可知，，解方程即可得到m的值，即可得到点P的坐标. 【详解】（1）解：过点B作于点H， ∵是等腰直角三角形，，. ∴， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好经过的顶点B， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）过点Q作轴于点M， 设直线的解析式是，把点B的坐标代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式是， ∵， ∴可设直线的解析式为，把点A的坐标代入得到 ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为， ∴， ∴ ； （3）∵是等腰直角三角形，，. ∴， ∵， ∴, ∴， 过点C作于点N，则，过点P作轴于点R， ∴点C的坐标是， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 设点P的坐标为， 则,， 由（2）可知，， 解得：（不合题意，舍去）或或或（不合题意，舍去）， ∴点P的坐标为或 【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式，解分式方程、等腰直角三角形的性质、一次函数和反比例函数图象交点问题等知识，数形结合是解题的关键. 8．(23-24九上·广东广州花都区·期末)已知点在函数的图像上． (1)若，求n的值； (2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m为何值时，点E到x轴的距离为； ②若，平面内是否存在点F，使得以点M、N、G、F为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点F的坐标（说明理由）． 【答案】(1)2 (2)①；②、、． 【分析】本题属于反比例函数和二次函数综合运用，主要考查了二次函数的性质、解直角三角形、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）把代入求得n的值即可； （2）①根据二次函数的对称性可求得对称轴，然后再根据二次函数的性质求得顶点坐标，再根据点E到x轴的距离为列方程求得m的值，最后根据反比函数图像所在的象限，确定符合题意的m值；②先根据题意求得、，然后分为平行四边形的对角线和边两种情况，分别根据平行四边形的性质解答即可． 即可求解； 【详解】（1）解：∵点在函数的图像上， ∴， 把代入可得． 故n的值为2． （2）解：①∵， ∴该函数图像开口方向向上，对称轴为：， 当时，抛物线有最小值：， ∴抛物线的顶点坐标， ∵点E到x轴的距离为， ∴，即， ∵ ∴，解得：， ∵， ∴函数图像在第二象限，即：， ∴； ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ a.如图：当为平行四边形的对角线时，设， 则有：，即，解得：， ∴； b.如图：当为平行四边形的一边时，设， 由图可知：分别为点G向左或右平移所得到的， ∴． 综上，点F的坐标为、、． 9．(23-24九上·广东东莞松山湖实验中学教育集团·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)直接写出_______； _______； (2)请结合图象直接写出不等式的解集是_______； (3)在y轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，1； (2)或； (3)存在，点P的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的突破口，也是解题的关键． （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值； （2）根据图象即可求得； （3）分，，三种情况考虑，根据等腰三角形的性质或利用两点间的距离公式列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴，则， ∴反比例函数的表达式为， 又∵点在反比例函数的图象上． ∴， 故答案为：3，1； （2）解：∵，， 观察图象可知，不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：在y轴上存在一点P，使是等腰三角形；理由如下： ∵，， ∴， 设点P坐标为， ①当时，得： ， 解得：或， 此时点P坐标为或； ②当时，得：，此时无解； ③当时，得：， 解得：， 此时点P坐标为， 综上，点P的坐标为或或． 地 城 考点02 相似三角形综合压轴题 1．(24-25九上·广东广州花都区·期末)如图，在中，，以点为圆心，作与直线相切，切点为点，连接． (1)求的半径； (2)延长交于点，点是射线上一点，若与相似，请求出的长； (3)点是上一个动点，连接交直线于点．在点运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由平行线的性质得，由切线的定义得，再根据含30度角的直角三角形的性质可解； （2）分和两种情况，画出图形，根据对应边成比例列方程，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作，交于点，先证，推出，再证四边形是平行四边形，得出，由含30度角的直角三角形的性质得出，代入得出，由点运动轨迹可知，当为直径时，最大，取得最大值． 【详解】（1）解： 四边形是平行四边形， ， ， 与直线相切于点， ，即， 在中，， 的半径为1； （2）解：由题意知，为的直径， ， 在中，， 由勾股定理， ①当时，如图， ，即， ； ②当时，如图， ，即， ， 综上，的长为或． （3）解：存在，理由如下 过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作，交于点，如图， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在中， ， ， ， 由点运动轨迹可知，当为直径时，最大，取得最大值， 此时，点与点重合，是的切线， 故． 【点睛】本题考查切线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，解第二问的关键是注意分情况讨论，解第三问的关键是得出取得最大值时点Q的位置． 2．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)【知识技能】（1）如图1，矩形与叠放在一起，（点Q，N分别与点A，B重合，点M落在对角线上），已知，则 ． 【数学理解】（2）如图2，以每秒1个单位长度的速度在线段上从点A向点C运动；同时，动点P以每秒2个单位长度的速度在线段上从点D向点A运动，设它们的运动时间为，连接．解答下列问题： ①当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ ②是否存在某一时刻t，使得与四边形面积之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【拓展探索】（3）如图3，将绕着点M顺时针旋转得到，点N、Q的对应点是，连接，，当t为何值时，的值最小？ 【答案】（1）12；（2）①，②存在，理由见解析；（3） 【分析】（1）由勾股定理求得，进而根据面积法求得的值； （2）①根据点A在线段的垂直平分线上得出，进而列出方程求得结果； ②作于E，可先求出，根据得出，从而表示出的值，从而得出，进一步得出结果； （3）连接，作于H，根据垂直平分线的性质得出，从而得出，当共线时，最小，从而得出，连接，作于F，则，求出，，证明四边形是平行四边形，进一步证明，根据相似三角形的性质列式计算可得结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由得，， 故答案为：12； （2）①∵在矩形中， ∴， ∵在中，， ∴， ∵点A在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当t为时，点A在线段的垂直平分线上； ②存在，理由如下： 如图，过点M作于E， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵与四边形面积之比为， ∴与的面积之比为， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴当时，与四边形面积之比为； （3）如图，连接， ∵旋转得到， ∴ ∴， ∴当共线时，的值最小， 如图，连接，作于F，则， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵旋转得到， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∵ （对顶角相等） ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 3．(24-25九上·广东清远连州·期末)综合探究 如图，将一张矩形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，取右下角纸片．展开后四边形的形状是菱形（如图）； 菱形中，对角线、交于点，点在边延长线上，平分交于点． (1)如图1，当时，证明：是的中点； (2)如图2，当，的大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由； (3)如图3，与的交点为，当点移动时，写出图中新增加的等腰三角形（不增加字母的情况下）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)和 【分析】（1）延长交于点，利用菱形的性质得到，，再由得到，再利用直角三角形的性质以及等量代换可得，推出，再利用三线合一性质得到，最后通过证明，即可证明； （2）过点作交于点，设与交于点，由证出，得出，再由得出，得出，最后通过证明，即可得出为定值； （3）先证明，推出，则说明是等腰三角形，再根据菱形的性质和平行线的性质得出，利用直角三角形的性质以及等量代换可得，说明也是等腰三角形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， 菱形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 又平分， ， 又，， ， ， 是的中点． （2）解：过点作交于点，此时点使得为定值，理由如下： 如图，设与交于点， ， ， 菱形， ，，，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为定值． （3）解：菱形， ，，， 又， ， ， 是等腰三角形，； 由（2）得，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形； 综上所述，新增加的等腰三角形有和． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 4．(24-25九上·广东清远英德·期末)在矩形中，点G是边的中点，点E，F是其所在平面的两个点，且，，连接，，点H是的中点，连接． (1)如图1，若点E在边上，点F在边上，且，请直接写出与的数量关系； (2)如图2，，将绕点B旋转，连接，若，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，将绕点B旋转，连接，若． ①猜想与的数量关系（用m、n表示），并证明你的猜想； ②如图4，当绕点B顺时针旋转时，将沿翻折得到，若点K刚好与点F重合，则此时矩形的边长与应满足什么关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)①；② 【分析】（1）先证明，，结合为的中位线，可得结论； （2）如图，连接，证明四边形为正方形，证明，可得，再结合三角形的中位线可得答案； （3）①仿照（2）的思路进行证明与计算即可；②如图，连接，当K与F重合时，，则，证明，可得，设，则，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴，， ∵点G是边的中点，点H是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接， ∵，矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中   ∴， ∴， ∵G、H分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． （3）解：①，理由见解析； 如图，连接， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； ②，理由如下： 如图，连接，当K与F重合时，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而，， 设，则 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等，找到需要相似三角形是解题的关键． 5．(24-25九上·广东东莞部分学校·期末)【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ； （2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）或 【分析】（1）由矩形的性质可知点是中点，由中点坐标公式可得，由双曲线过点E可得，由此即可求出该双曲线的解析式； （2）由点、在双曲线的图象上可得，由矩形的性质可得，，进而可得，由比例的性质可得，再结合，于是结论得证； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形， 点是中点， 又，， ， 双曲线过点E， ， ， 该双曲线的解析式为， 故答案为：，； （2）点，在双曲线的图象上， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ； （3）分三种情况讨论： ①当时， 四边形是矩形， ， ， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ②当时， 此时点与点重合， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ③当时， 设， 将矩形向右平移个单位长度， ，， ， ， 解得：， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：， ， 与题意不符，故舍去； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，中点坐标公式，写出直角坐标系中点的坐标，求反比例函数解析式，比例的性质，相似三角形的判定，已知两点坐标求两点距离，坐标与图形变化—平移，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 6．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)综合运用 在矩形中，以点O为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，点E是射线上一动点，连接，过点O作于点D，交直线于点F． (1)如图1，当矩形是正方形时，若点E在线段上，线段与的数量关系是______；若，，求的长； (2)如图2．当点E在线段上，且，以点F为直角顶点在矩形的外部作直角三角形，且，连接，交点G，求的值； (3)如图3，若点，点，点E在线段的延长线上，点F在线段的延长线上，，，连接，取的中点M，连接，取的中点N，连接，过点D作于点K，设，，请直接写出： ①______； ②m关于n的函数关系式：______． 【答案】(1)相等， (2) (3)①② 【分析】（1）根据得到，从而得到，根据角边角判定，得到，证明，求出，勾股定理求出的长即可； （2）先证，再证，结合相似三角形面积比等于相似比直接求解即可得到答案； （3）①求出的长，勾股定理求出的长即可；②先证，再证，利用相似三角形及勾股定理，表示相应边的长度，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵矩形是正方形， ∴，， 在与中， ∴， ∴， 故答案为：相等； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）是直角三角形， 又 ∴四边形是平行四边形         ， ，， ， ， ， ，       设，则， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①∵点，点， ∴， ∵矩形， ∴，， ， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； ②， ， ， ， ， ， ， ，， 取中点，连接，过点作，垂足为， 是的中点， 是的中位线，则，， ， ，   ， ∵， ∴， ∴， ， 又， ， ， ， ，，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，矩形的性质，正方形的性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形． 7．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)综合探究 【背景】小北和小松在数学实践活动课上合作学习，共同探究解题． (1)如图1，四边形内接于，为的直径，平分．若，．求的长？他们很快完成解答，请你帮忙写出解答过程： 【猜想】在解题过程中，他们想求线段的长度，但遇到了很大的困难．小北大胆猜想：已知是的角平分线，可证．为了验证是否正确，小松经过思考，可以构造相似三角形来证明．小松的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得． (2)请参照小松提供的思路，利用图2证明：； (3)利用以上这个结论，他们可以解决下列两个问题，请你一起完成： ①如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G，若，，求线段的长； ②如图1，在（1）的条件下、通过计算，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据勾股定理求出，再利用角平分的定义推出，进而得到，再借助勾股定理即可求解； （2）根据平行线的性质推出，进而得到，然后证得，即可证明； （3）①先推得，再借助平行线分线段成比例得出，然后利用平行线的性质得，即可求解； ②连接，先求出，，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 即． （3）解：①由（2）知，， ∴， ∵M是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ②连接，如图所示， 由①知，，且， ∴， ∵， ∴， ∵，O为中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握平行线分线段成比例，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理求线段长，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及勾股定理是解题的关键． 8．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)综合与应用 【知识背景】如题图，在反比例函数的图象上有一点，过点作轴于点，连接，点为反比例函数图象上一动点，连接． 【基础尝试】 求反比例函数的表达式； 【深入探究】 若，求点的坐标； 如题图，若，求的面积． 【答案】；；． 【分析】把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出的值即可； 过点，作轴，垂足为，交于点，根据矩形的性质可证，根据等角对等边可知，设，则，，根据勾股定理可得，解得，从而可得直线的解析式为，因为点是直线与反比例函数图象的交点，解方程组求出点的坐标即可； 过点作轴，垂足为，交的延长线于点，根据直角三角形的性质可证，又因为，从而可证，根据相似三角形对应边成比例可知，设点的坐标为，可得，解方程求出的值，即可得点的坐标为，根据即可求出的面积． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 反比例函数表达式为； 解：如下图所示，过点，作轴，垂足为，交于点， 轴， ， ， 由题意可知，， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 由图象可知，所在直线是正比例函数， 设所在直线的函数为， 将代入， 可得：， 解得， 所在直线的函数为， 联立构成方程组得：， 解得：或（不符合题意，舍去） 点的坐标为 解：如下图所示，过点作轴，垂足为，交的延长线于点， 则， ， ，即， 轴， ，即， ， ， ， ， ，即， 设，则，， 由，得，， ， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 点的坐标为， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合题，涉及到的知识点有：用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理． 9．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)我们将四个顶点都在三角形边上的正方形，称为该三角形的内接正方形． (1)如1图，正方形是的内接正方形，请在图中找出一对相似三角形，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若三边分别为是边上的高，试求： ①边上的高的长； ②内接正方形的边长； (3)如3图，面积为的正方形内接于，如果的面积分别记为，请用含有的式子表示（不用说明理由）． 【答案】(1)，详见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形相似的判定方法进行判断即可； （2）①根据勾股定理得出，代入数据得出，求出，再根据勾股定理求出即可； ②设正方形的边长为a，则，，根据相似三角形的性质得出，代入得：，求出，即可得出答案； （3）过点A作于点H，交于点I，设正方形的边长为a，得出，，，得出，根据相似三角形性质得出，即，整理得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴； （2）解：①∵为边上的高， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②∵，， ∴， ∴为边上的高， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 设正方形的边长为a，则，， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形的边长为． （3）解：过点A作于点H，交于点I，如图所示： 根据解析（2）可知：为边上的高， 设正方形的边长为a， ∴，，， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 整理得：， ∴，负值舍去． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 10．(24-25九上·广东汕尾·)学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及证明： 已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P 的的切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M； ②以点M为圆心，为半径画圆，交于A，B两点（点A在上方）； ③连接，直线即为的切线． (1)利用尺规作图法按上述步骤作图（保留作图痕迹）； (2)求证：为的切线； (3)连接，并延长与的延长线交于点C，若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法，切线的判定，圆周角定理及相似三角形判定与性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据题意作图即可； （2）是的直径得出圆周角，则，进而得出结论； （3）先证明，得出，再证明求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为圆的切线； （2）证明：连接， ∵为的直径， ∴ ． ∴ ， 又∵是的半径， ∴是的切线． （3）解：设与交于点H， 由题意得即为的切线， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ，即， ， 在中，， ， ， ， ． 11．(24-25九上·广东惠州仲恺区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． (1)求拋物线的解析式； (2)当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标． 【答案】(1)该抛物线的解析式为； (2)点P的坐标为，的最大值为； (3)点M的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式； （2）过点P作轴交直线于点E，设，进而表示出点的坐标，证明，列出比例式，将转化为二次函数求最值即可； （3）设，则，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点 ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）当时， ∴ 设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交直线于点E，如图，设， ∵轴， ∴点E的纵坐标为 则 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时点P的坐标为， （3）如图，设，则 ∴，， ∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴 ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴ 当时，解得：（舍去），， 此时点 当时，解得：（舍去），， 此时点， 综上，点M的坐标为或． 12．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)【问题背景】 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若， 则称点D是中边上的“射影点”． 【构建联系】 （1）在图1中，若点D是中边上的“射影点”，且，则______． 【理解应用】 （2）如图2，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点在网格图的格点上． ①请仅用直尺画出边上的一个“射影点”； ②在①的基础上求得的值为______． 【深入探究】 （3）如图3，是的内接三角形，点H在上，连接并延长交于点D．点H是中边上的“射影点”． ①求证：； ②若，的半径为r，且，求的值． 【答案】（1）；（2）①详见解析；②；（3）①详见解析；② 【分析】（）将代入计算即可； （2）①如图，取格点，连接交于，点即为所求； ②利用面积法求出，利用勾股定理求出，然后代入求解即可； （）①证明可得，再根据点是中边上的“射影点”得，即得，得到，由垂径定理的推论即可求证； ②连接，由可得，即得为的直径，设，则，，得，即得，得到，进而根据可得，最后代入代数式计算即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴． 故答案为：4；   （2）①取格点K，连接交于M，如图，点M即为边上的一个“射影点”．     ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M是边上的一个“射影点”； ②∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴．     （3）①证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点H是中边上的“射影点”， ∴， ∴， ∴， ∴；     ②解：连接，如图： 由①知，， ∵， ∴， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理的推论，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 13．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)【建立模型】 （1）如图①，已知中，，，点D在上，且，点E是的中点，证明： 【知识拓展】 （2）如图②，已知中，，，点D是的中点，点E是边上的动点，连接，当与相似时，求的长度． 【问题解决】 （3）密室逃脱是一种实景逃脱游戏．在游戏中，玩家会被“关”在一个主题房间里，玩家在规定时间内，通过观察、推理和论证来解开一系列谜题，找到逃出房间的方法．如图③，一间地面为边长3米的正方形房间沿对角线分成两间密室，在密室中，墙底部嵌有一面可沿左右滑动的小镜子P（镜面与墙平行），墙底部中间位置E处有一固定激光笔（激光可射向的任何位置），当C处光感器能接收到激光时，密室解开．请计算密室解开时，镜子P与激光笔E的距离． 【答案】（1）证明见解析，（2）的长为或；（3）密室解开时，镜子P与激光笔E的距离为米． 【分析】本题考查的是正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质； （1）求解，证明，结合，即可得到结论； （2）求解，分两种情况讨论：当时，如图，当时，再进一步求解即可； （3）如图，由题意可得：为的垂直平分线，可得，证明，可得，进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵，，点D在上，且，点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，∵，，点D是的中点， ∴， 当时， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， 综上：的长为或． （3）如图，由题意可得：为的垂直平分线， ∴， ∵边长3米的正方形，为的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴密室解开时，镜子P与激光笔E的距离为（米）． 14．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)综合运用  如图，中，，点在的下方，，平分，在线段上取点，使，设． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，判断、、之间的数量关系并说明理由． (3)如图3，现以所在的直线为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，、两点的坐标分别为，（实数）．若（为常数且），求面积关于的函数表达式． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析； (3) 【分析】（1）证明是等边三角形，得出，，证明，则可得出结论； （2）过点C作于M，证明，得出，证明，得出，则可得出结论； （3）与（2）同理可得：，得出，由题意可知：，，则，过点C作于H，证明，得出，求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 理由：过点C作于M， ∵，， ∴、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴等腰与等腰的底角相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：依题意得：，， ∴， ∴， 与（2）同理可得：， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， 过点C作于H， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 即S关于n的函数表达式为． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是熟练掌握以上知识． 15．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)综合探究  如图1，在矩形中，，动点在边上，连接． (1)过点作交于， ①当，求证：． ②当时，求的值（用含的代数式表示）． (2)如图2，动点在边上，将矩形沿折叠，点、折叠后的位置分别是点、，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①，从而，，从而，从而得出，从而， ②可推出，，从而，从而； （2）取的中点，连接，作，交于，可证得四边形是平行四边形，从而；根据对称得出点和点关于对称，，，从而得出，从而，从而，进一步得出结果． 【详解】（1）①证明：如图1， 设，交于点， 当，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ②解：由①知， ，， ， ； （2）解：如图2， 取的中点，连接，作，交于， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， ， 矩形沿折叠，点、折叠后的位置分别是点、，点恰好是线段的中点， 点和点关于对称，， ， ， 由②知，， ， 不妨设，，则， ， ， ， ． 16．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）根据“心形图”关于直线对称可知：当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点，由图可知，当时，直线与“心形图”有交点，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数与轴分别交于点、两点， 当时，，则 当时，可得，解得，则， 将，代入抛物线，可得： ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：设，， 过点作于点，过点作轴交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最大为， 点到直线的最大值为； （3）解：当直线与抛物线只有一个交点时， 令， 则， ， ， 当时，直线与“心形图”右上方只有一个交点，此时， 直线解析式的值与直线解析式的值相同，为， 直线与直线平行， 根据“心形图”关于直线对称可知， 上方直线与下方直线关于直线对称且平行于直线， 上方直线到直线的距离与下方直线到直线的距离相等， 根据平行线分线段成比例可得， 故当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点， 由图可知，当时，直线与“心形图”有交点． 17．(24-25九上·广东广州越秀区·期末)如图所示，为矩形，，，点为上一动点，与交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，与交于点． (1)求线段的长； (2)连接，若，求的长； (3)连接，与交于点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理即可解答； （2）（法一）过点作的垂线分别交、于点，，过点作的平行线分别交、的延长线于点，，根据题意证明出、，得到，即，证明，得到，即，由得，，证明，得到，即可求得的长； （法二）过点作，，设，证明，再根据，解出的值，即可求得的值； （3）作的外接圆，连接，，，过点作，过点作，证明，得到，设的半径为，得到，再由等面积法解得，由图可知，得到的取值范围，即可求出面积的最小值． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：（法一）过点作的垂线分别交、于点，，过点作的平行线分别交、的延长线于点，，如图所示： 设，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 化简得， ， ， ， ， 化简得， 由得，， ， ， ， ； （法二） 如图，过点作，， 设， ，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，   解得， ， ； （3）解：如图所示，作的外接圆，连接，，，过点作，过点作， ， 四边形ADHF四点共圆， 为定值， ， ，， 又， ， 又， ， ， 设的半径为，由（1）值， ， ， ，， ， ， ， 由图可知， ，   解得：， ， 即的面积的最小值为，当，，共线即时取等号． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、最值问题、圆周角定理、三角形的面积公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 18．(24-25九上·广东茂名龙岭学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，请求所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2) (3)N点坐标为或 【分析】（1）将点和点的坐标代入解出、的值即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线解析式求得点坐标，可得为等腰直角三角形，则有，当时，即，内错角相等可得，即点纵坐标与点纵坐标相等，将代入抛物线解析式即可得到点的坐标； （3）分成两种情况考虑：第一种，当点在轴上时，此时只能为抛物线的顶点，由矩形性质即可推得点坐标；第二种，当点在轴负半轴上时，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，设点坐标为，则，结合矩形性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质可以得出点的坐标为，最后根据点在抛物线上解出的值，即可得点坐标．综合两种情况即可得到完整解答． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交于点， 代入得，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， 令时，得，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 即点纵坐标与点纵坐标相等， 在中，令时，解得，， ． （3）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为， 情况一：如图，当点在轴上时，只能为抛物线的顶点， 四边形为矩形，点为抛物线对称轴上一动点，， 与纵坐标相同， 点坐标为； 情况二：如图，当点在轴负半轴上时，四边形为矩形， 过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为， 设点坐标为，则， 矩形中，， ， 又， ， ， ， ， 抛物线对称轴为，点在对称轴上，点坐标为， ，， ，即， ，， ，， ， 和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 点在抛物线上， ， 解得，， 点在轴负半轴上， ，即需舍去， 点坐标为． 综上所述，符合条件的点坐标为或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、等腰三角形的判定与性质、二次函数的图像与性质、矩形性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程，解题关键是方程思想的应用． 19．(24-25九上·广东广州·期末)如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 (1)当秒时，的值是多少？ (2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1)24 (2) (3)为或，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的性质，函数关系式； （1）当秒时，，，，根据，，可得，，，，即可得； （2）分两种情况：①当在上，即时，；②当在上时，由解得，故此时，； （3）由，知以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，当时，，得，当时，，得． 【详解】（1）解：当秒时，，，， 矩形中，，， ，，，， ， ， ， ， 的值是24； （2）解：①当在上，即时，如图： ，，， ，，， ； ②当在上时，由解得， 追上所用时间是， 此时， 如图： ，， ， ， 综上所述，； （3）解：如图： ， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 20．(23-24九上·广东佛山大沥镇大沥初级中学·期末)如图，矩形的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且，对角线交于点G，若曲线经过点C、G． (1)设，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）； (2)求点C的坐标； (3)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，根据矩形的性质可得，进而得到、即可解答； （2）由题意可得解得，作轴于H，即；再证明，利用相似三角形的性质列比例式可得，进而得到即可解答； （3）由勾股定理可得、，然后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵曲线经过点C、G， ∴， 解得：， 如图：作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴矩形的面积． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形、勾股定理、反比例函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 21．(23-24九上·广东佛山南海区里水镇和顺第一初级中学·期末)（1）在菱形中，，点P在边边上，连接，点Q在的延长线上，连接，，求证：； （2）菱形中，点P、Q分别是,上的动点，且满足，当时，求与的面积之和． （3）平行四边形中，，P是上一动点，Q是上一动点，且满足，，，当时，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）4 【分析】（1）连接，证明即可得证． （2）延长到H使得，连接，证明，判定三角形是等边三角形，得到，计算即可． （3）延长到H使得，证明，再证明是等边三角形，解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． （2）解：延长到H使得，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． （3）解：延长到H使得， ∵， ， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 反比例函数和相似三角形压轴题 2大高频考点概览 考点01反比例函数综合压轴题 考点02 相似三角形综合压轴题 地 城 考点01 反比例函数综合压轴题 1．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空： ． 【深入探究】 （2）求证：点在直线上． （3）请写出与的数量关系，并说明理由． （4）尺规作图：求作射线，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 2．(24-25九上·广东揭阳惠来县·期末)如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接． (1)求反比例函数的表达式及直线的函数表达式； (2)若，求点C的坐标； (3)如图2，直线l绕若点旋转，直线l上有一动点P，过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N，连接，若在直线上刚好存在三个不同的P点且使得的面积为9时，请直接写出此时直线的斜率． 3．(24-25九上·广东茂名电白区·期末)综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 4．(24-25九上·广东东莞长安实验中学·期末)在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式． 5．(23-24九上·广东连州·期末)综合运用：如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 6．(23-24九上·广东深圳·期末)【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） 7．(23-24九上·广东清远清城区·期末)在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等腰直角三角形相交，，. (1)如图1，若反比例函数的图象恰好经过的顶点B时，求反比例函数的表达式； (2)在（1）的前提下，过点A作交反比例函数的图象于点Q，连接，求的面积和点Q的坐标； (3)如图2，若反比例函数的图象交的边于点C，且，点P是反比例函数图象上的一动点，满足的面积是3，请直接写出点P的坐标. 8．(23-24九上·广东广州花都区·期末)已知点在函数的图像上． (1)若，求n的值； (2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m为何值时，点E到x轴的距离为； ②若，平面内是否存在点F，使得以点M、N、G、F为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点F的坐标（说明理由）． 9．(23-24九上·广东东莞松山湖实验中学教育集团·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)直接写出_______； _______； (2)请结合图象直接写出不等式的解集是_______； (3)在y轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点02 相似三角形综合压轴题 1．(24-25九上·广东广州花都区·期末)如图，在中，，以点为圆心，作与直线相切，切点为点，连接． (1)求的半径； (2)延长交于点，点是射线上一点，若与相似，请求出的长； (3)点是上一个动点，连接交直线于点．在点运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 2．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)【知识技能】（1）如图1，矩形与叠放在一起，（点Q，N分别与点A，B重合，点M落在对角线上），已知，则 ． 【数学理解】（2）如图2，以每秒1个单位长度的速度在线段上从点A向点C运动；同时，动点P以每秒2个单位长度的速度在线段上从点D向点A运动，设它们的运动时间为，连接．解答下列问题： ①当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ ②是否存在某一时刻t，使得与四边形面积之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【拓展探索】（3）如图3，将绕着点M顺时针旋转得到，点N、Q的对应点是，连接，，当t为何值时，的值最小？ 3．(24-25九上·广东清远连州·期末)综合探究 如图，将一张矩形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，取右下角纸片．展开后四边形的形状是菱形（如图）； 菱形中，对角线、交于点，点在边延长线上，平分交于点． (1)如图1，当时，证明：是的中点； (2)如图2，当，的大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由； (3)如图3，与的交点为，当点移动时，写出图中新增加的等腰三角形（不增加字母的情况下）． 4．(24-25九上·广东清远英德·期末)在矩形中，点G是边的中点，点E，F是其所在平面的两个点，且，，连接，，点H是的中点，连接． (1)如图1，若点E在边上，点F在边上，且，请直接写出与的数量关系； (2)如图2，，将绕点B旋转，连接，若，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，将绕点B旋转，连接，若． ①猜想与的数量关系（用m、n表示），并证明你的猜想； ②如图4，当绕点B顺时针旋转时，将沿翻折得到，若点K刚好与点F重合，则此时矩形的边长与应满足什么关系？请说明理由． 5．(24-25九上·广东东莞部分学校·期末)【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ； （2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值． 6．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)综合运用 在矩形中，以点O为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，点E是射线上一动点，连接，过点O作于点D，交直线于点F． (1)如图1，当矩形是正方形时，若点E在线段上，线段与的数量关系是______；若，，求的长； (2)如图2．当点E在线段上，且，以点F为直角顶点在矩形的外部作直角三角形，且，连接，交点G，求的值； (3)如图3，若点，点，点E在线段的延长线上，点F在线段的延长线上，，，连接，取的中点M，连接，取的中点N，连接，过点D作于点K，设，，请直接写出： ①______； ②m关于n的函数关系式：______． 7．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)综合探究 【背景】小北和小松在数学实践活动课上合作学习，共同探究解题． (1)如图1，四边形内接于，为的直径，平分．若，．求的长？他们很快完成解答，请你帮忙写出解答过程： 【猜想】在解题过程中，他们想求线段的长度，但遇到了很大的困难．小北大胆猜想：已知是的角平分线，可证．为了验证是否正确，小松经过思考，可以构造相似三角形来证明．小松的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得． (2)请参照小松提供的思路，利用图2证明：； (3)利用以上这个结论，他们可以解决下列两个问题，请你一起完成： ①如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G，若，，求线段的长； ②如图1，在（1）的条件下、通过计算，直接写出线段的长． 8．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)综合与应用 【知识背景】如题图，在反比例函数的图象上有一点，过点作轴于点，连接，点为反比例函数图象上一动点，连接． 【基础尝试】 求反比例函数的表达式； 【深入探究】 若，求点的坐标； 如题图，若，求的面积． 9．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)我们将四个顶点都在三角形边上的正方形，称为该三角形的内接正方形． (1)如1图，正方形是的内接正方形，请在图中找出一对相似三角形，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若三边分别为是边上的高，试求： ①边上的高的长； ②内接正方形的边长； (3)如3图，面积为的正方形内接于，如果的面积分别记为，请用含有的式子表示（不用说明理由）． 10．(24-25九上·广东汕尾·)学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及证明： 已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P 的的切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M； ②以点M为圆心，为半径画圆，交于A，B两点（点A在上方）； ③连接，直线即为的切线． (1)利用尺规作图法按上述步骤作图（保留作图痕迹）； (2)求证：为的切线； (3)连接，并延长与的延长线交于点C，若，，求的长． 11．(24-25九上·广东惠州仲恺区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． (1)求拋物线的解析式； (2)当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标． 12．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)【问题背景】 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若， 则称点D是中边上的“射影点”． 【构建联系】 （1）在图1中，若点D是中边上的“射影点”，且，则______． 【理解应用】 （2）如图2，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点在网格图的格点上． ①请仅用直尺画出边上的一个“射影点”； ②在①的基础上求得的值为______． 【深入探究】 （3）如图3，是的内接三角形，点H在上，连接并延长交于点D．点H是中边上的“射影点”． ①求证：； ②若，的半径为r，且，求的值． 13．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)【建立模型】 （1）如图①，已知中，，，点D在上，且，点E是的中点，证明： 【知识拓展】 （2）如图②，已知中，，，点D是的中点，点E是边上的动点，连接，当与相似时，求的长度． 【问题解决】 （3）密室逃脱是一种实景逃脱游戏．在游戏中，玩家会被“关”在一个主题房间里，玩家在规定时间内，通过观察、推理和论证来解开一系列谜题，找到逃出房间的方法．如图③，一间地面为边长3米的正方形房间沿对角线分成两间密室，在密室中，墙底部嵌有一面可沿左右滑动的小镜子P（镜面与墙平行），墙底部中间位置E处有一固定激光笔（激光可射向的任何位置），当C处光感器能接收到激光时，密室解开．请计算密室解开时，镜子P与激光笔E的距离． 14．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)综合运用  如图，中，，点在的下方，，平分，在线段上取点，使，设． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，判断、、之间的数量关系并说明理由． (3)如图3，现以所在的直线为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，、两点的坐标分别为，（实数）．若（为常数且），求面积关于的函数表达式． 15．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)综合探究  如图1，在矩形中，，动点在边上，连接． (1)过点作交于， ①当，求证：． ②当时，求的值（用含的代数式表示）． (2)如图2，动点在边上，将矩形沿折叠，点、折叠后的位置分别是点、，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 16．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围． 17．(24-25九上·广东广州越秀区·期末)如图所示，为矩形，，，点为上一动点，与交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，与交于点． (1)求线段的长； (2)连接，若，求的长； (3)连接，与交于点，求面积的最小值． 18．(24-25九上·广东茂名龙岭学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，请求所有符合条件的点坐标． 19．(24-25九上·广东广州·期末)如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 (1)当秒时，的值是多少？ (2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 20．(23-24九上·广东佛山大沥镇大沥初级中学·期末)如图，矩形的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且，对角线交于点G，若曲线经过点C、G． (1)设，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）； (2)求点C的坐标； (3)求矩形的面积． 21．(23-24九上·广东佛山南海区里水镇和顺第一初级中学·期末)（1）在菱形中，，点P在边边上，连接，点Q在的延长线上，连接，，求证：； （2）菱形中，点P、Q分别是,上的动点，且满足，当时，求与的面积之和． （3）平行四边形中，，P是上一动点，Q是上一动点，且满足，，，当时，求的长度． 试卷第1页，共3页 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $