专题06 圆的压轴题（期末真题汇编，天津专用）九年级数学上学期人教版

专题06 圆的压轴题 一、填空题 1．(24-25九上·天津静海区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A落在格点上，点B，点C均在网格线上，△ABC的外接圆交网格线于点D，△ABC的外接圆的圆心为O． （Ⅰ）BC为⊙O的 ； （Ⅱ）⊙O上有一点P，连接DP，满足DP=AD，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 2．(24-25九上·天津第一中学·期末)如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中画的中点D ； （2）如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出的度数， （度）； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明 3．(24-25九上·天津河东区·期末)如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，圆上的点 均在格点上． （1） 的面积为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出 外接圆的圆心 ，内切圆圆心 ，并简要说明圆心的位置是如何找到的（不要求证明） 4．(23-24九上·天津第一中学·期末)已知，均是边长为4的等边三角形，点D是边的中点． （Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为 ； （Ⅱ）如图②，直线相交于点M，当绕点D旋转时，线段长的最小值是 ． 5．(23-24九上·天津河北区·期末)如图，在 中，经过点C且与边相切的动圆与，分别相交于点P，Q，则线段长度的最小值为 ． 6．(23-24九上·天津和平区益中学校·期末)如图，中，为直径，，分别切于点，．过点作于点，交于点，若，则 ． 7．(23-24九上·天津泰达中学·期末)如图，由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是的两条弦，且点A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）线段的长等于 ； （2）在如图所示的网格中，在直线的右侧找一点M，使得且，再在线段上找一点F，使，简要说明点M和F的位置是如何找到的（不要求证明） ． 8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点均在格点上． （I）线段的长为 ； （II）若点在线段上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使为等边三角形且的周长最小，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 9．(24-25九上·天津实验中学滨海育华学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ． 10．(24-25九上·天津和平区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，线段与圆相交于点F．    （I）线段是将线段绕点C顺时针旋转 （度）得到的； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使，并简要说明点Р的位置是如何找到的（不要求证明） ． 11．(24-25九上·天津南开区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．，，为上三点，其中为格点，，点为圆与网格线交点，连接，，，，． （1）若，则等于 （度）； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出上的点，使平分．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 12．(24-25九上·天津北辰区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，，及点均在格点上 （1）的大小为 （度）； （2）为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到．请用无刻度的直尺，在如图所示的格中，画出线段，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明） ． 二、解答题 13．(24-25九上·天津河北区·期末)如图，已知是的直径，是的切线，点是切点，弦于点，连接． (1)如图①，若，求和的度数； (2)如图②，若于点，，，求的长． 14．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，在每个小正方形边长为1的网格中，内接于圆，点，均落在格点上，且过点的网格线为圆的切线，点为格线上一点． (1)线段的长等于 ； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的内心（点），并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 15．(24-25九上·天津津南区·期末)如图，的内切圆与、、分别相切于点、、． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 16．(24-25九上·天津宁河区·期末)如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点均落在格点上，以点为圆心长为半径的圆交于点． （）线段的长等于 ， （）若切于点，为上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 17．(24-25上·天津经济技术开发区第一中学·期末)如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，和都为等腰直角三角形，且，，把绕点O逆时针旋转得，旋转角为． (1)如图2，当时，求点的坐标； (2)在绕点O逆时针旋转过程中： ①如图3，当点恰好落在线段上时，求的长； ②设线段与线段的交点为H，求出和面积之和的最大值，并求出此时H点的坐标．（直接写结果） 18．(23-24九上·天津和平区·期末)已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G． (1)如图①；当时，连接，求的长； (2)如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长； (3)连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值______． 19．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，内接于圆，且顶点在格点上，点在格线上，为圆的直径． （）的度数为 ； （）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在上画出一点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 20．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形的顶点，，均落在格点上．点是小正方形一边的中点，连接．      （1）线段的长等于 ； （2）以线段为直径作，试确定圆心的位置，并在线段上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 21．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点，均在格点上，顶点是圆与网格线的交点． (1)线段的长为 ． (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心及上的一点，使得，并简要说明圆心和点的位置是如何找到的（不要求证明）． 2 / 35 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆的压轴题 一、填空题 1．(24-25九上·天津静海区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A落在格点上，点B，点C均在网格线上，△ABC的外接圆交网格线于点D，△ABC的外接圆的圆心为O． （Ⅰ）BC为⊙O的 ； （Ⅱ）⊙O上有一点P，连接DP，满足DP=AD，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 直径 作图见解析；取格点A，E，F，连接AE，AF交⊙O于点M，N，连接MN交BC于点O，连接AO并延长交⊙O于点H，延长AD交网格线于点Q，连接HQ交⊙O于点P，点P即为所求． 【分析】（1）根据90°圆周角所对的弦是圆的直径，即可求解； （2）取格点A，E，F，连接AE，AF交⊙O于点M，N，连接MN交BC于点O，连接AO并延长交⊙O于点H，延长AD交网格线于点Q，连接HQ交⊙O于点P，点P即为所求． 【详解】（1）∵∠CAB=90°， ∴BC为⊙O的直径， 故答案为 直径； （2）如图，取格点A，E，F，连接AE，AF交⊙O于点M，N，连接MN交BC于点O，连接AO并延长交⊙O于点H，延长AD交网格线于点Q，连接HQ交⊙O于点P，点P即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．(24-25九上·天津第一中学·期末)如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中画的中点D ； （2）如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出的度数， （度）； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明 【答案】 取的中点T，连接，延长交于点D 45 取格点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并延长交点Q，线段即为所求 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识． （1）取的中点T，连接，延长交于点D，根据垂径定理推论即可得到点D为的中点； （2）①证明是等腰直角三角形，即可得到； ②取格点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并延长交点Q，线段即为所求． 【详解】解：（1）如图1中，点D即为所求； 故答案为：取的中点T，连接，延长交于点D； （2）①∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45； ②如图2中，取格点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并延长交点Q，线段即为所求． 理由如下：取中点，连接，，则，结合可得四边形是正方形， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点B顺时针旋转得到． 故答案为：取格点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并延长交点Q，线段即为所求． 3．(24-25九上·天津河东区·期末)如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，圆上的点 均在格点上． （1） 的面积为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出 外接圆的圆心 ，内切圆圆心 ，并简要说明圆心的位置是如何找到的（不要求证明） 【答案】 见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，解题的关键是正确作出图形． （1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （2）分别作出线段的垂直平分线交于点O，点O即为的外接圆的圆心，分别作出的角平分线交于点K，点K即为的内心． 【详解】解：（1）的面积． 故答案为：； （2）如图，点O，点K即为所求； 方法：取格点M，N作直线交于点J，取格点E，F，连接交网格线于点Q，取的中点P，作直线交直线于点O，交于点L，连接，交于点K，点O，点K即为所求． 故答案为：取格点M，N作直线交于点J，取格点E，F，连接交网格线于点Q，取的中点P，作直线交直线于点O，交于点L，连接交于点K，点O，点K即为所求． 4．(23-24九上·天津第一中学·期末)已知，均是边长为4的等边三角形，点D是边的中点． （Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为 ； （Ⅱ）如图②，直线相交于点M，当绕点D旋转时，线段长的最小值是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理，圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，得到点M的运动路线是解答的关键． （Ⅰ）可根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可；（Ⅱ）如图①中，连接、、，根据题意可得，，，分别证明和，利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定与性质推导出，则点M在以为直径的圆上运动，进而得到当点M运动到时，最短，利用圆的基本知识求解即可． 【详解】解：（Ⅰ）如图①中，连接， ∵是边长为4的等边三角形，点D是边的中点， ∴，，， 在中， ∴ 故答案为：； （Ⅱ）如图①中，连接、、， 由题意，，，， ∴，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M在以为直径的圆上运动， 如图②中，当点M运动到时，最短， ∵，， ∴的最小值为， 故答案为：． 5．(23-24九上·天津河北区·期末)如图，在 中，经过点C且与边相切的动圆与，分别相交于点P，Q，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，则有，由勾股定理的逆定理可得，得到为圆F的直径，进而得到，又由，可得点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，再利用的面积即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、， ∵圆F与相切， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，为圆F的直径， ∴当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式，根据题意可知当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值是解题的关键． 6．(23-24九上·天津和平区益中学校·期末)如图，中，为直径，，分别切于点，．过点作于点，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】连接、、，由是的直径，弦于点，得垂直平分，则，由与相切于点，与相切于点，得，，则，而，则，可证明四边形是菱形，则，推导出，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、， ∵是的直径，弦于点， ∴垂直平分，， ∴， ∵与相切于点，与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查直径定理、圆周角定理、切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．(23-24九上·天津泰达中学·期末)如图，由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是的两条弦，且点A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）线段的长等于 ； （2）在如图所示的网格中，在直线的右侧找一点M，使得且，再在线段上找一点F，使，简要说明点M和F的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理，同弧或等弧对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）在上取格点G，则，找到格点N，连接，相交于点M，取格点D，连接，则交于点F，根据圆周角定理等知识即可得到点M，F即为所求． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2），，， ， ， 为圆的直径， 在上取格点G，则，找到格点N，连接，相交于点M， 为正方形， ； 取格点D，连接，则交于点F，连接，可得， 如图，点M，F即为所求． 8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点均在格点上． （I）线段的长为 ； （II）若点在线段上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使为等边三角形且的周长最小，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（I）结合网格特点，利用勾股定理计算即可得； （II）取与网格线的交点，连接，取圆与网格线的交点，连接与相交于点，点即为圆心；取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于点，连接；连接并延长，与圆相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求． 【详解】解：（I）由图可知，， 故答案为：． （II）如图，取与网格线的交点，连接，取圆与网格线的交点，连接与相交于点，点即为圆心；取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于点，连接；连接并延长，与圆相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求． 证明：如图，取格点，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴对角线的交点为的中点，， ∵是等边三角形， ∴， ，的外接圆的圆心在上， 由网格可知，， 由圆周角定理得：是的外接圆的直径， ∴与的交点为的外接圆的圆心， ∴为的直径， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长为， 由垂线段最短可知，此时的值最小， ∴所作的为等边三角形且的周长最小． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出的外接圆的圆心是解题关键． 9．(24-25九上·天津实验中学滨海育华学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的性质，旋转的性质，利用圆模型求面积的最大值，构造圆，利用直径是圆中最长的弦来解决，是解决本题的关键． 以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点，当三点共线时，此时高最大，面积最大，求出的值，利用面积公式直接求解即可． 【详解】以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点， 点A，点B ， 在，, ， 为中点，是直角三角形， ， ， 圆中最长的弦是直径， ∴当点旋转到如图所示的位置时，即三点共线时，此时高最大，面积最大， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 此时，； 10．(24-25九上·天津和平区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，线段与圆相交于点F．    （I）线段是将线段绕点C顺时针旋转 （度）得到的； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使，并简要说明点Р的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 先找到直角顶点为的圆周角和与圆的交点，根据圆周角所对弦是直径连接后确定圆心，再连接过点直径，则，连接延长与交点即为点Р，此时可以看成线段是将线段绕点C顺时针旋转得到，即． 【分析】本题考查旋转的性质，圆周角定理； （1）连接，可得，即线段是将线段绕点C顺时针旋转得到，则旋转角度为，即可求解； （2）先找到直角顶点为的圆周角和与圆的交点，根据圆周角所对弦是直径连接后确定圆心，再连接过点直径，则，连接延长与交点即为点Р，此时可以看成线段是将线段绕点C顺时针旋转得到，即． 【详解】解：（1）连接，，可得， ∵线段是将线段绕点C顺时针旋转得到，则旋转角度为， ∴线段是将线段绕点C顺时针旋转度得到的； （2）如图，可以看成线段是将线段绕点C顺时针旋转得到，即，    故答案为：，先找到直角顶点为的圆周角和与圆的交点，根据圆周角所对弦是直径连接后确定圆心，再连接过点直径，则，连接延长与交点即为点Р，此时可以看成线段是将线段绕点C顺时针旋转得到，即． 11．(24-25九上·天津南开区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．，，为上三点，其中为格点，，点为圆与网格线交点，连接，，，，． （1）若，则等于 （度）； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出上的点，使平分．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 连接和，延长交于点 【分析】（）根据圆周角定理即可求解； （）由网格可知：，则垂直平分，证明，由四边形是圆内接四边形得，从而可得，，故有，然后根据圆周角定理即可判断． 【详解】解：（）∵，， ∴， 故答案为：； （）如图，连接和，延长交于点， 由网格可知：， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴点即为所求． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 12．(24-25九上·天津北辰区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，，及点均在格点上 （1）的大小为 （度）； （2）为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到．请用无刻度的直尺，在如图所示的格中，画出线段，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见详解 【分析】（1）利用勾股定理求出、、，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，问题得解； （2）取网格点S、T、M（中点）、H，根据（1）可知，即为圆的直径，连接，交于点O，即O点为圆心，连接并延长交圆O点E，连接，交圆O点F，连接，并延长至G点，连接，交于点N，连接，问题得解． 【详解】（1）根据勾股定理可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：90； （2）如图，取网格点S、T、M（中点）、H，连接，交于点O，即O点为圆心，连接并延长交圆O点E，连接，交圆O点F，连接，并延长至G点，连接，交于点N，连接，即为所求． 证明：根据（1）可知，即为圆的直径， ∵，，， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴O点为圆心， ∴为圆的直径， ∴， ∴点绕点顺时针旋转得到的点在直线上， ∵M点为中点，， 又∵， ∴点绕点顺时针旋转得到的点为， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 由（1）可知在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵点绕点顺时针旋转得到的点在直线上， ∴点绕点顺时针旋转得到的点为， ∴即为所求， 故答案为：取网格点S、T、M（中点）、H，连接，交于点O，即O点为圆心，连接并延长交圆O点E，连接，交圆O点F，连接，并延长至G点，连接，交于点N，连接． 【点睛】本题难度较大，考查了勾股定理及其逆定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，灵活运用圆周角定理是解答本题的关键． 二、解答题 13．(24-25九上·天津河北区·期末)如图，已知是的直径，是的切线，点是切点，弦于点，连接． (1)如图①，若，求和的度数； (2)如图②，若于点，，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）连接，由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再根据切线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解； （）连接，证明可得，由垂径定理得，在中由勾股定理得，得到，即得，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵于点， ， 又， ， ， ， 是的切线，点是切点， ， ∴， ∴， ； （2）解：连接， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， （）， ， 是的直径，于点，， ， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，余角性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 14．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，在每个小正方形边长为1的网格中，内接于圆，点，均落在格点上，且过点的网格线为圆的切线，点为格线上一点． (1)线段的长等于 ； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的内心（点），并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质定理等知识． （1）根据勾股定理求出答案即可； （2）如图，连接圆与网格线的交点，，与过点的网格线交于点，则为圆心，取与网格线的交点，连接交圆于点，则为的中点，同理找到的中点，则与交于点．则点即为所求． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）如图，连接圆与网格线的交点，，与过点的网格线交于点，则为圆心，取与网格线的交点，连接交圆于点，则为的中点，同理找到的中点，则与交于点．则点即为所求． 15．(24-25九上·天津津南区·期末)如图，的内切圆与、、分别相切于点、、． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的内心是角平分线的交点，可得结论； （2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可． 【详解】（1）解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ， ， ， 在中，； （2）解：是的内切圆， ，，， 设，，， 又，，， ， 解得， ． 16．(24-25九上·天津宁河区·期末)如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点均落在格点上，以点为圆心长为半径的圆交于点． （）线段的长等于 ， （）若切于点，为上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 ； 取格点，连接交于点，取格点．连接交于点，则点即为所求． 【分析】（）利用勾股定理求出，由知的半径为，即，根据即可求解； （）取格点，连接交于点，取格点．连接交于点，则点即为所求； 本题考查了作图﹣复杂作图、勾股定理、切线的判定、轴对称﹣最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】解：（）由网格可得，， ∵， ∴， 故答案为：； （）如图，取格点，连接交于点，取格点．连接交于点，则点即为所求． 理由：根据格点的特点，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴是的切线， ∵和关于对称， ∴， 当三点共线时，取最小值， 故答案为：取格点，连接交于点，取格点．连接交于点，则点即为所求． 17．(24-25上·天津经济技术开发区第一中学·期末)如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，和都为等腰直角三角形，且，，把绕点O逆时针旋转得，旋转角为． (1)如图2，当时，求点的坐标； (2)在绕点O逆时针旋转过程中： ①如图3，当点恰好落在线段上时，求的长； ②设线段与线段的交点为H，求出和面积之和的最大值，并求出此时H点的坐标．（直接写结果） 【答案】(1) (2)①；②最大值为，H点坐标为 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的直角三角形性质及利用不等式求面积最值，解题的关键是熟练运用旋转性质构造全等三角形，结合几何图形边角关系及最值定理求解． （1）先根据等腰直角三角形性质得，由旋转性质知；作轴构造直角三角形，利用角的直角三角形边角关系求出和，结合象限符号得出坐标； （2）①先确定的边角性质，利用旋转性质证，得；构造等腰直角三角形和直角三角形，分别求出和，相加得长度； ②连接，由全等及四点共圆得出和均为直角三角形；利用不等式分别求两个直角三角形的最大面积，相加得总面积最大值，确定此时旋转角及H点坐标． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，O为原点，， ∴在x轴负半轴，在y轴正半轴； ∵绕O逆时针旋转得， ∴（旋转性质：对应边相等）； 过作轴于点M，此时为直角三角形， 由旋转方向可知：在第三象限，故从x轴负方向逆时针转，与x轴负方向夹角为； 在中，， ∴（含角的直角三角形，对边为斜边一半）， ； ∵在第三象限，横坐标与纵坐标均为负， ∴的坐标为； 故答案为：. （2）①解：连接， ∵为等腰直角三角形，O为原点，， ∴； 由旋转性质得：， ∴，即； 在和中，， ∴， 故，； 过点O作，垂足为N，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ∴； ②解：连接， 由①知， ∴， ∴四点共圆，四点共圆， ∴． 设的两条直角边为a与b，则， 由得，， 设的两条直角边为c与d， 则， 由得，， 当旋转角时，，和面积之和最大，此时H点坐标为， 最大值． ∴和面积之和最大值为，此时H点坐标为． 18．(23-24九上·天津和平区·期末)已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G． (1)如图①；当时，连接，求的长； (2)如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长； (3)连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接、，根据勾股定理先求出对角线的长，再利用旋转得到，，再次利用勾股定理即可解题； （2）连接，利用勾股定理先求出长，然后得到，即，然后解题即可； （3）连接，交于点O，连接，，则，即点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大解题即可． 【详解】（1）解：连接、， ∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴， 由旋转可得， ∴； （2）如图，连接， 由题意可知，在 中，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，交于点O，连接，， ∵是矩形， ∴， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动， 根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 19．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，内接于圆，且顶点在格点上，点在格线上，为圆的直径． （）的度数为 ； （）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在上画出一点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 ； 取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求 【分析】（）根据圆周角定理即可求解； （）取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出D的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求； 本题考查了圆周角的性质，矩形的性质，正方形的性质，垂径定理，掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵为圆的直径， ∴， 故答案为：； （）如图，取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求， 故答案为：取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求． 20．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形的顶点，，均落在格点上．点是小正方形一边的中点，连接．      （1）线段的长等于 ； （2）以线段为直径作，试确定圆心的位置，并在线段上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 利用网格特征作出的中点O，取的中点E，连接交于点T，连接，延长交于点P，点P即为所求． 【分析】（1）根据勾股定理即可解答； （2）利用网格特征作出的中点O，取的中点E，连接交于点T，连接，延长交于点P，点P即为所求． 【详解】解：（1）∵点是小正方形一边的中点， ∴ ； （2）如图，点，点，即为所求， 作法：利用网格特征作出的中点O，取的中点E，连接交于点T，连接，延长交于点P，点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是理解题意． 21．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点，均在格点上，顶点是圆与网格线的交点． (1)线段的长为 ． (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心及上的一点，使得，并简要说明圆心和点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据中位线的性质得出是的中点；根据平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得，根据圆周角即可得出． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， 故答案为：． （2）解：如图：取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接并延长与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 根据点与点在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点，，，，使得， ∴，均为圆上的直线， ∴与交点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接，可得；连接并延长与相交于点， ∴是的中点； 连接并延长与相交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线的应用等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 2 / 35 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $