专题01 导数的几何意义有关切线五大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题01 导数的几何意义有关切线五大常考题型 题型一：求曲线切线的斜率 题型二：求在曲线上一点处的切线方程 题型三：求过一点的切线方程 题型四：已知切线求参数 题型五：两条切线平行垂直、重合问题 题型一：求曲线切线的斜率 1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，则 . 3．若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（    ）． A． B．e C．1 D． 4．已知曲线，则曲线在点处的切线的倾斜角为 . 5．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．将曲线绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则（    ） A．e B． C．2e D． 8．已知函数的图像与直线有且仅有4个交点，交点横坐标的最大值为，则 ． 9．曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 10．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求； (2)若，求的最小值. 题型二：求在曲线上一点处的切线方程 11．函数的图像在点处的切线方程为 . 12．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 13．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)当时，，求a的取值范围． 14．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（    ） A．1 B． C． D．-1 15．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； (3)若存在，且当时，，当时，求证：. 16．若直线是曲线的切线，则 . 17．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 18．已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)已知，且直线是曲线在点处的切线.求证：当时，存在使得直线过点. 19．已知，. (1)若函数在处取得极小值，求的单调递减区间； (2)在（1）的条件下，求过点且与函数图象相切的直线方程； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 20．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 题型三：求过一点的切线方程 21．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数，函数都存在三个零点 B．存在实数使得直线是函数的切线 C．对任意实数，过原点都可作三条直线与函数相切 D．当时，直线与函数图象交点的横坐标之和为3 22．已知函数，，则（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时，有两个极值 C．若有三个不同零点，则 D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 23．已知函数的图象记为曲线C. (1)若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； (2)若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 24．设函数． (1)当时，求在区间上的极值； (2)证明：存在，使在处的切线经过原点． 25．已知函数，. (1)若，求的图象过原点的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围. 26．已知函数． (1)若，求的图象过原点的切线方程： (2)若恒成立，求的取值范围． 27．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当关于的方程有两个不等实根时， D．当时，过原点与曲线相切的直线有且只有1条 28．已知函数.（   ） A．在上单调递增 B．是奇函数 C．过点可作曲线的两条切线 D．当时，恒成立 29．已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为 . 30．已知函数． (1)求曲线经过点的切线方程； (2)若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围． 题型四：已知切线求参数 31．若直线与函数的图象相切，则（    ） A．1 B． C．2 D． 32．若直线与函数的图象相切，则 . 33．已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为 ． 34．已知函数的图象与直线相切，则实数 ． 35．已知函数，曲线在点处的切线与直线平行． (1)求实数的值； (2)求函数为的导数）的零点个数； (3)求证：当时，恒成立． 36．已知函数，. (1)若曲线在处的切线的斜率为2，求a的值； (2)若在区间上恒成立，求a的取值范围. 37．已知函数在点处的切线与轴平行． (1)求的值； (2)求的单调区间和极值． 38．（多选）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与同时相切，则b的取值可以为（   ） A． B． C．2 D．e 39．已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为 . 40．已知直线与曲线相切，t，，则 ． 题型五：两条切线平行垂直、重合问题 41．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（   ） A．e B． C． D． 42．已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是 . 43．已知 (1)当时，直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求的值； (2)当时，求证：. 44．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 45．设.当时，恒有，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 46．已知直线是曲线和曲线（且）的一条公切线，那么的值为 ． 47．已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则 . 48．在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 49．若曲线在坐标原点处的切线与曲线相切，则 ． 50．在平面直角坐标系中有曲线和，直线与、分别相切于，直线（不同于）与、分别相切于点，则与交点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数的几何意义有关切线五大常考题型 题型一：求曲线切线的斜率 题型二：求在曲线上一点处的切线方程 题型三：求过一点的切线方程 题型四：已知切线求参数 题型五：两条切线平行垂直、重合问题 题型一：求曲线切线的斜率 1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义，借助图形判断得解. 【详解】由导数的几何意义，得为函数图象在处切线的斜率， 为函数的图象在处切线的斜率， 为函数图象上点确定直线的斜率， 观察图象，得. 故选：B    2．若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，则 . 【答案】1 【分析】由导数的几何意义表示出曲线在点和在点的切线方程，根据倾斜角互补得到在点的切线的斜率值，求出. 【详解】设，， 函数的导函数为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 函数的导函数为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 直线的斜率为，倾斜角为135°， 因为曲线在点处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，所以直线的倾斜角为45°， 所以的斜率为，所以，所以. 故答案为：1. 3．若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（    ）． A． B．e C．1 D． 【答案】C 【分析】可设切点坐标，切点坐标满足函数解析式，且有，解方程组可得k的值. 【详解】，， 设切点坐标为，则， 消去k，得，所以. 故选：C 4．已知曲线，则曲线在点处的切线的倾斜角为 . 【答案】/ 【分析】先求出导函数，再利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为， 所以切线斜率， 设曲线在点处的切线的倾斜角为， 则，解得. 故答案为：. 5．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，只需求出与的公切线斜率，再结合图象分析即可. 【详解】设， 则， 设与的公切线的切点分别为， 则切线方程为，即， ，即， 所以①，②， 由①式可得，代入②式可得， 即，解得或， 所以公切线的斜率为1或， 由图可得.    故选：. 6．若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角的范围即可. 【详解】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 7．将曲线绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则（    ） A．e B． C．2e D． 【答案】C 【分析】设直线与曲线相切，且切点为，由导数几何意义得到切线斜率，进而得到方程，求出，切点为，则． 【详解】设直线与曲线相切，且切点为，由题意得， 又，则， 故，解得，切点为，则. 故选：C 8．已知函数的图像与直线有且仅有4个交点，交点横坐标的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，设切点，根据斜率公式和导数求斜率化简得到，结合两角和的正弦公式，商关系和立方差公式化简所求式子得到答案； 【详解】根据题意，函数的图像与直线有且仅有4个交点， 且为最大横坐标，可知直线与的图象在处相切， 由图象可知，切点，此时.    设切点，由题意可得， 即， ． ． 所以． 故答案为：. 9．曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 【答案】C 【分析】设切线方程为，根据切线方程得到关于的方程组，解得，进而得出导数值计算求解. 【详解】设曲线在处的切线方程为， 则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以， 因此，． 故选：C. 10．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出曲线在点处的切线，然后设该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和题干列方程即可求解. （2）将转化为一个新函数的恒成立问题，通过求导分析函数的单调性来求解即可. 【详解】（1），，则，则函数在点处的切线为，即. ，， 在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为，则， 故切线为，即， 即，解得. （2），恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，故， 故的最小值为1. 题型二：求在曲线上一点处的切线方程 11．函数的图像在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数求得函数的图像在点处的切线的斜率，写出切线的点斜式方程，化简可得一般式方程. 【详解】函数的定义域为，. 所以. 函数的图像在点处的切线方程为：，即. 故答案为：. 12．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 13．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)当时，，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数几何意义得到切线方程； （2）求导，分，和三种情况，得到函数单调性； （3）在（2）基础上，分三种情况，结合函数最值得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，， ，， 故在处的切线方程为，即； （2）， 由于，若，则，恒成立， 故在上单调递增， 若，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，若，在上单调递增； 若，在上单调递减，在上单调递增； 若，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，若，在上单调递增， 当时，， 要使当时，恒成立，只需，解得， 因此时，不等式恒成立； 若，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 令，解得； 若，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，也是最大值， 且，其中， 由于，故，故， 故当时，，舍去， 综上，a的取值范围是 14．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（    ） A．1 B． C． D．-1 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】设切线的斜率为， ，，将代入，得， 又切线与直线垂直，则，，解得. 故选：C. 15．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； (3)若存在，且当时，，当时，求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解； (2)利用导数判断函数的单调性，结合极值定义即可求解； (3) 令，利用导数分析函数单调性，继而可得，当时，在上单调递增，不符合题意，则，由，可得，由，可得，变形得，所以即证，即证，设，只需证，令，利用导数求出最值即可证明. 【详解】（1）当时， ， 所以， 所以， 所以曲线在处的切线斜率为. （2）， 所以， 当时，， ， 所以，所以在上单调递增，无极值； 当时， 令，解得， 当时， ， 当时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 所以在处取得极小值为，无极大值， 综上： 当时， 无极值， 当时，有极小值为，无极大值. （3）证明：令，所以， 因为，， 所以，为增函数， 当时， ，即成立， 当时， 在上单调递增， 当，在上单调递增， 所以不可能存在，满足时，， 所以， 设，， 所以， 所以， 因为，即， 所以， 所以， 因为， 所以，即， 要证：，即证，即证， 设，只需证， 即证，令， ， 所以在上单调递增， 所以，所以成立， 所以成立. 16．若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】设切点为，根据导数求切线斜率，进而求出切线方程，即可建立的关系式. 【详解】设切点为， 因，则斜率为，则切线方程为， 即， 又切线方程为，则，，得，. 故答案为： 17．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】因为，所以，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 18．已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)已知，且直线是曲线在点处的切线.求证：当时，存在使得直线过点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）把代入，令，将问题转化为直线是曲线在点处的切线，当时，存在使得直线过点，再利用零点存在性定理，结合导数推理得证. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以函数图象在点处的切线方程为. （2）当时，函数，令，， 则直线是曲线在点处的切线，当时，存在使得直线过点， 等价于直线是曲线在点处的切线，当时，存在使得直线过点， 由，求导得，则，而， 于是直线的方程为，即， 由，得， 依题意，原问题转化为当时，方程有小于的解， 设，其中，且， 则，令，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 于是，即，而，且函数图象连续不断， 则存在，使得，即函数有小于1的零点， 因此当时，方程有小于的解， 所以当时，存在使得直线过点. 19．已知，. (1)若函数在处取得极小值，求的单调递减区间； (2)在（1）的条件下，求过点且与函数图象相切的直线方程； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）利用极值的意义可得，可求得，进而令，可求单调递减区间； （2）设在处的切线过点，利用导数的几何意义可求得切线方程为，代入点的坐标，进而求解即可； （3）（分离参数，得到恒成立，令，求出函数的最大值，即可求得的范围. 【详解】（1）由，可得， 因为函数在处取得极小值，所以， 所以，解得，所以， 当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，所以，所以. 所以，令，得， 所以的单调递减区间为； （2）设在处的切线过点， 由（1）可得，所以， 所以在处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 整理得，所以，解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即， 所以切线方程为或； （3）由，可得， 由不等式恒成立，所以在上恒成立， 整理得在上恒成立， 令， 所以， 令，所以，解得或（舍去）， 所以当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 20．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程； （2）令函数，两次求导进行求解． 【详解】（1）当时，． ． 曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，所以当时，． 令函数，则． 令函数， 则 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ． 所以，即的取值范围为． 题型三：求过一点的切线方程 21．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数，函数都存在三个零点 B．存在实数使得直线是函数的切线 C．对任意实数，过原点都可作三条直线与函数相切 D．当时，直线与函数图象交点的横坐标之和为3 【答案】ABD 【分析】A：先分析的单调性，再通过零点的存在性定理判断出零点个数；B：设出切点坐标，根据切点纵坐标等于直线方程中的值以及切点处导数值等于直线的斜率，由此分析可求出结果；C：设出切点坐标，根据切点与原点连线斜率等于切点处导数值，化简可得方程，构造函数利用导数思想判断方程解的个数，由此可知结果；D：判断出的对称性以及直线所过定点，作出图象，利用对称性求解出交点横坐标之和. 【详解】A：因为，记， 所以有两个不等实根， 当和时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 由三次函数的性质可知，当时，，当时，，且， 由零点的存在性定理可知，在，，上均存在零点， 结合的单调性可知，总存在三个零点，故A正确； B：设切点为， 所以，化简可得， 当时，解得；当时，解得；当，代入解得， 所以存在或使得是的切线，故B正确； C：显然不是切点，设切点， 由题可知，化简可得， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 此时至多一个解，即此时至多有一条过点的切线，故C错误； D：当时，，， 所以，所以关于点成中心对称， 又因为， 令，解得，所以直线经过定点，定点即为的对称中心， 因为直线的斜率，且，所以， 在同一平面直角坐标系中作出和直线的图象，如下图所示， 由图象可知，与交于三点，显然关于对称， 所以，所以，故D正确； 故选：ABD. 22．已知函数，，则（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时，有两个极值 C．若有三个不同零点，则 D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【答案】ACD 【分析】解法一：当时，可得恒成立，即可判断A；但时，恒成立，即可判断B；设函数展开整理可判断C；利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则与图象有3个不同的交点，利用导数研究的性质，即可判断D. 解法二：当时，可得恒成立，即可判断A；但时，恒成立，即可判断B；利用一元三次方程的韦达定理可判断C；根据三次函数切线问题的结论可判断D. 【详解】解法一： 当时，恒成立， 则函数在上单调递增，故选项A正确； 有2个极值， 但时，恒成立， 此时函数在上单调递增，无极值，故选项B错误； 设函数 ，故选项C正确； 设切点， 则切线方程为：， 代入点得：， 过点且与曲线相切的直线恰有3条与图象有3个不同的交点， ，或， 函数在单调递减，上单调递增，且， ，故选项D正确. 故选：ACD. 解法二： 当时，恒成立， 则函数在上单调递增，故选项A正确； 有2个极值， 但时，恒成立， 此时函数在上单调递增，无极值，故选项B错误； 一元三次方程， 韦达定理：，故，选项C正确； 三次函数切线问题：过三次函数对称中心作切线（有且仅有一条）， 则坐标平面被该条切线和三次函数图象分为4个区域： 过①③区域内的点（不含边界）作切线有且仅有3条； 过②④区域内的点（不含边界）作切线有且仅有1条； 过切线或三次函数上的点（除去对称中心）作切线有且仅有2条； ， 所以函数的对称中心为， 过该点的切线方程为：恒过， 而函数恒过， 故只有时，点落在①③区域内，符合题意，故D正确. 故选：ACD. 23．已知函数的图象记为曲线C. (1)若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； (2)若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 【答案】(1)或 (2)2 【分析】（1）根据点坐标求得，利用导数求得切线方程. （2）设切点为，求得切线方程并代入点的坐标，利用等差数列的性质以及方程的思想列方程，化简求得的值. 【详解】（1）函数对应图象为曲线，因为点在曲线上， 所以，所以， ， 设切点为，切线方程为:，即， 因为切线过点，所以，即， ， ，所以或， 所以切点为或， 将或代入， 可得切线方程为：或． （2）函数，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 切线过点，则， 依题意方程有三个不同解，且成等差数列， 设三个不同解为，且， ， 则，结合，得，， ，所以， 所以． 24．设函数． (1)当时，求在区间上的极值； (2)证明：存在，使在处的切线经过原点． 【答案】(1)的极小值为， 的极大值为 (2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，结合正弦函数性质，由求极值步骤求解即可； （2）利用导数的几何意义求出切线方程，将代入求得，然后验证即可证明. 【详解】（1）当时，，则，， 令，解得， 当时，，当时，， 当时，. 可知在和上单调递减，在内单调递增， 所以当时，有极小值， 当时，有极大值. （2）设切点为，则切线方程为， 由于切线经过原点，所以，即， 由得， 所以，即， 取，代入得， 化简得，解得， 当时，，， 此时切线方程为，切线显然过原点， 所以存在时，使在处的切线经过原点． 25．已知函数，. (1)若，求的图象过原点的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，通过构造函数法进行求解即可； （2）根据对数式与指数式的恒等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意，则， 设切点为，则切线斜率为，由切线过原点， 得，化简得， 令，当时，，，即； 当时，，，即，当且仅当时， 故，，切点为，切线斜率为，所以切线方程为. （2）可化为，即， 令，则，故在上单调递增， 则即，可得， 即，令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，所以的取值范围为. 26．已知函数． (1)若，求的图象过原点的切线方程： (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，通过构造函数法进行求解即可； （2）根据对数式与指数式的恒等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意，则， 设切点为，则切线斜率为，由切线过原点， 得，化简得， 令，当时，，，即； 当时，，，即，当且仅当时， 故，，切点为，切线斜率为，所以切线方程为. （2）可化为，即， 令，则，故在上单调递增， 则即，可得， 即，令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，所以的取值范围为. 27．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当关于的方程有两个不等实根时， D．当时，过原点与曲线相切的直线有且只有1条 【答案】ABD 【分析】对于A,利用导数研究在上的单调性即可判断；对于B，利用导数研究的单调性，求出最小值即可判断；对于C，变形给定等式并构造函数，探讨函数性质求出实数a的范围判断；对于D，求出过原点的曲线切线方程，再确定方程解的个数判断. 【详解】对于A，，，求导得， 当时， ，函数在上单调递增， 所以当时，，A正确； 对于B，，，求导得， 当时，令，解得：， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，由于，则，所以成立，故B正确； 对于C，由关于的方程有两个不等实根，得有两个不等实根， 整理得，则，即， 令函数，则即为， 函数在R上单调递增，则，即， 由A选项知，，函数在上单调递减， 在上单调递增，， 而时，，时，， 而有两个根，必有，解得， 所以a的取值范围为，C不正确． 对于D，当时,，函数定义域为，求导得， 设切点坐标为，则在处，的切线方程为： ，则， 化简得，当时，，此方程无解； 当时，，此方程无解；当时，，满足要求， 因此方程只有这1个解，即过原点有且仅有一条直线与曲线相切，故D正确； 故选：ABD 28．已知函数.（   ） A．在上单调递增 B．是奇函数 C．过点可作曲线的两条切线 D．当时，恒成立 【答案】BCD 【分析】利用导数求单调区间可判断A；求出的解析式，根据奇函数定义可判断B；设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点求出即可判断C；构造函数，根据二次函数性质求解可判断D. 【详解】对A，由题知， 由解得，所以在上单调递减，错误； 对B，记， 则，所以为奇函数，正确； 对C，设切点坐标为，则切线斜率为，且， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得，解得或， 所以过点可作两条直线与曲线相切，正确； 对D，记 ， 当时，若恒成立，则，解得， 所以时，恒成立，正确. 故选：BCD 29．已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为 . 【答案】 【分析】设出切点坐标，通过导数求得切线斜率，再由直线的斜率公式求斜率，列出等式求解即可. 【详解】设切点坐标为， ， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以切点坐标为，切线的斜率， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 30．已知函数． (1)求曲线经过点的切线方程； (2)若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设切点为，求得切线方程为，将坐标代入，求得，进而得到切线方程； （2）把不等式转化为恒成立，令，求得为增函数，结合，，得到，使得，得到，求得，得出的单调性和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 设切点为，则切线方程为， 将坐标代入，可得，即， 可得，所以，所以切线方程为． （2）解：因为函数，， 由不等式，可得，所以恒成立， 令，则， 令，，所以在为增函数， 因为，，故，使得， 即，可得，所以， 又由函数，可得，所以在单调递增， 所以，即， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，所以， 所以实数的取值范围为． 题型四：已知切线求参数 31．若直线与函数的图象相切，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求导函数设切点，再根据斜率及点代入列式求解即可. 【详解】由题意得，设切点为， 则， 解得. 故选：A. 32．若直线与函数的图象相切，则 . 【答案】1 【分析】设切点为，根据导数的几何意义结合切点在直线与函数的图象上，列式求解，即得答案. 【详解】由，可得， 直线与函数的图象相切，设切点为， 则，即； 而点既在直线，又在函数上， 故，，即得， 故，则， 则， 故答案为：1 33．已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】先求出曲线的导数，再利用导数的几何意义求出处切线的斜率，最后利用平行直线斜率相等求出实数． 【详解】，求导得， 曲线在处的切线斜率， 曲线在处的切线与直线即平行， ． 故答案为：3． 34．已知函数的图象与直线相切，则实数 ． 【答案】1 【分析】设切点，根据导数的几何意义得到切线方程，结合函数与相切，得到即可求解． 【详解】设切点为， ，则， 切线方程为，即， 又因为函数的图象与直线相切， 所以，解得． 故答案为：1． 35．已知函数，曲线在点处的切线与直线平行． (1)求实数的值； (2)求函数为的导数）的零点个数； (3)求证：当时，恒成立． 【答案】(1)； (2)零点个数为0； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据求导法则求导，利用导数的几何意义即可求解； （2）求出的解析式，用其分子部分构造函数，利用导数讨论在的零点情况即可； （3）令，利用导数研究函数的最大值即可. 【详解】（1）的定义域为， 因为曲线在处的切线与直线平行， 所以，解得． （2）函数的定义域为，由（1）得， 所以． 令，则， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 所以． 所以恒成立，即函数无零点，即函数的零点个数为0． （3）由（1）得， 令， 则的定义域为． 令，则． 因为，所以．则当时，恒成立． 所以即在上单调递减． 所以，所以在上单调递减． 所以，即当时恒成立． 36．已知函数，. (1)若曲线在处的切线的斜率为2，求a的值； (2)若在区间上恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数导数的几何意义，求出函数导数，列出导数值的方程，求出参数； （2）根据不等式恒成立的性质，构造函数，根据函数导数和函数最值之间的关系，求出函数最小值，求出参数范围. 【详解】（1）由，可知， 因为在处的切线斜率为2，所以，解得. （2）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立. 令，则， 令，则， 所以在时单调递增，可知. 当时，，即，所以在时单调递增， 所以成立. 当时，，当时，，所以使得. 当时，，即，所以此时单调递减； 当时，，即，所以此时单调递增； 所以，不满足题设条件，舍去. 综上，. 37．已知函数在点处的切线与轴平行． (1)求的值； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增，极小值为 【分析】（1）根据切线的斜率，和导函数的几何意义，判断切点处的导函数值，进而求出参数； （2）根据函数导数和函数单调区间以及极值之间的关系，求出函数导数，进而求出单调区间和极值； 【详解】（1）因为在点处的切线与轴平行，可得， 由得，则，解得； （2）由（1）得，则， 令，即，解得（舍）或， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在处取得极小值，极小值； 综上说述，在上单调递减，在上单调递增，极小值为； 38．（多选）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与同时相切，则b的取值可以为（   ） A． B． C．2 D．e 【答案】ABC 【分析】设两切线的切点横坐标分别为，利用导数的几何意义得到，求出两切点坐标，写出切线方程，由题意可得，借助于二次函数的性质求出的范围即可. 【详解】由题知，设斜率为1的切线在曲线上的切点横坐标分别为， 由题知，解得，则切点分别为和， 则两点处的切线方程分别为和， 依题意，可得，则． 故的取值范围是. 故选：ABC. 39．已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为 . 【答案】 【分析】设利用导数研究函数的单调性，得出当时，函数最小值为.从而可得点在直线上运动.，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可. 【详解】设， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 所以，即点在直线上运动. 设与平行的直线与相切于点，令， 得，故切点为，由图知其到直线的距离，即为的最小值. 故答案为： 40．已知直线与曲线相切，t，，则 ． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点，又， 则，解得，则． 故答案为：1 题型五：两条切线平行垂直、重合问题 41．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（   ） A．e B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线与的切点为，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为，同样可推的切线方程为．两条切线重合，即可得出有唯一实根．构造，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案． 【详解】设直线与的切点为， 因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为， 即该直线的方程为， 即． 设直线与的切点为， 因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为， 即该直线的方程为， 即． 因为函数和有且只有一条公切线， 所以有， 即有唯一实根． 令， 则. 解，可得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以在处取得最大值. 当x→0时，，函数图象如图所示， 因为有唯一实根，所以只有． 故选：C 42．已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，并得到；根据切线互相垂直可得，由此得到，令，可得，利用分离常数法可求得的范围，即为的范围，从而得解. 【详解】当时,，， ，， 在处的切线方程为，即， 令可得，； 当时，，， 所以，， 所以在处的切线方程为：，即， 令可得，， 两条切线互相垂直，，，， 令，， 设，， 因为在上单调递增，，即， 所以． 故答案为：. 43．已知 (1)当时，直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求的值； (2)当时，求证：. 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）先设这两个函数的切点分别为，，利用导数法求出用表示的两个函数的切线方程，又这两个切线是公切线，则对应项的系数相等，得到的方程组，求出的值，再代回用表示的切线方程，从而得到值. （2）将代入所求不等式得到，构造函数，求，再通过证明得到进行放缩，得到，从而得到在上单调递增，又，最后分在和两种情况得到证明. 【详解】（1）当时，，则， 设的切线的切点为， 则在处的切线方程为：，即， 设的切线的切点为， 则在处的切线方程为：，即， 由题意，这两条切线是公切线，则这两条切线是同一条直线， ∴，即， ∴，即或， 当时，切线方程为，则； 当时， ，则. 综上可得：或. （2）当时，， 先证，令， 在上，在上， 则是唯一的极小值点，，所以，故. 记，且， ， 在上单调递增，又， 在区间上，； 在区间上，. 综上所述，成立． 44．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 45．设.当时，恒有，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先对不等式合理变形，结合导数求出在处等号成立，进而求出的取值，最后得到即可. 【详解】因为， 所以， 则恒成立， 即，恒成立， 可得恒成立，且， 令， 而，， 令，则， 可得在上单调递增， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 故，即在处等号成立， 得到是和的公切线， 而，， 则，， 得到，故A正确. 故选：A 46．已知直线是曲线和曲线（且）的一条公切线，那么的值为 ． 【答案】 【分析】先根据函数和函数互为反函数得出切点在直线上，再设切点应用切线斜率计算求参. 【详解】函数和函数互为反函数，其图象关于直线对称，从而切点在直线上． 设切点坐标为，切点也在两条曲线上，并且两个函数在切点处的导函数值都是1，且和， 则列出方程， 由①得，则， 于是，代入②得，解得，从而． 故答案为：． 47．已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则 . 【答案】 【分析】设，求导，结合两函数在处的切线重合，可得，求解即可. 【详解】设，得， 因为在处的切线重合， 则，解得，所以. 故答案为：. 48．在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将问题转化为曲线在处的切线垂直于，求出点坐标，进而求出. 【详解】依题意，当曲线在处的切线垂直于时，取得最小值， 设，求导得，则， 整理得，而函数在上单调递增， 又，因此，点，所以. 故选：D 49．若曲线在坐标原点处的切线与曲线相切，则 ． 【答案】2 【分析】求出在原点处的切线斜率和切线方程，再根据这条切线也是曲线的切线求出与的切点横坐标，从而可求出切点，将切点代入即可得到m的值． 【详解】∵， ∴曲线在坐标原点处的切线的斜率为， 则切线方程为， 则直线与曲线相切， 设切点的横坐标为， ∵， ∴，则， ∴切点为， 代入，得，解得， 故答案为：2． 50．在平面直角坐标系中有曲线和，直线与、分别相切于，直线（不同于）与、分别相切于点，则与交点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用导数的几何意义求出，的方程，联立方程求解即可. 【详解】解：设， 对，求导得， 所以在处的切线方程为， 即， 对，求导得， 所以在处的切线方程为， 即， 又因为是与的公切线， 所以， 解得或， 不妨取； 同理可得， 从而可得，即的方程为：， 同理可得，即的方程为：， 由，解得， 所以与交点的横坐标是. 故选：A. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $