专题09 角（期末真题汇编60题，天津专用）七年级数学上学期新教材人教版

专题09 角 6大高频考点概览 考点01角的概念 考点02 三角板中角度计算问题 考点03 几何图形中角度计算问题 考点04角度的四则运算 考点05 角平分线的有关计算 考点06 余角和补角 地 城 考点01 角的概念 一、单选题 1．(24-25七上·天津第二十一中学·期末)如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，的度数是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·天津河西区·期末)在航行、测绘等工作中，常常以正北、正南方向为基准来描述物体运动的方向．如图，轮船O在航行的过程中，发现灯塔A在它的（   ） A．东偏北方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东南方向 3．(24-25七上·天津部分区·期末)如图，射线的方向是北偏西，射线的方向是南偏西，则的大小是（   ） A． B． C． D． 4．如图，甲沿北偏东方向前进，乙沿图示方向前进，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于地的（   ） A．南偏东 B．东偏南 C．南偏东 D．南偏东 5．(23-24七上·天津西青区·期末)如图，某轮船在点O处测得灯塔A位于北偏东方向上，测得灯塔B位于南偏东75°方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．(23-24七上·天津滨海新区天津经济技术开发区国际学校·期末)A，B两个海上观测站的位置如图所示，A在灯塔O北偏东方向上，，则B在灯塔O的（    ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 二、填空题 1．(24-25七上·天津第二十一中学·期末)度分秒换算： ． 2．(24-25七上·天津第五十五中学·期末)比较大小： ；若，， 则 ；若 ，，则 （填“”、“”或“”号）． 3．(24-25七上·天津部分区·期末)下列说法：①连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离；②“植树时，只要定出两个树坑的位置就能使同一行树坑在一条直线上”的数学道理是“两点之间，线段最短”；③若，则．其中，正确的说法是 ，（将你认为正确说法的序号都写上） 4．(24-25七上·天津和平区·期末)（1）比较大小： （填“”“”或“”）． （2）钟表在时，时针与分针的夹角是 ． 5．(24-25七上·天津南开区·期末)如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在灯塔O的南偏东的方向，则的大小为 （度）． 6．(24-25七上·天津河北区·期末) ， 地 城 考点02 三角板中角度计算问题 一、单选题 1．(23-24七上·天津西青区·期末)如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25七上·天津蓟州区·期末)在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，若保持三角板不动，将三角板绕点C在平面内旋转．当时，的度数为 ． 三、解答题 1．(24-25七上·天津部分区·期末)（1）将一副三角尺按如图所示拼在一起．则图①中，的度数是___________；图②中，的度数是___________． （2）如图③，O是直线上的一点，，射线在的内部，平分． ①若，求的度数； ②若射线平分，锐角，在图③中补全图形，直接写出的大小（用含m的式子表示）． 2．(23-24七上·天津红桥区·期末)点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； 请把下列解题过程补充完整： ，（已知） ° ∵OE平分（已知） °（角平分线定义） （已知） °； (2)若图①中，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图①中的三角板绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，那么问题（2）中所求出的结论是否还成立？请说明理由． 3．(23-24七上·天津部分区·期末)把一副三角板的直角顶点O重叠在一起． (1)如图①，若时，则的度数为__________（度），的度数为__________（度）； (2)如图②，当平分时，求的度数； (3)当不平分时，则的度数为__________（度）． 地 城 考点03 几何图形中角度计算问题 一、单选题 1．(24-25七上·天津西青区·期末)在同一平面内有，，则的度数是（ ） A． B． C．或 D．或 2．(23-24七上·天津滨海新区·期末)如图，，若，则①；②；③；④．其中正确的结论为（   ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题 1．(24-25七上·天津外国语大学附属外国语学校·期末)如图，是一个平角，，平分，则 ． 2．(23-24七上·天津南开区·期末)如图，长方形纸片，点，分别在边，上，连接．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 （度）． 3．(23-24七上·天津宁河区·期末)已知，，则的大小为 （度）． 三、解答题 1．(24-25七上·天津河北区·期末)如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转． (1)试求的度数． (2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？ (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x． 2．(24-25七上·天津西青区·期末)（1）如图①，点C，E，D在线段上，，点E是的中点，求线段的长． （2）如图②，已知，平分，且，求的度数． 3．(23-24七上·天津育贤中学·期末)已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 4．(23-24七上·天津第十一中学·期末)探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则 ． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分，求的度数． 5．(24-25七上·天津南开区·期末)已知是锐角，以OB为边画锐角，且小于．射线OM和射线ON分别平分和．    (1)如图1，若射线OC在的内部，且，求和的大小； (2)如图2，若射线OC在的外部，且，，直接写出图中与互余的角：_______； (3)若，请直接用含有m的式子表示的大小，其结果为_______（度）． 6．(24-25七上·天津滨海新区·期末)如图，已知，在外部，，平分，平分．求的度数． 依题意补全图形； 完成下面的解答过程． 解：平分，平分， （理由：___________）． ，， ，． ． 如图，已知线段，延长至点，使得．点，分别是线段和线段的中点，若，求的长． 7．(23-24七上·天津和平区耀华中学·期末)如图，已知，，平分，求和的度数． 8．(23-24七上·天津滨海新区·期末)（1）如图①，点O在直线上，，，平分，求的度数． （2）如图②，已知点C，D是线段的三等分点，点E是线段的中点，且，求线段的长． 地 城 考点04 角度的四则运算 一、单选题 1．(24-25七上·天津第二十一中学·期末)已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·天津河西区·期末)下列计算结果错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25七上·天津滨海新区·期末) ． 2．(23-24七上·天津红桥区·期末)如果，，则 ． 3．(23-24七上·天津经济技术开发区泰达中学·期末)换算： 度 分．用度表示为 ． 地 城 考点05 角平分线的有关计算 一、单选题 1．(24-25七上·天津西青区·期末)如图，在内部任意画一条射线，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·天津第十一中学·期末)下列说法正确的是（    ） A．连接两点的线段叫做两点的距离 B．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大 C．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线 D．直线l经过点A，那么点A在直线l上 二、填空题 1．(23-24七上·天津部分区·期末)如图，，平分，平分，则的大小为 （度）． 三、解答题 1．(24-25七上·天津河西区·期末)如图，已知平分，平分．    (1)若，请你比较与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 2．(24-25七上·天津红桥区·期末)已知，作射线，，射线，分别是的平分线． (1)当射线在的内部时，如图，若，求的度数； 下面是小东的解答过程，请你补充完整． 解：（1）因为是的平分线，且， 所以（______）（填写推理依据）． 因为是的平分线，且， 所以______， 所以______． (2)当射线在的外部时，的度数为______．（用含的式子表示） 3．(24-25七上·天津和平区·期末)（1）如图1，点为线段的中点，点是线段的一个三等分点，，求的长， （2）如图2，点，，在同一直线上，，，平分，求的度数， 4．(23-24七上·天津西青区·期末)（1）如图①，线段，点M是线段的中点，点N是线段的中点，求线段的长度． （2）如图②，已知，平分，且，求的度数． 5．(23-24七上·天津河西区·期末)如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的反向延长线． 若是的平分线． (1)求和的度数； (2)射线的方向为______．（直接写出答案） 6．(23-24七上·天津河北区·期末)如图①，点为直线上一点，，将一直角三角板的角的顶点放在店处，斜边在射线上，直角顶点在直线的下方． (1)在图①中，求和的度数； (2)将图①中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，边恰好平分，第秒时，边在的平分线上，请分别求出的值； (3)将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转至图②，使边在的内部，边在的外部，请研究：与之间的数量关系，并说明理由． 7．(24-25七上·天津滨海新区大港第六中学·期末)已知：，． (1)如图，求的值． (2)如图，平分，平分，求的值． 地 城 考点06 余角和补角 一、单选题 1．(24-25七上·天津河北区·期末)如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．(24-25七上·天津第五十五中学·期末)如图，结论正确的是（    ） ①射线的方向是北偏西； ②射线的方向是东南方向；③射线的方向是北偏东；④和互为补角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．(24-25七上·天津河西区·期末)下列说法正确的是（   ） A．两条射线组成的图形叫作角 B．一个角的补角一定大于这个角 C．两点之间，线段最短 D．射线和射线是同一条射线 4．(24-25七上·天津西青区·期末)有下列结论： ①有下列各数：，其中负有理数有3个； ②射线和射线是同一条射线； ③一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系； ④代数式的实际意义可以理解为：若n袋大米的质量是，则平均每袋大米的质量是，m袋大米的质量是． ⑤如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等． 其中正确的结论个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．(24-25七上·天津南开区·期末)如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互补的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25七上·天津滨海新区·期末)如图，点在同一条直线上，射线和在直线的同侧，，分别是和的平分线．有下列结论： ①； ②与互余； ③的邻补角有两个； ④． 其中，正确的结论为 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．(24-25七上·天津南开区·期末)如图，和都是直角、如果，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．的平分线也是的平分线 8．(23-24七上·天津红桥区·期末)如图所示，的大小可由量角器测得，则的余角的大小为（  ）    A．60° B．120° C．30° D．90° 9．(23-24七上·天津和平区耀华中学·期末)如图，货轮 在航行的过程中发现灯塔在它的北偏东的方向上，海岛在它南偏东方向上．则下列结论： ①； ②图中的补角有两个，分别是和； ③图中有4对互余的角； ④货轮在海岛的北偏西的方向上． 其中正确结论的个数有 （   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 1．(24-25七上·天津部分区·期末)已知一个角是，则它的余角是 ． 2．(24-25七上·天津第十一中学·期末)一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角的余角为 度． 3．(23-24七上·天津部分区·期末)已知一个角是，则它的余角是 ． 三、解答题 1．(24-25七上·天津河西区·期末)列方程表示下列语句中的相等关系： (1)的补角是它的余角的3倍； (2)某商品的进价为x元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现在的售价是210元； (3)已知水流的速度是，一艘船在静水中的平均速度为，该船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了． 2．(23-24七上·天津南开区·期末)直线，相交于点，，平分． (1)如图①，若，求和； (2)如图②，若； v①求的度数． ②直接写出与互补的角． 3．(24-25七上·天津育贤中学·期末)如图，直线与相交于点，射线在内． (1)如图①，若的补角是它的余角的3倍，则=__________； (2)在（1）的条件下，若比小，求的度数； (3)如图②，若射线平分，，求的度数（用含的式子表示）． 试卷第1页，共3页 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 角 6大高频考点概览 考点01角的概念 考点02 三角板中角度计算问题 考点03 几何图形中角度计算问题 考点04角度的四则运算 考点05 角平分线的有关计算 考点06 余角和补角 地 城 考点01 角的概念 一、单选题 1．(24-25七上·天津第二十一中学·期末)如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，先确定，的度数，再求和即可． 【详解】如图， 根据题意得，，， ∴． 故选：C． 2．(24-25七上·天津河西区·期末)在航行、测绘等工作中，常常以正北、正南方向为基准来描述物体运动的方向．如图，轮船O在航行的过程中，发现灯塔A在它的（   ） A．东偏北方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东南方向 【答案】B 【分析】本题考查方向角，根据图中射线与正南方方向的夹角即可解答． 【详解】解：灯塔A在轮船O的南偏东方向上． 故选：B 3．(24-25七上·天津部分区·期末)如图，射线的方向是北偏西，射线的方向是南偏西，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，掌握方向角的定义是解题的关键． 根据方向角的定义结合图形即可求解． 【详解】解：由题意可得， 故选：D． 4．如图，甲沿北偏东方向前进，乙沿图示方向前进，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于地的（   ） A．南偏东 B．东偏南 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查了方位角问题，根据题意，结合角的关系，即可得出结论． 【详解】解：甲沿北偏东方向前进， 又甲与乙前进方向的夹角为， 根据角的关系，可得：， 乙位于地的南偏东， 故选：C． 5．(23-24七上·天津西青区·期末)如图，某轮船在点O处测得灯塔A位于北偏东方向上，测得灯塔B位于南偏东75°方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与方位角有关的计算．根据图形，利用，求出的度数即可． 【详解】解：由题意，，， ∴； 故选A． 6．(23-24七上·天津滨海新区天津经济技术开发区国际学校·期末)A，B两个海上观测站的位置如图所示，A在灯塔O北偏东方向上，，则B在灯塔O的（    ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 【答案】A 【分析】本题考查了方位角有关的计算，由根据即可求解；理解“从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫做方位角．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， B在灯塔O的南偏东方向， 故选：A． 二、填空题 1．(24-25七上·天津第二十一中学·期末)度分秒换算： ． 【答案】 【分析】本题考查度分秒换算，熟练运用度分秒换算法则是解题法关键． 根据度分秒换算法则，按照60进制计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 2．(24-25七上·天津第五十五中学·期末)比较大小： ；若，， 则 ；若 ，，则 （填“”、“”或“”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，角的度数大小比较，整式的加减运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据“两个负数，绝对值大的反而小”可比较与的大小；统一单位后可比较与的大小；利用作差法可比较与的大小． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴ ， ∴； 故答案为：，，． 3．(24-25七上·天津部分区·期末)下列说法：①连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离；②“植树时，只要定出两个树坑的位置就能使同一行树坑在一条直线上”的数学道理是“两点之间，线段最短”；③若，则．其中，正确的说法是 ，（将你认为正确说法的序号都写上） 【答案】①③/③① 【分析】此题主要考查了点到直线的距离和两点间距离的概念；注意直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离这个知识点的应用以及角的大小比较．根据两点间的距离和点到直线的距离的概念及角的转换进行比较判断出正确选项的个数即可． 【详解】①连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，故原说法正确；②“植树时，只要定出两个树坑的位置就能使同一行树坑在一条直线上”的数学道理是“两点确定一条直线”， 故原说法错误；③若，则.故原说法正确； 故答案是：①③ 4．(24-25七上·天津和平区·期末)（1）比较大小： （填“”“”或“”）． （2）钟表在时，时针与分针的夹角是 ． 【答案】 /130 【分析】本题考查了角度换算，角度比较大小，钟面角，确定时针与分针相距的分数，是解题关键． （1）将 换算，再进行比较，即可求解； （2）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：（1） ， ， ， ， 故答案为： ． （2） 时，时针与分针相距 份， 时，时针与分针所夹的角是 ， 故答案为： ． 5．(24-25七上·天津南开区·期末)如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在灯塔O的南偏东的方向，则的大小为 （度）． 【答案】141 【分析】此题主要考查了方向角，解题的关键是掌握方向角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 首先根据题意可得，再根据题意可得，然后再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：设东西方向为，南北方向为， ， ∵在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向， ∴， ∴， ∵轮船B在南偏东的方向， ∴ ∴， 故答案为：141． 6．(24-25七上·天津河北区·期末) ， 【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒的转化运算，进行度、分、秒的转化运算，注意以为进制、用分进位到度，需要除以． 【详解】解： 故答案为． 地 城 考点02 三角板中角度计算问题 一、单选题 1．(23-24七上·天津西青区·期末)如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的计算问题．弄清角与角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 1．(24-25七上·天津蓟州区·期末)在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，若保持三角板不动，将三角板绕点C在平面内旋转．当时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的运算以及垂直的定义，合理分类讨论是解题的关键． 分类讨论时的情况，再利用角的和差运算求解即可． 【详解】解：①当在外部时，延长交于点，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴， ∵是直角三角板， ∴， ∴； ②当在内部时，令与的交点为，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与为直角三角板， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、解答题 1．(24-25七上·天津部分区·期末)（1）将一副三角尺按如图所示拼在一起．则图①中，的度数是___________；图②中，的度数是___________． （2）如图③，O是直线上的一点，，射线在的内部，平分． ①若，求的度数； ②若射线平分，锐角，在图③中补全图形，直接写出的大小（用含m的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的计算，灵活运用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键． （1）根据三角板中角度计算法则计算即可． （2）①根据得出，从而求出，结合角平分线算出，即可求解． ②同①先表示出，再根据角平分线表示出即可求解． 【详解】解：（1）图①中，； 图②中，． 故答案为：． （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴． 2．(23-24七上·天津红桥区·期末)点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； 请把下列解题过程补充完整： ，（已知） ° ∵OE平分（已知） °（角平分线定义） （已知） °； (2)若图①中，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图①中的三角板绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，那么问题（2）中所求出的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)问题（2）中所求出的结论仍成立，见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，与三角板有关的计算，正确的识图，找准角度之间的和差关系，是解题的关键． （1）先求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数即可； （2）同（1）法，求解即可； （3）先求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数即可． 【详解】（1）解：，（已知） ， ∵平分（已知） （角平分线定义） （已知） ； （2）， ∵平分 ∴ ； （3）问题（2）中所求出的结论仍成立 ∵ 又∵平分 ∴， ∴； ∴（2）中所求出的结论仍成立． 3．(23-24七上·天津部分区·期末)把一副三角板的直角顶点O重叠在一起． (1)如图①，若时，则的度数为__________（度），的度数为__________（度）； (2)如图②，当平分时，求的度数； (3)当不平分时，则的度数为__________（度）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查角的运算，角平分线的定义． （1）由题意可得：，根据角的和差即可求解； （2）由平分可得，根据角的和差即可求解； （3）根据角的和差即可求解． 【详解】（1）由题意可得：， ∵， ∴， ． 故答案为：， （2）∵平分， ∴， ∴ ∴． （3）∵， ∴ ． 故答案为： 地 城 考点03 几何图形中角度计算问题 一、单选题 1．(24-25七上·天津西青区·期末)在同一平面内有，，则的度数是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，分射线在内、外两种情况，画出图形，分别计算即可． 【详解】解：如图1所示，当射线在内时， ； 如图2所示，当射线OC在外时， ， 综上，的度数为或， 故选C． 2．(23-24七上·天津滨海新区·期末)如图，，若，则①；②；③；④．其中正确的结论为（   ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查角度之间的计算，根据题意得到和，逐个判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，则②正确； 则，则①正确； ，则③正确； ∵，， ∴，则④错误． 故选：D． 二、填空题 1．(24-25七上·天津外国语大学附属外国语学校·期末)如图，是一个平角，，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中的角度计算问题等知识点，根据图中角度之间的和差关系正确列式计算是解题的关键． 先根据角平分线的定义求出，然后根据即可得解． 【详解】解：∵，平分， ∴， 又是一个平角， ∴， 故答案为：． 2．(23-24七上·天津南开区·期末)如图，长方形纸片，点，分别在边，上，连接．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 （度）． 【答案】59 【分析】本题考查了角度的计算，折叠的性质，根据折叠的性质得出，，且，进而即可求解． 【详解】解：依题意，，，且， ， 故答案为：59． 3．(23-24七上·天津宁河区·期末)已知，，则的大小为 （度）． 【答案】80或20/20或80 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题，避免遗漏．根据题意作出图形，然后分两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如下图， 此时，； ②如下图， 此时，． 综上所述，的大小为80度或20度． 故答案为：80或20． 三、解答题 1．(24-25七上·天津河北区·期末)如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转． (1)试求的度数． (2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？ (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x． 【答案】(1)160° (2)30秒或34秒 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，即可得到结果； （2）设他们旋转x秒时，使得，则．分两种情况：①当射线与射线相遇前，②当射线与射线相遇后，分别列方程求解即可； （3）设t秒后这两条射线重合于射线处，则°，先根据角平分线的定义可得的度数，即可求得的度数，再根据即可求得的度数，从而得到的度数，求出时间t，再列方程求x即可． 【详解】（1）∵， ∴3， 解得，， ∴， ∴； （2）设他们旋转x秒时，使得，则， ①当射线与射线相遇前有：， 即：， 解得：； ②当射线与射线相遇后有：， 即：， 解得：， 答：当他们旋转30秒或34秒时，使得； （3）设t秒后这两条射线重合于射线处，则， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，°， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了非负数的性质、角的和差计算以及一元一次方程的应用，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键． 2．(24-25七上·天津西青区·期末)（1）如图①，点C，E，D在线段上，，点E是的中点，求线段的长． （2）如图②，已知，平分，且，求的度数． 【答案】（1）14；（2） 【分析】本题考查线段中点的定义、线段的和差，角平分线的定义和角的和差，数形结合是解题的关键. （1）根据题意得到，根据求出，再根据点E是的中点即可求出，最后由求解即可； （2）根据角平分线的定义先求出，再求出，根据角平分线的定义求出，再由求解即可． 【详解】解：（1）因为， 所以． 因为， 所以． 因为点E是的中点， 所以， 所以； （2）因为， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 所以． 3．(23-24七上·天津育贤中学·期末)已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)20或40或80 (3)存在，t的值为36或60 【分析】本题考查角的和差关系，一元一次方程的应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）的度数等于旋转速度乘以旋转时间； （2）当时，分三种情况：射线在左侧；射线在右侧；射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解； （3）分两种情况：射线在上方，射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 度， 故答案为：； （2）解：当时，分三种情况： 当射线在左侧时，如图： ，， ， 即， 解得：； 当射线在右侧时，如图： ， 即， 解得：； 当射线在下方时，如图： ， 解得：； 综上可知，的值为20或40或80． （3）解：由题意得平分， 所以， 当射线在上方时，， 解得； 当射线在下方时， 解得， 综上可知，存在，t的值为36或60． 4．(23-24七上·天津第十一中学·期末)探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则 ． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算： （1）根据平角的定义进行计算即可； （2）根据角的和差关系，角平分线的定义，得到，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴． 5．(24-25七上·天津南开区·期末)已知是锐角，以OB为边画锐角，且小于．射线OM和射线ON分别平分和．    (1)如图1，若射线OC在的内部，且，求和的大小； (2)如图2，若射线OC在的外部，且，，直接写出图中与互余的角：_______； (3)若，请直接用含有m的式子表示的大小，其结果为_______（度）． 【答案】(1)， (2)和 (3) 【分析】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，熟练掌握角的和、差、倍、分，是解题的关键； （1）根据角平分线的定义得到，， 然后利用∠ ， 即可得到 ， 即可求解 ； （2）OC在的外部求得，再根据角平分线的定义得，即可得出结论； （3）分别从OC在的内部和外部讨论，根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）∵射线OC在的内部，且，， ∴， ∵射线OM和射线ON分别平分和， ∴，， ∴， ， ， ； （2）∵射线OC在的外部，且，， ∴， ∴， ∴， ∵射线ON分别平分， ∴， ∴， ∴与互余的角有和， 故答案为：和， （3）若射线OC在的内部，且小于， ∵射线OM和射线ON分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴ 若射线OC在的外部，且小于， ∵射线OM和射线ON分别平分和， ∴，， ∵ ， ∵， ∴ 故答案为：． 6．(24-25七上·天津滨海新区·期末)如图，已知，在外部，，平分，平分．求的度数． 依题意补全图形； 完成下面的解答过程． 解：平分，平分， （理由：___________）． ，， ，． ． 如图，已知线段，延长至点，使得．点，分别是线段和线段的中点，若，求的长． 【答案】图见解析；②角平分线定义；15°；； ． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、线段中点的定义．角平分线把一个角分成了两个相等的角线段的中点把线段分成两条相等的线段． 根据角平分线的定义可以分别求出，，，再根据图形中角的位置关系求出的度数； 根据可得：、，再根据中点的定义可知：、，再根据可以求出，从而可得：． 【详解】如下图所示， 解：平分，平分， （理由：角平分线的定义）， ，， ，， ， 故答案为：角平分线的定义，，； 解：， ， ， 是的中点，是的中点， ，， ， ， ． 7．(23-24七上·天津和平区耀华中学·期末)如图，已知，，平分，求和的度数． 【答案】， 【分析】此题考查角度的和差计算，会看图明确各角之间的大小关系，注意角平分线的运用． 首先根据角的和差求出，然后利用角平分线的概念得到，然后利用角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 8．(23-24七上·天津滨海新区·期末)（1）如图①，点O在直线上，，，平分，求的度数． （2）如图②，已知点C，D是线段的三等分点，点E是线段的中点，且，求线段的长． 【答案】（1）；（2）12 【分析】本题考查与角平分线有关的角的计算、与线段中点有关的计算，利用数形结合思想求解是关键． （1）先利用平角定义和已知条件求得，再根据角平分线的定义求得，进而由平角定义可求解； （2）先根据线段中点定义和线段三等分点得到，，结合求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵点C，D是线段的三等分点，点E是线段的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 地 城 考点04 角度的四则运算 一、单选题 1．(24-25七上·天津第二十一中学·期末)已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角度的计算，用三个角的和乘以所占比例即可求出的度数． 【详解】∵，且三个角的和为， ∴． 故选：A． 2．(24-25七上·天津河西区·期末)下列计算结果错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是度分秒的换算．根据度分秒的换算计算即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 1．(24-25七上·天津滨海新区·期末) ． 【答案】 7.8 7 48 【分析】本题考查角度的运算，熟知度分秒的换算、掌握度分秒之间的进率是解题的关键． 度分秒之间的关系∶，，（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度分，即，1分秒，即．（2） 具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 首先根据度分秒之间的关系∶ ，进行度分秒的换算；接下来，再根据度分秒的除法运算，即可得到题目的结论． 【详解】解：，，， 故答案为：7.8，7，48． 2．(23-24七上·天津红桥区·期末)如果，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角度的四则运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 3．(23-24七上·天津经济技术开发区泰达中学·期末)换算： 度 分．用度表示为 ． 【答案】 50 30 【分析】本题考查了度分秒之间的换算，根据，解析计算即可解答，解决本题的关键是熟记． 【详解】 ， 故答案为：50；30；． 地 城 考点05 角平分线的有关计算 一、单选题 1．(24-25七上·天津西青区·期末)如图，在内部任意画一条射线，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的相关计算、角的和差等知识．由角平分线得到，，由，即可解答． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．(24-25七上·天津第十一中学·期末)下列说法正确的是（    ） A．连接两点的线段叫做两点的距离 B．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大 C．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线 D．直线l经过点A，那么点A在直线l上 【答案】D 【分析】此题考查了线段、角、点与直线等基本几何概念，准确理解两点间的距离、角的性质、角平分线的定义、点与直线的位置关系是解题的关键．根据两点间的距离、角的性质、角平分线的定义、点与直线的位置关系逐项判断即可． 【详解】解：A.连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故本选项错误，不符合题意； B.用一个放大镜能够把一个图形放大，一个角的度数不变，故本选项错误，不符合题意； C.在角的内部，从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫角的平分线，故本选项错误，不符合题意； D.直线l经过点A，那么点A在直线l上，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 1．(23-24七上·天津部分区·期末)如图，，平分，平分，则的大小为 （度）． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，由平分得出，再由平分得出，即可得解，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键． 【详解】解：，平分， ， 平分， ， 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25七上·天津河西区·期末)如图，已知平分，平分．    (1)若，请你比较与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，掌握角之间的和差倍分关系是解题的关键． （1）利用角平分线定义，求出，即可解决问题； （2）利用角平分线定义，求得，，根据，得到的度数． 【详解】（1）解：因为平分，平分， 所以，，    又因为， 即，所以， 所以，即与相等； （2）解：因为平分，平分， 所以，，， 因为，即， 所以． 2．(24-25七上·天津红桥区·期末)已知，作射线，，射线，分别是的平分线． (1)当射线在的内部时，如图，若，求的度数； 下面是小东的解答过程，请你补充完整． 解：（1）因为是的平分线，且， 所以（______）（填写推理依据）． 因为是的平分线，且， 所以______， 所以______． (2)当射线在的外部时，的度数为______．（用含的式子表示） 【答案】(1)角平分线定义；； (2)或 【分析】该题主要考查了角的计算以及角平分线定义，解题的关键是画出图． （1）根据射线，分别是的平分线得出，，再结合，，，即可求解； （2）分为当、在同侧时，当、在两侧时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：因为是的平分线，且， 所以（角平分线定义）（填写推理依据）． 因为是的平分线，且．， 所以， 所以． 故答案为：角平分线定义；；． （2）当射线在的外部时， 分两种情况讨论： 当、在同侧时，如图， 射线，分别是的平分线， ，， ， 当、在两侧时，如图， 射线，分别是的平分线， ，， ， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 3．(24-25七上·天津和平区·期末)（1）如图1，点为线段的中点，点是线段的一个三等分点，，求的长， （2）如图2，点，，在同一直线上，，，平分，求的度数， 【答案】（1）25；（2） 【分析】此题主要考查了线段中点，角平分线．熟练掌握线段中点的定义，角平分线的定义，线段的和差计算，角的和差计算是解题的关键． （1）根据，得到，，又根据点为线段的中点，得到，即可求得． （2）根据，求得，又根据，求得，平分求得，即可求得． 【详解】解：（1）∵点是线段的一个三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． （2）∵点，，在同一直线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 4．(23-24七上·天津西青区·期末)（1）如图①，线段，点M是线段的中点，点N是线段的中点，求线段的长度． （2）如图②，已知，平分，且，求的度数． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，与角平分线有关的计算等知识，理清线段和角度之间的和差关系，是解题的关键． （1）先求出的长，中点求出的长，利用计算即可； （2）设，得到，角平分线平分角，得到，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴设， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．(23-24七上·天津河西区·期末)如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的反向延长线． 若是的平分线． (1)求和的度数； (2)射线的方向为______．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2)北偏东 【分析】本题主要考查了方向角的表示，几何图中角度的计算，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由题意得，从而得到，再由角平分线的定义进行计算即可； （2）求出，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 是的平分线， ； （2）解：， 射线的方向为北偏东， 故答案为：北偏东． 6．(23-24七上·天津河北区·期末)如图①，点为直线上一点，，将一直角三角板的角的顶点放在店处，斜边在射线上，直角顶点在直线的下方． (1)在图①中，求和的度数； (2)将图①中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，边恰好平分，第秒时，边在的平分线上，请分别求出的值； (3)将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转至图②，使边在的内部，边在的外部，请研究：与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查角的运算和角平分线的定义： （1）根据，即可求得答案． （2）设当边旋转到时，恰好平分，则，即可求得的值，同理可求得的值． （3）根据，即可求得答案． 【详解】（1）． ． （2） 如图所示，设当边旋转到时，恰好平分，则 旋转的角度为：． ． 如图所示，设当边旋转到时，恰好平分，则 旋转的角度为：． ． （3）由题意可知： ∵， ，得． 7．(24-25七上·天津滨海新区大港第六中学·期末)已知：，． (1)如图，求的值． (2)如图，平分，平分，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）利用角平分线的定义可得，，然后再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 的值为； （2）平分，平分， ∴，， ， ， 的值为． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 地 城 考点06 余角和补角 一、单选题 1．(24-25七上·天津河北区·期末)如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．先利用互补得到，再利用互余得到的余角，则可对①进行判断；由于，所以的余角，则可对②进行判断；利用得到，从而可对③④进行判断． 【详解】解：∵和互补，， ∴， ∵的余角，所以①正确； ∵， ∴的余角，所以②正确； ∵， ∴， ∴的余角，所以③错误，④正确． 故选：C． 2．(24-25七上·天津第五十五中学·期末)如图，结论正确的是（    ） ①射线的方向是北偏西； ②射线的方向是东南方向；③射线的方向是北偏东；④和互为补角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了方位角的表示方法，以正南（或正北）为基准线，其夹角的度数即为某条射线的方位角． 根据方位角的确定方法依次判断． 【详解】解：①射线的方向是北偏西40°，故错误； ②射线的方向是东南方向，故正确； ③射线的方向是北偏东，故正确； ④，故错误； 正确的有2个， 故选：B． 3．(24-25七上·天津河西区·期末)下列说法正确的是（   ） A．两条射线组成的图形叫作角 B．一个角的补角一定大于这个角 C．两点之间，线段最短 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，直线、射线、线段，线段的性质．根据角的定义判断选项A，根据补角的性质判断选项B，根据线段的性质判断选项C，根据射线的表示方法判断选项D． 【详解】解：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，原说法错误，故此选项不符合题意； B、一个角的补角不一定大于这个角，如的补角是，而，故此选项不符合题意； C、两点之间，线段最短，故此选项符合题意； D、射线和射线不是同一条射线，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．(24-25七上·天津西青区·期末)有下列结论： ①有下列各数：，其中负有理数有3个； ②射线和射线是同一条射线； ③一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系； ④代数式的实际意义可以理解为：若n袋大米的质量是，则平均每袋大米的质量是，m袋大米的质量是． ⑤如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等． 其中正确的结论个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】该题主要考查了有理数的分类，射线的定义，成反比例定义，代数式的意义，补角等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据有理数的分类，射线的定义，成反比例定义，代数式的意义，同角的补角相等依次判断即可． 【详解】解：①下列各数：，其中负有理数有，共3个，故说法正确； ②射线和射线不是同一条射线，原说法错误； ③一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，则装箱数每箱的质量这批水果总质量，则装箱数与每箱的质量成反比例关系，故说法正确； ④代数式的实际意义可以理解为：若n袋大米的质量是，则平均每袋大米的质量是，m袋大米的质量是，原说法错误． ⑤如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，故说法正确． ∴正确的有3个， 故选：C． 5．(24-25七上·天津南开区·期末)如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互补的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键． 根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A、图中，与互余，故本选项不符合题意； B、图中，不一定互补，故本选项错误； C、图中，互为补角，故本选项正确； D、图中，不是互补关系，故本选项错误． 故选：C． 6．(24-25七上·天津滨海新区·期末)如图，点在同一条直线上，射线和在直线的同侧，，分别是和的平分线．有下列结论： ①； ②与互余； ③的邻补角有两个； ④． 其中，正确的结论为 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，角与角的和与差，余角和补角的定义，余角的性质，根据题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据角平分线的定义得出，，根据求出结果即可判断①；根据余角的定义可以判断②；根据邻补角定义可以判断③；根据余角的性质先得出，根据即可判断④． 【详解】解：∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵，， ∴， ∴与互余，故②正确； 的补角只有一个，而图中的邻补角只有，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②④． 故选：B． 7．(24-25七上·天津南开区·期末)如图，和都是直角、如果，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．的平分线也是的平分线 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角，以及角的计算，角平分线的定义；A、根据同角的余角相等即可求解；B、先根据余角的定义求出，再根据角的和差关系即可求解；C、根据角的和差关系即可求解；D、根据，可得，进而得到的平分线也是的平分线 【详解】解：A、∵和都是直角， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故B错误，符合题意， C、∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； D、如图所示，设是的平分线， ∴， ∵, ∴，即， ∴的平分线也是的平分线， 故选：B． 8．(23-24七上·天津红桥区·期末)如图所示，的大小可由量角器测得，则的余角的大小为（  ）    A．60° B．120° C．30° D．90° 【答案】C 【分析】根据和为90度的两个角互余，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴的余角的大小为； 故选C． 9．(23-24七上·天津和平区耀华中学·期末)如图，货轮 在航行的过程中发现灯塔在它的北偏东的方向上，海岛在它南偏东方向上．则下列结论： ①； ②图中的补角有两个，分别是和； ③图中有4对互余的角； ④货轮在海岛的北偏西的方向上． 其中正确结论的个数有 （   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】考查方位角的概念，互余的意义以及角度的有关计算等知识，理解方位角的意义和角度的计算是正确解答的前提． 根据方位角的意义、互余意义结合图形逐个进行判断，最后得出答案． 【详解】由方位角意义可知：，因此①正确； ∵海岛在它南偏东方向上 ∴， ∴， ∵， ∴，因此②正确； ∵，， ∴ ∴，，， ∴图中互余的角有：和，和，和，和，因此③正确； ∵海岛B在轮船O南偏东方向，即， ∴， ∴货轮O在海岛B的西偏北的方向上．因此④正确； 综上所述，正确的个数有4个， 故选：D． 二、填空题 1．(24-25七上·天津部分区·期末)已知一个角是，则它的余角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的余角，解决本题的关键是熟记互为余角的两个角的和等于． 根据互为余角的两个角的和等于列式进行计算即可得解． 【详解】解：． 故答案为：． 2．(24-25七上·天津第十一中学·期末)一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角的余角为 度． 【答案】55 【分析】本题考查了余角和补角的概念以及运用．利用“一个角的补角比这个角的余角的3倍少”作为相等关系列方程求解即可． 【详解】解：设该角度数为x， 则， 解得， 故这个角的余角是． 故答案为：55． 3．(23-24七上·天津部分区·期末)已知一个角是，则它的余角是 ． 【答案】 【分析】本题考查余角的定义和角的运算，根据余角的定义和角的运算即可解答． 【详解】它的余角为． 故答案为： 三、解答题 1．(24-25七上·天津河西区·期末)列方程表示下列语句中的相等关系： (1)的补角是它的余角的3倍； (2)某商品的进价为x元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现在的售价是210元； (3)已知水流的速度是，一艘船在静水中的平均速度为，该船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程、余角和补角等知识点，读懂题目意思、找出等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据余角、补角的定义列出方程即可； （2）根据某商品的进价为x元，售价为进价的倍表示出售价，再根据现每件的售价又降低10元，现在的售价是210元列出方程即可； （3）根据顺流速度、船速、水速，逆流速度、船速、水速以及路程、速度、时间的关系列出方程即可． 【详解】（1）解：的补角是，的余角是． 由的补角是它的余角的3倍，则． （2）解：某商品的进价为x元，售价为进价的1.1倍，则售价为，又现每件的售价又降低10元，现在的售价是210元，则． （3）解：由题意可得：顺流速度为，逆流速度为， 则． 2．(23-24七上·天津南开区·期末)直线，相交于点，，平分． (1)如图①，若，求和； (2)如图②，若； v①求的度数． ②直接写出与互补的角． 【答案】(1)， (2)①；②，， 【分析】本题考查邻补角，角平分线的定义，余角和补角及角的运算，求得是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可求得的度数，再利用角的和差即可求得的度数及的度数； （2）①利用角平分线的定义及角的和差即可求得的度数；②根据补角的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）解：①平分，， ，， ， ， ； ②，，，， ， 与互补的角为：，，． 3．(24-25七上·天津育贤中学·期末)如图，直线与相交于点，射线在内． (1)如图①，若的补角是它的余角的3倍，则=__________； (2)在（1）的条件下，若比小，求的度数； (3)如图②，若射线平分，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了余角、补角及角平分线的定义等知识，熟练掌握概念并准确识图是解题的关键． （1）设，根据的补角是它的余角的3倍，可列出方程，求解即可； （2）由及平角定义可得，则，将用等量代换后即可求出的度数； （3）由角平分线定义可得，设，分别用含有的式子表示出和，然后相减即可得到结果． 【详解】（1）解：设，根据题意，得： ， 解得， ∴． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵，且， ∴， 即， ∴． （3）∵平分， ∴， 设， ∵， ∴， ， ∴． 试卷第1页，共3页 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $