专题10 几何图形压轴题（期末真题汇编，广东专用）七年级数学上学期新教材人教版

专题10 几何图形 压轴题 1．(24-25七上·广东广州花都区·期末)以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_____； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，使在内部，求与的数量关系； (3)直角三角板从边在射线上时，开始绕点顺时针以3度/秒的速度转动一周，同时射线绕点以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同速度逆时针旋转，随直角三角板的停止而停止．记旋转时间为秒，射线、形成的夹角（小于180度的角）为，射线、形成的夹角为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)、或 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，与余角、补角有关的计算及一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键． （1）根据平角的定义，利用角的和差关系计算即可得答案； （2）根据，，利用等量代换列式即可得答案； （3）分当顺时针旋转时，当逆时针旋转，在上方时，当逆时针旋转，在下方时三种情况，分别用表示出和，根据列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵若直角三角板的一边放在射线上，，， ∴． 故答案为： （2）解：如图所示，在内部， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，当顺时针旋转时， ∵的速度为3度/秒，的速度为1度/秒， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 如图，当逆时针旋转，在上方时， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 如图，当逆时针旋转，在下方时， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述：、或. 2．(24-25七上·广东深圳罗湖区·期末)【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如． ①小明利用三角尺作出了一个的角； ②小乐利用三角尺作出了一个的角； 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出 度的角（写出一种即可）． 【提出问题】 （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，（，）内作射线，，且，，则 度； 【学以致用】 （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数是一个定值，并且可以用，表示出来”；小乐说“的度数是一个随机值，无法用，表示出来”，请你帮小亮判定一下谁的说法正确，并说明理由． 【答案】（1）75；（2）90；（3）小明的说法正确，见解析 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，三角板中角度的计算； （1）根据三角板的角度，可作出，，，，即可得解； （2）先求得，根据已知条件得出，根据，即可求解； （3）先得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 故答案为：75、105、135、150（任意一个均可得分）； （2）解：， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：小明的说法正确，理由如下： ，，， ， ， ． 3．(24-25七上·广东珠海斗门区·期末)【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 【答案】（1）②③；④；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； （3）分情况讨论：当在内部时，当在外部，且、在上方时，当在外部，且在上方，在下方时，当在外部，且在下方，在下方时，当在外部，且在下方，在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ； （3）当在内部时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且、在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ∴ ， 即此时； 当在外部，且在上方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，余角和补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． 4．(24-25七上·广东湛江四校教育联盟·期末)综合与实践 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 【问题情境】 （1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分． ①当为时，求的度数； ②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由． 【探究实践】 （2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示． 【拓展应用】 （3）如图3，固定不动，将绕点P按顺时针方向旋转，设，，，作平分，平分，直接写出的大小（用含α，β的代数式表示）． 【答案】（1）①；②当在内转动时，∠MPN的度数保持不变，理由见解析 （2） （3）或者 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合． （1）①先求出，根据角平分线定义得出，，再根据，求出结果即可； ②先求出，根据角平分线定义得出，，求出，即可得出答案； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，，求出得出． （3）分两种情况：①当∠APB在∠CPD内转动时；②当∠APB在∠CPD外转动时，分别求解即可． 【详解】解：（1）①，， ， 平分，平分， ，， 当时，， 则，， ； ②当在内转动时，的度数保持不变；理由如下： ，， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）当在内转动时，，， ， 平分，平分， ，， ， ． （3）分两种情况：①当在内转动时； 由（2）可知：； ②当在外转动时，如图3， ∵，， ， 平分，平分， ，， ， ． ． 5．(24-25七上·广东广州荔湾区·期末)如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)如图1，若，，求． (2)如图2，若，射线从射线位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． (3)如图3，若，射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． 【答案】(1) (2)秒或秒或秒； (3)或或或或 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，实际问题与一元一次方程：几何问题(一元一次方程的应用)，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角的关系，列式，解得，即可作答． （2）根据奇妙线的定义要进行分类讨论：或，然后列式计算，即可作答． （3）先得出停止旋转时所需时间为秒，然后逐个情况作图，运用数形结合思想以及根据几何图形中角度关系进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得； （2）解： ∵当射线与射线重合时停止旋转，，且绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴停止旋转时所需时间：（秒）， ∵射线是的奇妙线， ∴当时，则 解得， 则（秒）， ∴当时，则 解得， ∴， 则（秒）， 当是的角平分线，则， ∴（秒）， 综上：t的值为秒或秒或6秒； （3）解：∵射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转． ∴停止旋转时所需时间：（秒）， 即射线旋转就停止了， ∵射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转， ∴当射线都在的内部时，， 故， ∵射线是的奇妙线， ∴当射线都在的内部时，且时，即 ∴， 解得（秒）； ∴当射线都在的内部时，且时， ∴， 解得（秒）； ∴当射线都在的内部时，且时，即 ∴， 解得（秒）； ∴当射线都在的内部时，且时， ∴， 则， 解得（秒）； 当与重合时，（秒）， ∴， 此时在直线上， ∴当射线都在的外部时， ， ∴， ∵射线是的奇妙线， ∴当射线都在的外部时，且时 ∴， 解得（秒）， 或当时， ∴， 解得（秒）， ∵射线不在的内部，故舍去； 当时，即 ∴， 解得∴（秒）， 当时， 则， 即， 解得 ∴（秒）， ∵秒，运动停止，不存在， 综上：当射线是的奇妙线时，则t的值为或或或或． 6．(24-25七上·广东河源龙川县·期末)【问题背景】 直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上． (1)【数学理解】 如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． (2)【构建联系】 如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)【总结应用】 若，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①先根据平角定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后利用对顶角相等得到，另一方面利用余角的定义求出，最后利用角的和差求解即可；②同①思路一致； （2）先利用平角和余角分别求出和，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差求解即可； （3）从种情况，①当在外时，②当在内时，分别由（1）（2）结论求解即可． 【详解】（1）解：①， ， 平分， ， ， ， ， ； ②， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， 平分， ， ； （3）解：①当在外时，如图1， 设， 由（1）知； ∵， ∴， ∴， ∴； ②当在内时，如图2， 由（2）可知， ， ，， ． 综上，的度数为或． 7．(24-25七上·广东东莞丰泰外国语学校·期末)【问题背景】学习了角的度量单位后，好学的小明在网上搜索发现了如图①所示的量角演示器，他将一副三角尺和量角演示器按如图②所示位置摆放， 【提出问题】 (1)当活动针对应的读数为140时，__________；当活动针平分时，对应的读数为_________． (2)将三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时，三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺旋转一周时，两把三角尺同时停止转动． ①若在旋转过程中，活动针始终平分．当时，求旋转所用的时间和活动针对应的读数； ②若两把三角尺开始旋转时，活动针同时从的位置绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当与重合后，活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转．当与重合后停止旋转，求活动针停止时对应的读数，请直接写出答案（结果保留整数）． 【答案】(1)95，82.5 (2)①当时，当旋转7.5秒时，活动针对应的读数是；当旋转67.5秒时，活动针对应的读数是．②． 【分析】本题考查了角的计算，一元一次方程的应用及角平分线的计算，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据圆周角的度数可直接得出结论；利用角平分线的性质可得出结论； （2）①根据题意可知，需要分两种情况，当追上之前，当追上之后，分别求解即可； ②先算出当与重合后，活动针的位置，再计算当与重合时，的值及的位置． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ； ，， ， 当平分时，， ． 故答案为：95，82.5； （2）解：①三角尺旋转一周需要的时间是． 设经过秒后，． 当追上之前， 由题意得：， 解得， 此时，活动针对应的读数是：； 当追上之后， 由题意得：， 解得， 此时，活动针对应的读数是：． 综上所述，当时，当旋转7.5秒时，活动针对应的读数是；当旋转67.5秒时，活动针对应的读数是． ②设运动的时间为秒，当与重合时， 根据题意可知，， 解得，此时旋转，旋转，即， 此时； 当活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转，与重合时， 由题意可知，， 解得， 此时． 即活动针停止时对应的读数为． 8．(24-25七上·广东湛江寸金培才学校·期末)大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)①105；②当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值 【分析】本题考查了角的运算、一元一次方程的应用、整式加减中的无关型问题，熟练掌握以上知识点，结合图形发现角的和差关系是解题的关键． （1）由，，三点共线可得，再结合，即可求解； （2）由，设，则，结合图形可得，解方程求出的值，即可求出的大小； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论：在点、、共线前，和共线后2种状态，分别用表示出和的度数，再利用整式加减的运算即可求出常数和定值． 【详解】（1）解：，，三点共线， ， 又， ， 解得：． 故答案为：90． （2）解：， 设，则， ，，三点共线， ， ， 解得：， ， ． （3）解：①平分，， ， ， ，， ， 的旋转时间为（秒）， 运动停止时，旋转的角度为， 运动停止时，． 故答案为：105． ②当点、、三点共线时，（秒）， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值． 9．(24-25七上·广东广州天河区·期末)小天和小河一起通过创编数学题目考察对方解决问题能力．他们找到了一个基本图形设定相同的已知条件来创编：如图1，点A，O，B依次在直线上，点O为的中点． (1)小天创编了一道解答题，解答时要求写出求解过程和必要步骤，题目如下： 如图2，直线保持不动，将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，设转动时间为t秒（）． ①当时，求的度数； ②在转动过程中，当射线与射线的夹角为时，求t的值． (2)小河创编了一道多项选择题，有多个选项符合题目要求，要求回答时，全部选对的得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分．题目如下： 如果点C在线段上，且，，，则以下结论正确的是（    ） A．点C可能与点A重合    B．点C可能与点O重合 C．有理数x可能等于2    D．有理数x可能等于1 现在，请你解答他们创编的题目． 【答案】(1)①；②t的值为9或27； (2) 【分析】（1）①分别求出，，根据即可得解； ②由题意，，分两种情况讨论，当射线与射线重合前，，当射线与射线重合后，，再分别求解即可； （2）设为数轴，且A为原点，向右为正方向，根据题意可知：点C表示的数为，点O表示的数为，点B表示的数为，根据中点可知，可得，即可判断选项，再根据当点C与点A重合时，求出t，可判断选项，根据当点C与点O重合时，求出t，可判断选项． 【详解】（1）①解：当时，则，， ； ②解：由题意得：， 当射线与射线重合前， ， ， 解得：， 当射线与射线重合后， ， ， 解得：， 综上所述，t的值为9或27； （2）解：设为数轴，且A为原点，向右为正方向，如图， 点C在线段上，且， 点C表示的数为， ， 点O表示的数为，   ， 点B表示的数为， 点O为的中点， ， ， 整理得，， 为非负数，即， 故选项和选项正确，符合题意； 当点C与点A重合时，则， ， 故选项正确，符合题意； 点C可能与点O重合，则， ， 选项不正确，不符合题意； 综上，正确的结论有， 故选： ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，几何动点问题，角的计算，线段的中点，数轴，绝对值的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 10．(24-25七上·广东汕头潮南区司马公办学校·期末)如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺（其中）的顶点放在夹角为的两条直线、的交点处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转（即）． (1)如图2，若，则______，_____； (2)若射线是的角平分线，且． ①当旋转到图3的位置，若，求的度数； ②在旋转过程中，若，且，则此时的值． 【答案】(1)； (2)①；②的值为或 【分析】本题主要考查角的平分线，角的计算，分类讨论是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，利用角的和差可求解； （2）①根据余角的定义可求的度数，结合角平分线的定义可求得即，再根据得关于的方程，解方程即可； ②可分两种情况：当位于内部时，当位于内部时，结合角平分线的定义，利用角的和差倍分变换可求解角的度数． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：①∵，， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； ②当位于内部时， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当位于内部时，如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 综上所述，若，β的值为或． 11．(24-25七上·广东深圳光明区·期末) 信息1 小刚和小颖两家人分别开车匀速行驶在笔直的高速公路上（如图1），小颖家车的速度是100千米/时，小刚家车的速度是小颖家车的速度的1.2倍，将车看成点，高速公路看成直线，得到图2的示意图，甲表示小刚家的车，乙表示小颖家的车． 信息2 某时刻乙车在甲车前方20千米，此时小刚看到自己手表（图3）显示的时间如图4中表盘所示，表示时针，表示分针，时针和分针在转动的过程中形成的角是，表带所在直线为． 根据以上信息回答问题： (1)小刚看表时，时针和分针的夹角为 °． (2)①经过 小时，甲车追上乙车； ②甲车刚追上乙车时，此时时针和分针的夹角为 °． (3)①在表盘中分针每分钟转过 °，时针每分钟转过 °； ②自小刚看表时刻开始，到甲车追上乙车时这段时间之内，经过 分钟后，的度数是． (4)小刚根据时针和分针的启示，做了一个类似的装置（如图5），该装置的“表带”所在直线是，装置有三根指针分别为和，指针和在转动过程中保持，指针始终平分，指针从图5所示位置（和射线重合）以每秒顺时针开始旋转，经过秒后转到图6位置时，小刚记下此时，继续转动秒，当转到图7位置时，小刚记下此时，若，直接写出的值． 【答案】(1)105 (2)①1；②135 (3)①6，0.5；②或 (4)7 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算，角平分线的定义，在“钟面”的背景下考查追及，根据题意，进行准确的分类讨论是解题关键． （1）根据图知显示时间为9时30分，易算出的度数； （2）①根据题意得到等量关系甲车走的减去乙车走的为20，即可求出追击时间； ②在第（1）问的基础上加上一小时时针走过的角度即可； （3）①表盘中分针每分钟转过为；时针每分钟转过为； ②分情况讨论，在分针与时针重合之前和之后列式计算即可； （4）根据题意先分析图6，得到，再分析图7，得到，根据已知条件即可求得的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：105； （2）①设经过小时，甲车追上乙车， 由题得， 解得：， ②， 故答案为：1；135； （3）①，， 故答案为：6，0.5； ②设经过分钟后，的度数是， <1>在分针与时针重合之前， ， 解得， <2>在分针与时针重合之后， ， 解得， 故答案为：或； （4）在图6中，根据题意知， 又始终平分， ， ， ， 即， 在图7中，根据题意知， 又始终平分， ， ， ， 即， 又， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：7． 12．(24-25七上·广东东莞低涌中学·期末)【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为．    【问题倩境】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【基础应用】 （1）完成填空： ①两点间的距离______； ②点是数轴上的一点，它表示的数为，若，则______； 【综合运用】 （2）求当为何值时，； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．    【答案】（1）①16；②5或；（2）或；（3）线段的长度不变，且为8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． （1）①根据题目所给的两点距离公式求解即可；②根据绝对值的意义分类讨论求解； （2）秒后，点表示的数，点表示的数为，而，由建立方程，求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点表示的数，点表示的数，即可得出线段的长度． 【详解】（1）解：①由题意得：， ②∵， ∴， 解得：或 故答案为：①；②5或； （2）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， ， 又， ∴， 解得：或； （3）解：线段的长度不变，理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ． ∴线段的长度不变，且长度为8． 13．(24-25七上·广东揭阳·)综合探究 如图，在直角中，，点A在直线上，点D、E在直线上运动（点D不与点A重合），且始终满足平分． (1)当点D在点A左侧时，请分析与之间的数量关系； (2)若，在点D、E运动的过程中，当是直角三角形时，求的度数； (3)在点D、E运动的过程中，探究与的数量关系，并写出具体过程． 【答案】(1) (2)或； (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的性质和角度的和差关系， （1）根据题意得； （2）由是直角三角形得或，①，可求得和，根据角平分线的性质即可求得；②若，则和，根据角平分线的性质即可求得； （3）探究与的数量关系，分两种情况：①点D在点A左侧时，根据角平分线的性质得，结合直角可得；②点D在点A右侧时，根据角平分线的性质得，由直角得，可得． 【详解】（1）解：∵点D、E在直线上运动，平分，， ∴点E在点A的右侧 ∵点D在点A左侧， ∴； （2）解：∵点D、E在直线上运动，平分，， ∴点E在点A的右侧， ∵是直角三角形， ∴或， ①若，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ②若，如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，或； （3）解：∵点D、E在直线上运动，平分，， ∴点E在点A的右侧， ①点D在点A左侧时， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即； ②点D在点A右侧时，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则， 即． 14．(24-25七上·广东广州/天河区华南师范大学附属中学·期末)（1）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，则的长度为______； （2）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，猜想的长度（用含a、b的代数式表示），并说明理由； （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为，点A的右侧有三点B、C、D，，．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 【答案】（1）11；（2），理由见解析；（3）当t的值为、或8时，B、C、D中的一点是另外两点组成的线段的中点． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段中点公式，关键是要运用中点公式建立一元一次方程． （1）由点D为的中点，可求得的长，再根据，即可解答； （2）结合第一问和中点公式可以猜想的长度，然后再运用线段的和差证明即可； （3）先分别表示出，，，最后分情况结合中点公式列出一元一次方程求出时间t即可． 【详解】（1）解：如图1：∵， ∴， ∵D是的中点， ， ； （2）解：，理由如下： 如图1：∵， ∴， ∵D是的中点， ， ∴． （3）解：A表示，点表示5，点C表示21，点D表示17， 当运动的时间为t秒时，点B表示，点C表示，点D表示，点，，， ①当点C在点D的右侧，即，解得：， ∴当时，如图2所示，D是的中点， 由题意可得：， 即，解得：，不符合题意，舍去； ②当点C在点D的左侧且点C在点B的右侧，即，解得：， ∴当时，如图3所示，C是的中点， 由题意可得：，即， 解得：，符合题意； ③当点C在点B的左侧且点D在点B的右侧，则，解得：， ∴当时，如图4所示，B是的中点， 由题意可得：， 即，解得∶，符合题意； ④当点D在点B的左侧到停止前，则，解得：， ∴当时，如图5所示，D是的中点，， 由题意可得：， 即，解得，符合题意． 综上所述，当t的值为、或8时，B、C、D中的一点是另外两点组成的线段的中点． 15．(24-25七上·广东深圳第二实验学校·期末)如图，两个形状、大小完全相同的含有角的直角三角板如图1放置，、与直线重合． (1)如图1，为 ； (2)如图2，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，旋转速度为秒，平分，平分．设旋转时间为秒（），请用表示如下角． ①________________； ②________________； ③在旋转过程中，试探究的度数是否变化．如变化，请说明理由，如不变化，请求出度数； (3)如图3，在（2）的条件下，三角板旋转的同时，三角板的边从处绕着点逆时针旋转，三角板转速为秒．当与重合时，两个三角板停止转动．若在旋转过程中，，求三角板转速． 【答案】(1)； (2)①；②；③，不变； (3)秒． 【分析】（1）由图可知； （2）①由图可知， ②由图可知， ③根据，可得，代入计算可得为定值； （3）依题意得：，，当与重合时，当时，由，求得的值；当时，不断增大，先减小后增大，不可能为定值． 【详解】（1）由图可知：， 故答案为：． （2）①由图可知， 故答案为：； ②由图可知，当时， 当时， 综上所述 故答案为：； ③不变化，，理由如下： 当时 当时， ∴不变 （3）依题意得：， 当PC与PM重合时 ① 当时，运动结束前，，在直线下方． ∴ 化简得 ∴ ；                                 ② 当时，不断增大，先减小后增大，不可能为定值，故舍弃． 答：三角板转速为秒． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，方程思想的应用，（3）中利用角的和差准确的表示，，根据二者之间的关系列等式求解是解本题的关键． 16．(23-24七上·广东广州龙涛教育集团·期末)（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s． （ⅰ）________cm． （ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． （ⅰ）________度． （ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，________． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）10（ⅱ）；（2）（ⅰ）75（ⅱ）①的值为，，②当或时，存在 【分析】（1）（ⅰ）根据线段中点，可得答案；（ⅱ）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）（ⅰ）根据平角的定义即可得到结论；（ⅱ）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）（ⅰ）∵C为的中点 ∴． 故答案为：10； （ⅱ）存在， ①∵P的速度2，Q的速度是1， ∴， 又， ∴ ∴不是线段的中点； ②为线段的中点，得 ，解得； ③为线段的中点，得 ，解得 综上所述：或． （2）（ⅰ），， ， 故答案为：75； （ⅱ）①当平分时， ，， ， ， ， 当平分时， ， ， ； 当平分时， ， ， ， 综上所述，旋转角度的值为，，； ②当在的左侧时，则，， ， ， ； 当在的右侧时，则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在． 【点睛】本题考查了两点间的距离，角的计算，特殊角，角平分线的定义，利用线段中点的性质得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 17．(23-24七上·广东广州天河区·期末)将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线MN上，且三角板始终摆放在直线下方，三角板可绕点A任意旋转．已知，，． 设，（，） (1)当时，求的度数； (2)当时，求与的数量关系； (3)当点C，A，E三点共线时，请通过画图探究说明m与n的数量关系． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）本题考查角度的加减，根据得到，结合角度关系即可得到答案； （2）本题考查三角板摆放角度问题，分当三角板的边在直线上方，和当三角板的边AB在直线MN下方两类讨论即可得到答案； （3）本题考查三角板摆放角度问题，分类讨论三点位置关系求解即可得到答案； 【详解】（1）解：当时， 此时且， ∴； （2）解：∵， ∴， ①当三角板的边在直线上方时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ②当三角板的边AB在直线MN下方时，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：； （3）解：由题意可得， ①当C，E在两侧时，如图所示， ，     ②当C，E在左下方时，如图所示， ， ③当C，E在右下方时，如图所示， ，      ④当C，E在两侧时，如图所示， ， ． 18．(23-24七上·广东茂名电白区·期末)如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)解决问题： 若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (2)探索问题： 当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______． ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ (3)知识迁移： 如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于 【答案】(1)线段的长度不发生变化，理由见解析 (2)①，；②6秒，或秒 (3)12 【分析】(1)先求出的长，根据中点定义得到，，再根据，即得； (2)①根据点A表示的数为，点P从点A以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，得到点P表示的数为：，根据点B表示的数为10，点从点以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，得到点表示的数为：；②点与点相距3个单位长度，分两种情况讨论：当点P在点Q左侧时，，解得，当点P在点Q右侧时，，解得，； (3) 设经过分钟后，钟表上的时针与分针的夹角从第一次转到，得到，解得． 本题主要考查了数轴上的动点，钟面角．解题的关键是熟练掌握动点表示的数，两点间的距离公式，时针与分针转动的角速度和转过的角度，列方程解答． 【详解】（1）如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，理由如下：    ∵点A、B在数轴上表示的数分别为和10， ∴， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∴点在线段上运动时，线段的长度不发生变化； （2）①∵点A、在数轴上表示的数分别为和10， ∴在运动过程中，点表示的数为：，点表示的数为：， 故答案为：，； ②点与点相距3个单位长度，分两种情况： 当点在点左侧时，如图， ， 解得，    当点在点右侧时，如图， ， 解得，    综上所述，运动6秒或秒时，点与点相距3个单位长度； （3）时针每小时转，分针每分钟转， 设经过分钟后，的度数第一次等于， 则， 解得， ∴经过12分钟后，的度数第一次等于． 故答案为：12． 19．(23-24七上·广东阳江阳春·期末)综合应用： 三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材． 【数学来源于生活】 动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放． (1)在_________的摆放方式中与互余；在_________的摆放方式中与互补 (2)在哪种摆放方式中与相等？请说明理由． (3)【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若，则_________；若，则_________． (4)如图2所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由． 【答案】(1)甲，丁 (2)在乙、丙摆放方式中两角相等 (3)155，50 (4) 【分析】本题考查的是余角和补角，角的有关计算的应用，如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，能灵活运用角的和差进行计算是解此题的关键． （1）根据互余和互补的定义即可得出答案； （2）根据同角的余角相等即可得出答案； （3）先求出，再代入求出即可；先求出，再代入求出即可； （4）根据求出即可； 【详解】（1）解：甲图中，，丁图中，， 故答案为：甲，丁； （2）解：在乙、丙摆放方式中两角相等，理由如下： 在乙中： ∵， 在丙中： ∵， ， ∴； （3）解：∵， ， ， ， 故答案为：155，50； （4）解： 理由如下： ， 20．(23-24七上·广东阳江阳春·期末)综合探究： 整体思想是一种重要的数学思想方法，其思维方式是根据问题的结构特征，把一组数，一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察，分析，解决问题的一种方法．这样做，不仅简化解题过程，提高思维能力，还往往可以解决按常方法解决不了的一些问题． 如：代数式的化简问题．若把看成一个整体， 则：． 这就是数学解题中的“整体思想”． 请运用上面的“整体思想”解决下列问题： (1)尝试应用：化简 (2)拓展运用：如图1，点O是线段上一点，C、D分别是线段的中点，当时，求线段的长度． (3)迁移运用：如图2，长方形纸片，点E，F分别是边上任意一点，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，的度数会随着折痕的变化而变化吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2)8 (3)不会发生变化 【分析】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型； （1）根据题干给出的思路作答即可； （2）根据分别是线段的中点，得出，再根据，进行计算即可得解； （3）根据折叠的性质，角的和差定义计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为分别是线段的中点， 所以． 所以． 因为，所以； （3）由折叠的性质可知平分平分 故不会发生变化． 试卷第1页，共3页 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 几何图形 压轴题 1．(24-25七上·广东广州花都区·期末)以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_____； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，使在内部，求与的数量关系； (3)直角三角板从边在射线上时，开始绕点顺时针以3度/秒的速度转动一周，同时射线绕点以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同速度逆时针旋转，随直角三角板的停止而停止．记旋转时间为秒，射线、形成的夹角（小于180度的角）为，射线、形成的夹角为，当时，求的值． 2．(24-25七上·广东深圳罗湖区·期末)【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如． ①小明利用三角尺作出了一个的角； ②小乐利用三角尺作出了一个的角； 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出 度的角（写出一种即可）． 【提出问题】 （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，（，）内作射线，，且，，则 度； 【学以致用】 （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数是一个定值，并且可以用，表示出来”；小乐说“的度数是一个随机值，无法用，表示出来”，请你帮小亮判定一下谁的说法正确，并说明理由． 3．(24-25七上·广东珠海斗门区·期末)【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 4．(24-25七上·广东湛江四校教育联盟·期末)综合与实践 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 【问题情境】 （1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分． ①当为时，求的度数； ②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由． 【探究实践】 （2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示． 【拓展应用】 （3）如图3，固定不动，将绕点P按顺时针方向旋转，设，，，作平分，平分，直接写出的大小（用含α，β的代数式表示）． 5．(24-25七上·广东广州荔湾区·期末)如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)如图1，若，，求． (2)如图2，若，射线从射线位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． (3)如图3，若，射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． 6．(24-25七上·广东河源龙川县·期末)【问题背景】 直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上． (1)【数学理解】 如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． (2)【构建联系】 如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)【总结应用】 若，请直接写出的度数． 7．(24-25七上·广东东莞丰泰外国语学校·期末)【问题背景】学习了角的度量单位后，好学的小明在网上搜索发现了如图①所示的量角演示器，他将一副三角尺和量角演示器按如图②所示位置摆放， 【提出问题】 (1)当活动针对应的读数为140时，__________；当活动针平分时，对应的读数为_________． (2)将三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时，三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺旋转一周时，两把三角尺同时停止转动． ①若在旋转过程中，活动针始终平分．当时，求旋转所用的时间和活动针对应的读数； ②若两把三角尺开始旋转时，活动针同时从的位置绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当与重合后，活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转．当与重合后停止旋转，求活动针停止时对应的读数，请直接写出答案（结果保留整数）． 8．(24-25七上·广东湛江寸金培才学校·期末)大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 9．(24-25七上·广东广州天河区·期末)小天和小河一起通过创编数学题目考察对方解决问题能力．他们找到了一个基本图形设定相同的已知条件来创编：如图1，点A，O，B依次在直线上，点O为的中点． (1)小天创编了一道解答题，解答时要求写出求解过程和必要步骤，题目如下： 如图2，直线保持不动，将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，设转动时间为t秒（）． ①当时，求的度数； ②在转动过程中，当射线与射线的夹角为时，求t的值． (2)小河创编了一道多项选择题，有多个选项符合题目要求，要求回答时，全部选对的得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分．题目如下： 如果点C在线段上，且，，，则以下结论正确的是（    ） A．点C可能与点A重合    B．点C可能与点O重合 C．有理数x可能等于2    D．有理数x可能等于1 现在，请你解答他们创编的题目． 10．(24-25七上·广东汕头潮南区司马公办学校·期末)如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺（其中）的顶点放在夹角为的两条直线、的交点处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转（即）． (1)如图2，若，则______，_____； (2)若射线是的角平分线，且． ①当旋转到图3的位置，若，求的度数； ②在旋转过程中，若，且，则此时的值． 11．(24-25七上·广东深圳光明区·期末) 信息1 小刚和小颖两家人分别开车匀速行驶在笔直的高速公路上（如图1），小颖家车的速度是100千米/时，小刚家车的速度是小颖家车的速度的1.2倍，将车看成点，高速公路看成直线，得到图2的示意图，甲表示小刚家的车，乙表示小颖家的车． 信息2 某时刻乙车在甲车前方20千米，此时小刚看到自己手表（图3）显示的时间如图4中表盘所示，表示时针，表示分针，时针和分针在转动的过程中形成的角是，表带所在直线为． 根据以上信息回答问题： (1)小刚看表时，时针和分针的夹角为 °． (2)①经过 小时，甲车追上乙车； ②甲车刚追上乙车时，此时时针和分针的夹角为 °． (3)①在表盘中分针每分钟转过 °，时针每分钟转过 °； ②自小刚看表时刻开始，到甲车追上乙车时这段时间之内，经过 分钟后，的度数是． (4)小刚根据时针和分针的启示，做了一个类似的装置（如图5），该装置的“表带”所在直线是，装置有三根指针分别为和，指针和在转动过程中保持，指针始终平分，指针从图5所示位置（和射线重合）以每秒顺时针开始旋转，经过秒后转到图6位置时，小刚记下此时，继续转动秒，当转到图7位置时，小刚记下此时，若，直接写出的值． 12．(24-25七上·广东东莞低涌中学·期末)【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为．    【问题倩境】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【基础应用】 （1）完成填空： ①两点间的距离______； ②点是数轴上的一点，它表示的数为，若，则______； 【综合运用】 （2）求当为何值时，； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．    13．(24-25七上·广东揭阳·)综合探究 如图，在直角中，，点A在直线上，点D、E在直线上运动（点D不与点A重合），且始终满足平分． (1)当点D在点A左侧时，请分析与之间的数量关系； (2)若，在点D、E运动的过程中，当是直角三角形时，求的度数； (3)在点D、E运动的过程中，探究与的数量关系，并写出具体过程． 14．(24-25七上·广东广州/天河区华南师范大学附属中学·期末)（1）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，则的长度为______； （2）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，猜想的长度（用含a、b的代数式表示），并说明理由； （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为，点A的右侧有三点B、C、D，，．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 15．(24-25七上·广东深圳第二实验学校·期末)如图，两个形状、大小完全相同的含有角的直角三角板如图1放置，、与直线重合． (1)如图1，为 ； (2)如图2，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，旋转速度为秒，平分，平分．设旋转时间为秒（），请用表示如下角． ①________________； ②________________； ③在旋转过程中，试探究的度数是否变化．如变化，请说明理由，如不变化，请求出度数； (3)如图3，在（2）的条件下，三角板旋转的同时，三角板的边从处绕着点逆时针旋转，三角板转速为秒．当与重合时，两个三角板停止转动．若在旋转过程中，，求三角板转速． 16．(23-24七上·广东广州龙涛教育集团·期末)（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s． （ⅰ）________cm． （ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． （ⅰ）________度． （ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，________． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 17．(23-24七上·广东广州天河区·期末)将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线MN上，且三角板始终摆放在直线下方，三角板可绕点A任意旋转．已知，，． 设，（，） (1)当时，求的度数； (2)当时，求与的数量关系； (3)当点C，A，E三点共线时，请通过画图探究说明m与n的数量关系． 18．(23-24七上·广东茂名电白区·期末)如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)解决问题： 若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (2)探索问题： 当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______． ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ (3)知识迁移： 如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于 19．(23-24七上·广东阳江阳春·期末)综合应用： 三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材． 【数学来源于生活】 动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放． (1)在_________的摆放方式中与互余；在_________的摆放方式中与互补 (2)在哪种摆放方式中与相等？请说明理由． (3)【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若，则_________；若，则_________． (4)如图2所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由． 20．(23-24七上·广东阳江阳春·期末)综合探究： 整体思想是一种重要的数学思想方法，其思维方式是根据问题的结构特征，把一组数，一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察，分析，解决问题的一种方法．这样做，不仅简化解题过程，提高思维能力，还往往可以解决按常方法解决不了的一些问题． 如：代数式的化简问题．若把看成一个整体， 则：． 这就是数学解题中的“整体思想”． 请运用上面的“整体思想”解决下列问题： (1)尝试应用：化简 (2)拓展运用：如图1，点O是线段上一点，C、D分别是线段的中点，当时，求线段的长度． (3)迁移运用：如图2，长方形纸片，点E，F分别是边上任意一点，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，的度数会随着折痕的变化而变化吗？说明你的理由． 试卷第1页，共3页 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $