专题10 反比例函数（期末真题汇编60题，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题10 反比例函数 8大高频考点概览 考点01反比例函数 考点02 判断反比例函数的增减性 考点03 比较反比例函数值或自变量的大小 考点04已知比例系数求特殊图形的面积 考点05 根据图形面积求比例系数 考点06 一次函数与反比例函数的交点问题 考点07 求反比例函数解析式 考点08 实际问题与反比例函数 地 城 考点01 反比例函数 一、单选题 1．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东梅州五华县·期末)下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东清远英德·期末)下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东广州增城区·期末)反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)下列函数：①，②，③，④，⑤．其中反比例函数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 地 城 考点02 判断反比例函数的增减性 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)反比例函数的图象与函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东清远连州·期末)点在函数，图象上，下列说法错误的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．图象位于第二，四象限 C．点和都在图象上 D．当时， 3．(23-24九上·广东梅州梅县区·期末)关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（    ） A．图像经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于轴成轴对称 D．当时，随的增大而减小 4．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．两支曲线分别位于第二、四象限 C．在每一象限内，y随x的增大而减小 D．与直线没有交点 5．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 6．(23-24九上·广东深圳龙岗区龙岗街道同乐主力学校·期末)关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 7．(23-24九上·广东江门蓬江区·期末)已知反比例函数，则下列结论不正确的是（） A．函数图象分别位于第二、四象限 B．当时， C．在每一个象限内，y随x的增大而增大 D．函数图象经过点 地 城 考点03 比较反比例函数值或自变量的大小 一、单选题 1．(24-25九上·广东清远清新区·期末)若点，，都在反比例函数的图象上，则、，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东湛江麻章区·期末)已知点在反比例函数的图象上．其中．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东惠州一中教育集团·期末)已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·广东佛山禅城区·期末)点与点均在双曲线上，则、大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 5．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)已知点均在双曲线上，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)若点A，B，C都在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州花都区·期末)已知点是反比例函数图象上的两点，则 ．（填“>”，“=”或“<”） 2．(24-25九上·广东东莞长安实验中学·期末)若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接） 地 城 考点04 已知比例系数求特殊图形的面积 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州白云区白云实验学校·期末)如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（    ） A．4 B．1 C． D． 3．(24-25九上·广东江门江海区·期末)如图，点是反比例函数（）图象上任意一点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)如图，点M为双曲线上一点，若轴于点P，则的面积为 ． 2．(24-25九上·广东汕头金平区·)如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在函数的图象上，点是矩形内的一点，连接，则图中阴影部分的面积是 ．    地 城 考点05 根据图形面积求比例系数 一、单选题 1．(24-25九上·广东茂名高州·期末)如图，点M为反比例函数图象上的一点，过点M作轴，垂足为A，若的面积为2，则k的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．(24-25九上·广东梅州五华县·期末)反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 3．(24-25九上·广东江门·期末)如图，点A在图象上，轴于点B，且的面积为4，则k的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 4．(23-24九上·广东惠州一中教育集团·期末)如图、点A是第一象限内反比例函数 图象上的一点，轴，垂足为点B，点C在x轴上，的面积是4， 则k 的值等于（  ） A．4 B．5 C．8 D．9 二、填空题 1．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)如图，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为 ． 2．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)反比例函数，在第二象限的图象如图所示，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，若的面积是3，则的解析式为 ． 地 城 考点06 求反比例函数解析式 一、解答题 1．(45-25九上·广东揭阳榕城区2·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 此时最大， ∵ ∴ 设直线的关系式为，将 ，代入得： 解得：，， ∴直线的关系式为， 当时，即，解得， ∴． 2．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点D，，，B点的坐标为 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)写出当一次函数值不大于反比例函数值时x的取值范围； (3)求的面积； (4)P是y轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标． 3．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)如图所示，双曲线与直线（，b为常数）交于，两点． (1)分别求出直线和双曲线的解析式； (2)求的面积． 4．(24-25九上·广东梅州兴宁宋声学校·期末)如如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． (1)若，求的值： (2)连接，若，求的长． 5．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图，直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点(第一象限)．若点的纵坐标为2，且． (1)求出反比例函数的解析式； (2)过线段上一点作轴的垂线，交反比例函数于点．连接，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 6．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)如图，直线：与双曲线：在第二象限内交于，两点（点在点右侧），已知，． (1)求的值； (2)请直接写出时自变量的取值范围； (3)点是线段上的一个动点，过点作轴于点，交双曲线于点，是轴上一点，当的面积最大时，求点的坐标． 7．(24-25九上·广东广州花都区·期末)已知是反比例函数图象上一点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若点是这个反比例函数图象上的点，连接（为坐标原点），过点作轴，求的面积． 8．(24-25九上·广东肇庆封开县·期末)已知反比例函数的图象经过点，求反比例函数的解析式 9．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)已知点，是反比例函数图象与一次函数图象的交点． (1)画出反比例函数图象； (2)写出满足的的取值范围． 10．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 11．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 12．(24-25九上·广东梅州五华县·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． (1)求对应的函数解析式； (2)根据函数图象写出关于x的不等式的解集． 地 城 考点07 一次函数与反比例函数的交点问题 一、填空题 1．(24-25九上·广东清远清城区·期末)如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 2．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．则的的取值范围 ．    3．(24-25九上·广东惠州一中教育集团·期末)如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 4．(24-25九上·广东广州白云区白云实验学校·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．根据图象，直接写出满足的取值范围 ． 5．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点，若，则的取值范围是 ． 二、解答题 1．(24-25九上·广东东莞厚街福民学校·期末)如图，将直线向上平移5个单位长度后得到直线，直线与反比例函数在第一象限的图象交于点和点B，直线与x轴交于点M． (1)求点B的坐标； (2)请结合图象直接写出不等式的解集是______； (3)在x轴上取一点N，当的面积为6时，求点N的坐标． 2．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． (1)求n和b的值； (2)求的面积； (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 3．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)网格是研究几何图形的一种工具，是解决问题的一种方法，是培养几何直观的一种方式． (1)如图1，点A、、、都在格点（正方形的顶点）上．仅用无刻度的直尺在线段上找出点，使得和相似，并说明画图的依据； (2)如图2，点为一次函数与反比例函数图象的交点．将一次函数的图象绕点逆时针方向旋转45°，求新图象的表达式． 4．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． (1)求a与k的值； (2)当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） (3)在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 5．(24-25九上·广东肇庆某校·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 6．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上求一点，使的值最小，并求出此时点的坐标． 地 城 考点08 实际问题与反比例函数 一、解答题 1．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)【综合与实践】 【知识背景】（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图1，即），有言道：“杆称一头称起人间生计，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】 第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端A处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点O，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为． （1）y关于x的函数解析式是 ； （2）若，则x的取值范围是 ． 任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为，的长为，完成下列问题： （3）y关于x的函数解析式是 ； （4）完成表格： … 0.25 0.5 1 2 4 … … … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点Q，现有两个秤砣分别为、可用，现有重物约，小明该如何选用支点O、支点Q和秤砣来称量重物是否正好为． … 0.25 0.5 1 2 4 … … 40 20 10 5 2.5 … 2．(24-25九上·广东湛江寸金培才学校·期末)大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式，并在平面直角坐标系中描点画出这个反比例函数的图象； (2)若火焰的像高不得超过5cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 3．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，已知每天组装的数量y（台）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 40 45 50 60 每天组装的数量y（台） 300 225 200 180 150 (1)求y关于x的函数关系式． (2)某商场以每台2400元的进货价购进这批空调．调查发现，当销售价为2800元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．设商场每台空调降价x元． ①降价后每天卖出 台，每台盈利 元（用含x的代数式表示）； ②该商场平均每天的盈利可能是4000元吗？为什么？ 4．(24-25九上·广东清远英德·期末)综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 5．(2025·广东省深圳市·)光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 6．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 试卷第1页，共3页 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 反比例函数 8大高频考点概览 考点01反比例函数 考点02 判断反比例函数的增减性 考点03 比较反比例函数值或自变量的大小 考点04已知比例系数求特殊图形的面积 考点05 根据图形面积求比例系数 考点06 一次函数与反比例函数的交点问题 考点07 求反比例函数解析式 考点08 实际问题与反比例函数 地 城 考点01 反比例函数 一、单选题 1．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，根据形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数进行分析即可． 【详解】解：A、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； B、不是y与x的反比例，是y与的反比例，不符合题意； C、是反比例函数，符合题意； D、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意． 故选：C． 2．(24-25九上·广东梅州五华县·期末)下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．，符合反比例函数的定义；     B．即，符合反比例函数的定义；     C．，不符合反比例函数的定义；     D．，符合反比例函数的定义； 故选C． 3．(24-25九上·广东清远英德·期末)下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A．，y是的反比例函数，故此选项不合题意； B．，y是x的一次函数，故此选项不合题意； C．，不是的反比例函数，故此选项不合题意； D．，y是x的反比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 4．(24-25九上·广东广州增城区·期末)反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， A、∵，∴点不在函数图象上，故本选不项符合题意； B、∵，∴点不在函数图象上，故本选项不合题意； C、∵，∴点不在函数图象上，故本选项不合题意； D、∵，∴点在函数图象上，故本选项合题意． 故选：D． 5．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)下列函数：①，②，③，④，⑤．其中反比例函数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义即可作答． 【详解】解：①是正比例函数，不是反比例函数； ②是反比例函数； ③是反比例函数； ④不是反比例函数； ⑤不是反比例函数； 所以反比例函数有2个． 故选：C． 地 城 考点02 判断反比例函数的增减性 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)反比例函数的图象与函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图象性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的性质． 先根据两个函数没有交点，确定的符号，再根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与函数的图象没有交点，且函数的图象经过一、三象限， ， 双曲线位于二，四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴，即， 故选：B． 2．(24-25九上·广东清远连州·期末)点在函数，图象上，下列说法错误的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．图象位于第二，四象限 C．点和都在图象上 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考断反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二，四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二，四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 3．(23-24九上·广东梅州梅县区·期末)关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（    ） A．图像经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于轴成轴对称 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象经过的点横纵坐标之积，掌握反比例函数的性质．根据反比例函数的性质（1）反比例函数的图象是双曲线；（2）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；（3）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大进行分析即可． 【详解】解：A、，故反比例函数的图象不过点，故此选项错误，不符合题意； B、，两个分支分布在第二、四象限，故此选项正确，符合题意； C、两个分支关于轴成轴对称，说法错误，应是关于原点对称，故此选项错误，不符合题意； D、当时，随的增大而减小，说法错误，应为当时，随的增大而增大，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．两支曲线分别位于第二、四象限 C．在每一象限内，y随x的增大而减小 D．与直线没有交点 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数和一次函数交点问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义可得，进而判断 A ，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大，进而判断B、C ，联立两个函数解析式即可判断D． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大，B选项正确，C选项不正确； ∵，则图象不经过点，故A选项不正确； 联立和，整理得， ， ∴反比例函数的图象与直线有两个交点，故D选项不正确，     故选：B． 5．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式得到反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大， ∴只有B选项符合题意， 故选：B ． 6．(23-24九上·广东深圳龙岗区龙岗街道同乐主力学校·期末)关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 7．(23-24九上·广东江门蓬江区·期末)已知反比例函数，则下列结论不正确的是（） A．函数图象分别位于第二、四象限 B．当时， C．在每一个象限内，y随x的增大而增大 D．函数图象经过点 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．利用反比例函数图象上点的坐标特征对D进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、C、进行判断． 【详解】解：A、反比例函数分布在第二、四象限，所以A选项的结论正确，不符合题意； B、当时，，所以B选项的结论不正确，符合题意； C、反比例函数在每一个象限内，y随着的增大而增大，所以C选项的结论正确，不符合题意； D、当时，， 函数图象经过点，所以D选项的结论正确，不符合题意． 故选：B． 地 城 考点03 比较反比例函数值或自变量的大小 一、单选题 1．(24-25九上·广东清远清新区·期末)若点，，都在反比例函数的图象上，则、，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将的横坐标代入得出相应的值，再比较大小，本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，熟练掌握函数值的计算是解题的关键． 【详解】解：∵，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 故选：B． 2．(24-25九上·广东湛江麻章区·期末)已知点在反比例函数的图象上．其中．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图象性质． 依据反比例函数为可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减，进而得到，，的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数为 ∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减， 又， ∴， ∴ 故选：D． 3．(24-25九上·广东惠州一中教育集团·期末)已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．判断出这个反比例函数的图象位于第一、三象限；在每一象限内，随的增大而减小，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数中的， ∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限；在每一象限内，随的增大而减小， ∵点均在反比例函数的图象上，且， ∴，即， 故选：C． 4．(23-24九上·广东佛山禅城区·期末)点与点均在双曲线上，则、大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，根据反比函数，当时，图象位于一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；反之，位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，即可解答． 【详解】解：∵， ∴该双曲线位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵，均在双曲线， ∴点A和点B都位于第第三象限， ∵， ∴， 故选：A． 5．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)已知点均在双曲线上，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要利用了反比例函数的增减性，求出点A、B、C所在的象限是解题的关键．根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：， ∴反比例函数的图象在一、三象限， 点在第一象限，点在第三象限． ． ， ． 故选：D． 6．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)若点A，B，C都在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：对于， ， 当时， 随的增大而减小， 点A，B，C都在反比例函数的图象上，， ∴； 故选：A． 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州花都区·期末)已知点是反比例函数图象上的两点，则 ．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限，进而可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵， ∴点A在第三象限、B在第一象限， ∴， 故答案为：． 2．(24-25九上·广东东莞长安实验中学·期末)若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查比例反比例函数的函数值的大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵点在反比例函数的图象上，且：， ∴； 故答案为：． 地 城 考点04 已知比例系数求特殊图形的面积 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州白云区白云实验学校·期末)如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：D． 2．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握几何图形面积的计算与反比例系数的关系是解题的关键． 根据题意，设，则，，根据平行四边形的面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：在反比例函数的图象上， ∴设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， 解得，， 故选：D ． 3．(24-25九上·广东江门江海区·期末)如图，点是反比例函数（）图象上任意一点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义解答即可求解，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴， ∴， 故选：． 二、填空题 1．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)如图，点M为双曲线上一点，若轴于点P，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据反比例函数值的几何意义解答即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：点为双曲线上一点，若轴于点， ． 故答案为：4． 2．(24-25九上·广东汕头金平区·)如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在函数的图象上，点是矩形内的一点，连接，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 如图所示，过点作于点，作于点，有矩形的性质得到，，根据题意可得，，则有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∵顶点在函数的图象上， ∴， ∵点是矩形内的一点， ∴， ∴， 故答案为：4 ． 地 城 考点05 根据图形面积求比例系数 一、单选题 1．(24-25九上·广东茂名高州·期末)如图，点M为反比例函数图象上的一点，过点M作轴，垂足为A，若的面积为2，则k的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：根据反比例函数k值的几何意义可得： ． 故选：C． 2．(24-25九上·广东梅州五华县·期末)反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 3．(24-25九上·广东江门·期末)如图，点A在图象上，轴于点B，且的面积为4，则k的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为，体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 根据题意可得，即得或，再根据图象分布的象限即可求解． 【详解】解：∵轴于点，的面积为， ∴， ∴或， ∵反比例函数的图象分布在一、三象限， ∴， ∴， 故选：C． 4．(23-24九上·广东惠州一中教育集团·期末)如图、点A是第一象限内反比例函数 图象上的一点，轴，垂足为点B，点C在x轴上，的面积是4， 则k 的值等于（  ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键是利用两平行线间的距离相等得到，再结合反比例函数的几何意义解答． 【详解】解：连结，如图， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∵反比例函数图像在一、三象限， ∴，即 故选D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东惠州惠城区·期末)如图，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【详解】解：根据题意可知：， 又反比例函数的图象位于第一象限，， 则， 故答案为：6 ． 2．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)反比例函数，在第二象限的图象如图所示，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，若的面积是3，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义．设的解析式为，再利用得到，然后解关于的绝对值方程即可． 【详解】解：设的解析式为， 由题意得， ， 解得． ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 地 城 考点06 求反比例函数解析式 一、解答题 1．(45-25九上·广东揭阳榕城区2·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题考查一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出函数解析式，是解题的关键． （1）根据题意利用三角形面积公式求得，得到，将A代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B代入解析式，即可解答； （2）根据函数图象结合解析式即可判断； （3）作点关于轴的对称点，直线与轴交于，得到 ，设直线的关系式为，将 ，代入得到解析式，即可解答． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵，即， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴， 将代入得：， ∴反比例函数的关系式为：， 把代入得：， ∴ ∴，； （2）解：由图象可以看出的解集为：或； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于， 此时最大， ∵ ∴ 设直线的关系式为，将 ，代入得： 解得：，， ∴直线的关系式为， 当时，即，解得， ∴． 2．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点D，，，B点的坐标为 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)写出当一次函数值不大于反比例函数值时x的取值范围； (3)求的面积； (4)P是y轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为：；反比例函数的表达式为：； (2)或 (3)的面积为9； (4)P点坐标为标为：或或或． 【分析】本题考查了勾股定理，反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法． （1）先求得点，利用待定系数法求得反比例函数的表达式和点B的坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数表达式； （2）结合点，B点的坐标为，且运用数形结合思想进行作答即可． （3）的面积，据此计算即可求解； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设 则 ∵过点A作轴于点D，， ∴， 即 解得（负值已舍去） ∴ ∴点， 则， 故反比例函数的表达式为：， ∵B点的坐标为 ∴ 故B点的坐标为， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ， 解得， 故一次函数的表达式为：； （2）解：由（1）得点，B点的坐标为， ∵一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴结合函数图象得，当一次函数值不大于反比例函数值时，或 （3）解：设一次函数交y轴于点为M， 令，则， 故， ∵点，， ∴的面积； （4）解：设点，而点A、O的坐标分别为：、， ，，， 当时，，解得：或0（舍去0）； 当时，同理可得：； 当时，同理可得：； 综上，P点坐标为：或或或． 3．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)如图所示，双曲线与直线（，b为常数）交于，两点． (1)分别求出直线和双曲线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)6 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）由A点坐标即可求出反比例函数，再把B点坐标代入反比例函数即可求出m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）求得直线与x轴的交点C的坐标，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：把代入， ∴， ∴双曲线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； ∴综上所述，直线的解析式为，双曲线的解析式为； （2）解：设直线与x轴的交点为点C， ∵直线的解析式为， ∴令，则，解得， ∴， ∴． 4．(24-25九上·广东梅州兴宁宋声学校·期末)如如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． (1)若，求的值： (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解：作，垂足为， ，， ． 在中，，， ， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， （2）解：如图， 设点的坐标为， ，， ， 由（1）知，， ，两点的坐标分别为：，． 点，都在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为：， ． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象的性质，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键． 5．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图，直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点(第一象限)．若点的纵坐标为2，且． (1)求出反比例函数的解析式； (2)过线段上一点作轴的垂线，交反比例函数于点．连接，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)当时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）作，垂足为，设点，则，，根据等腰三角形性质列出方程求出值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：直线交轴于点，， 直线的解析式为， 当时，， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）如图，作，垂足为， 设点，则，， ，， ， ， ，解得或舍去， 当时，为等腰直角三角形． 6．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)如图，直线：与双曲线：在第二象限内交于，两点（点在点右侧），已知，． (1)求的值； (2)请直接写出时自变量的取值范围； (3)点是线段上的一个动点，过点作轴于点，交双曲线于点，是轴上一点，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，反比例函数与一次函数的交点问题，求函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求一次函数解析式，得出，再将代入，得，即可作答； （2）依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式的解集； （3）先求出双曲线的解析式为；设，，则，，根据求的面积列式得，结合二次函数的图象性质，，即可作答． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴ ∴，，， ∴直线的解析式为， 将代入， 得； （2）解：由（1）知，即，且相交于，两点， 根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得： 双曲线在直线上方的部分对应的范围是：或， 时自变量的取值范围：或； （3）解：由（1）可知， ∴双曲线的解析式为， 依题意，设，， ∵过点作轴于点， 则，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值． ∴点的坐标为． 7．(24-25九上·广东广州花都区·期末)已知是反比例函数图象上一点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若点是这个反比例函数图象上的点，连接（为坐标原点），过点作轴，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质． （1）设反比例函数的解析式为．利用待定系数法求解； （2）求出点P的坐标，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为． ∵是反比例函数图象上一点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点是这个反比例函数图象上的点， ∴， ∴， ∵轴， ∴的面积． 8．(24-25九上·广东肇庆封开县·期末)已知反比例函数的图象经过点，求反比例函数的解析式 【答案】 【分析】本题考查待定系数法解函数解析式，掌握待定系数法的解题步骤正确计算是关键．把代入求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 9．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)已知点，是反比例函数图象与一次函数图象的交点． (1)画出反比例函数图象； (2)写出满足的的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，画函数的图象，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题的关键． （1）先求出反比例函数解析式，再画出函数图象即可； （2）关键图象直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴反比例函数解析式为：， 再把代入，得 ， ∴， ∴， 反比例函数图象如图： （2）解：由（1）中图象可知，满足的x的取值范围为：或． 10．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（）设，， 由勾股定理得，即得，，即得到，进而求出点坐标即可求解； （）连接，利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，据此即可求证； （）设的中点为，连接，延长与的延长线相交于点，证明得，证明得，，即得，进而得，即得到，即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴设，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； （2）证明：连接，如图所示， ∵点是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点的横坐标为，且反比例函数 的图象经过点， ∴点的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 设的中点为，连接，延长与的延长线相交于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 11．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)或 (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由（）得到点坐标，再根据图象解答即可； （）设直线与的交点为，可得，再根据计算即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何图形，正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴一次函数的表达式为，， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，， ∴不等式的解集为或； （3）解：设直线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．(24-25九上·广东梅州五华县·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． (1)求对应的函数解析式； (2)根据函数图象写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为； (2)或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据图象及两个函数的交点坐标，直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于两点． ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为，， ∵和在直线图象上， ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：根据图象可知，不等式的解集为或． 地 城 考点07 一次函数与反比例函数的交点问题 一、填空题 1．(24-25九上·广东清远清城区·期末)如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图像的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数图像相交于，， ∴根据函数图像可知：当或时，一次函数图像在反比例函数图象下方，即． 故答案为：或． 2．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．则的的取值范围 ．    【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象解不等式，采用数形结合的思想是解此题的关键．结合图象即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，的的取值范围或． 故答案为：或． 3．(24-25九上·广东惠州一中教育集团·期末)如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，先确定它们成中心对称，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象是关于原点的中心对称图形，经过原点的直线也是关于原点的中心对称图形， ∴它们的两个交点一定关于原点对称， ∴它的另一个交点的坐标是， 故答案为：． 4．(24-25九上·广东广州白云区白云实验学校·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．根据图象，直接写出满足的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数图象的特点是解题的关键．观察函数图象找出当一次函数图象在反比例函数图象上方时，x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即一次函数的值大于反比例函数的值， ∴的取值范围是或． 故答案为：或． 5．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再画出两个函数的图象，然后根据正比例函数和反比例函数的图象与性质可得两个函数图象的另一个交点的坐标为，据此结合函数图象即可得出答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 则反比例函数的解析式为， 画出两个函数的图象如下： 由函数图象的对称性得：正比例函数和反比例函数的图象的另一个交点的坐标为， ∴结合函数图象得：若，则的取值范围是或 故答案为：或 二、解答题 1．(24-25九上·广东东莞厚街福民学校·期末)如图，将直线向上平移5个单位长度后得到直线，直线与反比例函数在第一象限的图象交于点和点B，直线与x轴交于点M． (1)求点B的坐标； (2)请结合图象直接写出不等式的解集是______； (3)在x轴上取一点N，当的面积为6时，求点N的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，熟知相关知识是解题的关键。 （1）先根据平移方式得到直线解析式为，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再利用直线解析式和反比例函数解析式求出点B的坐标即可； （2）根据函数图象找到函数的图象在函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）先求出点M的坐标，设，则，再根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将直线向上平移5个单位长度后得到直线， ∴直线解析式为， 把代入中得，，解得， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴点B的坐标为； （2）解：由函数图象可得不等式的解集是； （3）解：在中，当时，， ∴， 设，则， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴或1 ∴点的坐标为或． 2．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． (1)求n和b的值； (2)求的面积； (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求出b的值，得出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式，即可求出n的值； （2）记一次函数交轴于点，利用一次函数解析式求出点坐标，再结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据，的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点， ， 解得， 即一次函数解析式为， ； （2）解：记一次函数交轴于点， 当时，，解得， ，即， 点，点， 的面积； （3）解：点，点， 则一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数与轴交点问题，解题的关键是利用数形结合思想求解． 3．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)网格是研究几何图形的一种工具，是解决问题的一种方法，是培养几何直观的一种方式． (1)如图1，点A、、、都在格点（正方形的顶点）上．仅用无刻度的直尺在线段上找出点，使得和相似，并说明画图的依据； (2)如图2，点为一次函数与反比例函数图象的交点．将一次函数的图象绕点逆时针方向旋转45°，求新图象的表达式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，反比例函数与一次函数的综合、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定和性质及待定系数法是解题的关键． （1）根据矩形的性质和三角形的中位线的性质作图即可； （2）先根据反比例的性质求得点P的坐标，根据全等三角形的判定和性质及待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：如图：点E即为所求． 根据矩形的对角线互相平分找到的中点E，再根据三角形的中位线平行于第三边可得，可使和相似． （2）解：由题意得∶，解得∶， ∴， 如图：设交y轴于点A，则， 过P作轴于点C，过A作且，过B作轴于点D， 则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为，即新图象的表达式为． 4．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． (1)求a与k的值； (2)当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） (3)在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)点D的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）由图像即可判断； （3）分点D在轴正半轴上时和负半轴上时两种情况，再分别求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵反比例函数（）过点A， ∴， ∴． （2）解：当时，由图可知， 故答案为： （3）解：当点D在轴正半轴上时，如图， 过点A作轴交于点，则，此时， 此时点； 当点D在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 5．(24-25九上·广东肇庆某校·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）结合函数图象，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 可得，， 所以反比例函数的解析式为， 将点代入， 可得，解得， 所以点A的坐标为， 将点A和点B的坐标代入得， ，解得， 所以一次函数的解析式为； （2）由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴当时，x的取值范围为或． 6．(24-25九上·广东河源紫金县·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上求一点，使的值最小，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)见解析， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标为，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接，交轴于点，点即为所求．先求出直线的解析式，即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， ． 一次函数的解析式为． 将点代入，得， ． 反比例函数的解析式为． （2）解：在反比例函数中，令，得． 点的坐标为． ． （3）解：如图，作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接，交轴于点，点即为所求． 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为． 令，得． 点的坐标为． 地 城 考点08 实际问题与反比例函数 一、解答题 1．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)【综合与实践】 【知识背景】（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图1，即），有言道：“杆称一头称起人间生计，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】 第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端A处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点O，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为． （1）y关于x的函数解析式是 ； （2）若，则x的取值范围是 ． 任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为，的长为，完成下列问题： （3）y关于x的函数解析式是 ； （4）完成表格： … 0.25 0.5 1 2 4 … … … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点Q，现有两个秤砣分别为、可用，现有重物约，小明该如何选用支点O、支点Q和秤砣来称量重物是否正好为． 【答案】任务一：（1）；（2）；任务二：（3）；（4）见解析；任务三：选择支点Q和秤砣来秤重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确分析题意求出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据即可求出关系式； （2）根据y的范围即可求得x的范围； （3）根据即可求出关系式； （4）将x的值分别代入求解即可； 任务三：根据题意分别选择支点O和Q计算，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴； （2）∵ ∴ ∴； （3）∵ ∴ ∴； （4）根据题意得， … 0.25 0.5 1 2 4 … … 40 20 10 5 2.5 … 任务三：如图所示， ∴，，， ∵现有重物约 ∴如果用支点O，则 如果用支点Q，则 ∴可以向左移动点B， ∴ ∴ ∴选择支点Q和秤砣来秤重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是． 2．(24-25九上·广东湛江寸金培才学校·期末)大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式，并在平面直角坐标系中描点画出这个反比例函数的图象； (2)若火焰的像高不得超过5cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】(1)，见解析 (2)小孔到蜡烛的距离至少是厘米 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由题意设设关于的函数表达式为，再利用待定系数法求解函数解析式，然后画出函数图象即可； （2）把当代入，然后结合图象即可解答． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 把代入上式得：，解得， ∴关于的函数表达式为：， 如图所示： （2）解：当时，，解得：， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，． 答：小孔到蜡烛的距离至少是厘米． 3．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，已知每天组装的数量y（台）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 40 45 50 60 每天组装的数量y（台） 300 225 200 180 150 (1)求y关于x的函数关系式． (2)某商场以每台2400元的进货价购进这批空调．调查发现，当销售价为2800元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．设商场每台空调降价x元． ①降价后每天卖出 台，每台盈利 元（用含x的代数式表示）； ②该商场平均每天的盈利可能是4000元吗？为什么？ 【答案】(1) (2)①；②不可能，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）的乘积是定值即可判断； （2）①根据题意可知降价25元多卖一台即可列出式子； ②代入数据可得方程，根据根的判别式计算可判断根的情况，再做出判断． 【详解】（1）解：∵， ∴y是x的反比例函数， 设， 把代入得，， 解得， ∴y关于x的函数关系式为； （2）解：①，即降价25元多卖一台， 降价后每天卖出台，每台盈利元， 故答案为：，； ②该商场平均每天的盈利不可能是4000元， 理由：依题意得：， 整理得：， ， ∴该方程没有实数根， ∴该商场不可能每天盈利4000元． 4．(24-25九上·广东清远英德·期末)综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为 【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； 故答案为：高． （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线． 根据表格可知 ∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为． 函数图象，如图所示 （3）由题可得，低音区的音频率为 代入 ∴ 答：低音区的对应吸管长度为 5．(2025·广东省深圳市·)光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】设y与x之间的函数表达式为，把代入即可得到结论； 把和3000分别代入得，即可得到结论． 本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， 把代入得，， 与x之间的函数表达式为； （2）解：智能玻璃的透明度x应控制在范围内， 理由：把和3000分别代入得， ，， 智能玻璃的透明度x应控制在范围内． 6．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图像见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 试卷第1页，共3页 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $