天津市南开区第四十三中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段检测数学试卷

天津市第43中学2025-2026学年第一学期阶段检测 高二年级数学学科 学校：______ 姓名：______ 班级：______ 一、单选题 1. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. 0或3或 B. 0或3 C. 3或 D. 0或 2. 已知，，是两两垂直的单位向量，以为基底建立空间直角坐标系，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是（　　） A. B. C. D. 5. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的个数为（ ） ①当时，//平面；②当时，取得最小值，其值为； ③的最小值为；④当平面时， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 已知，则__________. 11. 已知，若点在线段上，则的取值范围是_______. 12. 如图所示，四边形为正方形，为矩形，且它们所在的平面互相垂直，，为对角线上的一个定点，且，则到直线的距离为________. 13. 在直三棱柱中，，.已知和分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为___________. 14. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是_______． 15. 如图，在正方体中，为的中点，则平面与平面的夹角余弦值为__________. 三、解答题 16. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. （1）写出点，的坐标； （2）求证：. 17. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 18. 如图，正方体中，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 19. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 20. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，． （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面所成锐二面角的大小为？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由． 天津市第43中学2025-2026学年第一学期阶段检测 高二年级数学学科 学校：______ 姓名：______ 班级：______ 一、单选题 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】A 二、填空题 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1）， （2） ∵，， ∴，. 即， ∴， 故. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 证明：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设 则，，. 又            为平面的法向量         又平面. 故：平面. （2） 【19题答案】 【答案】19. 证明如下： 以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则,,,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以,,, 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； 20. ； 21. . 【20题答案】 【答案】（1）如图，设与交于点，连接， ∵四边形为矩形， ∴为的中点，又因为为的中点， ∴，而平面，平面， ∴平面； （2） （3）存在，.靠近C的三等分点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $