第28章 锐角三角函数(课后巩固A)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

宝典训练|数学·九年级全册(R) 第二十八章锐角三角函数 第71课时 锐角三角函数(1) A层奔实基础 B层能力提升 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC= 6.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上 3,AB=5,则sinA的值是 的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于 A等 B cosA的是 ) c D. A把 R带 2.(2025·虹口区一模)在Rt△ABC中，已 c.cR n岩 知∠C=90°，AB=5,BC=3,那么∠B的 7.(2024秋·蜀山区校级期末)如图，在 正切值为 ( Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,AC= A号 c 3,AB=5,则cos∠ACD的值为( 】 3.(2024秋·灞桥区校级期末)将Rt△ABC A 的边长都扩大为原来的3倍，则cosA的 C. D 值 ( A.变大 B.不变 C层思维拓展 C.变小 D.无法判断 8.如图，在锐角△ABC中，AB=10cm,BC 4.(2024·坪山区一模)如图，在4×4的正 =9cm,△ABC的面积为27cm2.求tanB 方形网格中，tana的值为 ( 的值 A司 B.2 C.26 5 D.5 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 13,BC=12,求tanB的值. 54 数学·课后巩固作业 ●-●-● 第73课时 特殊角的三角函数值 A层奔实基础 (3)(3)1+11-V31-2sin60°+(x 1.请结合熟悉的三角板填写下表. 2023)°-√8； ∠A 60° 30° 45° 函数值 sinA cosA tanA (4)(2025·龙岗区模拟)计算：tan45°+ 2.(2024秋·朝阳区期末)计算2sin30°的值 cos60°Xsin30°-sin60°. 为 ( ) A日 B.1 C.③ D.√3 3.(2024秋·莘县校级月考)若∠A是锐角， 且nA=9,则∠A等于 ) A.60° B.45° C.30° D.75° 4.(2024秋·邗江区校级期末)计算： (1)tan30°-2cos60°； B层能力提升 5.若（√3tanA-3)2+|2cosB-1|=0,则 △ABC是 () A.直角三角形 B.等边三角形 C.含有60°的任意三角形 (2号in45r+V卫sn60-2an4A5, D.顶角为钝角的等腰三角形 6.已知a为锐角，且2sina-√3=0，则a 7.若c0s(a-10)=司，则∠a的角度数 为 55 富典训练|数学·九年级全册(R) ●●- C层思维拓展 9.先填空，再按要求解答题， 8.规定：sin(-x)=一sinx,cos(-x)= sin230°+cos230°= cosx,sin(x+y)=sinx·cosy+cosx· sin45°+cos245°= siny.据此 sin260°+cos60°= (1)判断下列等式成立的是 (1)观察上述等式，猜想：对任意锐角A, (填序号). 都有：sin2A十cos2A= ①cos(-60y=- (2)如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利 2 用三角函数的定义证明你的猜想； ②sin2x=2sinx·cosx; ③sin(x-y)=sinx·cosy-cosx·siny. (3)若已知∠A为锐角且sinA-是，求 (2)利用上面的规定求： cosA的值. ①sin75°；②sinl5°. 56 数学·课后巩固作业 ●-● 第75课时 解直角三角形及其应用(1) A层奔实基础 4.(2024秋·泉港区期末)小明利用“无人 1.(2024·德惠市二模)如 机”测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港 图，一枚运载火箭从地面 打卡景点：玉笏朝天)的高度.无人机的探 L处发射，雷达站R与发 测器显示，观测“玉笏朝天”最高点A的仰 43C 射点L距离6km,当火箭 R 角是30°，观测“玉笏朝天”底部B的俯角 到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这 为60°.若AB与水平面垂直，无人机的观 枚火箭此时的高度AL为 km. 测点P与AB的水平距离PE为？3米. 2.如图所示，热气球的探测 请求出“玉笏朝天”的高度AB. 器显示，从热气球A处看 一栋楼顶部B处的仰角为 7777777777777 30°，看这栋楼底部C处的 俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离 为150m,则这栋楼的高度为( A.50√3m B.150√3m C.200√3m D.300m B层能力提升 3.(2023秋·双阳区期末)某数学实践小组准 备测量路灯杆的高度.先从水平地面上一 点C处，测得C到路灯杆AB底部B的距 离为10米，在C处放置高为1米的测角仪 CD,测得路灯杆顶部A的仰角为60°，求路 灯杆AB的高度（结果保留根号）. 607 57 富典训练|数学·九年级全册(R) ●●-● 5.(2023·广东)2023年5月30日，神舟十 别测量了两次并取它们的平均值作为测 六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航 量结果，测量数据如下表（不完整） 天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片 课题 测量旗杆的高度 展示了中国空间站上机械臂的一种工作 成员 组长：xxx 组员：xxx,xxx,xxx 状态.当两臂AC=BC=10m,两臂夹角 测量 测量角度的仪器，皮尺等 ∠ACB=100°时，求A,B两点间的距离. 工具 (结果精确到0.1m,参考数据：sin50°≈ 说明：线段GH表示学校旗 0.766,cos50°≈0.643，tan50°≈1.192) 杆，测量角度的仪器的高度 AC=BD=1.5m,测点A, B与H在同一条水平直线 测量示 上，A,B之间的距离可以 意图 直接测得，且点G,H,A, B,C,D都在同一竖直平面 内，点C,D,E在同一条直 线上，点E在GH上. 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量 ∠GCE的度数 25.6 25.89 25.7° 数据 ∠GDE的度数 31.2° 30.8° 31° A,B之间的距离 5.4m 5.6m … 任务一：两次测量A,B之间的 距离的平均值是 m. 任务二：根据以上测量结果，请 你帮助“综合与实践”小组求出 学校旗杆GH的高度.（参考数据：sin25.7° ≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48， sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60) C层思维拓展 6.(2025·长沙一模)某“综合与实践”小组 开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他 们制订了测量方案，并利用课余时间完成 了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地 上，选取两个不同测点，分别测量了该旗 杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距 离.为了减小测量误差，小组在测量仰角 的度数以及两个测点之间的距离时，都分 58 数学·课后巩固作业 第77课时 解直角三角形及其应用(3) A层奔实基础 4.(2024·中山市一模)北斗卫星导航系统 1.甲、乙两人从同一地点出发，甲以40m/min 是中国自行研制的全球卫星导航系统，其 的速度向北偏东40°方向直行，乙以 由空间段、地面段和用户段三部分组成， 30m/min的速度向南偏东50°方向直行，若 可在全球范围内全天候、全天时为各类用 他们同时出发，则5min后他们相距( ) 户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服 A.50mB.70mC.250mD.350m 务.如图，小敏一家自驾到风景区C游玩， 2.已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏 到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 向5海里处，此时海监船C发现货轮A在 60°方向行驶一段距离到达风景区C,小敏 它的正北方向，那么海监船C与货轮A相 距的海里数是 发现风景区C在A地的北偏东15°方向. ( (1)求∠C的度数； A.10 B.5√5C.5 (2)求B,C两地的距离.（如果运算结果有 B层能力提升 根号，请保留根号) 3.(2024·东营区二模)由我国完全自主设 北 计、自主建造的某大型拖船近日完成海上 测试.如图，拖船由西向东航行，到达A处 、0 时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向， 且与拖船相距80海里.继续航行一段时 间后到达C处，测得小岛B位于它的西北 A 方向.求此时拖船与小岛的距离BC的长 (结果保留根号). 北 东 30 59 富典训练|数学·九年级全册(R) ●●-●… … C层思维拓展 (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会 5.(2024·海南)木兰灯塔是亚洲最高、世界 进入“海况异常”区，请计算说明， 第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北 (参考数据：W2≈1.41，W3≈1.73，√6≈ 端，是海南岛东北部最重要的航标.某天， 2.45) 一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时 10海里的速度在琼州海峡航行，如图 所示. 雷州书岛 点A 渔船 木兰灯塔 文昌 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P 北偏西60°方向上的A处. 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰 灯塔P北偏西45°方向上的B处. 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到 上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州 海峡C点周围5海里内，会出现异常海 况，点C位于木兰灯塔P北偏东15 方向 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：∠PAB= °，∠APC= °，AB= 海里； 60参考答案 (2)根据图得，B(-2,8),C(一6,4) 第72课时 锐角三角函数(2) C层思维拓展 10.(1)证明：如答图，连接OC,:1是⊙0的切线， A层夯实基础 .OC11. 1.√72.103.44.A ADLl,.OC∥AD. ∴.∠CAD=∠ACO=∠CAB. 5解：∠C-60,aA-器-合 ∠D=∠ACB=90°， ,BC=3,∴.AC=9 .△ABC∽△ACD; .AB:=AC+BC,..AB=3/10. (2)解：.AC=5, 答图 B层能力提升 CD=4,∠ADC=90°， ∴.AD=WAC-CD=3 6.解：在Rt△ACB中，∠ACB=90,sinA=BC=3 △ABCAACD.2-S4B-号 设BC=3k,AB=5k,则AC=4k, 5 3 ∴.4k=8..k=2..AB=10,BC=6. AB=要⊙0的半径为得 C层思维拓展 11.解：如答图，设AH交DG于点L, 7.解：如答图，过点C作CF⊥AB .DE:DG=1:2,..DG=2DE. 交AB的延长线于点F, 四边形DEFG是矩形，且点D,G分 :四边形ABCD是菱形 别在AB,AC上，EF边在BC边上， ∴.AB=BC,AD∥BC. ∴.DG∥BC,∠DEC=90°. ∴.∠CBF=∠DAB. 答图 ∴.△ADG∽△ABC. 答图 coS∠DAB=-cos∠CBF= ,AH是△ABC的高，.AH⊥BC, ∠ALD-∠AHB-90AL1DG.∴沿-8C 设BF=3x,BC=4x,∴.CF=√BC-BF=√7x. .AF=AB+BF=7x, ,DG∥BC,LHBC,DE⊥BC, .AC=√AF+CF=W/49x2+7x=2√14x. BC=40 cm,AH=30 cm, ∴.LH=DE.∴AL=AH-LH=AH-DE. ·cos∠CAB=AP-7x AC2√/14x 4 4 :30DE=2DE.解得DE=12, 30 40 第73课时 特殊角的三角函数值 .'DE=FG=12cm,DG=EF=24 cm. .DE+EF+FG+DG=2X12+2×24=72(cm). A层夯实基础 .矩形DEFG的周长为72cm. 1.9合竖 第二十八章锐角三角函数 2.B3.A 第71课时锐角三角函数(1) 4解：原式-（停-2×号--1=一号 A层夯实基础 1.A2.D3.B4.B (②)原式-号×号+2,×号-2×1=+8-2 2 5.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,BC=12, 由勾股定理，得AC=√AB-BC=√132-12-5. 则tanB-C-是 (3)原式=3+5-1-2×+1-22 2 B层能力提升 =3+5-√5-2√2=3-22. 6.C7.B (④原式=1+×号-号)=1+日-= C层思维拓展： B层能力提升 8.解：过点A作AH⊥BC于点H,如答图， 5.B6.607.70° :Sa度=27,7X9XAH=27. C层思维拓展 .AH=6.,AB=10 8.解：(1)②③ .BH=√AB2-AH=√102-62 (2)①sin75°=sin(30°+45°)=sin30°·cos45°+cos30°· =8. 答图 血×号+9×号+95， 4 ②sin15°=sin(45°-30°)=sin45°·cos30°-cos45°· sin30 =号×9×2 4 61 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 9.111 在Rt△ADB中，∠B=45°，AB=√2， 解：(1)1 .AD=1,BD=1. (2)如题图，在Rt△ABC中， 1 在Rt△ADC中，tanC=2,AD=1, CD-tc2. 在Rt△ADC中，∴.AC=√JAD+CD=√1+2=√5. 根据勾股定理可知：a2十=c2, C层思维拓展 'sinA=a 8.解：(1)36cm C, (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 六mA+碳A-g+号=2 2=1, ∴∠B=90°-∠A=60°. .要使△PBQ是等边三角形，则有PB=BQ, 'sinB=b」 c,cosB=a 由题意得AP=2tcm,BQ=tcm, '.sin'B+cos'B=a 则BP=AB-AP=(36-2t)cm,∴.36-2t=t. c1, 解得t=12, 故猜想成立； .当△PBQ是等边三角形时对应的t值为12； (3)'sin'A+cos'A-1,sinA=3 ， (3)当：为9或号时，△PBQ是直角三角形，理由如下： (号+osA=1.osA=2碧 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∠B=90°-∠A=60. :∠A为锐角，0<c0sA<1.cosA=号 由题意得AP=2tcm,BQ=tcm, BP=AB-AP=(36-2t)cm, 第74课时解直角三角形 △PBQ是直角三角形， .BP=2BQ或BQ=2BP A层夯实基础 当BP=2BQ时，36一2t=2t,解得t=9, 1.B 2.解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， 当BQ-2BP时，=2(36-20，每得1=号， ∴.∠B=90°-∠A=30° 综上所述，当：为9或号时，△PBQ是直角三角形。 :smB=名b=25:sm30=25×分=5 第75课时解直角三角形及其应用(1) “sinA=g,a=25:sin60°-2月×-3. 2 A层夯实基础 3.解："a=6,6=2,tanA=号=5. 1.6tan43°2.C ∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°， B层能力提升 c=√a2+b=4√3. 3.解：由题意，知四边形BCDE是矩形， 4.D ∴.DE=BC=10米 EB=CD=1米，∠AED=90°. B层能力提升： 在Rt△ADE中，∠ADE=60°， 5.解：∠B=25°，∠C=90°，∠A=90°-25°=65. sin mADE能AE-DE·m0-105米， .AB=AE+EB=(103+1)米 .AC=AB·sinB≈4×0.423=1.692≈1.7. .cosB-AB' BC 答：路灯杆AB的高度为(10√3+1)米. .BC=AB·cosB≈4X0.906=3.624≈3.6. 4.解：由题意得∠APE=30,∠BPE=60,PE=号5米， ∠A=65°，AC=1.7,BC=3.6. ∠AEP=∠BEP=90°， 6.解：如答图，过点A作AE⊥BC, 在R△APE中，∠APE=30,PE=多5米， 在Rt△ABE中， a∠ABC-5-AB-15, AE-PEn0-号月×号号（米）， .AE=9,BE=12, 在R△BPE中，∠BPE=60,PE=号5米， .CE=BC-BE=15-12=3, E 答图 在Rt△AEC中， BE=PEan60=号X,-号（米）. 根据勾股定理得AC=√AE+CE=√92+3=3√/10. 7.解：，AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90 AB=AE+BE=哥+艺=10（米）. 答：“玉笏朝天”的高度AB为10米. 62 参考答案 5.解：连接AB,取AB的中点D,连接CD,如答图， ∠DBE=53°，DE=900m, :AC=BC,点D为AB的中点， DE 900 .中线CD为等腰三角形的角 ÷BD=sin2DBE≈0,8-1125(m. 平分线（三线合一），AD=BD 从山底A处到达山顶D处需要的时间t=t行十t缆车= 号A服 600+1125≈38.8(min), 3060 .∠ACD=∠BCD= D 答：从山底A处到达山顶D处大约需要38.8min 2∠AcCB=50 答图 C层思维拓展 7.解：斜坡AB的坡度为1：√3， 在R△ACD中，m∠AcDin0-0 10 .AD=10×sin50°≈7.66(m). aABE-有得∠ABE- .AB=2AD=2X7.66=15.32≈15.3(m). ∴.AE=AB·sin∠ABE=200×sin30°=100（米）. 答：A,B的距离大约是15.3m. “斜坡cD的装度为1：8是-日 C层思维拓展 .可设CE=x米，则DE=3x米 6.解：任务一：5.5 ,CE+DE2=CD2,CD=260米 任务二：由题意知，∠GCE=25.7°，∠GDE=31°， ∴.x2+(3x)2=2602.解得x=26√/10， AB=5.5,EH=AC=BD=1.5 m, ∠GEC=90°，四边形ABDC是矩形， .AC=AE-CE=(100-2610)米. :'.CD=AB=5.5 m. ∴斜坡AB下降的高度AC为(100-26√1O)米， GE GE DE-tanGDE CE- tan∠GCEi 第77课时 解直角三角形及其应用(3) .CD-CE-DE, 4层夯实基础 GE GE 1 1 5.5=tan25.7tan3T=GEx(0.480.60. 1.C2.B 解得GE≈13.2m, B层能力提升 ..GH=GE+EH=14.7 m. 3.解：如答图，过点B作BD⊥AC于点D, .GH的高度为14.7m. 北 第76课时 解直角三角形及其应用(2) 30 A层夯实基础 1.D2.3√103.B D B层能力提升： 答图 4.145 由题意得∠BAD=90°-30°=60°，∠BCD=90°-45°= 5.解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=6m, 45°，AB=80海里，在Rt△ADB中，∠BAD=60°， .AB=2AD=2×6=12(m). :sin∠BAD=BD=5,:BD=5AB=405(海里). AB 2 21 在Rt△ACD中，∠ACD=16°，AD=6m, 在Rt△BCD中，.∠BCD=45°， AC-ncCD6*08≈21.48(. AD 6 ∴△BCD是等腰直角三角形. 则自动扶梯AC增加的长度为21.43一12≈9.4(m). .BD=CD=40√3（海里）..BC=J2BD=40√6（海里）. 答：自动扶梯AC增加的长度约为9.4m. 答：此时拖船与小岛的距离BC的长为40√6海里. 4.解：(1)如答图1： 6.解：(1)如答图，过点B作BM⊥AF于点M, 由题意得∠BAD=45°，∠DAC=15°，∠FBC=60°，EF∥ :登顶1200m高的山峰，由 D DA,.∠ABE=∠BAD=45°. 山底A处先步行600m到达 ∴.∠ABC=180°-∠ABE-∠FBC=75°. B处，山坡AB的坡角为30°， ,∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°， 缆车行驶路线BD与水平面 B∠53 .∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45° 的夹角为53°， 3 .∠C的度数为45°； .∠A=30°，∠DBE=53°， M 北 北 DF=1200m,AB=600m. 答图 在Rt△ABM中，：∠A=30°，AB=600m, F ∴BM=2AB=300m=EF, 609 609 B B .∴.DE=DF-EF=1200-300=900(m); E 答：登山缆车上升的高度DE为9o0m; 15 (2)在Rt△BDE中， 答图1 答图2 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) (2)如答图2，过点B作BG⊥AC,垂足为G, AC=√AD+CD=√12+(W2)2=√5. 在Rt△ABG中，AB=10千米，∠BAC=60°， 8.解：在Rt△ADC中，∠ACD=37,CD=8m, BG=AB·sn60=10X号-5（千米）. .AD=CD·tan37°≈8×0.75=6(m) 在Rt△DCB中，∠DCB=45°， 在Rt△BGC中，∠C=45°， .BD=CD·tan45°-8X1=8(m). ÷BC=BC-55=56(千米). .AB=AD+BD=6+8=14(m). sin45 2 .旗杆的高度约为14m. 9.解：(1)由题意知AF⊥BC,∠BAF=16°， .B,C两地的距离为5√6千米. ∠AFB=∠AFC=90°， C层思维拓展！ 在Rt△AFB中，AF=AB·cos∠BAF=5·cos16°≈5X 5.解：(1)30755 0.96=4.8(米)； (2)过点P作PD⊥AC于点D,设PD为x海里，如答图， (2)过点A作AK⊥CD于点K,则∠AKD=90°，如答图， 雷书岛 北 BF=AB·sin∠BAF=5·sinl6°B. 点A B ≈5×0.28=1.4（米）， 渔船 169 .CF=BC-BF=2.6米. :四边形AFCK是矩形， 木兰灯塔 ∴.AK=CF=2.6米， 459 CK=AF=4.8米. 文昌 答图 答图 由题意知∠ADK=45°， 在Rt△BPD中，，'∠BPD=45°， ∴∠DAK=90°-∠ADK=45°=∠ADK. ∠PBD=45°，.BD=PD=x, .DK=AK=2.6米. 在Rt△APD中，∠APD=60°，.∠A=30°， ∴CD=CK-DK=2.2米. a∠APD-0-5,c∠APD-器-合 .阴影CD的长为2.2米. AP-2 C层思维拓展 .AD=√3PD,AP=2PD 10.解：过点P作PC⊥AB于点C,如答图， AB=AD-BD,∴3PD-PD=5海里. 北 ⊙ 步道 ∴PD=BD=号B+1D海里. .AP=2PD=5(W5+1)≈13.65海里 在△APC中，：∠A=30°，∠APC=75°， .∠C=180°-∠A-∠APC=75° .∠C=∠APC. 设PC=x米， .AC=AP≈13.65海里， 由题意得∠PAC=90°-60°=30°，∠PBC=45, 设上午9时渔船航行至E处， △PBC是等腰直角三角形. 则AE=10海里， ∴.BC=PC=x米. .CE=AC-AE≈3.65海里<5海里. ∴.AC=AB+BC=(100+x)(米). ∴.该渔船会进入“海况异常”区. AC=tan30°= 在Rt△APC中，tan∠PAC=PC 3, 第78课时《锐角三角函数》单元复习 ∴.AC=√5PC=√3x(米).∴.3x=100+x. A层夯实基础 解得x=50√3+50≈136.6，即PC≈136.6米. 1.30°2.D3.B4.C5.13m 答：广告牌P到河岸AB的距离约为136.6米. 6解原式9+(9字×5-9+方号宁 第二十九章投影与视图 第79课时投影及分类： B层能力提升 中心投影、平行投影（含正投影） 7.解：如答图，作AD⊥BC于点D, A层夯实基础} 在Rt△ABD中，sinB=AD=1 1.A2.B3.B4.C5.86.50 AB 3 AB=3,.AD=AB·sinB=1. B层能力提升！ 在R△ACD中，anC-品-号， 7.A 答图 C层思维拓展 cD=品=E 8.解：(1)边AC,BC在AB上的投影分别为AD,BD; 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 (2)AC2=AD·AB; (3)有.BC=BD·AB. 64