精品解析：吉林省吉林市吉林毓文中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

吉林毓文中学2025-2026学年度高一年级上学期期中考试 数学试题 （本试卷共4页，考试时间：120分钟，满分150分．） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则的值为（ ） A B. 2 C. 8 D. 15 3. 学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（ ） A. B. C. D. 4. 设，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 5. 某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以a%的增长率生长，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，则28天后该植物的长度是原来的（ ） A 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 6. 若函数，则 A. B. C. D. 7. 已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知的两根是，则（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列计算正确是（　　） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则的最小值为4 C. 已知x，y都是正数，且，则 D. 正实数x，y满足，则有最小值为4 11. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于命题正确的是（　　） A. 的图象关于原点对称 B. 为偶函数 C. 的最小值为 D. 在上为减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______．（用区间表示） 13. 函数的单调递增区间是________. 14. 已知函数的零点位于区间内，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数f（x）=log2（x+1）–2． （1）若f（x）>0，求x的取值范围； （2）若x∈（–1，3]，求f（x）的值域． 16. 每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66） （1）若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位. （2）若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍. 17. 已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象． （1）求函数的解析式； （2）求函数的值域； （3）设，解关于的不等式：． 18. 已知使命题：“，”为真命题的的取值集合为，使函数在区间上单调递增的的取值集合为． （1）求； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围； （3）若“”是“恒成立”的充分条件，求的取值范围． 19. 若函数在其定义域内给定区间上存在实数使得，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点： （1）判断函数是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由： （2）设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的实数对； （3）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林毓文中学2025-2026学年度高一年级上学期期中考试 数学试题 （本试卷共4页，考试时间：120分钟，满分150分．） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义域求得集合B，根据交集的定义即可求解. 【详解】集合，， 则. 故选：B. 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. 2 C. 8 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数的运算求解即可. 【详解】. 故选：D 3. 学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的含义求解即可. 【详解】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛， 故没有同学参加三项比赛，即. 故选：D 4. 设，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，当时，，因此，故选B. 5. 某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以a%的增长率生长，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，则28天后该植物的长度是原来的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【分析】设植物原来长度m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得28天后该植物的长度是原来的多少倍. 【详解】设植物原来长度m，经过8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即 28天后该植物的长度是，即为原来的倍， 则， 即28天后该植物的长度是原来的倍， 故选：B 6 若函数，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算的性质计算即可． 【详解】f（x）＝1+|x|， ∴f（﹣x）+f（x）＝2+2|x|， ∵lglg2，lglg5， ∴f（lg2）+f（lg）+f（lg5）+f（lg）＝2×2+2（lg2+lg5）＝6， 故选C 【点睛】本题考查了对数的运算，函数基本性质，考查了抽象概括能力和运算求解能力，是基础题 7. 已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先分离参数得，再求出为真时，利用基本不等式求最值得的范围，再求补集即可． 【解答】由得， 当为真时，对，不等式恒成立， 则， 而，当且仅当时取等号，满足题意， 所以， 所以为假时，． 故选：A． 8. 已知的两根是，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过换元法将对数方程转化为二次方程，求出根后利用换底公式化简所求表达式，代入计算得到结果. 【详解】设，则方程化为，因式分解得， 解得或，即，或，. 由换底公式，. 代入得. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据根式、指数运算求得正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确； B选项，，B选项错误； C选项，，C选项正确； D选项，，D选项正确. 故选：ACD 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则的最小值为4 C. 已知x，y都是正数，且，则 D. 正实数x，y满足，则有最小值为4 【答案】AB 【解析】 【分析】由不等式性质即可判断A；由基本不等式和指数运算性质即可求解判断B；作差即可分析比较大小判断C；常数代换结合基本不等式即可计算求解判断D. 【详解】若，则，又，所以，故A正确； 若，则， 当且仅当即时等号成立， 若，则的最小值为4，故B正确； ， 因为x，y都是正数，且，所以， 所以，即，故C错误； 正实数x，y满足，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以最小值为3，故D错误. 故选：AB 11. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于命题正确的是（　　） A. 的图象关于原点对称 B. 为偶函数 C. 的最小值为 D. 在上为减函数 【答案】BC 【解析】 【分析】先求反函数得到，再分析的奇偶性、单调性和最值，逐一判断选项. 【详解】由与关于直线对称，得是的反函数，即. 则，由， 解得，所以的定义域为. 选项A和B：，是偶函数，不是奇函数， 所以图象关于轴对称，A错误，B正确. 选项C：当时，，在上单调递减， 故，最小值为，C正确. 选项D：当时，单调递减，单调递减， 复合函数在上单调递增，非减函数，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______．（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】先利用指数函数的性质对不等式进行化简，再解不等式求出解集． 【详解】，函数在上单调递增， ，解得，不等式解集为． 故答案为：． 13. 函数的单调递增区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，分别计算函数单调性利用复合函数单调性得到答案. 【详解】，设， 易知：单调递减；，在单调递减； 故的单调递增区间是 故答案为 【点睛】本题考查了复合函数的单调性，掌握复合函数单调性同增异减的法则是解题的关键. 14. 已知函数的零点位于区间内，则实数的取值范围是________. 【答案】（0,1） 【解析】 【分析】结合零点的概念,可得,然后由,可求得的取值范围,进而可得到的取值范围. 【详解】由题意,令,得, 因为,所以,故. 故答案为:. 【点睛】本题考查了函数的零点,利用参变分离及对数函数的性质是解题的关键,属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数f（x）=log2（x+1）–2． （1）若f（x）>0，求x的取值范围； （2）若x∈（–1，3]，求f（x）的值域． 【答案】（1）x>3．（2）f（x）的值域为（–∞，0]． 【解析】 【分析】(1)根据对数函数单调性解不等式得结果，(2) 根据对数函数单调性确定函数值域. 【详解】（1）函数f（x）=log2（x+1）–2， ∵f（x）>0，即log2（x+1）–2>0， ∴log2（x+1）>2， ∴log2（x+1）>log24， ∴x+1>4， ∴x>3． （2）∵x∈（–1，3]， ∴x+1∈（0，4]， ∴log2（x+1）∈（–∞，2]， ∴log2（x+1）–2∈（–∞，0]． ∴f（x）的值域为（–∞，0]． 点睛】本题考查对数函数单调性以及值域，考查基本求解能力. 16. 每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66） （1）若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位. （2）若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍. 【答案】（1）466个单位 （2）3倍 【解析】 【分析】（1）将，代入函数解析式，求出的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到，得到答案. 【小问1详解】 将，代入函数，得：， 因为，所以，所以，所以. 答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位. 【小问2详解】 设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得： 两式相减可得：，所以，即， 答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍. 17. 已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象． （1）求函数的解析式； （2）求函数的值域； （3）设，解关于的不等式：． 【答案】（1）（或）； （2）； （3）当时，；当时，；当时，. 【解析】 分析】（1）通过幂函数定义和偶函数性质确定，再利用图象平移规律求； （2）先求的取值范围，结合指数函数单调性求值域； （3）将不等式转化为含参数的二次不等式，通过因式分解后分类讨论求解集. 【小问1详解】 由幂函数定义，，解得或. 当时，，是上的偶函数，符合要求； 当时，，定义域不为且非偶函数，舍去. 故，经图象平移（右移2个单位，下移1个单位）， 得. 【小问2详解】 因，且单调递增， 故，值域为. 【小问3详解】 不等式整理为. 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 18. 已知使命题：“，”为真命题的的取值集合为，使函数在区间上单调递增的的取值集合为． （1）求； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围； （3）若“”是“恒成立”的充分条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分离参数，利用不等式求解最值即可得解， （2）根据二次函数的单调性，结合根式的性质化简集合，即可求解并集，进而根据必要条件的定义求解即可， （3）根据二次函数的性质即可列不等式求解. 【小问1详解】 若，为真命题，则，，故， 由于,故，当且仅当时取到等号， 故，即，故， 【小问2详解】 要使在区间上单调递增，则需满足，解得，故， 或， 要使“”是“”的必要条件，故或， 故或 【小问3详解】 “”是“恒成立”的充分条件， 即“或”是“恒成立”的充分条件， 则方程的两根在内，所以， 若对称轴，则，此时不成立，故舍去， 若对称轴，则，此时不成立，故舍去， 因此只需考虑或，解得 19. 若函数在其定义域内给定区间上存在实数使得，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点： （1）判断函数是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由： （2）设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的实数对； （3）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果； （2）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果. （3）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合对勾函数的性质，即可求出结果； 【小问1详解】 由题意可知，由于， 则不是是区间上的“平均值函数”； 【小问2详解】 因为函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点， 所以， 即， 所以，又因为，， 所以或或， 因为1是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 所以满足条件数对有或. 【小问3详解】 因为函数是区间上的“平均值函数”， 所以存在，使， 即，即 ， 令， 所以， 由于，故单调递增，所以， ， 因此，； 【点睛】关键点点睛： 求解本题关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $