专题11 相似三角形（期末真题汇编45题，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题11 相似三角形 4大高频考点概览 考点01图形的相似 考点02 相似三角形的性质 考点03 相似三角形应用举例 考点04位似 地 城 考点01 图形的相似 一、单选题 1．(24-25九上·广东清远清城区·期末)已知2，6，7，x成比例，则x的值为（   ） A． B． C． D．21 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段．根据成比例线段，可得，解方程即可求解． 【详解】解：∵2，6，7，x成比例，∴， 得， 解得， 故选：D． 2．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A．，，8， B．5，6，7，8 C．3，6，4，7 D．2，4，6，8 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．对于按顺序给出的四条线段，我们通常检验其是否满足，即．据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中，由，可知这一组线段是成比例线段．所以A符合题意； B中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以B不符合题意； C中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以C不符合题意； D中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以D不符合题意． 故选：A． 3．(24-25九上·广东东莞厚街福民学校·期末)若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质进行解答即可．解题的关键是熟练掌握两个相似多边形的对应边成比例． 【详解】解：设另一个多边形的最短边长为x， 根据题意得：， 解得：， 即另一个多边形的最短边长为8． 故选：B． 4．(24-25九上·广东清远连州·期末)如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，再代入数据即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 5．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图是小明所设计的花架侧面简易图，已知，cm，cm，cm，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理计算即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵cm，cm，cm， ∴， ∴， 故选：． 6．(24-25九上·广东清远清新区·期末)两个相似多边形的相似比是，其中较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质即可求出较大多边形的面积． 【详解】解：设较小多边形的面积为， ∵两个相似多边形的相似比是，较大多边形的面积为， ∴， 解得：，即较小多边形的面积为． 故选：B． 7．(24-25九上·广东清远清新区·期末)已知，下列变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：， ，，， 故不符合题意， 故选A． 二、填空题 1．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地．已知人和木板对湿地地面的压力合计，此时人和木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，以下说法正确的有 （只填序号）．与的关系式为；随的增大而减小；当木板面积为时，压强是；如果要求压强不超过，则木板面积至多为． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由于压力一定时，压强和受力面积成反比，根据压力为写出解析式，根据解析式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由于压力一定时，压强和受力面积成反比， ∵， ∴ 与的关系式为，故正确，符合题意； 当越来越大时，也越来越小，故正确，符合题意； 当时，，即压强是，故正确，符合题意； 当时，即， ∴， ∴压强不超过，则木板面积至少为，故错误，不符合题意； 故答案为：． 2．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25九上·广东珠海香洲区·)如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，． (1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ； (2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积． 【答案】(1)4，8 (2)不变，8 【分析】（1）延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，依题意得点，四边形是矩形，四边形是梯形，点，点，则，，，，，，由此可得的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义得，，由此得； （2）设点P的坐标为，则点点，点，同理可证明四边形是矩形，四边形是梯形，则，，，，，，由（1）可知． 此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示： ∵点P的横坐标为1，且点P在反比例函数的图象上， ∴点， ∵平行y轴，平行y轴， ∴，轴，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2， ∴四边形是矩形，四边形是梯形， 又∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点， ∴，，，， ∴，， ∴， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：， ， ∴， 故答案为：4；8； （2）解：的面积不发生变化，始终等于8，理由如下： 设点P的坐标为， 则点A的横坐标为a，点B的纵坐标为， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点， 同理可证明：四边形是矩形，四边形是梯形， 则，，，， ∴， ∴， 由（1）可知：． 地 城 考点02 相似三角形的性质 一、单选题 1．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由相似三角形的判定方法，即可判断，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：、只有这一个条件，不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、∵， ∴，， ∴，原选项符合题意； 故选：． 2．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形相似比与面积比的关系，能够知道相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 3．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)如图，点D、E分别是边、上的点，且，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出、的关系即可． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 4．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图，经过正方形对称中心的直线分别交的延长线、、于点、、，已知，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，中心对称的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．由正方形的性质可得，，，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， ， ， 点是正方形的对称中心， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图，四边形是正方形，，是中点，连接，的垂直平分线分别交、、于、、，连接，过作交于．下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④的周长是10    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质， 三角形的面积等，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； ①利用正方形的性质得，利用余角的性质推出，从而有； ②利用垂直平分，推出，，设， 在中，利用勾股定理求出，在中，利用等面积法求的长； ③利用，推出，进一步计算可得出； ④利用勾股定理求出的长，进一步可求的周长． 【详解】四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， 故①正确； 如图，连接，   四边形是正方形，， ，， E是的中点， ， 由勾股定理得， 垂直平分， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得， ，， 由得，， ，解得， 故②正确； ， ， ， ， 显然， 故③正确； 在中，，，， 由勾股定理得， 的周长是，故④不正确； 正确的是①②③． 故选：A． 6．(24-25九上·广东梅州丰顺县·期末)若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】两个相似三角形的面积比为，则它们的周长比为． 故选：D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东清远清城区·期末)如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．先证明，由，得，则，即，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，，为与的交点，点在上，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，由得，由得，即得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”．下图中点A、B、C均为格点，请仅用无刻度的直尺按要求作图，不写作法，保留必要的作图痕迹． (1)在图1中，画出以B为顶点，为腰的等腰三角形； (2)在图2中，在线段上找一个点P，使； (3)在图3中，是格点三角形，找出一个格点D，连接，使平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题是四边形综合题，考查作图一应用与设计作图等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求的长，即，同理得，结合等腰三角形的判定：画图即可； （2）与（1）同理得，取格点E，格点F，连接，交于点P，结合网格，，所以，，即，则点P为所求点． （3）在的延长线上取格点E，使，结合等腰三角形的性质，再取的中点D，运用三线合一，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：以B为顶点，为腰的等腰三角形如图所示： （2）解：在线段上找一个点P，使，如图所示： （3）解：平分，如图所示： 2．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)如图是的直径，点C、E在上，E是劣弧的中点，连接，且与交于D点，F是延长线上的一点，且． (1)求证：EF是的切线． (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，再根据等弧所对的圆周角相等，可得，由是的直径，根据等量代换即可证明； （2）由（1）可知，，推出，求出，可证，再证，则，带入即可求解. 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵ ∴ ∵E是劣弧的中点 ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴是的切线 （2）∵的半径为5， ∴ 由（1）可知，在中， ∵E是劣弧的中点 ∴ ∴ 即： ∴ ∴ 由（1）可知 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即： 解得： 【点睛】本题考查了圆的性质，切线的判定，圆周角，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，解题关键在于合理运用各个知识点，并能熟练掌握其综合运用. 3．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图，等腰三角形中，，． (1)动手操作：利用尺规作以为直径的交于点，交于点，并且过点作交于点． (2)求证：直线是的切线； (3)连接，记的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到根据平行线的判定得到，由平行线的性质得到，于是得到结论； （3）连接；根据圆周角定理得到，即，由等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，图形为所求； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （3）解：连接；， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， 记的面积为，四边形的面积为， ∴． 【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，作垂线，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，熟练的作图与辅助线是解本题的关键. 4．(24-25九上·广东梅州兴宁宋声学校·期末)如图，在中，点D，E，G分别在边上，，线段，相交于点F，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，角平分线的判定等知识．先利用两角分别对应相等即可证明，得出，再根据两边对应成比例及夹角相等证明，再由其性质和角平分线的定义得平分． 【详解】证明：∵，， ∴， ， ∵ ， ， 平分． 5．(24-25九上·广东广州花都区·期末)如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识： （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由得，则，再分别求出，，，从而可得结论． 【详解】（1）证明： （2）解：由（1）得 又 ，点是的中点 6．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)如图，平行四边形的对角线与相交于点． (1)给定三个关系：①；②；③．其中能使得平行四边形为矩形的有______，选择其中一个作为条件进行证明； (2)在（1）的条件下，点从点开始沿边运动，速度为；点同时从点开始沿边运动，速度为．如果，，点到达点A时所有运动停止，那么何时与相似？ 【答案】(1)①③，证明见解析 (2)2秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识点，理解题意、灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形判定即可解答； （2）分和两种情况分别利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】（1）解：①③．证明如下： 若添加①： ∵ ， ∴， ∴平行四边形是矩形； 若添加③∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 故答案为∶①③． （2）解：设运动时间为．由题意可得：， ， 当时，， ∴，解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上，当运动2秒或秒时，与相似． 7．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，在中，点分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)的长是 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，，得，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明； （2）由相似三角形的性质得，而，即可得出． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 的长是． 地 城 考点03 相似三角形应用举例 一、单选题 1．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)如图，当点、、在同一直线上时，在处与处测得的视力相同．若米，米，米，则是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，然后根据相似三角形的性质计算的值即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴，解得：， 故选：． 2．(24-25九上·广东河源连平县·期末)如图是小明设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度米，解决本题应用了什么光学知识，该古城墙的高度是（   ） A．光的反射，米 B．光的折射，米 C．光沿直线传播，米 D．光的反射，米 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题意得到，由光的反射定律可知，则可证明，得到，据此代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由光的反射定律可知， ∴， ∴，即，∴米， 故选：A． 3．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，意思是把两条边呈直角的曲尺仰立放，可测量物体的高度．如图，点A、B、Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．先证明，得到，求出的长度即可． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ， ， 即树高为， 故选：D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)某兴趣小组的同学在同一时刻测量了直立在太阳下的四根竹竿的影长，结果如下： 竹竿高度/米 影长/米 小明在这一时刻测得一棵大树的影长为36米，则这棵大树的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 设这棵大树的高度为米，根据题意可得： ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 2．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)如图1是液体沙漏的截面示意图（数据如图），经过一段时间后，液体沙漏的截面示意图如图2所示，此时 cm． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．画出截面图，过点C作交于点G，交于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交于点G，交于点F， 由题意得：，，， ∵， ∴分别是边上的高， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 3．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)小明进行“测量家门口路灯高度”实践活动，方案如下：某晚，他在距离路灯的地方，测得父亲在地面上的影长是，已知小明父亲身高为，则路灯离地面的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形，把实际问题抽象为相似三角形，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯灯泡距地面的高度．根据题意，可将原题转化如下图所示的几何模型，可得，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯灯泡距地面的高度即可． 【详解】解：如图，根据题意画出图形， 其中表示路灯，表示父亲身高，则有，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴路灯灯泡距地面的高度是 4．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 m． 【答案】5.1 【详解】本题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 在同一时刻物高和影长对应成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 解：设树高是x米，则， 解得：， ∴树高为， 故答案为：5.1． 5．(24-25九上·广东深圳·期末)图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查三角形相似的应用，掌握相似三角形的性质是解题关键．过点O作，垂足为M，作，垂足为N，由题意可知，得出，代入数据求解即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为M，作，垂足为N， 由图可知， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】 步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤：小明从点出发沿着方向前进米，到达点； 步骤：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为米，米． 【问题解决】 已知点、、、与旗杆的底端在同一直线上，，，，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． (1)求证：； (2)求该旗杆的高度． 【答案】(1)证明见解析 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明即可求证； （）设米，得米，由得，即得，由得，即得，进而即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米 ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴米， 答：旗杆的高度为米． 2．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)【综合与实践】跷跷板是一种儿童游戏用具，在笔直的方木之间装上支点，然后架在支柱上，两端坐人，一起一落游戏．当跷跷板一端着地时，另一端翘到最高点．如图，小蓝和小明在玩跷跷板，该跷跷板的长度为米，小明能把小蓝最高翘到米．图是该跷跷板的平面示意图，支点是的中点，支柱垂直于地面． (1)支柱的高度 米． (2)保持支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度会变化吗？ （填“会”或“不会”） (3)请你帮忙设计一种跷跷板改造方案，使得小明能把小蓝最高翘到米（要求：不改变支柱的高度以及跷跷板的长度）请在图中画图并分析说明． 【答案】(1) (2)不会 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理求解即可； （2）利用三角形中位线定理求解即可； （3）如图，将支点装在距离跷跷板端点米处，根据相似三角形的判定与性质，求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ，， ， ， ， 是的中位线， （米）， 故答案为：； （2）解：支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度不会变化，理由： 这个高度（米）， 故答案为：不会； （3）解：方案：如图，将支点装在距离跷跷板端点米处， 过点作于点，则， ， ， 米，米，米， ， 米， 即将支点装在距离跷跷板端点米处，满足要求． 3．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 【答案】河宽长为36米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，得到是解题的关键． 证明，根据对应边成比例即可求解． 【详解】解： 河宽长为36米． 地 城 考点04 位似 一、单选题 1．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，与位似，位似中心为点，，的周长为，则的周长为（） A．9 B．12 C． D．18 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可，掌握位似图形的概念，相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 与位似， ，， ， ， 的周长的周长， 的周长为， 的周长为， 故选：A． 2．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．根据位似与相似的关系得出相似比，再由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 故选：． 3．(24-25九上·广东梅州五华县·期末)如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，且的面积为3，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】D 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 由题意得与的相似比为，则与的面积比为，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴与的相似比为， ∴与的面积比为， ∵的面积为3， ∴的面积为27． 故选：D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)原点为与的位似中心，位似比为．若点的坐标为，则对应点的坐标可以为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以2或得到其对应点的坐标即可． 【详解】解：∵原点为与的位似中心，位似比为，点的坐标为， ∴点A其对应点的横坐标是，纵坐标为或横坐标是，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 2．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)如图，与是位似图形，且，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴，相似比为：； ∴与的面积比为； 故答案为：． 3．(24-25九上·广东惠州仲恺区·期末)如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与位似图形，根据以原点为位似中心，位似比为的点的对应点坐标为或，进行求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， ∴，即：； 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25九上·广东中山三鑫学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为点、、． (1)将先向右平移5个单位再向上平移1个单位，画出所得． (2)的外接圆圆心M的坐标为______．请以点M为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且点D与点A对应，位似比为． 【答案】(1)画图见解析 (2)，画图见解析 【分析】本题考查了三角形外心的性质、坐标系中位似图形的作图和三角形的面积，平移作图等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键． （1）分别确定先向右平移5个单位再向上平移1个单位的对应点，再顺次连接即可； （2）由于三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故只要利用网格特点作出与的垂直平分线，其交点即为圆心M；再根据位似图形的性质画图即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，点M是与的垂直平分线的交点，即为的外接圆圆心，其坐标是；如图所示； . 2．(24-25九上·广东阳江阳西县·期末)如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到； (2)在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为______． 【答案】(1)所作图形如图所示： (2) 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）由（1）知：与的相似比为：， ∴与的面积比为：， ∵面积为m， ∴的面积为； 故答案为：． 3．(24-25九上·广东河源·期末)如图，在坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并写点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了作图—位似变换和轴对称变换，理解轴对称图形与位似图形的画法是解题的关键． （1）利用点关于y轴对称的性质得出的坐标，顺次连接点即可得出所求图形； （2）利用关于原点位似图形的性质得出，的坐标，顺次连接点即可得出所求图形，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 利用点关于y轴对称的性质得出坐标， 顺次连接点即可得； （2）解：如图，即为所作， ∵位似比为， 又要求在y轴的左侧， ∴得到点， 顺次连接点即可得． 试卷第1页，共3页 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 相似三角形 4大高频考点概览 考点01图形的相似 考点02 相似三角形的性质 考点03 相似三角形应用举例 考点04位似 地 城 考点01 图形的相似 一、单选题 1．(24-25九上·广东清远清城区·期末)已知2，6，7，x成比例，则x的值为（   ） A． B． C． D．21 2．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A．，，8， B．5，6，7，8 C．3，6，4，7 D．2，4，6，8 3．(24-25九上·广东东莞厚街福民学校·期末)若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．(24-25九上·广东清远连州·期末)如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 5．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图是小明所设计的花架侧面简易图，已知，cm，cm，cm，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·广东清远清新区·期末)两个相似多边形的相似比是，其中较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·广东清远清新区·期末)已知，下列变形错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地．已知人和木板对湿地地面的压力合计，此时人和木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，以下说法正确的有 （只填序号）．与的关系式为；随的增大而减小；当木板面积为时，压强是；如果要求压强不超过，则木板面积至多为． 2．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)已知，则 ． 三、解答题 1．(24-25九上·广东珠海香洲区·)如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，． (1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ； (2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积． 地 城 考点02 相似三角形的性质 一、单选题 1．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，若，则（   ）． A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)如图，点D、E分别是边、上的点，且，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图，经过正方形对称中心的直线分别交的延长线、、于点、、，已知，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 5．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图，四边形是正方形，，是中点，连接，的垂直平分线分别交、、于、、，连接，过作交于．下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④的周长是10    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．(24-25九上·广东梅州丰顺县·期末)若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东清远清城区·期末)如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则 ． 2．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，，为与的交点，点在上，若，，则 ． 三、解答题 1．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”．下图中点A、B、C均为格点，请仅用无刻度的直尺按要求作图，不写作法，保留必要的作图痕迹． (1)在图1中，画出以B为顶点，为腰的等腰三角形； (2)在图2中，在线段上找一个点P，使； (3)在图3中，是格点三角形，找出一个格点D，连接，使平分． 2．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)如图是的直径，点C、E在上，E是劣弧的中点，连接，且与交于D点，F是延长线上的一点，且． (1)求证：EF是的切线． (2)若的半径为5，，求的长． 3．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)如图，等腰三角形中，，． (1)动手操作：利用尺规作以为直径的交于点，交于点，并且过点作交于点． (2)求证：直线是的切线； (3)连接，记的面积为，四边形的面积为，求的值． 4．(24-25九上·广东梅州兴宁宋声学校·期末)如图，在中，点D，E，G分别在边上，，线段，相交于点F，且，求证：平分． 5．(24-25九上·广东广州花都区·期末)如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 6．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)如图，平行四边形的对角线与相交于点． (1)给定三个关系：①；②；③．其中能使得平行四边形为矩形的有______，选择其中一个作为条件进行证明； (2)在（1）的条件下，点从点开始沿边运动，速度为；点同时从点开始沿边运动，速度为．如果，，点到达点A时所有运动停止，那么何时与相似？ 7．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，在中，点分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 地 城 考点03 相似三角形应用举例 一、单选题 1．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)如图，当点、、在同一直线上时，在处与处测得的视力相同．若米，米，米，则是（   ）米． A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东河源连平县·期末)如图是小明设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度米，解决本题应用了什么光学知识，该古城墙的高度是（   ） A．光的反射，米 B．光的折射，米 C．光沿直线传播，米 D．光的反射，米 3．(24-25九上·广东佛山禅城区·期末)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，意思是把两条边呈直角的曲尺仰立放，可测量物体的高度．如图，点A、B、Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)某兴趣小组的同学在同一时刻测量了直立在太阳下的四根竹竿的影长，结果如下： 竹竿高度/米 影长/米 小明在这一时刻测得一棵大树的影长为36米，则这棵大树的高度是 米． 2．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)如图1是液体沙漏的截面示意图（数据如图），经过一段时间后，液体沙漏的截面示意图如图2所示，此时 cm． 3．(24-25九上·广东清远阳山白莲中学·期末)小明进行“测量家门口路灯高度”实践活动，方案如下：某晚，他在距离路灯的地方，测得父亲在地面上的影长是，已知小明父亲身高为，则路灯离地面的高度是 ． 4．(24-25九上·广东揭阳普宁·期末)如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 m． 5．(24-25九上·广东深圳·期末)图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 三、解答题 1．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】 步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤：小明从点出发沿着方向前进米，到达点； 步骤：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为米，米． 【问题解决】 已知点、、、与旗杆的底端在同一直线上，，，，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． (1)求证：； (2)求该旗杆的高度． 2．(24-25九上·广东佛山三水区·期末)【综合与实践】跷跷板是一种儿童游戏用具，在笔直的方木之间装上支点，然后架在支柱上，两端坐人，一起一落游戏．当跷跷板一端着地时，另一端翘到最高点．如图，小蓝和小明在玩跷跷板，该跷跷板的长度为米，小明能把小蓝最高翘到米．图是该跷跷板的平面示意图，支点是的中点，支柱垂直于地面． (1)支柱的高度 米． (2)保持支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度会变化吗？ （填“会”或“不会”） (3)请你帮忙设计一种跷跷板改造方案，使得小明能把小蓝最高翘到米（要求：不改变支柱的高度以及跷跷板的长度）请在图中画图并分析说明． 3．(24-25九上·广东佛山南海区大沥镇海北初级中学·期末)如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 地 城 考点04 位似 一、单选题 1．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)如图，与位似，位似中心为点，，的周长为，则的周长为（） A．9 B．12 C． D．18 2．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东梅州五华县·期末)如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，且的面积为3，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 二、填空题 1．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)原点为与的位似中心，位似比为．若点的坐标为，则对应点的坐标可以为 ． 2．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)如图，与是位似图形，且，则与的面积比为 ． 3．(24-25九上·广东惠州仲恺区·期末)如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则点C的坐标是 ． 三、解答题 1．(24-25九上·广东中山三鑫学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为点、、． (1)将先向右平移5个单位再向上平移1个单位，画出所得． (2)的外接圆圆心M的坐标为______．请以点M为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且点D与点A对应，位似比为． 2．(24-25九上·广东阳江阳西县·期末)如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到； (2)在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为______． 3．(24-25九上·广东河源·期末)如图，在坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并写点的坐标． 试卷第1页，共3页 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $