专题05 等腰三角形（期末真题汇编，天津专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题05 等腰三角形 6大高频考点概览 考点01 等边对等角 考点02 三线合一 考点03 等腰三角形的性质和判定 考点04 等腰三角形的定义 考点05 等边三角形的性质 考点06 等边三角形的判定和性质综合 地 城 考点01 等边对等角 一、单选题 1．(24-25八上·天津河西区·期末)如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质．根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据三角形的外角性质计算即可得解． 【详解】解：，， ， 以为圆心，的长为半径圆弧，交于点， ， ， ． 故选：B． 2．(23-24八上·天津南开区·期末)如图，中，，点为内一点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一性质添加辅助线是解题的关键．根据已知易证，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点作，垂足为，延长交与点，然后连接，易证，从而求出，再利用三角形的外角求出的度数，放在直角三角形中求出的度数，进而证，可得，最后放在等腰三角形中求出即可． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交与点，连接， ，， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 1．(24-25八上·天津泰达实验学校·期末)已知等腰三角形的一个顶角为，则它的底角为 （度）． 【答案】55 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 根据等腰三角形的两底角相等以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：等腰三角形的一个顶角为， 这个等腰三角形的底角． 故答案为：55． 2．(23-24八上·天津河北区·期末)如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，再由平角的定义得到，据此根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵M、N分别在的中垂线上， ∴ ， 又， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 3．(23-24八上·天津滨海新区国际学校·期末)如图，在等腰三角形中，，，则 度．    【答案】70 【分析】本题主要考查了等边对等角的性质，三角形内角和问题，根据等腰三角形等边对等角可得出，再根据三角形三角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 故答案为：70． 三、解答题 1．(23-24八上·天津红桥区·期末)如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角的平分线，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 （1）根据，结合，证明：即可． （2）根据，结合，可得，结合，平分，可得．根据计算即可． 【详解】（1）证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴． ∴． 2．(23-24八上·天津南开区·期末)点A，D，C，E在同一直线上，，，，与相交于点G． (1)图1，求证：； (2)图2，连接，若，且，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识． （1）先证明，再根据“边边边”证明，即可得到； （2）根据，得到，再证明，得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．(24-25八上·天津东丽区·期末)如图，在中，，点D在BC上点E是AC延长线上一点，且 (1)求证： (2)若，求的度数 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据“”证明； （2）由，求出，再求出，即可求解． 【详解】（1）∵ 在与中 ∴ （2）∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查直角三角形证明全等，全等三角形的性质，解题的关键是能够根据题目的条件，求出相应角的度数． 地 城 考点02 三线合一 一、单选题 1．(24-25八上·天津河西区·期末)如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交边于点、．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质．连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最小值， 故选：B． 2．(24-25八上·天津部分区·期末)如图，已知等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点E，F，点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】连接，由是等腰三角形，点D是边的中点，得，再根据三角形的面积公式求出的长，由是线段的垂直平分线可知，，，故的长为的最小值，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是等腰三角形，点D是的中点 ∴， ∴ 解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当、、在同一直线上时，最小，即的值最小， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为6，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查的最短路径问题，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，解题关键是找出当、、在同一直线上时，最小，即的值最小． 二、填空题 1．(24-25八上·天津红桥区·期末)如图，在中，，，垂足为，若，则的长等于 ． 【答案】2 【分析】根据等腰三角形的性质可知是的中点，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 2．(24-25八上·天津南开区·期末)如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 先根据等腰三角形的性质得到，，再由直角三角形锐角互余求出，再根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25八上·天津河西区·期末)如图，点C在线段上， ，，点F为线段的中点．猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题关键是掌握它们性质，学会正三角形全等， 根据得出，证，推出，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可． 【详解】，理由如下：      证明∶ ∵， ∴ ∵在和中 ， ∴ ， ∴， 是等腰三角形， ∵点F为线段的中点， ∴， ∴， ∴． 2．(24-25八上·天津梅江中学·)如图，点C在线段上，，，，平分．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三线合一性质． （1）根据平行线性质得出，根据证，即可推出； （2）根据等腰三角形的三线合一定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ． 在和中 ， ， ； （2）证明：，平分， ． 地 城 考点03 等腰三角形的性质和判定 一、单选题 1．(24-25八上·天津北辰区·期末)如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（   ） A．5 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由，则，又，故，因此，从而得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 2．(24-25八上·天津北辰区·期末)如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识．由，，可得，从而得出，通过证明，得出，证明是等腰直角三角形，从而得到，证明，再证明，得出，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由②知，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 3．(24-25八上·天津部分区·期末)下列命题是真命题的是（    ） A．直角三角形两锐角互补 B．周长相等的两个等腰三角形全等 C．如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称 D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，需要根据直角三角形的性质、全等三角形的判定以及轴对称的性质等知识，对每个选项逐一进行分析． 判断各选项命题的真假：A混淆互补与互余；B举反例说明周长相等不全等；C全等三角形不一定轴对称；D是角平分线的性质定理． 【详解】解：A.∵直角三角形两锐角互余（和为），而非互补（和为）， ∴A为假命题． B.∵例如等腰三角形边长5、5、2（周长12）与4、4、4（周长12）不全等， ∴B为假命题． C.∵全等三角形可通过平移、旋转重合，不一定轴对称， ∴C为假命题． D.∵角平分线上的点到角两边距离相等，是角平分线的性质， ∴D为真命题． 故选：D． 二、填空题 1．(24-25八上·天津河东区·期末)如图，若，为内一定点，动点在上，动点在上，当的周长取最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，最短距离，等腰三角形的判定和性质等知识点，分别作点关于、的对称点、,连接,交于,交于的周长,然后得到等腰中，,即可得出，熟练掌握其性质并能正确作出辅助线，得到等腰中是解决此题的关键． 【详解】解：如图，分别作点关于的对称点、,连接,交于,交于, ，，， 根据轴对称的性质，可得, 由两点之间线段最短可知，的周长的最小值, , 等腰中，, , 故答案为：． 2．(24-25八上·天津河东区·期末)如图，在中，，平分交于点，点在的延长线上，，若，，则线段的长为 ． 【答案】5 【分析】如图，在上截取，使，连接，证明，则，，，由，可得，则，计算求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，使，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 3．(23-24八上·天津西青区·期末)如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，． （Ⅰ）使取最小值的动点的位置在点的 侧.（填“左”或“右”）． （Ⅱ）当的值最小时，请直接写出的度数. ． 【答案】 左 /15度 【分析】本题考查了求将军饮马问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识． （Ⅰ）作点B关于直线对称的点D，连接，交直线于点，此时有最小值，即可得到点的位置在点的左侧； （Ⅱ）当的值最小时，根据轴对称的性质得到，进而得到，再证明，得到，即可得到． 【详解】解：（Ⅰ）如图，作点B关于直线对称的点D，连接，交直线于点，此时有最小值，此时点的位置在点的左侧； （Ⅱ）当的值最小时， ∵点B和点D关于直线对称， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：左，． 4．(24-25八上·天津第二十中学·期末)如图，在中，，D为边上的一点，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，设出未知数列出方程是解题关键． 由题意可得，，都是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：， ， ，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25八上·天津部分区·期末)（1）如图①，在中，，点E在边上，点F在的延长线上，且．求证：． （2）如图②，已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）证明见解析   （2）见解析 【分析】本题主要考查了作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点， （1）证明，即可得． （2）任意作射线，以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，再作线段的垂直平分线，交线段于点O，以点O为圆心，线段h的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点A，连接，，则即为所求； 熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）证明：，点F在的延长线上， ， 在和中 ， ， ． （2）如图，就是所求作的三角形． 2．(23-24八上·天津红桥区·期末)综合与探究 在和中，，，，连接，． [发现问题] 如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是________；的度数为________； [类比探究] 如图2，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． [拓展延伸] 如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】发现问题：；类比探究：；拓展延伸： 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识． 发现问题：设与交于点O，证明，则，由三角形外角的性质即可得到的度数； 类比探究：证明，则，由，得到，再根据三角形外角的性质得到的度数； 拓展延伸：证明，则，得到，即，由及等量代换即可得到结论． 【详解】解：发现问题：， 如下图，设与交于点O， ， ， 即， ， ， ， ， ； 类比探究：，理由如下： 如下图， ， ， 即， ， ， ， ； 拓展延伸：，理由如下：如下图， ， ， 即， ， ， ， ， ，即， ， ． 3．(24-25八上·天津梅江中学·期末)在中，，，点是的中点，点是边上一点． (1)请列举出图1中所有的等腰直角三角形______． (2)直线垂直于直线于点F，交于点G（如图1），求证：； (3)直线垂直于直线，垂足为点H，交的延长线于点M（如图2），找出图中与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2)见详解 (3)，证明见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质． （1）根据等腰三角形的判定与性质进行分析，即可作答． （2）首先根据点是中点，，可得出，判断出，即可得出， （3）根据垂直的定义得出，，再根据，，得出，进而证明出． 【详解】（1）解：在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴图1中所有的等腰直角三角形有． （2）证明：点是中点，，， ，， ， ， 又， ， 又， ， 在和中， ， ； （3）解：，证明过程如下： ，， ，， ， 又， 在和中， ， ， ． 4．(24-25八上·天津泰达中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且． (1)如图1，若点D在的延长线上，连接，点E在第一象限，且满足，连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，点F在的延长线上，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定， 对于（1），先根据“角边角”证明，再根据三角形全等的性质求解即可； 对于（2），过点O作交的延长线于点T，连接，证明再求得，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图，与交于点H， ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图3，过点O作交的延长线于点T，连接． ∵为等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴, ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴. 5．(24-25八上·天津河北区·期末)如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点． (1)如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P．求证：． (2)如图2，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中， ①线段与有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，②不变，4 【分析】本题考查的是坐标与图形综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算等，证明三角形全等是解题的关键． （1）用证明，即可求解； （2）①证明，即可求解； ②点D为的中点，则，而，则，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：①线段， 理由如下：如图2，连接， ∵，，点D为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ②式子的值不发生改变， 理由如下：， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴． 一、单选题地 城 考点04 等腰三角形的定义 1．(24-25八上·天津南开区·期末)实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（  ） A．25 B．20 C．16 D．20或25 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的定义、非负数的性质、三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．利用非负数的性质求出x、y，再根据三角形的三边关系定理确定等腰三角形的三边即可解决问题． 【详解】解：， ①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10， 不能组成三角形； ②5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10， 能组成三角形， 周长． 综上所述，等腰三角形的周长是25． 故选：A． 2．(23-24八上·天津河西区·期末)若，则以为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．10 B．11 C．7 D．10或11 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质，等腰三角形分类讨论，熟练掌握偶次方与绝对值的非负性是解题的关键．先根据非负数性质求出a，b值，再分两种情况：当a为腰，b为底时；当a为底，b为腰时；分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴当腰长为3时，周长为， 当腰长为4时，周长为，经检验符合题意， 故选：D． 3．(23-24八上·天津西青区·期末)如图，等腰的周长为18，底边，分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别相交于点，，直线分别与，相交于点，，连接，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，先根据等腰三角形的定义求出，由作图方法可知，垂直平分，则，据此根据三角形周长公式得到的周长． 【详解】解：∵等腰的周长为18，底边， ∴， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选A． 4．(23-24八上·天津南开区·期末)已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且满足，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分边长为a的边是腰和底边两种情况讨论求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵，，又 ∴，， ∴，． 若长为的边为腰，的边为底，由于，这不能构成三角形； 若长为的边为腰，的边为底，则周长为． 故选：A 5．(24-25八上·天津部分区·期末)已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是（    ） A．11 B．14 C．19 D．14或19 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用以及等腰三角形的定义；等腰三角形有两条边相等，需分情况讨论哪边为腰、哪边为底，并验证是否满足三角形三边关系. 【详解】解：设等腰三角形两边长分别为3和8； ①若腰为3，底为8，则三边为3、3、8； ∵ ，不满足两边之和大于第三边， ∴ 不能构成三角形； ②若腰为8，底为3，则三边为8、8、3； ∵ ，，满足三边关系， ∴ 可以构成三角形； 周长为. 故选：C. 6．(24-25八上·天津和平区汉阳道中学·期末)如图，坐标平面内一点，O为原点，P是坐标轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（   ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握运用等腰三角形的定义是解题关键．根据等腰三角形的定义及垂直平分线的判定作出相应图形，然后即可确定点的个数． 【详解】解：如图：    ①当时，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴有2个交点为（去除点）； ②当时，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴有4个交点为， 当时，作出的垂直平分线，与坐标轴有2个交点为， 故有8个符合条件的动点P， 故选：B． 二、填空题 1．(24-25八上·天津滨海新区塘沽第十四中学·期末)等腰三角形的一边长是8，周长是18，则它的另外两边长是 ． 【答案】8，2或5，5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意掌握分类讨论思想的应用，分别从腰长为8与底边长为8去分析求解是关键．分两种情况：当腰长为8时，底边长为8时，求出等腰三角形的另外两条边长即可． 【详解】解：当腰长为8时，另外底边长为， 因为，所以此时8，8，2能组成三角形，符合题意； 当底边长为8时，另外腰长为， 因为，所以此时5，5，8能组成三角形，符合题意； 综上分析可知：它的另外两边长是8，2或5，5． 故答案为：8，2或5，5． 2．(24-25八上·天津第一中学·期末)若等腰三角形的一条边长为，另一条边长为，则此三角形第三条边长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当为底时，其它两边都为， 、、可以构成三角形； 当为腰时，其它两边为和，因为，所以不能构成三角形，故舍去． 所以三角形三边长只能是、、，所以第三边是． 故答案为：8． 地 城 考点05 等边三角形的性质 一、单选题 1．(24-25八上·天津河东区·期末)如图，平移图形，与图形可以拼成一个等边三角形则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，设原三角形的三个顶点为，由等边三角形的性质可得，再根据五边形的内角和定理即可求解，解题的关键是熟练运用多边形内角和公式，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设原三角形 得三个顶点为， 解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∵右边图形为五边形，内角和为， ∴， 故选：． 二、填空题 1．(24-25八上·天津部分区·期末)如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质；由等边三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．(23-24八上·天津滨海新区天津经济技术开发区国际学校·期末)如图，在四边形中，对角线与相交于点，若平分，且，有如下四个结论：①；②；③；④是正三角形．写出正确结论的序号 （请你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆周角定理；根据等腰三角形的性质可得垂直平分，即可判断①②，当时，证明，但是不一定成立，则③不一定正确；不一定等于，④不一定正确． 【详解】∵， ∴为等腰三角形， 又∵平分， ∴垂直平分，①正确； ∴，②正确； 当时，如图所示，过点，则， ∵ ∴ ∵，则 即 而不一定成立，故③不正确； ∵不一定等于， ∴不一定是正三角形，④错误． 故答案为：①②． 三、解答题 1．(24-25八上·天津河东区·期末)已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上． (1)如图，，求证：； (2)如图，在（）的条件下，延长与交于点，若，求的边长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（）由等边三角形的性质可得平分，则，再通过和三角形的外角性质，可得，最后由等角对等边即可求证； （）由是等边三角形，可得，再由直角三角形的性质得出，则可求出边长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 由（）可知， ∴， ∴， 又∵， ∴在中， ∴， ∴， ∴等边三角形的边长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．(24-25八上·天津红桥区·期末)已知是边长为6的等边三角形，是边上的动点（点不与点重合），以为边作等边三角形（点在的上方）． (1)如图①，当为边的中点时，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点，求线段的长（直接写出结果即可）． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，在中，由三角形内角和定理即可求解； （2）根据等边三角形的性质可证，得到，由此即可求解； （3）如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，设与延长线交于点，根据对称的性质可得，此时取得最小值，可证，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 当点是中点时，， ∴， ∴， 设交于点， 在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，设与延长线交于点， ∵对称， ∴，， ∴，此时取得最小值，延长交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是边长为6的等边三角形，为边的中点， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，对称的性质，最短路径的计算，掌握等边三角形的性质，对称-最短路径的计算方法是解题的关键． 3．(23-24八上·天津宁河区·期末)如图，已知线段，，分别以，为边作等边和等边，直线，交于点F．      (1)如图1，点A，C，B在一条直线上． ①求证：； ②的度数为______． (2)如图2，改变C点位置，使点E与点F重合，求此时的度数． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题关键． （1）①根据等边三角形性质得出，即可利用证明三角形全等；②根据全等三角形得到，，从而利用；即可得出结果； （2）根据等边三角形性质得出，即可利用证明，得出，结合，利用三角形内角和就出结果即可． 【详解】（1）①证明：和为等边三角形， ，，， ， ， ； ②， ，， ， ， ； （2）和为等边三角形， ，，． ， ， ． ． 又， ． 4．(23-24八上·天津西青区·期末)在等边中，线段为边上的高，点是直线上的一个动点，以为一边，在的下方作等边，连接． (1)填空：如图①，当点在线段上时，__________； (2)如图②，当点在线段的反向延长线上时，求的度数； (3)当点在直线上运动时，设直线与直线的交点为点，若，，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)5或13 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等： （1）由等边三角形的性质得到，进而证明得到，再由三线合一定理即可得到； （2）由等边三角形的性质得到，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则； （3）分当点D在线段上时，当点D在延长线上时， 当点D在延长线上时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵线段为边上的高， ∴， 故答案为：； （2）解：∵都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵线段为边上的高， ∴， ∴； （3）解：如图①所示，当点D在线段上时， ∵， ∴，， ∵， ∴，此种情况不存在； 如图②所示，当点D在延长线上时，由（2）得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图③所示，当点D在延长线上时， 同理可证明， ∴， 又∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为5或13． 5．(23-24八上·天津滨海新区教科院附属滨海泰达中学·期末)已知，等边与顶点重合，将等边绕顶点顺时针旋转，边所在直线与的边相交于点，并在边上截取，连接． (1)将等边旋转至如图①所示位置时，求证：； (2)将等边顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出，，之间的数量关系（需要证明）； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)图②结论为，图③结论为，见解析 (3)3或5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质和证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和证明，然后利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据等边三角形的性质和证明，利用全等三角形的性质解答即可； （3）根据（1）和（2）的结论，解答即可． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：图②结论为，图③结论为， 图②的理由如下： 同理（1）可得， ∴， ∵， ∴； 图③的理由如下：同理（1）可得， ∴， ∵， ∴； （3）解：由题意知，在（1）条件下，； 在（2）条件下，， 综上所述，的长为3或5， 故答案为：3或5． 地 城 考点06 等边三角形的判定和性质综合 一、单选题 1．(24-25八上·天津西青区·期末)如图，在中，，边的垂直平分线分别与，相交与点M，N，边的垂直平分线分别与，相交与点P，Q，若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】连接，，由得，由垂直平分线的性质得，，，，再三角形内角和定理得，再证明得，进而可得是等边三角形，即可得，再由即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵边的垂直平分线分别与，相交与点M，N， ∴，， ∵边的垂直平分线分别与，相交与点P，Q， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质． 2．(23-24八上·天津宁河区·期末)如图，在中，，D，E是内部的两点，平分，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出的长是解题的关键． 延长交于M，延长交于N，根据等腰三角形的性质得出，进而得出为等边三角形，从而得出的长，即可求出答案． 【详解】延长交于M，延长交于N， ，平分， ，， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 1．(24-25八上·天津西青区·期末)如图，点是等边中边上一点，延长至点，使，连接，与相交于点，过点作，垂足为点，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； 过作交于点，判定为等边三角形，进而判定，根据三线合一得到，进而求解即可； 【详解】解：过作交于点， ， ，，， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为： 2．(24-25八上·天津部分区·期末)如图，已知是等边三角形，点为的中点，于点，作，交于点，若，则 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，利用含角的直角三角形的性质求出的长，根据平行线的性质以及等边三角形的判定和性质求出的长即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点为的中点，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25八上·天津部分区·期末)在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接． (1)如图①，当时，的长为_______； (2)如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，若，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形，三角形的外角，熟练掌握是解答本题的关键． （1）利用三角形的内角和可知，再根据角所对的边是斜边的一半即可解答； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，手拉手模型可得，即可证明； （3）根据题干易知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，利用外角可知，即可求解线段的长． 【详解】（1）解：在中，，， ∵， ， 又∵， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，， 为等边三角形， ，， ∵为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ∵， ， ； （3）解：∵为等边三角形，， ， ∵，， ， ∵，， 为等边三角形， ，， ∵， ， ， ． 2．(24-25八上·天津第五十五中学·期末)如图，E是等边三角形的边上一点，，，求的度数． 【答案】 【分析】利用“”证明，再推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵E为等边的边上一点， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键． 3．(23-24八上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． (1)若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； (2)如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 【答案】(1)①； ；② (2)见解析 【分析】（1）①根据三角形的面积公式得出，继而根据三角形的面积公式，得出的面积，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而得出点的坐标； ②过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得出 （2）先证明是等边三角形，在上取点，，根据则是等边三角形，证明，即可得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵点，点均在坐标轴上， ∴，则 ∵的面积为， ∴，则 ∴， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，   ， ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∵点，点 ∴， 故答案为：； ； ②如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点， ∵点； ∴ 又 ∴， ∴ ∴， ∴ （2）∵ ∴， 又∵， ∴ ∴是等边三角形， 如图所示，在上取点，， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．(23-24八上·天津滨海新区天津经济技术开发区国际学校·期末)已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质； （1）证明为等边三角形，得出，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）过点E作交于点F，由平行线的性质得出，证出，得出，证出，由证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， 为等边三角形， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ， ， ∵ ， ； （2）解：，理由如下： 过点E作交于点F，如图， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ． 2 / 59 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等腰三角形 6大高频考点概览 考点01 等边对等角 考点02 三线合一 考点03 等腰三角形的性质和判定 考点04 等腰三角形的定义 考点05 等边三角形的性质 考点06 等边三角形的判定和性质综合 地 城 考点01 等边对等角 一、单选题 1．(24-25八上·天津河西区·期末)如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·天津南开区·期末)如图，中，，点为内一点，，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25八上·天津泰达实验学校·期末)已知等腰三角形的一个顶角为，则它的底角为 （度）． 2．(23-24八上·天津河北区·期末)如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为 3．(23-24八上·天津滨海新区国际学校·期末)如图，在等腰三角形中，，，则 度．    三、解答题 1．(23-24八上·天津红桥区·期末)如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．(23-24八上·天津南开区·期末)点A，D，C，E在同一直线上，，，，与相交于点G． (1)图1，求证：； (2)图2，连接，若，且，求的度数． 3．(24-25八上·天津东丽区·期末)如图，在中，，点D在BC上点E是AC延长线上一点，且 (1)求证： (2)若，求的度数 地 城 考点02 三线合一 一、单选题 1．(24-25八上·天津河西区·期末)如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交边于点、．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．(24-25八上·天津部分区·期末)如图，已知等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点E，F，点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 二、填空题 1．(24-25八上·天津红桥区·期末)如图，在中，，，垂足为，若，则的长等于 ． 2．(24-25八上·天津南开区·期末)如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为 度． 三、解答题 1．(24-25八上·天津河西区·期末)如图，点C在线段上， ，，点F为线段的中点．猜想与的位置关系，并说明理由． 2．(24-25八上·天津梅江中学·)如图，点C在线段上，，，，平分．求证： (1)； (2)． 地 城 考点03 等腰三角形的性质和判定 一、单选题 1．(24-25八上·天津北辰区·期末)如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（   ） A．5 B． C．12 D． 2．(24-25八上·天津北辰区·期末)如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25八上·天津部分区·期末)下列命题是真命题的是（    ） A．直角三角形两锐角互补 B．周长相等的两个等腰三角形全等 C．如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称 D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 二、填空题 1．(24-25八上·天津河东区·期末)如图，若，为内一定点，动点在上，动点在上，当的周长取最小值时，的度数为 ． 2．(24-25八上·天津河东区·期末)如图，在中，，平分交于点，点在的延长线上，，若，，则线段的长为 ． 3．(23-24八上·天津西青区·期末)如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，． （Ⅰ）使取最小值的动点的位置在点的 侧.（填“左”或“右”）． （Ⅱ）当的值最小时，请直接写出的度数. ． 4．(24-25八上·天津第二十中学·期末)如图，在中，，D为边上的一点，，则的度数为 ． 三、解答题 1．(24-25八上·天津部分区·期末)（1）如图①，在中，，点E在边上，点F在的延长线上，且．求证：． （2）如图②，已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）． 2．(23-24八上·天津红桥区·期末)综合与探究 在和中，，，，连接，． [发现问题] 如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是________；的度数为________； [类比探究] 如图2，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． [拓展延伸] 如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请直接写出，，之间的数量关系． 3．(24-25八上·天津梅江中学·期末)在中，，，点是的中点，点是边上一点． (1)请列举出图1中所有的等腰直角三角形______． (2)直线垂直于直线于点F，交于点G（如图1），求证：； (3)直线垂直于直线，垂足为点H，交的延长线于点M（如图2），找出图中与相等的线段，并证明． 4．(24-25八上·天津泰达中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且． (1)如图1，若点D在的延长线上，连接，点E在第一象限，且满足，连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，点F在的延长线上，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接若，求的面积． 5．(24-25八上·天津河北区·期末)如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点． (1)如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P．求证：． (2)如图2，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中， ①线段与有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 一、单选题地 城 考点04 等腰三角形的定义 1．(24-25八上·天津南开区·期末)实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（  ） A．25 B．20 C．16 D．20或25 2．(23-24八上·天津河西区·期末)若，则以为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．10 B．11 C．7 D．10或11 3．(23-24八上·天津西青区·期末)如图，等腰的周长为18，底边，分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别相交于点，，直线分别与，相交于点，，连接，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．(23-24八上·天津南开区·期末)已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且满足，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．8 5．(24-25八上·天津部分区·期末)已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是（    ） A．11 B．14 C．19 D．14或19 6．(24-25八上·天津和平区汉阳道中学·期末)如图，坐标平面内一点，O为原点，P是坐标轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（   ）    A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 1．(24-25八上·天津滨海新区塘沽第十四中学·期末)等腰三角形的一边长是8，周长是18，则它的另外两边长是 ． 2．(24-25八上·天津第一中学·期末)若等腰三角形的一条边长为，另一条边长为，则此三角形第三条边长为 ． 地 城 考点05 等边三角形的性质 一、单选题 1．(24-25八上·天津河东区·期末)如图，平移图形，与图形可以拼成一个等边三角形则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25八上·天津部分区·期末)如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 2．(23-24八上·天津滨海新区天津经济技术开发区国际学校·期末)如图，在四边形中，对角线与相交于点，若平分，且，有如下四个结论：①；②；③；④是正三角形．写出正确结论的序号 （请你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题 1．(24-25八上·天津河东区·期末)已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上． (1)如图，，求证：； (2)如图，在（）的条件下，延长与交于点，若，求的边长． 2．(24-25八上·天津红桥区·期末)已知是边长为6的等边三角形，是边上的动点（点不与点重合），以为边作等边三角形（点在的上方）． (1)如图①，当为边的中点时，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点，求线段的长（直接写出结果即可）． 3．(23-24八上·天津宁河区·期末)如图，已知线段，，分别以，为边作等边和等边，直线，交于点F．      (1)如图1，点A，C，B在一条直线上． ①求证：； ②的度数为______． (2)如图2，改变C点位置，使点E与点F重合，求此时的度数． 4．(23-24八上·天津西青区·期末)在等边中，线段为边上的高，点是直线上的一个动点，以为一边，在的下方作等边，连接． (1)填空：如图①，当点在线段上时，__________； (2)如图②，当点在线段的反向延长线上时，求的度数； (3)当点在直线上运动时，设直线与直线的交点为点，若，，直接写出的长． 5．(23-24八上·天津滨海新区教科院附属滨海泰达中学·期末)已知，等边与顶点重合，将等边绕顶点顺时针旋转，边所在直线与的边相交于点，并在边上截取，连接． (1)将等边旋转至如图①所示位置时，求证：； (2)将等边顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出，，之间的数量关系（需要证明）； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，则______． 地 城 考点06 等边三角形的判定和性质综合 一、单选题 1．(24-25八上·天津西青区·期末)如图，在中，，边的垂直平分线分别与，相交与点M，N，边的垂直平分线分别与，相交与点P，Q，若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．(23-24八上·天津宁河区·期末)如图，在中，，D，E是内部的两点，平分，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 1．(24-25八上·天津西青区·期末)如图，点是等边中边上一点，延长至点，使，连接，与相交于点，过点作，垂足为点，若，则的长度为 ． 2．(24-25八上·天津部分区·期末)如图，已知是等边三角形，点为的中点，于点，作，交于点，若，则 三、解答题 1．(24-25八上·天津部分区·期末)在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接． (1)如图①，当时，的长为_______； (2)如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，若，当时，求线段的长． 2．(24-25八上·天津第五十五中学·期末)如图，E是等边三角形的边上一点，，，求的度数． 3．(23-24八上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． (1)若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； (2)如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 4．(23-24八上·天津滨海新区天津经济技术开发区国际学校·期末)已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 2 / 59 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $