精品解析：河南省洛阳市宜阳县2025-2026学年上学期九年级数学期中考试试卷

2025-2026学年第一学期期中质量检测九年级数学试卷 注意事项： 1．答题前请填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将正确答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的平方根为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平方根的概念，准确理解平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，且互为相反数． 【详解】， 的平方根是或． 故选：． 2. 若二次根式有意义，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下为非负数是解题的关键． 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选D． 3. 化简：（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，准确的计算是解决本题的关键． 根据算术平方根的性质，对于任意实数，有，据此求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 故选C． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用平方差公式直接计算． 【详解】解： ． 故选：A． 5. 一元二次方程的常数项为（ ） A. B. 7 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是会识别二次项系数，一次项系数，常数项，将方程化为标准形式，常数项即为． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴常数项为， 故选：A． 6. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用直接开平方法，求出一元二次方程的根是多少即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题关键． 7. 若一元二次方程有实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据即可求出的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根，即， ∴， 解得：， 故选：D． 8. 下列四条线段成比例的是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；判断四条线段是否成比例，可通过计算最小与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积，若相等，则成比例，然后问题可求解． 【详解】解：对于每个选项，计算线段长度的乘积： 选项A：由可知：，∴不成比例； 选项B：由可知：，∴不成比例； 选项C：由，可知：，∴成比例； 选项D：由，可知：，∴不成比例； 故选C． 9. 若（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应边成比例． 利用相似三角形对应边成比例的性质，通过已知边长求未知边长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 已知，且，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查求分式的值，利用因式分解法求出相关的关系式是解题的关键． 利用因式分解法求出关于x、y的关系式，进而可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴或， 解得， ∵， ∴或， 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知点、分别是的边、的中点，则面积等于的___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理，可得，从而得到，再由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵点、分别是的边、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 即面积等于的． 故答案为：． 13. 填空：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，对比等式左边，可知空白处应填4． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 在中，为垂足，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 先根据题意画出图形，再证明，然后利用相似三角形的对应边成比例列比例式并化简即可解答． 【详解】解：如图：∵在中，为垂足， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴（同角的余角相等）， ∴， ∴，即． 故答案为． 15. 已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，首先考虑是一元一次方程的情况，再考虑是一元二次方程时，利用时有实数根得出不等式即可． 【详解】解：当方程是一元一次方程时，可得； 当方程是一元二次方程时， ∵关于x的方程有实数根， ∴，， ∴，， 综上，m的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再计算括号中加法，然后计算乘法，最后根据二次根式的减法进行计算即可求解； （2）先算括号，再根据二次根式的乘除法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 选择合适的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用公式法求解即可； （2）先移项，然后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 所以， 所以，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，． 18. 已知代数式， （1）用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； （2）求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】（1） 证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，这个代数式的值总是正数； （2）当时，代数式的值最小，最小值为1 【解析】 【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题关键． （1）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数； （2）设代数式的值为y，根据二次函数的图像与性质可求出最值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令， ∴， ∵， ∴函数开口向上，有最小值， ∴当时，最小值为1． 19. 如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【答案】 证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【解析】 【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出． 【详解】略 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 20. 如图，在中，点为边的中点，，，求证：四边形的面积等于面积的一半． 【答案】 证明：如图，过点作，， ，，点为边的中点， 四边形为平行四边形，点为边的中点， ， 又，， ， 为中点， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定、三角形中位线定理及相似三角形的性质，灵活运用中位线定理和相似三角形的面积关系是解题的关键．根据中位线定理得到三角形的相似关系，再结合全等三角形的面积相等，进而推导出四边形与原三角形的面积关系． 【详解】略． 21. 如图，在四边形中，点为上一点，，当在上何位置时，？ 【答案】当点P为的中点时，， 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．证明，可得，结合点P为的中点，可得，即可解答． 【详解】解：当点P为的中点时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 22. 用配方法推导一元二次方程（为常数）的求根公式 【答案】 解：（为常数）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解方程的步骤． 先移项，然后系数化为1，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解． 【详解】略 23. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 不存在满足条件的值， 理由：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ， ， 若成立， 解方程得， ，且， ， 这与矛盾， ∴不存在这样的值． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，代数式的推理变形过程是解答本题的关键． 由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得，然后把的值代入中，即可求得的值； 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中质量检测九年级数学试卷 注意事项： 1．答题前请填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将正确答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的平方根为（ ） A. B. C. 或 D. 2. 若二次根式有意义，则（ ） A. B. C. D. 3. 化简：（ ） A. B. C. D. 3 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的常数项为（ ） A. B. 7 C. 3 D. 6. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 7. 若一元二次方程有实数根，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列四条线段成比例的是（ ） A. B. C. ， D. ， 9. 若（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 1.5 10. 已知，且，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 12. 已知点、分别是的边、的中点，则面积等于的___________． 13. 填空：___________． 14. 在中，为垂足，则___________ 15. 已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______ 三、解答题（8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 选择合适的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知代数式， （1）用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； （2）求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 19. 如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 20. 如图，在中，点为边的中点，，，求证：四边形的面积等于面积的一半． 21. 如图，在四边形中，点为上一点，，当在上何位置时，？ 22. 用配方法推导一元二次方程（为常数）的求根公式 23. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $